专题09 二次函数（原卷版）

专题09二次函数课标要求考点考向确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴，并掌握图象的变化情况；能根据已知条件利用二次函数表达式的三种形式通过待定系数法确定函数关系式；能理解并掌握二次函数与二次方程、二次不等式的关系；能在实际问题中列出二次函数关系书，并运用其性质解决简单的实际问题。二次函数考向一二次函数中的平移考向二二次函数的图象与性质考向三二次函数解析式考向四二次函数与几何结合考向五二次函数最值问题考向六二次函数的解决问题考点二次函数►考向一二次函数中的平移1．（2024·江苏南通·中考真题）将抛物线向右平移3个单位后得到新抛物线的顶点坐标为（

）A． B． C． D．2．（2024·江苏连云港·中考真题）已知抛物线（a、b、c是常数，）的顶点为．小烨同学得出以下结论：①；②当时，随的增大而减小；③若的一个根为3，则；④抛物线是由抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到的．其中一定正确的是（

）A．①② B．②③ C．③④ D．②④3．（2024·江苏徐州·中考真题）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向下平移5个单位长度，所得抛物线与x轴有两个公共点P、Q，则．►考向二二次函数的图象与性质1．（2024·江苏镇江·中考真题）对于二次函数（a是常数），下列结论：①将这个函数的图像向下平移3个单位长度后得到的图像经过原点；②当时，这个函数的图像在函数图像的上方；③若，则当时，函数值y随自变量x增大而增大；④这个函数的最小值不大于3．其中正确的是（填写序号）．2．（2024·江苏扬州·中考真题）如图，已知二次函数的图像与轴交于，两点．(1)求的值；(2)若点在该二次函数的图像上，且的面积为，求点的坐标．3．（2024·江苏徐州·中考真题）如图，A、B为一次函数的图像与二次函数的图像的公共点，点A、B的横坐标分别为0、4．P为二次函数的图像上的动点，且位于直线的下方，连接、．(1)求b、c的值；(2)求的面积的最大值．►考向三二次函数解析式1．（2024·江苏苏州·中考真题）二次函数的图象过点，，，，其中m，n为常数，则的值为．2．（2024·江苏宿迁·中考真题）如图①，已知抛物线与x轴交于两点，将抛物线向右平移两个单位长度，得到抛物线，点P是抛物线在第四象限内一点，连接并延长，交抛物线于点Q．(1)求抛物线的表达式；(2)设点P的横坐标为，点Q的横坐标为，求的值；(3)如图②，若抛物线与抛物线交于点C，过点C作直线，分别交抛物线和于点M、N（M、N均不与点C重合），设点M的横坐标为m，点N的横坐标为n，试判断是否为定值．若是，直接写出这个定值；若不是，请说明理由．3．（2024·江苏无锡·中考真题）已知二次函数的图象经过点和点．(1)求这个二次函数的表达式；(2)若点，都在该二次函数的图象上，试比较和的大小，并说明理由；(3)点在直线上，点在该二次函数图象上．问：在轴上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．►考向四二次函数与几何结合1．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，二次函数的图像与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），顶点为C．(1)求A、B、C三点的坐标；(2)一个二次函数的图像经过B、C、三点，其中，该函数图像与x轴交于另一点D，点D在线段上（与点O、B不重合）．①若D点的坐标为，则_________；②求t的取值范围：③求的最大值．2．（2024·江苏常州·中考真题）将边长均为的等边三角形纸片叠放在一起，使点E、B分别在边上（端点除外），边相交于点G，边相交于点H．(1)如图1，当E是边的中点时，两张纸片重叠部分的形状是________；(2)如图2，若，求两张纸片重叠部分的面积的最大值；(3)如图3，当，时，与有怎样的数量关系？试说明理由．3．（2024·江苏扬州·中考真题）如图，点依次在直线上，点固定不动，且，分别以为边在直线同侧作正方形、正方形，，直角边恒过点，直角边恒过点．(1)如图，若，，求点与点之间的距离；(2)如图，若，当点在点之间运动时，求的最大值；(3)如图，若，当点在点之间运动时，点随之运动，连接，点是的中点，连接，则的最小值为_______．►考向五二次函数最值问题1．（2024·江苏南通·中考真题）已知函数（a，b为常数）．设自变量x取时，y取得最小值．(1)若，，求的值；(2)在平面直角坐标系中，点在双曲线上，且．求点P到y轴的距离；(3)当，且时，分析并确定整数a的个数．2．（2024·江苏常州·中考真题）在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C．(1)________；(2)如图，已知点A的坐标是．①当，且时，y的最大值和最小值分别是s、t，，求m的值；②连接，P是该二次函数的图像上位于y轴右侧的一点（点B除外），过点P作轴，垂足为D．作，射线交y轴于点Q，连接．若，求点P的横坐标．3．（2024·江苏连云港·中考真题）在平面直角坐标系中，已知抛物线（a、b为常数，）．

