高考数学一轮复习高频考点精讲精练(新高考专用)第03讲平面向量的数量积(高频精讲)(原卷版+解析)

第03讲平面向量的数量积（精讲）

目录

第03讲平面向量的数量积（精讲）..................................................1

第一部分：知识点必背..............................................................2

第二部分：高考真题回归............................................................4

第二部分:高频考点一遍过..........................................................4

高频考点一：平面向量数量积的定义.............................................4

角度1；平面向量数量积的定义及辨析........................................4

角度2：平面向量数量积的几何意义..........................................5

高频考点二：平面向量数量积的运算.............................................6

角度1：求数量积...........................................................6

角度2：向量模运算.........................................................8

角度3：向量的夹角.........................................................9

角度4：两向量成锐角（钝角）求参数.......................................10

角度5：已知模求数量积....................................................11

角度6：已知模求参数......................................................12

高频考点三：向量的垂直关系...................................................13

高频考点四：向量的投影（投影向量）..........................................14

高频考点五：平面向量的综合应用..............................................16

高频考点六：最值范围问题.....................................................17

高频考点七：极化恒等式.......................................................19

第四部分：数学文化题.............................................................20

第五部分：高考新题型.............................................................22

①开放性试题.................................................................22

②探究性试题.................................................................22

第六部分：数学思想方法...........................................................23

①函数与方程的思想...........................................................23

②数形结合的思想.............................................................24

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第一部分：知识点必背

1、平面向量数量积有关概念

1.1向量的夹角

已知两个非零向量4和,如图所示，作0A=〃，OB=b，则NAOB=6

（0工〃工不）叫做向量〃与人的夹角，记作<〃/>./A

（2）范围：夹角夕的范围是[0,菊.I3^

当夕=0时，两向量〃，/?共线且同向；

当夕二，时，两向量〃，方相互垂直，记作々J.6bB

当0=乃时，两向量4,b共线但反向.

L2数量积的定义：

己知两个非零向量〃与。，我们把数量|a||b|cosl叫做〃与〃的数量积（或内积）,记作。功，即

a-b=\a\\b\cos0,其中J是〃与人的夹角，记作：6=<a,b>.

规定：零向量与任一向量的数量积为零.记作：0.〃=0.

L3向量的投影

①定义：在平面内任取一点。，作OM=a,ON=〃.过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则OM；就

是I可量4在向量。上的投影向量.

M

1

bMiN

②投影向量计算公式：

当。为锐角（如图（1））时，OM、与e方向相同，几二|O必|=|亦os。，所以OM；=|。必|e=iacos6e；

当。为直角（如图（2〉）时，2=0,所以OM；=0=|cdcos2e；

2

当。为钝角（如图（3））时，。％与6方向相反，所以

2=-1OMX|=-14/1cos=-\a\cos（^-0）=\a\cos0即OM[=|a|cos夕e.

当。=0时，4=同，所以。必二|a|e=b|cos0e；

当。=兀时，丸=一同，所以OM}=-\a\e=\a\COSTIe

综上可知，对于任意的夕w[0,兀],都有QM|=|〃|cosee.

2、平面向量数量积的性质及其坐标表示

已知向量。二(^,乂)/=(马,、2)，。为向量4和/?的夹角:

2.1数量积a-b=\a\\b\cos2=+y\y2

2.2模：|a|=yjci'a=Jx：十y；

ab

2.3夹角：cos<9=

⑷闻

2.4非零向量的充要条件：。•Z?=()<=>%&+Y%=。

2.5三角不等式：|4・〃区|4||〃|(当且仅当。/2时等号成立)=+X%wM。・收+£

3、平面向量数量积的运算

①〃力=/?•〃

②，〃•〃="〃•/?)=a•(Xb)

