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高考文科综合试卷结构表

考试时间150分钟满分300分

题型科目题数分值总分

选择题地理1135444140

历史1248

政治1248

非选择题地理262556160

历史246

政治248

高考理科综合试卷结构表

考试时间150分钟满分300分

题型科目题数分值总分

单项选择题物理101644064

生物312

化学312

多项选择题物理5963054

生物218

化学218

非选择题物理3111854182

生物464

化学464

山东省淄博市2021届高考数学摸底试卷（理科）

一、选择题（每小题5分，共50分，每小题只有一个选项是正确的）

1.（5分）已知全集U={0,1,2,3,4）,集合A;{0,1,2,3},B={2,3,4},那么Cu（AnB）

（）

A.{0,1}B.{2,3）C.{0,I,4}D.{0,1,2,3,4}

2.（5分）下列四个函数中，既是奇函数又在定义域上单调递增的是（）

A.y=x+lB.y=x3C.y=tanxD.y=log2X

3.（5分）某算法的程序框图如图所示,如果输出的结果为26,则判断框内的条件应为（）

[1X）mI

--『

I——1IS=2S+K]

|X31|1—

/输&S/

A.k<5?B.k>4?C.k>3?D.k<4?

4.（5分）若"「pvq〃是假命题，则（）

A.p是假命题B.—q是假命题C.pvq是假命题D.p/\q是假命题

5.（5分）已知向量二（2,1）,+=（I,k2-1）,则k=2是_L的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

6.（5分）沿一个正方体三个面的对角线截得几何体如图所示，则该几何体的侧视图为（）

7.（5分）在区间（0,—）上随机取一个数x,则事件"（anxcosxN」“发生的概率为（）

22

A-iB4C-1D-l

8.（5分）函数y="x-eX）sinx的图象（部分）大致是（）

22

9.（5分）过双曲线C：二-4=1的右顶点做x轴的垂线，与C的一条渐近线相交于点A,

212

ab

若以C的右焦点为圆心、二径为4的圆经过A,O两点（0为坐标原点），则双曲线C的方程

为（）

22222222

A.工-工=1B.工-工_=1C.工-工=1D.工*1

4127988124

10.（5分）已知定义在R上的函数f（x）的导函数F（x）,满足？(x)<f(x),f(2+x)=f

（2-x）,f（4）=1,则不等式f（x）Ye*的解集为（）

A.（-2,+8）B.（0,+°°）C.（1,+o0）D.(4,+00)

二、填空题（每小题5分，共25分）

11.（5分）在等差数列｛即｝中，a15=33,ai5=66,则a35二.

12.（5分）将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得BD=a,则三棱锥D-ABC

的体积是.

13.（5分）若圆C的半径为1,圆心在第一象限，且与直线4x-3y=0和x釉都相切，则该圆

的标准方程是.

r2x-y-1<0

14.（5分）设x,y满足约束条件,x-y>0若目标函数z=ax+by（a>0,b>0）的最大

x》0.y〉0

值为1,则」+营的最小值为.

ab

15.(5分)给出定义：设F(x)是函数y=f(x)的导数，r(x)是函数F(x)的导数，若

方程〃(x)=0有实数解X),则称点(xo,f(xo))为函数y=f(x)的"拐点对于二次函数

f(X)=ax3+bx2+cx+d(aM),有如下真命题：任何一个二次函数都有位移的“拐点"，且该"拐

点"就是f(x)的对称中心，给定函数f(x)=」x3・」x2+3x-至，请你根据上面结论，计算f

3212

+f)+...+f(2015)=.

201620162016

三、解答题(共75分，应写出必要的计算过程、证明)

16.(12分)已知函数f(x)=2sinu)xcoswx+2sin2u)x-(io>0)的最小正周期是n.

(I)求函数f(x)的单调递增区间；

(II)将函数f(x)的图象向左平移弓个单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g(x)的

图象，求尸g(x)的解析式及其在［0,汇］上的值域.

2

17.(12分)在如图所示的几何体中，四边形ABED是矩形，四边形ADGC是梯形，ADJL平

面DEFG,EFIIDG,ZEDG=120°.

