高考数学选填压轴题型第21讲导数中的参数问题专题练习(原卷版+解析)

第21讲导数中的参数问题

【方法综述】

导数中的参数问题主要指的是形如“已知不等式恒成立、存在性、方程的根、零点等条件，求解参数

的取值或取值范围”.这类问题在近几年的高考中，或多或少都有在压轴选填题或解答题中出现，属于压轴

常见题型。而要解决这类型的题目的关键.，突破口在于如。何处理参数，本专题主要介绍分离参数法、分类

讨论法及变换主元法等，从而解决常见的导数中的参数问题。

【解答策略】

一.分离参数法

分离参数法是处理参数问题中最常见的•种.手段，是把参数和自变量进行分离，分离到等式或不等式

的西边（当然部分题目半分离也是可以的），从而消除参数的影响，把含参问题转化为不含参数的最值、单

调性、零点等问题，当然使用这种方法的前提是.可以进行自变量和参数的分离.

1.形如0'（x）=g（x）或/（其中符号确定）

该类题型，我们可以把参数和自变量进行完全分离，从而把含参数问题转化为不含参数的最值、单调性或

图像问题.

12eI

例1.已知函数/（外二一/一一/+—益^+工一工皿工在（0,+oo）上单调递增，则实数a的取值范围是

432

A.[匕2+」，十8）B.（0,e]C.12-e——y,+8）D.[2€?-1,-KO）

ee~

【来源】广东省茂名市五校2020-2021学年高三上学期第一次（10月）联考数学（理）试题

【举一反三】

1.（2020•宣威市第五中学高三（理））若函数/（可.与g（"满足：存在实数，，使得/（1）=g'。），则称函

数g"）为/（x）的“友导”函数•已知函数g（x）=；^2—x+3为函数=五的，，友导”函数，则2

的最小值为（）

15

A.—B.IC.2D.一

22

ainx-x2-2（x>0）

2.（2020•广东中山纪念中学高三月考）若函数=|1/、的最大值为了（—1）,则实数。

x+—+a[x<0）

的取值范围为（）

A.[0,2e2]B.0,2/C.(0,2e2'D.(0,2e1

YF[-121丫+工^一比＜0k

3.（2020湖南省永州市高三）若存在"u।L使得"年成立，则实数的取值范围是（）

(-00,-1]B.（一巳+8）

D.F+⑹

C.

2.形如/（工,4）=g（x）或4（x）＜g（x）（其中是关于X一次函数）

该类题型中，参数与自变量可以半分离，等式或不等式一边是含有参数的一次函数，参数对一次函数图像

的影响是比较容易分析的，故而再利用数形结合思想就很容易解决该类题目了.

[ft2]已知函数/（X）J”工卜1有两个零点a、b,且存在唯一的整数不£（。力），则实数，”的取

值范围是（）

ln2e\n3ee

A.B.C.D.。屿

丁54）

【举一反三】

1.（2020.重庆市第三十七中学校高三（理））已知函数/（工）=-丁+3/一以一2。，若刚好有两个正整数

=1,2）使得/（七）＞0,则实数。的取值范围是（）

A・一[叼2、B.((0?2

D.

2（2020济宁市高三模拟）已知当”€（L+8）时，关于戈的方程”“、.。-。".。"。有唯一实数解，则。

所在的区间是（）

A.（3,4）B.（4,5）C.（5,6）D.（6.7）

3.（2020蚌埠市高三）定义在（0'+9上的函数f（%•足矿。）=1+3且〃1）=2,不等式

作）29+1）”+1有解，则正实数。的取值范围是（）

A（0，®B©怩C（°亡D（%）

二.分类讨论法

分类讨论法是指通过分析参数对函数相应性质的影响，然后划分情况进行相应分析•，解决问题的方法,

该类方法的关键是找到讨论的依据或分类的情况，该方法■-般在分离参数法无法解决问题的情况下，才考

虑采用，常见的有二次型和指对数型讨论.

