专题09 全等三角形模型之截长补短与倍长中线模型解读与提分精练（原卷版）

专题09全等三角形模型之截长补短与倍长中线模型目录TOC\o"1-3"\h\u 1模型1.截长补短模型 1模型2.倍长中线模型 12 24模型1.截长补短模型条件：AD为△ABC的角平分线，∠B=2∠C。结论：AB＋BD＝AC。证明：法1（截长法）:在线段AC上截取线段AB′＝AB，连接DB。∵AD为△ABC的角平分线，∴∠BAD=∠B′AD，∵AD=AD，∴△ABD≌△AB′D（SAS）∴∠B=∠AB′D，BD=B′D，∵∠B=2∠C，∴∠AB′D=2∠C，∴∠AB′D=2∠C，∴∠B′DC=∠C，∴B′C＝B′D，∴BD=B′C，∵AB′＋B′C＝AC，∴AB＋BD＝AC。法2（补短法）:延长AB至点C′使得AC′＝AC，连接BC′。∵AD为△ABC的角平分线，∴∠C′AD=∠CAD，∵AD=AD，∴△C′AD≌△CAD（SAS）∴∠C′=∠C，∵∠B=2∠C，∴∠B=2∠C′，∴∠BDC′=∠C′，∴BC′＝BD，∵AB＋BC′＝AC′，∴AB＋BD＝AC。例1．（23-24八年级上·安徽淮北·阶段练习）如图，在四边形中，是的平分线，且．若，则四边形的周长为（

）A． B． C． D．例2．（24-25八年级上·河南漯河·阶段练习）如图，在中，，，与的平分线，交于点．(1)求的度数；(2)求证：．例3．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，为等腰直角三角形，，，点D在线段上，连接，，，过C作，且，连接，交于F．(1)求的面积；(2)证明：．例4．（23-24八年级上·安徽安庆·期末）（1）如图1，四边形中，，是上一点，平分，平分．则线段的长度满足的数量关系为______；

（2）如图2，将（1）中的条件“”改为“”，其他条件不变，（1）中的结论是否还成立，如果成立，请说明理由；如果不成立，请举出反例；（3）将（1）中的条件“”改为“”，其他条件不变，试探究线段之间的数量关系，并说明理由．例5．（23-24八年级上·北京东城·期中）已知，在四边形中，分别是边上的点，且．

(1)为探究上述问题，小王同学先画出了其中一种特殊情况，即如图1，当时．小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接．请你在图1中添加上述辅助线，并补全下面的思路．小明的解题思路：先证明______；再证明了______，即可得出之间的数量关系为．(2)请你借鉴小王的方法探究图2，当时，上述结论是否依然成立，如果成立，请证明你的结论，如果不成立，请说明理由．(3)如图3，若分别是边延长线上的点，其他已知条件不变，此时线段之间的数量关系为______．（不用证明）模型2.倍长中线模型1）倍长中线模型（中线型）条件：AD为△ABC的中线。结论：证明：延长AD至点E，使DE=AD，连结CE。∵AD为△ABC的中线，∴BD=CD，∵∠BDA=∠CDE，∴△ABD≌△ECD（SAS）2）倍长类中线模型（中点型）条件：△ABC中，D为BC边的中点，E为AB边上一点（不同于端点）。结论：△EDB≌△FDC。证明：延长ED，使DF=DE，连接CF。∵D为BC边的中点，∴BD=DC，∵∠BDE=∠CDF，∴△EDB≌△FDC（SAS）例1．（24-25八年级上·广东深圳·期中）如图所示，已知，，，则的长为．例2．（24-25八年级上·吉林长春·期末）阅读理解：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图①，在中，，，求边上的中线的取值范围．（1）经过组内合作交流，小明得到了如下的解决方法，如图②：①延长到E使得；②再连结，把、、集中在中；③利用三角形的三边关系可得，则的取值范围是．感悟：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”等条件，可以考虑倍长中线，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中．（2）利用小明的作图方法，结合图②，写出与的位置关系并证明．应用：（3）如图③在四边形中，，点E是的中点．若是的平分线，则线段、和之间的等量关系为．例3．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）【阅读】如图1，在中，，，是中线，求的取值范围．小明同学的做法是：延长到，使，连接，证明．得到，在中．，即，所以；【理解】如图2．是的中线，在上取一点，连接，使得，延长交于点．求证：；【运用】如图3．在中，，为的中点，，求证：．例4．（23-24八年级下·广西南宁·期中）综合与实践问题背景：三角形的中位线定理是人教版初中数学八下教材的一个重要命题．如图1，是的中位线．则，且．(1)如图1，若，则________；(2)回顾证法：证明三角形中位线定理的方法很多，但多数都要通过添加辅助线构图完成．图2是其中一种辅助线的添加方法（“倍长中线”法）．请结合图2，完成“三角形中位线定理”的证明过程；已知：中，点，分别是，的中点．求证：，且．(3)方法迁移：如图3，四边形和均为正方形，连接，，是的中点，连接，已知线段．请求出线段的长．例6．（24-25八年级上·安徽芜湖·期中）【问题提出】如图①，在中，，，求边上的中线的取值范围．【问题解决】经过组内合作交流，小明得到了如下的解决方法：延长到点，使，连接，经过推理可知，…；（1）由已知和作图得到的理由是______．A．边边边