(1)若抛物线与轴交于、两点，求抛物线对应的函数表达式；(2)如图，当时，过点、分别作轴的平行线，交抛物线于点M、N，连接．求证：平分；(3)当，时，过直线上一点作轴的平行线，交抛物线于点．若的最大值为4，求的值．►考向六二次函数的解决问题1．（2024·江苏盐城·中考真题）请根据以下素材，完成探究任务．制定加工方案生产背景背景1◆某民族服装厂安排70名工人加工一批夏季服装，有“风”“雅”“正”三种样式．◆因工艺需要，每位工人每天可加工且只能加工“风”服装2件，或“雅”服装1件，或“正”服装1件．◆要求全厂每天加工“雅”服装至少10件，“正”服装总件数和“风”服装相等.背景2每天加工的服装都能销售出去，扣除各种成本，服装厂的获利情况为：①“风”服装：24元/件；②“正”服装：48元/件；③“雅”服装：当每天加工10件时，每件获利100元；如果每天多加工1件，那么平均每件获利将减少2元．信息整理现安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装，列表如下：服装种类加工人数（人）每人每天加工量（件）平均每件获利（元）风y224雅x1正148探究任务任务1探寻变量关系求x、y之间的数量关系．任务2建立数学模型设该工厂每天的总利润为w元，求w关于x的函数表达式．任务3拟定加工方案制定使每天总利润最大的加工方案．2．5月中旬，樱桃相继成熟，果农们迎来了繁忙的采摘销售季．为了解樱桃的收益情况，从第1天销售开始，小明对自己家的两处樱桃园连续15天的销售情况进行了统计与分析：A樱桃园第x天的单价、销售量与x的关系如下表：单价（元/盒）销售量（盒）第1天5020第2天4830第3天4640第4天4450………第x天10x+10第x天的单价与x近似地满足一次函数关系，已知每天的固定成本为745元．B樱桃园第x天的利润（元）与x的关系可以近似地用二次函数刻画，其图象如图：(1)A樱桃园第x天的单价是______元/盒（用含x的代数式表示）；(2)求A樱桃园第x天的利润（元）与x的函数关系式；（利润单价销售量固定成本）(3)①与x的函数关系式是______；②求第几天两处樱桃园的利润之和（即）最大，最大是多少元？(4)这15天中，共有______天B樱桃园的利润比A樱桃园的利润大．3．在光伏发电系统运行时，太阳能板（如图1）与水平地面的夹角会对太阳辐射的接收产生直接影响．某地区工作人员对日平均太阳辐射量（单位：）和太阳能板与水平地面的夹角进行统计，绘制了如图2所示的散点图，已知该散点图可用二次函数刻画．(1)求关于的函数表达式；(2)该地区太阳能板与水平地面的夹角为多少度时，日平均太阳辐射量最大？(3)图3是该地区太阳能板安装后的示意图（此时，太阳能板与水平地面的夹角使得日平均太阳辐射量最大），为太阳能板与水平地面的夹角，为支撑杆．已知，是的中点，．在延长线上选取一点，在两点间选取一点，测得，在两点处分别用测角仪测得太阳能板顶端的仰角为，，该测角仪支架的高为1m．求支撑杆的长．（精确到m，参考数据：，）1．（2024·江苏南京·二模）如图，在水平向右为轴正方向，竖直向上为轴正方向的坐标系中标记了个格点，已知网格的单位长度为，若二次函数的图像经过其中的个格点，则的最大值为(