(I)证明：FGJ•平面ADF；

(n)求二面角A-CG-F的余弦值.

18.(12分)如图所示，近日我渔船编队在岛A周围海域作业，在岛A的南偏西20。方向有•

个海面观测站B,某时刻观测站发现有不明船只向我渔船编队靠近，现测得与B相距31海里

的C处有一艘海警船巡航，上级指示海警船沿北偏西40。方向，以40海里/小时的速度向岛A

直线航行以保护我渔船编队，30分钟后到达D处，此时观测站测得B,D间的距离为21海里.

(I)求sinzBDC的值；

(n)试问海警船再向前航行多少分钟方可到岛A?

B

31

19.（12分）已知数列{a“中，ai=l,an+i=———（nGN*）.

aj3

（I）求证：{2_+」是等比数列，并求{彻}的通项公式an；

42

（口）设bn=（3厂1）•上・an，记其前n项和为Tn，若不等式入<2n、Tn+n对一切n€N"

on

恒成立对一切nEN”恒成立，求人的取值范围.

22r~

20.（13分）已知椭圆C二+三=1（a>b>0）经过点D（2,0）,E（1,S）两点.

a2,b294

（1）求椭圆C的方程；

（2）若直线1：y=kx+m与椭圆C交于不同两点A,B,点G是线段AB的中点，点O为坐标

原点，设射线OG交椭圆C于点Q,且=入.

①证明:X2m2=4k2+1；

②求^AOB的面积S（入）的解析式，并计算S（入）的最大值.

21.（14分）已知函数f（x）=lnx,g（x）=ex.

（I）求函数y=f（x）-x的单调区间；

（n）证明：函数y=f（x）和y=g（x）在公共定义域内，g（x）-f（x）>2；

（DI）若存在两个实数xi，X2且Xi工X2，满足f（xi）=axi，f（X2）=ax2.求证：xix2>e2.

山东省淄博市2021届高考数学摸底试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题（每小题5分，共50分，每小题只有一个选项是正确的）

1.（5分）已知全集U二{0,1,2,3,4},集合A;{。，1,2,3},B={2,3,4）,那么Cu（AcB）

()

A.{0,B.(2,3)C.{0,I,4}D.{0,1,2,3,4}

考点：交、并、补集的混合运算.

分析：找出A与B的公共元素，求出两集合的交集，在全集中找出不属于交集的部分，即

可确定出所求的集合.

解答：解：・集合A={0,1,2,3},B={2,3,4},

AnB={2,3},

又全集U={0,I,2,3,4},

则Cu（AnB）={O,1,4；.

故选：C.

点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握交、并、补集的定义是解本题的关

键.

2.(5分)下列四个函数中，既是奇函数又在定义域上单调递增的是()

A.y=x+lB.y=x3C.y=tanxD.y=log2X

考点：函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明.

专题：计算题；函数的性质及应用.

分析：运用常见函数的奇偶性和定义，注意首先判断定义域是否关于原点对称，即可得到

既是奇函数又在定义域上单调递增的函数.

解答：解：对于A.定义域为为R,f(-x)=-x+l^-f(X),不为奇函数，则A不满足条

件；

对于B.定义域为R,f(-x)=-x3=-f(x),则为奇函数，且F(x)=3X2>0,f(x)在R

上递增，则B满足条件；

对于C.定义域为{x|xxkn+?LkGZ},关于原点对称，tan(-x)=-tanx,则为奇函数，在

2

(k冗-今，kn-Fy)(kGZ)上递增，则C不满足条件；

对于D.定义域为{x|x>0},不关于原点对称，不具奇偶性，则D不满足条件.

故选：B.

点评：本题考杳函数的奇偶性的判断，考查常见函数的奇偶性和定义的运用，考查运算能

力，属于基础题.

3.(5分)某算法的程序框图如图所示,如果输出的结果为26,则判断框内的条件应为()

[1X)mI

——㊀

.——_.|S=2S+K]

/输&S/

A.k<5?B.k>4?C.k>3?D.k<4?