1.二次型根的分布或不等式解集讨论

该类题型在进行求解过程，关键步骤出现求解含参数二次不等式或二次方程，可以依次考虑依次根据

对应定性（若二次项系数含参），开口，判别式“两根的大小（或跟固定区间的端点比较）为讨论的依据，

进行分类讨论，然后做出简图即可解决.

【例3】（2020.全国高三专题）函数/（同二卜2-3）/,关于“的方程/（x）一时（"+1=0恰有四个不

同实数根，则正数〃？的取值范围为（）

A.（0,2）B.（2,+oc）C.0.—+—D.—+—,+co

〈e0jyeo/

【举一反三】

InV

1.12020•湖南衡阳市一中高三月考（理））已知函数/0）二入，以外二——，若关于x的方程/（x）=g（x）

X

在区间内有两个实数解.，则实数上的取值范围是（）

e

A.）B.（―,—]C.（0,—）D.（-,+oo）

夕2e2eeee

2.（2020扬州中学高三模拟）已知函数"为=-有两个不同的极值点打，“2,若不等式

'>f（M）+八孙：恒成立，则实数”的取值范围是.

2.指数对数型解集或根的讨论

该类题型在进行求解过程，关键步骤出现求解含参指对数型不等式或方程，可以依次考虑依次根据对

应指对数方程的根大小（或与固定区间端点的大小）为讨论的依据，进行分类讨论.

即可解决.

【例4】（2020•泉州模拟）已知函数/（x）若存在加（・1,1）,使得关于x的不等式/（x）

-A20恒成立，则k的取值范围为（）

A.（…，-1]B.（-oo,-1）C.（…，0]D.（…，0）

【举一反三】

1.函数“力=(工_1)/_丘2[建匕/J，则/(力在[0用的最大值〃(2)=()

A.21n2-2-(ln2)B.-1C.21n2-2-(ln2)~ZD.(k-l)e"-k，

2.(202。浙江省杭州第二中学高三期中)已知函数/(x)的图象在点伍,为)处的切线为/：y=g(x),若

函数/(“满足Vxs/(其中/为函数/(X)的定义域，当工立％时，[/(x)—g(x)](x-%)>0恒成立,

则称/为函数/(X)的“转折点”，已知函数"X)=ex-^cix2-2%在区间[0,1]上存在一个“转折点”，则。

的取值范围是

A.[0,e]B.[l,e]C.[l,+oo]D.(-co,e]

【强化训练】

1.(2020・重庆南升中学高三)已知函数〃x)=lnx+L+。，/'*)是/*)的导函数，若关十x的方程

x

(x+l)/'(x)=/(x)有两个不等的根，则实数4的取值范围是■)

C.18,；一ln2D.(0,：一ln2

A.B.0,--ln2

2.(2019・重庆万州外国语学校天子湖校区高三开学考试(理))对于任意的正实数x,y都有

(2X-2)E£W二成立，则实数m的取值范围为

exme

A.(—,1]B.(—,1]C.(—,e]D.(0」

ee~ee

3.当xNO时，含2〃ln(x+l)恒成立，则。的取值范围为()

(]]

A.(-oo,l]B.(-co,e]C,-co,-I).(-co,0]

4.(2020四川省成都外国语学校)已知函数八幻="("一心)恰好有两个极值点则。的取

值范围是()

(呜)(0,1)&1)D&+8)

TT7F

5.(2020•天津耀华中学高三月考)若函数/*)=dinx+〃cosx)在(7,万)上单调递增，则实数。的取

值范围是()

A.(~co,l]B.(-co,l)C.[1,-KC)D.(l,+oo)

.邛…VO)Q

6.(2020高三第一次全国大联考)若函数Glnx-Q(x)(n恰有三个零点，则Q的取值范围为()

[一±0]0,-[0,i]一

A.eB.(*)C.eD.(e)

7.(2020•重庆巴蜀中学高三期末)已知关于X的不等式加('-2")2+1./在(TO,0]上恒成立,则实数相

的取值范围是()

A.一g，+8B.[0,-KO)C.；，+00)D.[1,4-co)

8.(2020・南昌具莲塘第一中学高三期末(理))已知函数/(x)=lnx+ad+(2+〃)HavO),

g(x)=；—2,对任意的/w(O,2],关于x的方程/("=8(%)在(0,a上有实数根，则实数。的取值

e

范围为()(其中e=2.7182B...为自然对数的底数).