)A． B．1 C． D．2．（2024·江苏无锡·二模）某公司计划生产一种新型电子产品，经过公司测算，在生产数量不超过8万件的情况下，生产成本和销售价格均是生产数量的一次函数，其部分数据如下表：生产数量（万件）生产成本（元/件）销售价格（元/件）191628143712为获最大利润，生产数量应为（

）A．3万件 B．4万件 C．5万件 D．6万件3．（2024·江苏无锡·一模）如图，四边形是边长为4的菱形，，将沿着对角线平移到，在移动过程中，与交于点，连接、、．则下列结论：①；②当时，；③当时，的长为；④的面积最大值为．其中正确的为（

）A．①③ B．②③ C．①②③ D．①②④4．（2024·江苏淮安·模拟预测）如图，平面直角坐标系中，点坐标为，D点坐标为，过点分别作平行线，交x轴于两点，若，直线、CF之间距离的最大值为．5．（2024·江苏苏州·二模）某商店销售A，B两款商品，利润（单位：元）分别为和，其中x为销量（单位：袋），若本周销售两款商品一共20袋，则能获得的最大利润为．6．（2024·江苏苏州·一模）如图，点是二次函数（为常数）的图像与轴的交点，是二次函数的对称轴与轴的交点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段．若点恰好落在二次函数的图像上，则的值为．7．（2024·江苏南京·模拟预测）小明同学在物理课上做弹簧测力实验，他将力的大小与弹簧伸长长度整理为如下表格：10（）__________；__________．小刚同学使用不同的弹簧也做了相同实验，他的表格如下：10（）求出小刚使用的弹簧力与的函数表达式．（）若小刚的弹簧最长伸长长度为，则他最多可以测多少个的物体？8．（2024·江苏南通·三模）已知抛物线的顶点为，抛物线与直线交于、两点，点在点的左侧．(1)直线经过定点，点的坐标是____________；(2)如果直线绕点旋转的过程中，与始终互相垂直，求的值；(3)抛物线与轴交于点，直线与轴交于点，如果，求的最小值．9．（2024·江苏苏州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为点A

(1)求点A的坐标；(2)点B为抛物线上横坐标等于的点，点M为线段的中点，点P为直线下方抛物线上的一动点．当的面积最大时，过点P作轴于点C，若在坐标平面内有一动点Q满足，求的最小值；(3)三年了，你应该都没有做过最后一题最后一问吧，能坚持看完这道题目的你已经非常优秀了，请你写出你认为最后几天可以再复习巩固复习的三个知识点10．（2024·江苏淮安·模拟预测）如图，二次函数的图象与x轴交于、两点，与y轴交于点C．(1)求这个二次函数的表达式；(2)作直线，分别交x轴、线段、抛物线于D、E、F三点，连接，若以B、D、E为顶点的三角形与以C、E、F为顶点的三角形相似，求t的值；(3)点M为y轴负半轴上一点，且，将抛物线沿x轴的负方向平移得到新抛物线，点B的对应点为点，点C的对应点为点，与交于点N．在抛物线平移过程中，当的值最小时，试求的面积．11．（2024·江苏南京·模拟预测）已知函数（a是常数）．(1)若该函数的图象与x轴只有1个公共点，求a的值；(2)当时，设该函数图象的顶点为M，与y轴交点为C，平面直角坐标系原点为O，若点C关于的对称点恰好在x轴上，直接写出a的值．12．（2024·江苏无锡·二模）二次函数的图像与轴交于、两点（点在点左侧），与轴交于点，连接，．(1)直接写出点的坐标：_________；：_________（用含的代数式表示）；(2)已知轴上有一点，直线与二次函数的图像交于另外一点，连接，若是直角三角形，求满足条件的的值、(3)当时，平面内有一点，分别作点关于直线的对称点，直接写出长度的最小值．13．（2024·江苏苏州·一模）（1）如图①，中，，，为边上一动点，将点A绕点按顺时针方向旋转，得到点，使得，过点作的平行线，交直线于点，连接．①若，求的长度；②求的最大值．（2）如图②，当点在的延长线上时，将点A绕点按顺时针方向旋转，得到点，使得，过点作的平行线，交直线于点，连接．记的面积为，的面积为，的面积为，若，求的值．