考点：程序框图.

专题：算法和程序框图.

分析•：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作

用是利用循环计算S值并输出，模拟程序的运行过程，即可得到答案.

解答：解：程序在运行过程中，各变量的值变化如下所示：

S条件？K

循环前0/1

第1圈1否2

第2圈4否3

第3圈11否4

第4圈26是

可得，当k=4时，S=26.此时应该结束循环体并输出S的值为26

所以判断框应该填入的条件为：k>3?

故选：C.

点评：本题考查的知识点是程序框图，在写程序的运行结果时，模拟程序的运行过程是解

答此类问题最常用的办法，属于基础题.

4.(5分)若“「pvq〃是假命题，则()

A.p是假命题B.「q是假命题C.pvq是假命题D.pAq是假命题

考点：复合命题的真假.

专题：简易逻辑.

分析：由于“「pvq〃是假命题，可得一P与q都是假命题，即可判断出.

解答：解：••,"「pvq”是假命题，

・•.rp与q都是假命题，

•0.pAq是假命题.

故选：D.

点评：本题考杳了简易逻辑的判定方法，属于基础题.

5.(5分)已知向量二(2,1),+=(1,k2-1),则k=2是_1_的()

A.充分不必要条件B,必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系.

专题：平面向量及应用.

分析：根据向量垂直的充要条件，可知若J■则两个向量的数最积等于0,再用向量的数量积

的坐标公式计算即可.

解答：解：:,向量=(2,I),+=(1,k2-1),

E二(不T+E)-萨(-Lk?-2),

当k=2时，

b=(-T+b)-京(-1，2),

a・b=2x(-1)-1x2=0,

_L,

若果_L，

l-b=2X(-1)-IX(k2-2)=0

k=O.

.•.当1<=2是_1的充分不必要条件.

故选A.

点评：本题主要考查向量垂直的充要条件，以及向量的数量积的坐标运算公式.

6.（5分）沿一个正方体三个面的对角线截得几何体如居所示，则该几何体的侧视图为（）

考点：简单空间图形的三视图.

专题：空间位置关系与距离.

分析：沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体，它的侧视图首先应该是一个正方形，

中间的楂在侧视图中表现为一条对角线，分析对角线的方向，并逐一对照四个答案中的视图形

状，即可得到答案.

解答：解：由己知中几何体的直观图，

我们可得侧视图首先应该是一个正方形，故D不正确；

中间的棱在侧视图中表现为一条对角线，故C不正确；

而对角线的方向应该从左上到右下，故B不正确

故A选项正确.

故选：A.

点评：本题考查的知识点是简单空间图象的三视图，其中熟练掌握简单几何体的三视图的

形状是解答此类问题的关键.

7.（5分）在区间（。，—）上随机取一个数x,则事件〃tanxcosxN」〃发生的概率为（）

22

A.2B.1C.2D.N

3243

考点：几何概型.

专题：概率与统计.

分析：先化简不等式，确定满足lanx・cosx2」且在区间（0,—）内x的范围，根据几何概

22

型利用长度之比可得结论.

解答：解：:tanx・cosx2」，即sinx21且cosxwO,

22

•「xe（o,—）,

2

/.xe[—,2L）,

62

71__J£

在区间（o,2L）内,满足tanx・cosx21发生的概率为P=^

22工3

2

故选：D

点评：本题考查几何概型，三角函数的化简，考查学生的计算能力，属于中档题.

8.(5分)函数y="x-ex)sinx的图象(部分)大致是()

考点：函数的图象.

专题：函数的性质及应用.

分析：通过函数的奇偶性，排除部分选项，然后利用OVxVn时的函数值，判断即可.

解答:解：函数f(-x)=(e'x-ex)(-sinx)=(ex-e'x)sinx=f(x),

.•・函数f(x)=(ex+e.x)是偶函数，排除A、B：

当OVXVTI时，f(x)>0.排除D.

••.C满足题意.

故选：C.