®[a+b)'C=a-c+bc

4、极化恒等式

①平行四边形形式：若在平行四边形ABC。中，则A8-4O=1(AC2-O8b

4

②三角形形式：在AABC中，M为BC的中点，所以AB-AC=

4

5、常用结论

®(a+b)(a-b)=a-b

②(4+6)2=a~+2ab+b

③(a-b)2=a-2ab+h~

第二部分：高考真题回归

1.（2022•全国（新高考II卷）,统考高考真题）已知向量〃=（3,4）,〃=（l,0）,c=a+/〃，若va,c>=<〃,c>,

则」=（）

A.-6B.-5C.5D.6

2.（2022・全国（乙卷文）•统考高考真题）已知向量〃=（2,1）z=（-2,4）,则"（）

A.2B.3C.4D.5

3.（2022•北京・统考高考真题）在^ABC中，AC=3.BC=4,NC=90°.P为JWC所在平面内的动点，且PC=1,

则的取值范围是（）

A.[-5,引B.[-3,5JC.（-6,4]D.[-4,6]

4.（2022・全国（甲卷文）•统考高考真题）已知向量〃=（皿3）,若皿,贝心〃=.

5.（2022・天津•统考高考真题）在./8C中，CA=a,CB=b,。是AC中点，CB=2BE，试用。力表示OE

为，若ABtDE，则/AC8的最大值为

第二部分：高频考点一遍过

高频考点一：平面向量数量积的定义

角度1：平面向量数量积的定义及辨析

典型例题

例题1.（2023•全国•高一专题练习）已知|6=3,〃在〃方向上的投影为:，则〃心的值为

91

A.3B.-C.2D.-

22

例题2.（2023•全国•高三专题练习）在矩形A8CO中，|1=6,|I=3.若点”是CO的中点,

点N是BC的三等分点，且BN=；BC,则AM-MN=（）

A.6B.4C.3D.2

例题3.（2023春•贵州贵阳•高一校联考阶段练习）在“8C中，。为边上8。上的中点，A£>=2,DB=3.

（1）ABAC=・

（2）户为工内一点，帖•（08+PC）最小值为

练透核心考点

1.（2023・仝国・高一专题练习）已知同=6,|"=3,向量々在方向上投影向量是公，贝iJa・b为（）

A.12B.8C.-8D.2

2.（2023・全国•高三专题练习）在RL/WC中，NC=9O。，A8=4,AC=2,。为以3c的外心，则AO5C=

（）

A.5B.2C.-4D.-6

角度2:平面向量数量积的几何意义

典型例题

例题L（2023春•河南•高三校联考阶段练习）已知点。为A3C所在平面内一点，在一ABC中，满足

2ABAO=\AB^f2AC-AO=\Ac[t则点0为该三角形的（）

A.内心B.外心C.垂心D.重心

例题2.（2023•全国•高一专题练习）《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，如图所示的

是《易经》中记载的几何图形——八卦图.图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，其余八块

面积相等的图形代表八卦田，已知正八边形"C7）由G”的边长为2a,点尸是正八边形人直力"'。"的

内部（包含边界）任一点，则APM8的取值范围是（）

A.[-4夜,4夜]B.[-4拒,8+4夜]C.[8-4&,8+40]D.[-4夜,8-4夜]

例题3.（2023•全国•高一专题练习）如图，已知正六边形4AC力月厂边长为1,点P是其内部一点，（包

括边界），则涔洸的取值范围为

练透核心考点

1.（多选）（2023•全国•高三专题练习）已知正六边形A4CQE尸的边长为1,。为正六边形边上的动点，则

468P的值可能为（）

A.-2B.-1C.1D.2

2.（2023春•江西宜春•高三校考开学考试）如图，在正六边形A8CQEF中，向量所在向量C。上的投影

向量是inCD，则〃?=.

AF

CD

3.（2023・全国•高一专题练习）在边长为2的正六边形"COM中，点P为其内部或边界上一点，则4＞分＞

的取值范围为.

高频考点二：平面向量数量积的运算

角度1：求数量积

典型例题

例题1.（2023•河南郑州•统考二模）已知向量”，〃满足|32/卜2,且〃与〃的夹角为会，则仅〃+可.〃=

（）

A.12B.4C.3D.1

例题2.（2023春•宁夏吴忠•高一吴忠中学校考阶段练习）已知向量〃的夹角为；，且同=3应，忖=2,

则（2〃+%”=（）

A.9B.9夜C.16D.16拒

例题3.（2023呐蒙古赤峰哧峰二中校联考模拟预测）在边长为2的正三角形A8C中,AD=：DB,CE=EB,

则A£Z）£：=（）

,93八3口9

A.——Bn.-C.——D.-

4224

例题4.（2023春•广东东莞•高一东莞市东莞中学校考阶段练习）平行四边形ABC。中，A3=4,4）=2,

ABAD=4x[2r点P在边C力上，则E4.PB的取值范围是.

