广西壮族自治区河池市2026届高三毕业班3月教学质量联合测试数学试题（含答案）

高三数学注意事项:1.答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.1+A.1B.-1C.iD.-i2.已知集合A={x∣−3≤A.{x∣−3≤x<3.已知向量a,b满足a=2,b=3,a−A.π6B.π3C.2π4.已知某圆锥的轴截面是顶角为α的等腰三角形,侧面展开图是圆心角为β的扇形,则()A.β=πsinαB.β5.在一次校园活动的组织过程中,由甲、乙等5名同学负责接待、咨询、向导三个志愿者服务项目，每名同学只负责一个服务项目，且每个服务项目至少有一名同学负责.若甲、乙两人负责同一个服务项目，则不同的安排方案共有()A.18种B.36种C.48种D.54种6.如图,函数fx=sinωx+φω>0的图象与y轴交于点P0,−12A.2−64B.−7.已知椭圆C以A−1,0和B1,0为焦点,且与直线lA.55B.105C.158.若关于x的方程ex=alnx−1+alnaA.(0,2]B.[二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.下列结论正确的是()A.样本数据12,13,15,18,19,21,23,24,26,27的第70百分位数为23B.若一组样本数据x1,x2,⋯,x10C.若随机变量X服从二项分布B6,12D.若随机变量X服从正态分布N6,σ2，且P10.已知数列an满足a1=A.an是递增数列B.当n>2C.aD.111.如图,平面ABN⊥平面α,M为线段AB的中点,AB=MN=2,AN>BN,直线MN与平面αA.球心为N、半径为2的球面被平面α截得的圆周长为2πB.若点P到点M和点N的距离相等,则点P的轨迹是抛物线C.若点P到直线MN的距离为3，则∠APB的最大值为D.满足∠MNP=45∘的点三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.12.2x−y5的展开式中13.tan2514.已知双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点分别为F1,F2,其一条渐近线的斜率为3过点F2且斜率存在的直线l与C的右支交于P,Q两点.四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.如图,在△ABC中,D为AC的中点,且∠(1)求BABD(2)若AC=3BC，求16.如图,在四棱锥P−ABCD中,AB//CD,BC=CD=2,AB=4(1)求证:BC⊥平面PCD(2)求平面ABQ与平面PBC夹角的余弦值.17.已知函数fx(1)讨论fx(2)当a>2e218.已知抛物线E:y2=2pxp>0，过E上一动点A作斜率为2的直线l,l与E交于另一点B,当点(1)求p.(2)当l不经过点N4,1时，直线AN与E交于另一点C，直线BN与E交于另一点(i)证明:AB//(ii)试判断直线AD与BC是否交于定点,若是,请求出定点的坐标,否则,请说明理由.19.每届高考结束后,某校各班都要推荐优秀学生代表作为嘉宾与下一届学生进行学习经验分享.2025届高三年级班号依次为0,1,2,...,27,高三0班的优秀学生代表为2名男生和2名女生,其余各班的优秀学生代表均为1名男生和1名女生.第一场分享会的4名学生嘉宾由从高三0班的优秀学生代表中选出的2名和高三1班的2名优秀学生代表共同组成，第二场分享会的4名学生嘉宾由从上一场的4名嘉宾中选出的2名和高三2班的2名优秀学生代表共同组成,...,按照这样的方式,依次进行到第二十七场分享会.(1)求第一场分享会的学生嘉宾中恰有2名男生的概率;(2)求第二场分享会的学生嘉宾中恰有2名男生的概率;(3)记第二十七场分享会的学生嘉宾中男生人数为X，求X的分布列和数学期望.1.C因为1+2i2−i2.略3.略4.略5.B将甲、乙视为1个人,即相当于将4名同学安排到3个项目的方案,有C426.略7.略8.D由ex=alnx−1+alna−a设ft=et+t,则fx−lna=flnx−1,因为f′t设gx=x−lnx当x∈1,2时,g′x<0,则当x∈2,+∞时,g′x>0,则所以gx≥g2=9.