点评：本题考查函数的图象的判断，一般通过函数的定义域、值域.单调性，奇偶性，变

化趋势等知识解答.

22

9.(5分)过双曲线C：与-的右顶点做x轴的垂线，与C的一条渐近线相交于点A,

ab

若以C的右焦点为圆心、*径为4的圆经过A,O两点(O为坐标原点)，则双曲线C的方程

为()

22222222

A.工--=1B.工・2_=1C.工・—1D.工-"1

4127988124

考点：双曲线的简单性质.

专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程.

分析：由题意，c=4,双曲线的一条渐近线方程为丫=也方求出A的坐标，利用右焦点F(4,

0),|FA|=4,可求a,b,即可得出双曲线的方程.

解答：解：由题意，c=4,双曲线的一条渐近线方程为广也曾

令x=a,则y=b,即A(a,b),

右焦点F(4,0),|FA|=4,

/.(a-4)2+b2=16,

，/a2+b2=J6,

a=2»b=2,

22

.••双曲线C的方程为旦-"1.

412

故选：A.

点评：本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，属于基础题.

10.(5分)已知定义在R上的函数f(x)的导函数f(x),满足「(x)<f(x),f(2+x)=f

(2-x),f(4)=1,则不等式f(x)Ue*的解集为()

A.(-2,+8)B.(0,+8)C.(1,+°°)D.(4,+8)

考点：利用导数研究函数的单调性；导数的运算.

专题：计算题；函数的性质及应用；导数的综合应用.

分析：由题意知，f(0)=L再令g(x)=f'(x')(XER),从而求导gXx)=-f—/(x)—-f匚(上x)一

eeX

<0,从而可判断产g(x)单调递减，从而可得到不等式的解集.

解答：解：7f(2+x)=f(2-x),

/.f(4)=f(0)=1；

工/、f(x),f、加，/、f'(x)-f(x)

设g(x)------X--(xGR),贝ijg，(x)-----------X--------,

ee

又二f(x)<f(x),

f(x)-f(x)<0,

g'(x)<0；

>,.y=g(x)单调递减，

而当x=0时，g(0)二手(；)=1;

eu

故当x>0时，g(x)<1,当xVO时，g(x)>1,

故当x>0时，有f(x)<ex；

故不等式的解集为(0,+8),

故选：B.

点评：本题考查了导数的综合应用及函数的性质的应用，属于中档题.

二、填空题(每小题5分，共25分)

11.(5分)在等差数列｛而｝中，ai5=33,a25=66,则a35=22.

考点：等差数列的通项公式.

专题：计算题：等差数列与等比数列.

分析•：由等差数列的性质可知，aba25,a35成等差数列，结合已知可求

解答：解：由等差数列的性质可知，asa25,a35成等差数列

2a25=ai5+a35

ai5=33»325=66»

a35=2x66-33=99.

故答案为：99

点评：本题主要考杳了等差数列的性质的简单应用，属于基础试题

12.（5分）将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得BD=a,则三棱锥D-ABC

的体积是返3.

12a

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积.

专题：计算题.

分析：如图，由正方形的性质可以求得其对角线长度是a,折起后的图形中，DE=BE=®,

2

又知BD=a,由此三角形BDE三边己知，求出/BED,解出三角形BDE的面积，又可证得三

棱锥D・ABC的体积可看作面BDE为底，高分别为AE,AC的两个棱锥的体积和

解答：解：如图，由题意知DE=BE=Y1I,BD=a

2

由勾股定理可证得/BED=90°

故三角形BDE面积是2a2

4

乂正方形的对角线互相垂直，且翻折后，AC与DE,BE仍然垂直，故AE,CE分别是以面

BDE为底的两个三角形的高

故三棱锥D-ABC的体积为IxaxJzaJ返&3

3412

故答案为：县d

12

点评：本题考查棱柱、棱锥、棱台的体积，解题的关键是正确理解图形，将求几何体体积

变为求两个几何体的体积，换一个角度求解，使得解题过程变得容易.

13.（5分）若圆C的半径为1,圆心在第一象限，且与直线4x-3y=0和x轴都相切，则该圆

的标准方程是（x-2）2+1Y-|）2n.