练透核心考点

1.（2023春・山东枣庄•高一滕州市第一中学新校校考阶段练习）已知乂BC是边长为2的等边三角形，则

CAAB=（）

A.-2B.—2石C.2D.2G

2.（2023春•江苏淮安•高一淮阴中学校考阶段练习）已知A3=（2,3）,BC=（3j）,其中/>0.满足忸今=何，

则<）

A.-9B.-22C.9D.22

3.（多选）（2023春•安徽亳州•高三校考阶段练习）已知P是边长为2的正六边形48CDEF内的一点，则APS8

的可能取值是（）

A.-2B.2

C.4D.8

4.（2023春・吉林•高一校考阶段练习）在乂5C中，ZBAC=120°,AB=64c=1,。是边上一点，

DC=2BD,AH=a,AC=b-

⑴试用4,〃表示人/）；

（2）求AQ.BC的值.

角度2：向量模运算

典型例题

例题1.（2023春•宁夏银川•高一银川二中校考阶段练习）已知向量〃与〃的夹角为60。J4=2，W=1,

则卜+23（）

A.12B.16C.2^3D.4

例题2.（2023春•山东枣庄•高一滕州市第一中学新校校考阶段练习）若平面向量”,仇。两两的夹角相等，

且同=2帆=2汹=3,则,+〃+2（:|=（）

A.2B.10C.5或2D.10或4

例题3.（2023•辽宁大连•校联考模拟预测）已知向量”，力满足叫=则|2。-切

等于（）

A.2x/2B.VlOC.x/15D.245

例题4.（2023春•山西运城•高一校考阶段练习）已知向量：=（2,4）,b=（-2,m）t且,+4=卜-1则

练透核心考点

1.（2023春•宁夏吴忠・高一吴忠中学校考阶段练习）已知向量。=（，〃」,）,。=（3,〃7）,若a与力方向相反，则

p-\/3Z?|=（）

A.54B.8C.3月D.4x/3

2.（2023春•安徽合肥・高一合肥一中校考阶段练习）设平面向量：=（1,2）,〃=（-2,y）,若〃〃/,,则加+引

等于（）

A.B.76C.V17D.726

3.春•黑龙江哈尔滨•高一校考阶段练习）已知向量a，为单位向量，a，6的夹角为亨.则卜-2目二

4.（2023春・上海青浦•高一校考阶段练习）已知单位向量的夹角为。，若ew［半与］,则,+司的取值

JJ

范围是.

5.（2023•全国•高三专题练习）已知向量a，〃满足何=1,忖=2,且,+0=卜-陷，则2〃+可=.

角度3：向量的夹角

典型例题

例题1.（2023・全国・高一专题练习）已知向量4,〃满足忖=5炳=6,42=-6,则85《,4+〃）=（）

例题2.（2023春•天津和平•高一天津市第五十五中学校考阶段练习）已知向量。=（1,2）,b=（〃?,3）,

若。1仅〃一方），则。与〃夹角的余弦值为（）

A石2^5710

A•--DR.---Ur■---

5510D・噜

例题3.（2023春广东东莞福一校考阶段练习）在以Q4为边、0B为对角线的菱形OABC中，。4=（4,0）,

OB=(6*a),则ZAO3()

例题4.（2023♦全国•高三专题练习）已知向量。二（-2）,。=（-1,3）,c=ia+b，若c，则cos（«c）=

例题5.（2023•全国•高三专题练习）已知平面四边形A8CQ中，ABA.AD,BC±CDtAB=\,BC=5

//AC=150。，则cos/CRD=.