■]A(1]

A.——,0B.-oo,——C.[-e,0)D.(-oo,-e]

_e)Ie」

9.(2020广州模拟〉已知函数‘(")=e国一ax2,对任意“1<°」2<0,都有。2-4)(/(必)-f(/))<o,

则实数&的取值范围是《)

(-00i；(-00,-f：[0,f][-5.0]

A.B.C.D.

10.(2020・重庆一中高三期末)定义在R上且周期为4的函数/(x)满足：当戈式一1,3)时，

711

__]<(<o

/(-v)=H2J，__，若在区间[0,4]上函数g(x)=〃H-依一1恰有三个不同的零点，则实数。的

lnx+2,0<x<3

取值范围是()

\11仆】3+1八L1](1口3+11

A.0,-U------,1B.0,-U------,1

_4I3)_3_I3)

M3+10-uln3+l

C.(),-uD.,2

4亍3亍

3-lnxxS1

/«）=2若不等式/（”）之12%一口对任意

11.（2020重庆市南开模拟）已知函数-4X+6,X>1

”'（。，+8）上恒成立，则实数G的取值范围为（）

3--,3

[3,3+ln5,[3,4+ln2：D.25]

A.DR..r

ax1-av+l,x<]

12.（2020•广东高三（理））已知函数f（x）=（aeR）,若函数〃力有四个零点，则

x-a\nx,x>l

a的取值范围是（）

D.(4,e2)

A.(-oo,0)B.(e,+oo)C.(4,-KO)

13.若对任意的xi,X,G[-2,0),A-,<x2,恒成立，则。的最小值为（）

3211

A,-7B---c.--D.——

e-e

【来源】安徽省芜湖市芜湖县一中2020届高三下学期仿真模拟理科数学试题

14.若函数/(X)=gcos2x+3〃(sin_r+cos_r)+(2a-l)x在0,71

~2上单调递减，则实数。的取值范围为

A.-4B.,1,1

11

C.-CO,——u[l,+ocD.(-oo,-l]U一，十8

5)5

15.已知函数/（x）=（x-3）e'+Q（21n工-x+1）在（1,一）上有两个极值点，且/（%）在。,2）上单调递增,

则实数。的取值范围是

A.(e,-H»)B.(e,2e2)

C.(2e2,+oo)D.(e,2e2)U(2e2,+oo)

【来源】黑龙江省大庆实验中学2020届高三综合训练（五）数学（文）试题

16.若函数/•（幻=伫吧在区间（四,？）上单调递增，则实数〃的取值范围是

cosx63

A.(-oo,2)B.(-1,2]C.[2,+8)D.(2,+oo)

17.设上若存在正实数X,使得不等式log,x-h2心TNO成立，则攵的最大值为（）

1In2In2

A.-------B.——C.——D.——

e\n2In22

【来源】四川省雅女巾2U21届高三三摸数学（理）试题

18.在关于的不等式e2f—“衿'+4e2）x+t/ev+4e2>0（其中e=2.71828…为自然对数的底数）的解集中,

有且仅有一个大于2的整数，则实数的取值范围为（）

141r16494、

A.也B.C.D.

57'反一413//

【来源】四川省攀枝花市2021届高三一模考试数学（理）试题

19.若曲线/"）=々111+（。+1）工2+13£我）在点（1,/（1））处的切线与直线7%十丁-2=0平行，且对

任意的外,£€（0,”）,戈1工工2，不等式|/（七）一/（工2）|>加归一回恒成立，则实数m的最大值为（）

A.GB.2&C.46D.5G

【来源】安徽省安庆市2021届高三下学期二模文科数学试题

20.已知函数/（x）=以/一己尢3—以一2（«>0）,若函数y—/（x）与y一/（/（力）有相同的最小值，则

a的最大值为（）.

A.1B.2C.3D.4

X..