考点：圆的标准方程；圆的切线方程.

专题：计算题.

分析：依据条件确定圆心纵坐标为1,又已知半径是L通过与直线4x-3y=0相切，圆心

到直线的距离等于半径求出圆心横坐标，写出圆的标准方程.

解答：解：二•圆C的半径为1,圆心在第一象限，且与直线4x・3尸0和x轴都相切，

「•半径是1,圆心的纵坐标也是I,设圆心坐标(a,1),

则,又a>0,/.a=2,

5

•••该圆的标准方程是(X・2)2+(y・l)2=］；

故答案为(x-2)2+(y-I)2=l.

点评：本题考查利用圆的切线方程求参数，圆的标准方程求法.

r2x-y-1<0

14.(5分)设x,y满足约束条件,x-y>0若目标函数z=ax+by(a>0,b>0)的最大

x〉0.y〉0

值为1,则1+3l勺最小值为9.

ab

考点：简单线性规划.

专题：不等式的解法及应用.

分析•：作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识先求出a,b的关系，然后利用基

本不等式求工+目的最小值.

ab

解答：解：由z=ax+by(a>0,b>0)得y=一(乂”，

作出可行域如图：

,/a>0,b>0,

了.直线y=-3乂二的斜率为负，且截距最大时，Z也最大.

bb

平移直线丫=-且x「，由图象可知当y:-且乂-经过点A时，

bbbb

直线的截距最大，此时z也最大.

2x-y_1=0宇一1

由|,解得|I,即A(1,1).

x-y=0y=l

此时目标函数的最大值为I即z=a+b=l,

贝武+工(1+J)(a+b)=1+4+上+生》5+2、但在=5+4=9,

abababyab

当且仅当且生，即b=2a=』时，取等号，

ab2

故1+9的最小值为9,

ab

故答案为：9.

点评：本题主要考查线性规划的应用以及基本不等式的应用，利用数形结合是解决线性规

划题目的常用方法.

15.(5分)给出定义：设F(x)是函数y=f(X)的导数，r(x)是函数F(x)的导数，若

方程F(x)=0有实数解xo,则称点(xo,f(xo))为函数y=f(x)的"拐点对于二次函数

f(x)=ax3+bx2+cx+d(a*0),有如下真命题：任何一个二次函数都有位移的“拐点”,且该“拐

点〃就是f(x)的对称中心，给定函数f(X)=lx3-1X2+3X--1,请你根据上面结论，计算f

3212

(二+f(，-)+…+f(空至)=2021.

201620162016-

考点：导数的运算；函数的值.

专题：导数的概念及应用.

分析：由题意对已知函数求两次导数可得图象关于点(［，1)对称，即f(x)+f(1-x)

2

=2,即可得到结论.

解答：解：函数的导数f(x)=X2-X+3,

r(x)=2x-1,

由『(xo)=0得2xo-1=0

解得xo=—»而f(1)=1.

22

故函数f(x)关于点(［，1)对称，

2

f(x)+f(1-x)=2,

故f(二一)+f(二一)+...+f(空至)=2xl007+f(1)=2021+1=2021.

2016201620162

故答案为：2021.

点评：本题主要考查导数的基本运算，利用条件求出函数的对称中心是解决本题的关键.

三、解答题(共75分，应写出必要的计算过程、证明)

16.(12分)己知函数f(X)=2sinu)xcosu)x+2sin2u)x-(a)>0)的最小正周期是n.

(I)求函数f(X)的单调递增区间；

<n)将函数f(x)的图象向左平移二•个单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g(x)的

3

图象，求产g(x)的解析式及其在［0,汇］上的值域.

2

考点：三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象；函数y=Asin(u)x+4))的图象变换.

专题：三角函数的求值.

分析：(I)利用二倍角三角函数公式和辅助角公式化简，化简函数的解析式，再由三角

函数的周期公式求出3,求出函数的解析式，利用正弦函数的单调区间公式，即可得到单调递

增区间；

(II)根据函数图象平移的公式，得出函数g(x)的解析式，求出函数的相位的范围，利用正

弦函数的值域求解即可.