B．边角边

C．角边角

D．斜边直角边（2）的取值范围为______．【问题应用】（3）如图②，在中，点为边的中点，点在边上，与相交于点，，求证：．【问题拓展】（4）如图③，在中，，平分，点为边的中点，过点作，交于点，交的延长线于点，若，，则的面积为______．

一、单选题1．（24-25八年级上·山东德州·期末）在中，，中线，则的长度不可能是（

）A． B． C． D．2．（24-25八年级上·河南南阳·期末）如图所示，与均为直角三角形，且，，，E是的中点，则的长为（

）A． B．3 C． D．5二、填空题3．（23-24八年级上·四川德阳·阶段练习）如图，在中，为边的中线，为上一点，连接并延长交于点，若，，，则的长为．.4．（24-25八年级上·黑龙江大庆·期中）如图，在中，D是边的中点，，则的取值范围是三、解答题5．（24-25八年级上·河南信阳·期末）【发现问题】（1）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：在中，若，求边上的中线的取值范围．小亮在组内经过合作交流，得到了如下解决方法：如图①，延长到点E，使，连接，得到，他用到的判定定理是__________；（用字母表示），可以求得边上的中线的取值范围是__________．【解决问题】（2）小刚发现，解题时，条件中若出现“中点”，“中线”的字样，可以考虑构造全等三角形，要学好数学一定要多思考，做到举一反三，于是他又提出了一个新的问题：如图，当平分时，若，求的值（用含m，n的式子表示）；（3）如图，平分，延长到E，使得，连接，若，求的值．6．（24-25八年级上·辽宁辽阳·期中）（1）阅读理解：如图①，在四边形中，，点E是的中点，若是的平分线，试判断之间的等量关系．解决此问题可以用如下方法：延长交的延长线于点F，易证，得到，从而把转化在一个三角形中即可判断：之间的等量关系为；（2）如图②，在中，，，是的中线，，，且，求的长；7．（23-24七年级下·四川成都·期中）在的高、交于点，．(1)如图1，求证：；(2)如图1，求的度数；(3)如图2，延长到点，过点作的垂线交的延长线于点，当时，探究线段、、的数量关系，并证明你的结论．8．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）【问题背景】（教材原题）如图1，四边形是正方形，点E是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点F．求证：（无需证明）．【问题探究】(1)如图2，四边形是正方形，点E在上，，，连接，则的度数为；(2)如图3，四边形是菱形，点E在上，（），，连接．探究与的数量关系，并证明你的结论．9．（24-25八年级上·江西赣州·阶段练习）【特例感知】如图1，在中，，求边上的中线的取值范围．（1）中线的取值范围是______．【类比迁移】（2）如图2，在四边形中，为的中点，点在上，，，求证：平分．【拓展应用】（3）如图3，在中，是边上的中线，E是上一点，连接并延长交于点F，，求证：．10．（23-24八年级上·江西南昌·期中）综合与实践问题提出如图1，在中，平分，交于点D，且，则，，之间存在怎样的数量关系？并说明理由．方法运用

（1）我们可以通过作辅助线，构造全等三角形来解题．如图2，延长至点E，使得，连接，……，请判断，，之间的数量关系并补充完整解题过程．（2）以上方法叫做“补短法”．我们还可以采用“截长法”，即通过在上截取线段构造全等三角形来解题．如图3，在线段上截取，使得①______，连接②______．请补全空格，并在图3中画出辅助线．延伸探究（3）小明发现“补短法”或“截长法”还可以帮助我们解决其他多边形中的问题．如图4，在五边形中，，，，若，求的度数．11．（24-25八年级上·云南保山·期末）（1）【问题背景】如图1：在四边形中，，，．E、F分别是、上的点．且．探究图中线段之间的数量关系，小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使．连结，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是______；（2）【探索延伸】如图2，若在四边形中