练透核心考点

1.（2023•全国•模拟预测）已知"=2,6=（-2,-1）,“2〃叫=2恸2,则si/©=（）

Ax/5Dx/5-36k2石

1（）5105

2.（2023•全国商一专题练习）在平面直角坐标系中，。为坐标原点，点43,0）、点即）,3）、点

C（cosa,sina）,。€（0,乃），若=则。8与0C的夹角为（）

nnn2n

A.-B.-C.-D.—

6433

3.（2023•全国•高三专题练习）已知单位向量〃，〃满足（3o+A）_L（a—2〃），则cos（a,»=.

4.（2023•广东•统考一模）已知向量满足同=2,*4,伍-〃）•〃=（）,则〃与〃的夹角为.

5.(2023春・山东济南•高一校考阶段练习)如图，在梯形ABC。，AB//CD,乙BAD=%,AB=AD=2,

CD=3,AE=AAB.

⑴若AC_L£)E，求2的值；

⑵若/l=g,求AC与OE的夹角的正切值.

角度4:两向量成锐角(钝角)求参数

典型例题

例题L(2023春•江苏淮安•高一淮阴中学校考阶段练习)已知。=(-1』)，|〃卜2,向量〃与〃的夹角为

4

宁7r，且b与向量(1,1)的夹角为钝角.贝小()

A.(0,-2)B.(2,0)C.(-72,-72)D.

例题2.(2023春•安徽淮南•高一淮南第一中学校联考阶段练习)已知平面向量。=(1,-2),人=(4»),

若〃与a+8的夹角为锐角，则的取值范围为.

例题3.(2023春•山东枣庄•高一滕州市第一中学新校校考阶段练习)已知且向量。与〃不

共线.

(1)若〃与〃的夹角为120。，求(3"-。)(〃+/小

⑵若。与的夹角为60。且向量a-姑与ka-2b的夹角为锐角，求实数人的取值范围.

例题4.（2023春•浙江杭州•高一校联考阶段练习）已知：仆e2是同一平面内的两个向量，其中4=（2,3）.

（1）若同且q+G与G垂直，求4与6的夹角。；

（2）若g=（2,1）且外与弓+26的夹角为锐角，求实数之的取值范围.

练透核心考点

1.（2023春・河南洛阳•高一洛宁县第一高级中学校联考阶段练习）已知平面向量〃=（4,），），若

a与a+b的夹角为锐角，则>的取值范围为.

2.（2023・江苏•高一专题练习）已知向量a=（2,4）,〃=（1,2）（4eR）,若a与匕的夹角为锐角，则丸的取值

范围为.

3.（2023春•安徽合肥•高一合肥一中校考阶段练习）若向量。=（&,3）/=（l,4）,c=（2,l）,已知%-3匕与c的

夹角为钝角，则％的取值范围是.

4.（2023春・江苏扬州•高一扬州中学校考阶段练习）设两个向最满足。=（2,0）为=［；,第］,

\/

⑴求4+〃方向的单位向量；

（2）若向最2加+7。与向最a+tb的夹角为钝角，求实数，的取值范围.

角度5:已知模求数量积

典型例题

例题1.（2023春•黑龙江鹤岗•高一鹤岗一中校考阶段练习）已知向量满足卜|=刑="。-233,则

ab=（）

A.-2B.-1C.1D.2

例题2.（2023嚏国福一专题练习）已知是单位向量，若|力公|='-母，则的夹角是（)

例题3.（2023•全国•高一专题练习）若非零向量q与b满足：a+b+c=Of且何+忖=2,卜卜1,则〃力

的最大值为.

练透核心考点

1.（2023春•江苏常州•高二常州市第一中学校考阶段练习）空间向量.，b,若何=3,1卜2,卜一力卜正，

则”与〃的夹角为（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

2.（2023春•山东枣庄•高一山东省滕州市第五中学校考阶段练习）已知向量〃，〃满足同=2,网=1,则

卜十。卜有，则a，b=.

3.（2023•陕西宝鸡•统考二模）已知非零向量a，〃，c满足H=W=,一〃=1且。一。一二1，则卜|的取值

范围是.