解答：解：(I)由题意，得

函数f(x)=2sin(joxcosu)x+2sin2u)x-=sin2u)x-cos2u)x=2sin(2u)x--),函数f(x)u)>0的

3

最小正周期是ii,

...u)=l.

/.f(x)=2sin(2x-—).

3

由--+2kn<2x-2L<2L+2kn,kGZ,

232

解得k冗一:<x<k兀k£Z.

・•・函数f(x)的单调递增区间：［kn-—,k兀+至工］，kez.

1212

(ID将函数f(x)的图象向左平移二个单位，再向上平移1个单位，

3

得到函数产g(x)=2sin(2x+—)+1.

3

vxe［0,今，

2x+—e［2L,12L］,

333

当2x+E=?£时，即x=Zll寸，函数取得最大值：3.

3212

当2x+E=92E时，即x=E时，函数取得最小值：1一加.

332

/.y=g(x)在［0,汇］上的值域为［1-加，3］.

2

点评：本题考杳两角和与差的三角函数，辅助角公式的应用，三角函数的单调区间以及三

角函数的最值的求法，考查计算能力.

17.(12分)在如图所示的几何体中，四边形ABED是矩形，四边形ADGC是梯形，ADJ^'F

面DEFG,EFIIDG,ZEDG=120°.

(I)证明：FGJ■平面ADF；

(口)求二面角A-CG-F的余弦值.

考点:二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定.

专题:空间位置关系与距离.

分析:(I)WDG的中点M,连结FM,由已知得四边形DEFM是平行四边形，从而FG_LDF,

由此能证明FGJ•面ADF.

(H)取EF的中点H,连结DH,以D为原点，DH为x轴，DG为y轴，DA为z轴，建立

空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A-CG-F的余弦值.

解答：(I)证明：取DG的中点M,连结FM,贝ijEF=DM,

---EFIIDG,四边形DEFM是平行四边形，

/.MF=DE=」DG=1,

2

△DFG是直角三角形，..FG±DF,

又ADu平面ADF,DFu平面ADF,ADnDF=D,

/.FGJ■面ADF.

(H)解：取EF的中点H,连结DH,由(1)知DH_LEF,

又EFIIDG,二DH±DG,

又ADJ_平面DEFG,.•.AD_LDH,AD±DG,

以D为原点，DH为x轴，DG为y轴，DA为z轴］,

建立空间直角坐标系，

则D(0,0,0),F(近，1，0),G(0,2,0),

22

C(0,1,1),=(■亚,2,0),=(0,-1,1),

22

设平面FGC的法向量二(x,y,z),

。而二-夸x《y=0

则，取x=,得二(V3，1，1),

n-GC=-jH-z=0

又平面ACG的法向量二(1,0,0),

V15

n|•IIDI

•・.二面角A-CG-F的余弦值为亚.

5

点评：采题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题,

注意空间思维能力的培养.

18.（12分）如图所示，近日我渔船编队在岛A周围海域作业，在岛A的南偏西20。方向有一

个海面观测站B,某时刻观测站发现有不明船只向我渔船编队靠近，现测得与B相距31海里

的C处有一艘海警船巡航，上级指示海警船沿北偏西40。方向，以40海里/小时的速度向岛A

直线航行以保护我渔船编队，30分钟后到达D处，此时观测站测得B,D间的距离为21海里.

（I）求sinzBDC的值；

（H）试问海警船再向前航行多少分钟方可到岛A?

考点：解三角形的实际应用.

专题：应用题；解三角形.

分析：（I）由已知可得CD=20,△BDC中，根据余弦定理求得coszBDC的值，再利

用同角三角函数的基本关系求得sin/BDC的值.

（H）由已知可得NBAD=60。,由此可得sin/ABD=sin（/BDC-60。）的值，再由正弦定理

求得AD的值，由此求得海警船到达A的时间.