略10.ABD利用作差法可判断数列的单调性,判断A的真假;利用数列的单调性,结合累加法和累乘法可判断BC的真假;利用裂项求和法可判断D的真假.对于A,易知an≠0,由an+1=an2+an,得an对于B,由对A的分析,知an所以an2≥an≥由an+1=a所以当n≥2时,a所以当n≥2时,因此当n>2时,an>n对于C,由an+1=a由对B的分析知,当n>2时,an>a故当n>2时,所以a2026>22025,故对于D,由an+1=a即1a所以1=1a1−11.ACA利用r=R2−d2可求;B、D建立坐标系,利用关系式求得点P轨迹即可;对于A,因为直线MN与平面α所成角的大小为30∘,所以点N到平面α的距离球心为N、半径R=2的球面被平面α截得的图形为圆,圆的半径r=R2−d2对于B,由于平面ABN⊥平面α,所以以AB所在直线为y轴,在平面α内过M作x轴⊥AB,平面ABN内作z轴建立如图1所示的空间直角坐标系,则M0设Px,y,0,则PM=PN,即故P到点M和点N的距离相等，则点P的轨迹是一条直线，故B错误；对于C,MN所以P到直线MN的距离为MP化简可得x2所以点P的轨迹是平面α内的椭圆x23如图2,当P在短轴的端点时,∠APB由于AB=2,MP=3，故△ABP图1图2对于D,NM若∠MNP则cos∠MNP化简得y−2324故满足∠MNP=45∘的点P的轨迹是双曲线的一部分,12.-40二项式展开式的通项公式为:C5令r=3可得:x2y3故答案为-40.点睛:在Tr+1=Cnran−rbr中,Cnr是该项的二项式系数,与该项的(字母)系数是两个不同的概念,前者只指13.2tan75又tan75所以tan25所以tan2514.2命题透析本题考查双曲线与直线的位置关系.解析ba=3⇒b=3a,半焦距c=a2+b2=2a,F1F2=4a,l与C的右支有两个交点,设l所以SAF1BF2cosα=±55,k=tanα=±15.1(2)∠(1)利用三角形的面积公式可求BABD(2)在△BCD和△ABC中，分别利用余弦定理，即可求cos∠BCD，进而可得(1)因为D为AC的中点，所以S△ABC则12即BAsin∠因为∠ABC+∠DBC=π所以BA=2BD,即(2)不妨令AC=3BC=6，则BC=2，CD=3在△BCD中,由余弦定理得x即x2在△ABC中，由余弦定理得4x4x①②联立，解得x=BD=7，所以∠BCD16.(1)通过面面垂直得到线面垂直,再利用线面垂直的判定定理即可;(2)通过建立空间直角坐标系求出平面ABQ与平面PBC的法向量，再代入公式即可.(1)如图,取CD的中点O,因为PC=PD=3，所以因为平面PCD⊥平面ABCD,平面PCD∩平面ABCD=CD,所以PO⊥平面ABCD又BC⊂平面ABCD,所以PO又BC⊥PD,PO⊂平面PCD所以BC⊥平面PCD(2)因为PC=PD=3,O为CD的中点，CD=2，所以OC=1,PO=PC2−OC2=22.过点O作OE//BC交AB以O为坐标原点,OE,OC,OP所在直线分别为x轴、y轴、则A2所以AB=设平面ABQ的法向量为n=x,y令x=1,得n=1,0,2.则m令c=1,得设平面ABQ与平面PBC的夹角为θ,则cosθ故平面ABQ与平面PBC夹角的余弦值为6917.(1)(2)略18.1(2)(i)证明见解析；(ii)直线AD与BC交于定点−7命题透析本题考查抛物线的方程,抛物线与直线的位置关系.解析(1)当点A与原点O重合时,直线l过原点且斜率为2,其方程为y=2x,联立得y=2x,y2=2px,得4x2=所以AB=解得p=(2)由(1)知E:y2=4x，设Ay124,y1，By224,y2，所以y1+y2=(i)设Cy直线AN过点Ay124,y1和N4,联立y2=4x,得y2−整理可得y1同理,对于直线BN,可得y2因为y1+y2=由①②作商，结合③，得y3−1=−y所以kCD所以AB//(ii)设AB的中点为P,CD的中点为Q,因为yPQ:又因为AB//CD,所以AD与BC的交点即直线AD与PQ由②③，得y1−1y4直线AD的斜率kAD直线AD的方程为y−在该方程中,令y=1,可得x=−72,所以直线AD与PQ交于定点−72,1,故直线AD19.1(2)11(3)X123P131E(1)借助概率公式计算即可得;(2)借助全概率公式计算即可得；(3)借助全概率公式计算可得PBi−3