角度6:已知模求参数

典型例题

例题1.（2023•全国•高一专题练习）已知向量力＞满足神=0,卜+“响，若》与a-〃的夹角为年,

则〃？的值为（）

A.2B.73C.1D.y

例题2.（2023•山西吕梁•高一校联考）已知单位向量6,%,%与生的夹角为

⑴求证（2q—©"Lg；

（2）若〃?=九6+/,n=3e1-2e2,且时=卜|,求％的值.

练透核心考点

1.：2023春・安徽•高一校联考阶段练习）已知“，与是单位向量，且“，内的夹角为凡若忖+到

则。的取值范围为（）

兀2兀7171jr5n八兀

A.—B.—C.D.0,—

|_33」[42」L66」6J

2.（2023・高二课时练习）已知空间三个向量〃、〃、c的模均为1,它们相互之间的夹角均为120。.

⑴求证：向量〃垂直于向审:C；

（2）已知上。+6+。|>1We火），求A的取值范围.

高频考点三：向量的垂直关系

典型例题

例题1.（2023秋•吉林•高一吉林一中校考阶段练习）已知|“|=4,|〃|=3,且的夹角为6（）,如果

（a+2b）±（a-mb）,那么的值为（）

A.-B.-C.-D.\

6543

例题2.（2023•全国•高三专题练习）已知平面向量满足〃=（l,x）,力=（2/），若（。-冲贝口=

例题3.（2023春虹苏南京南一南京市中华中学校考阶段练习圮知向量。=（L3）,b=（3,4）,若（"-〃）_L〃,

则八.

例题4.（2023春•湖南长沙•高一长郡中学校考阶段练习）已知同=2,W=&,（2〃-3与0+〃）=-5.

（1）求〃与6的夹角8：

⑵若C=S+2（1T）〃，且b"，求实数/的值.

练透核心考点

1.（多选）（2023春•陕西西安•高一统考阶段练习）已知向晨0=（2,3）,6=（-3/），版一》与口一28垂直，

则（）

A.k=--B.k=~—C.H=ViOD.2“一"二（5,二、

913113I3J

2.（2023春•宁夏银川•高一宁夏育才中学校考阶段练习）已知向量〃二（九1）,^=（-2,5）,若

则用二.

3.（2023春•宁夏银川•高一贺兰县第一中学校考阶段练习）已知两个非零向量。与。不共线，

⑴试确定实数上使得版+匕与〃+他共线；

（2）若a=（I,2）,〃=（l,l）,c=〃+/〃，Kb1c»求实数义的值.

4.（2023春•湖北十堰•高一校考阶段练习）已知,卜3,忖=4.

⑴若〃与〃的夹角为60。，求（。+2石）.的

（2）若〃与〃不共线，当k为何值时，向量〃+妨与“-妨互相垂直？

高频考点四：向量的投影（投影向量）

典型例题

例题1.（2023春•江苏盐城•高一江苏省响水中学校考阶段练习）已知上8C外接圆圆心为。，半径为1,

2AO=AB+ACf且x/5|OA卜则向量48在向量BC上的投影向量为（）

1uimAiA

A.-BCB.也BCC.-BCD.-』C

4444

例题2.（2023•河南•统考模拟预测）已知|a|=2,g|=l,且,+〃卜2,则〃在。方向上的投影为（）

A.；B.C.-D.--

2244

例题3.（2023春•上海浦东新­高三上海市进才中学校考阶段练习）已知向量。=（1,1）力=（2,3）,贝人在

b方向上的数量投影为

例题4.（2023•浙江温州•统考二模）若向量a,〃满足（〃+耳-7第=3,且用2,则〃在〃方向上的

投影的取值范围是.

练透核心考点

1.（2023春•湖北武汉•高一武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校考阶段练习）已知」SC的外接圆

圆心为。，2Q4+A8+Ad=0，网=网，则向量8c在向量BA上的投影向量为（）.