解答：解：（I）由已知可得CD=40xl=20,

2

△BDC中，根据余弦定理求得coszBDC=212+202312=_1，

2X21X207

/.sinzBDC=-^1.

7

(n)由已知可得NBAD=20°+40°=60°,

sinzABD=sin(ZBDC-60°)=."3(』x返园1

727214

△ABD中，由正弦定理可得AD=BDXsi?/ABD=21Xsi?NABD=5

sinZBADsin/BAD

t=l1x60=22-5分钟.

即海警船再向前航行22.5分钟即可到达岛A.

点评：本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，同角三角函数的基本关系的应用，两角

和差的正弦公式公式的应用，属于中档题.

a

19.（12分）己知数列｛&[｝中，ai=l,an+i=———（n6N*）.

%+3

（I）求证：｛2+1｝是等比数列，并求｛an）的通项公式an；

an2

（n）设加=（3n-1）・工间，记其前n项和为％若不等式2T%V2"iTn+n对一

2n

恒成立对一切n£N*恒成立，求人的取值范围.

考点：数列与不等式的综合：数列的求和；等比数列的性质.

专题：等差数列与等比数列.

分析：（I）由已知得1+：-3（」-卓），由此能证明｛工工是以卫为首项，3为公比

an+l2an2an22

的等比数列，从而得到an=_.

3n-l

（H）由卜尸（3n-1）•工・即=」~；,利用错位相减法能求出丁产4■上士,由此能求出不

2n2n-12n-1

等式2n7入＜2-1心+11对一切n£N*恒成立的人的取值范围.

解答：(I)证明：...数列｛aQ中，ai=l,an+i=^-(nWN*),

%+3

（°J）,

a.2an2

又」-+工/，.•・｛'十」是以2为首项，3为公比的等比数列,

力22an22

an222

2

•-3n='

3n-l

(II)解：•・・、=(3n-1)•工・a『门，，

2n2n-1

•••Tn=1x4;+2X^+3X^S--+nX-^-r»①

2°2222n1

4T；lxJ+2x2+3X%・・+nXj②

n23n

22222

①-②，得凯小…+舟

1」

2nn

2n

=2.些，

2n

Tn=4-上与,

2n-1

•••不等式2n.i入对•切ntN*恒成立,

・•.X<T4_J对一切n€N*恒成立，

n2n-1

「•X<4~二~^对一切n€N*恒成立，

2n一2

设g(n)=4一^^,则g(n)是递增函数，

2n-2

.,.入Vg(1)=2..•.入V2.

点评：本题考查等比数列的证明，考查数列的通项公式的求法，考查实数的取值范围的求

法，解题时要注意错位相减法的合理运用.

20.(13分)己知椭圆C：^-+^-=1(a>b>0)经过点D(2,0),E(1,立)两点.

a2,b2,9

(1)求椭圆C的方程：

(2)若直线I：y=kx+m与椭圆C交于不同两点A,B,点G是线段AB的中点，点O为坐标

原点,设射线OG交椭圆C于点Q,且二人.

①证明：X2m2=4k2+1；

②求AAOB的面积S(入)的解析式，并计算S(入)的最大值.

考点：直线与圆锥曲线的综合问题.

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题.

a

分析：(I)由已知得，［_,由此能求出椭圆方程.

1a0.

y=kx+in，口o°

(2)①令A(xi，yi),B(X2,y2)，由<门，得(l+4k2)x2+8kmx+4m92-4=0,由

lx2+4y2=4

此利用根的判别式、韦达定理、中点坐标公式、向量知识，结合已知条件能证明人2m2=42+1.

4m2-4_M+4k2-

2

②由|xi-x2|=J(-㈣)-4X-'SAAOB^I^IIX1-X2卜

Vl+4k2l+4k2l+4k2

得s(X)二2』|八：『加2_2'入入＞],由此利用换元法能求出当入?次时，s

入2nl2入2r

2｛入2_i

(入)取得最大值1.

入2

•.・椭圆C：M+E=l(a>b>0)经过点D(2,0),E(1,立)两点,

解答:(I)解:

2i29

ab4

4a=1

3

+=1

Aa4b2

解得a=2,b=l>

2

椭圆方程为Y+y2=1,

(2)①证明：令A(xi,yi),B(X2»y2),

y=kx+m

由，消去y,得(l+4k2)x2+8kiiix+4m2-4=0,

z

x+4y^=4

△=(8km)2-4(l+4k2)(4m2-4)>0\n2<l+4k2

-8km-8km

x1+x2~2X[+XQ

2

l+4k，即fl+4k,

4m2-44ID2-4

XJ2二------2x〔X2二------7

l+4k2l+4k2

,、八k(-8km)2m

•'­yi+y2=kz(X|+X2)+2m=------------+2rr------«

l+4kzl+4k2

又由中点坐标公式，得G1二

1+4芦1+41?

根据了二人瓦，得Q「冷，

1+4l+4k2

/I32122

4人kin入2都

将其代入椭圆方程，有I,

(l+4k2)2(l+4k2)2

化简得:X2m2=4k2+1.

②解：由①得mxO,入＞1,

•••lx.-X2|=J(卓)2yx细二弛延*

Vl+4k2l+4k2l+4kz

在“OB中，SAA0B^|m||xj-x2p

2

.(_2|mW_21n2一ID27入2—1

人＞1,

)22

NID

令2—1=t，l＞0,

则S-4t_\v_^==](当且仅当1=1时，即入王八时取“二〃)

t?+l旧2V1

当入时，S(X)=2取得最大值,其最大值为i.

入2

点评：本题考查椭圆C的方程的求法，考查入2m2=41?+1的证明，考查AAOB的面积S(X)

的解析式的求法，考查S(X)的最大值的计算，解题时要注意根的判别式、韦达定理、中点

坐标公式、向量知识的合理运用.

21.(14分)已知函数f(x)=lnx»g(x)=ex.

(I)求困数y=f(x)-x的单调区间；

(n)证明：函数产f(x)和y=g(x)在公共定义域内，g(x)-f(x)>2；

(HI)若存在两个实数xi，X2且XIHX2，满足f(XI)=aX|,f(X2)=3X2.求证：X|X2>e2.

考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性.

专题：计算题；证明题；函数的性质及应用；导数的综合应用.

分析：(I)函数产f(x)・x的定义域为(0,+8),再求导y=1・1,从而确定函数的

X

单调区间；

(II)先求函数y=f(x)和y=g(x)的公共定义域，从而化简g(x)-f(x)=ex-lnx=(ex

-x)-(Inx-x),从而设m(x)=ex-x,设n(x)=lnx-x,从而证明.

Inxi-lnx9Q

(HI)不妨设xi>x2>0,从而可得Inxi+lnx2=a(xi+x2);从而可得a=------------------->-----------；

X]-x2X[+X?

令h(t)=1nt-2(Ll)(t>l)：从而利用导数证明.

t+1

解答：解：(I)函数y=f(x)-x的定义域为(0,+-),

故当XE(o,i)时，/>o,当xe(h+8)时，/<o,

故函数y=f(x)・x的单调增区间为(0,1),单调减区间为(1,+8)：

(U)证明：函数尸f(x)和y=g(x)的公共定义域为(0,+8),

g(x)-f(x)=ex-lnx=(ex-x)-(Inx-x),

设m(x)=ex-x,则nV(x)=ex-l>0,则m(x)在(0,+00)上单调递增,

故m(x)>m(0)=1；

设n(x)=lnx-x,则n'(x)—-1,当x=l时有极大值点，

x

n(x)<n(1)=-1：

故g(x)-f(x)=m(x)-n(x)>2；

故函数y=f(x)和y=g(x)在公共定义域内，g(x)-f(x)>2.

(HI)证明：不妨设X]>X2>0,由题意得，

lnxi=axi,Inx2=ax2;

月〒以lnxi+lnx2=a(xi+\2)>Inxi-lnx2=a(xi-X2);

而要证xiX2>e2,

只需证明lnxi+lnx2>2；

即证明a(xi+X2)>2；

Inxi一In