A.BAB.-BA

C.-BAD.一手阳

4

2.（2023春•云南昆明•高三校考阶段练习）已知点8（1,2）,C（-2,-l）,。（3,4）,则向量四在C。

方向上的投影向量的长度为（）

A3&3而3735而

A.---RD------rI.----nU.----

2222

3.（2023春•福建三明•高一校考阶段练习）若向若。=（-1,1）,向量（=（4,3）,则向量a在向量右上的投影

向量为（）

43431I43

A.（——,—）B.（——，——）C.（——,-）D.（——

252525252255

4.（2023秋・江西•高三校联考期末）已知非零向量”，人满足忖=2忖=2,且（。-⑵_L力则向量〃在向量《上

的投影为.

高频考点五：平面向量的综合应用

典型例题

例题L（多选）（2023春•江苏扬州•高一扬州中学校考阶段练习）G是A3C的重心，

4〃=2,AC=4,ZC4/?=120°,P是/8C所在平面内的一点，则下列结论正确的是（）

A.GA+G6+GC=O

B.AC在四方向上的投影等于2

4

C.GAGB=-

3

3

D.AP（8P+"）的最小值为

例题2.（多选）（2023春•广东深圳•高一校考阶段练习）重庆荣昌折扇是中国四大名扇之一，其精雅

宜士人，其华灿宜艳女，深受各阶层人民喜爱.古人曾有诗赞曰：“开合清风纸半张，随机舒卷岂寻常；金

环并束龙腰细，工栅齐编凤翅氏”.荣昌折扇平面图为下图的扇形CO。，其中夸，（7C-3OA-3,

动点P在。。上（含端点），连结。尸交扇形。4B的弧A8于点Q，ROQ=xOC+yODt则下列说法正确

的是（）

2

A.若丁=X，则=§B.若，=2x,则04。2=0

C.ABPQ>-2D.PAPB>\-

乙

例题3.（2023春•福建泉州•高一校考阶段练习）己知平面向量a=（sinasin。-cos。），〃=（cos。,-1-〃?），

函数/（。）=。力.

（1）若〃?=1,8;兀｝求满足方程/（e）=g的J值；

（2）已知函数人⑴为定义在R上的减函数，且对任意的巧，々都满足"（司+/）=/?（内）+力（占），是否存在实

数阳，使小忌嬴）+«2〃[+!）</7（/（6））对任意6c5j恒成立？若存在，求出实数〃?的取值范围;

若不存在，说明理由.

练透核心考点

1.（多选）（2023•云南昆明•高三昆明一中校考阶段练习）已知.，AC是两个非零向量，则下列说法正

确的是（）

A.若AS=（x,4）,AC=（-1,2）,ABUAC，则x=-2

B./84C为锐角的充要条件是/IB>0

C.若。为“8C所在平面内一点，且。4.O8=O8OC=OCOA，则0为_/$。的重心

若（A8+ACj.8C=0,万，则43c为等边三角形

2

2.（2023春・山东泰安・高一山东省泰安第二中学校考阶段练习）在平面直角坐标系中，已知其人一

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4（8——1新,C（7-/M.O）,t,mGR,/*0.

⑴若，=1,/〃=4,P为x轴上的一动点，点A。，-2）.当"，P,8三点共线时，求点尸的坐标：

⑵若，=sin。，费（0,兀），且CA与C8的夹角"%），求〃?的取值范围.

高频考点六：最值范围问题

典型例题

例题L（2023•全国•高一专题练习）如图，已知四边形被力为直角梯形，ABJLBC,ABHDC,AB=\,

A。=3,NBA。=与，设点尸为直角梯形ABCD内一点（不包含边界），则AB•AP的取值范围是（）

例题2.（2023春•江西•高三校联考阶段练习）在/8C中，4。=6,8。=8,/。=90/为一48。所在平

面内的动点，且PC=2,则必.户3的取值范围是（）

A.[-20,12]B.[-12,20]C.[-16,24]D.[-24,16]

例题3.（2023•全国•高一专题练习）如图，圆。是半径为1的圆，OA=g,设6,。为圆上的任意2

个点，则危.病的取值范围是___________.

B

例题4.（2023春・湖北省直辖县级单位-高一湖北省仙桃中学校考阶段练习）如图，已知直角/8C的

斜边A3长为4,设。是以C为圆心的单位圆的任意一点，。为A4边的中线。。的中点，则=

，E4P4的取值范围为.

练透核心考点

1.（2023春・广东揭阳•高三校考阶段练习）如图所示，边长为2的正△43C,以8。的中点。为圆心，BC

为直径在点A的另一侧作半圆弧8C，点P在圆弧上运动，则AB・AP的取值范围为（）

A.[2,38]B.[4,36]C.[2,4]D.（2,5]

2.（2023春•四川成都•高二校考阶段练习）与三角形的一边及另外两边的延长线都相切的圆，称为这个三

角形的旁切圆.已知正“AC的中心为O,/3=1,点"为与"C边相切的旁切圆上的动点，则。40。的取

值范围为.

3.（2023・全国•高三专题练习）如图，C为/5c外接圆P上一个动点，若。4=1,08=6,408=150,

则OAOC的最大值为.

BC

4.（2023春•湖南永州•高一永州市第一中学校考阶段练习）如图，在菱形4BC。中，BE=；BC,CF=2FD.

|Uim

⑴若|A8=4,NB4)=60。，求ACCA

⑵若菱形A8CO的边长为6,求4石.石厂的取值范围.

高频考点七：极化恒等式

典型例题

例题1.（2023春•天津和平•高一天津市第五十五中学校考阶段练习）圆。的直径A4=2,弦律=1,点

夕在弦E下上，贝的最小值是（）

例题2.（2023春江苏南京高一南京外国语学校校考阶段练习）圆。为锐角一羽。的外接圆，AC=2AB=2f

则。80的取值范围为.

练透核心考点

1.（2023春・重庆渝中•高一重庆巴蜀中学校考阶段练习）己知力8c中，,耳=4,C|=8,且

1,48+（2-2%）AC（/leR）的最小值为26，若。为边A8上任意一点，则的最小值是（）

51、49-9、25

AA.——B.-------C.——D.——

441616

2.（2023秋・河北石家庄•高二石家庄二十三中校考期末）已知43为圆C:（x-1）2+）尸=1的宜径，点P为直

线工-丁+2=。上的任意一点，则PAPB的最小值为.

第四部分：数学文化题

1.（2023春・广东佛山•高一校考阶段练习）八卦是中国文化的基本哲学概念，图1是八卦模型图，其平面

图形为图2所示的正八边形ABCOEFG”，其中=给出下列结论：

①OA与O”的夹角为5；

（2）\（）A-（）C\=^Y\DH\-,

@OD+OF=OE;

④04在。。上的投影向量为qe（其中e为与。。同向的单位向量）.

其中正确结论为（）

FE

②D.④

2.（2023•河南安阳・统考二模）如图,2022年世界杯的会徽像阿拉伯数字中的"8〃.在平面直角坐标系中,

圆加：/+（），+〃"=/和N：f+（y_i）2=]外切也形成一个&字形状，若为圆M上两点,

B为两圆圆周上任一点（不同于点A,尸），则的最大值为（）.

A•亨

B.2&+1C.3+夜D.3&+2

3.（多选）（2023春•河北保定•高一定州市第二中学校考阶段练习）窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是

中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图.

已知正八边形4BCQEFGH的边长为0,P是正八边形A8CQEFG”边上任意一点，则下列结论正确的是（）

图1图2

A.BG=2AH

B.AO在八B向量上的投影向量为自+1

\/

C.若QVPC=（1+&）PA・ED,则尸为ED的中点

D.若尸在线段8c上，且=+则％+V的取值范围为1,2+&]

4.（2023春・上海宝山•高三统考阶段练习）莱洛三角形，也称圆弧三角形，是一种特殊三角形，在建筑、

工业上应用广泛，如图所示，分别以正三角形人8c的顶点为圆心，以边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组

成的曲边三角形即为莱洛三角形，已知两点间的距离为2,点尸为AB上的一点，则对•（尸8+PC）的最

小值为.

5.（2023春•安徽合肥・高一合肥一中校考阶段练习）如图所示是毕达哥拉斯的生长程序：正方形上连接着

等腰直角三角形，等腰直角一:角形边上再连接正方形，如此继续，设初始正方形A8C。的边长为加，则