--------1,X>1

21.已知函数/*）=（Inx,若函数尸(%)=/(%)+(1-2a)/(x)+l恰有5个零点,则实

—x~—2x+5,x<l

数。的取值范围是（)

7竺、37(3431)

A.B.C.D.—00,------

，y2J

412>254Cin

【来源】湖南省常德市2021届高三下学期•模数学试题

22.已知函数/（力=。2炉+工一21标（°>1）,g（x）=-e*-2Inx,若/（x）的图象与g（x）的图象在

U,+o。）上恰有两对关于x轴对称的点，则实数。的取值范围是（）

A.惇+8

B.[x/^,4-00)

【来源】山西省太原市2021届高三二模数学（理）试题

23.已知函数〃%）=见土，若尸⑴-〃矿仅有3个整数解，则实数〃?的取值范围是（）

X

In5,In2,、In5,In2

A.(―--1,---1)B.

JJJJ

_ln5,In2「ln5।In2八

C.r--1]D.[r―--1,---1)

J4

x2

24.已知/（x）=^e--2f（lnx+x+±）恰有一个极值点为1,贝/的取值范围是（）

XX

e

A.B.

6

/1,

C.吟吟.D.E/

二、填空题

25.（2020河北省沧州市模拟）直线y="与曲线y=“2有两个公共点，则实数0的取值范围足.

26.（2020・四川高三期末（理））已知当xtR时，均有不等式（。"一2）（。/+元”0成立，则实数〃的取

值范围为.

27.（2020.广东金山中学高三期末（理））已知函数/（"=|一':九，'>1,若函数）,二/（"一〃（工一1）恰

1-r,x<1

有三个零点，则实数。的取值范围是.

28.（2020・江苏高三模拟）已知关于x的不等式*-4-1）,+/<0有且仅有三个整数解，则实数人的取

值范围是.

1

29.（2020・四川绵阳中学高三（理））若函数/（犬）=2厂7+〃2。11工-工）一R有且仅有I个零点，则实数〃，的

取值范围为.

30.（2020.吉林高三（理））已知函数/（x）=av2-2x+lnx有两个不同的极值点.看,且不等式

/（内）+/（々）〈王+/+‘恒成立，则,的取值范围是

第21讲导数中的参数问题

【方法综述】

导数中的参数问题主要指的是形如“己知不等式恒成立、存在性、方程的根、零点等条件，求解参数

的取值或取值范围”.这类问题在近几年的高考中，或多或少都有在压轴选填题或解答题中出现，属于压轴

常见题型。而要解决这类型的题目的关键.，突破口在于如.何处理参数，本专题主要介绍分离参数法、分类

讨论法及变换主元法等，从而解决常见的导数中的参数问题。

【解答策略】

一.分离参数法

分离参数法是处理参数问题中最常见的一种.手段，是把参数和自变量进行分离，分离到等式或不等式

的两边(当然部分题目半分离也是可以的)，从而消除参数的影响，把含参问题转化为不含参数的最值、单

调性、零点等问题，当然使用这种方法的前提是.可以进行自变量和参数的分离.

1.形如=或g(x)(其中/(力符号确定)

该类题型，我们可以把参数和自变量进行完全分离，从而把含参数问题转化为不含参数的最值、单调性或

图像问题.

例I.已知函数一年丁+3以2+x—xinx在(0,十2)上单调递增，则实数。的取值范围是

A.[e2+-,+cc)B.(0,e]C.[2-e--U+00)D.[2e-l,+oo)

ee~

【来源】广东省茂名市五校2020-2021学年高三上学期第一次30月)联考数学(理)试题

【答案】A

【解析】f\x)=x3-2ex2+0¥-1。工20在(0,心)上恒成立0a>+2ex-x2,

x

MX/2，/、1-Inx+2(e—x)x~

设p")x=——+2ex-x,p\x)=----------------,

XX

当0<R<e时，p'(x)>0；当时，p\x)<0；

P(x)在(0,e)单调递增，在(e9+co)单调递减,

/.p(x)<p(e)=/+■!,〃2/+J_

故选：A.

【举一反三】

1.(2020.宣威市第五中学高三(理))若函数/(X)与g(.E)满足：存在实数/,使得〃/)=g'。)，则称函

数g(戈)为/(X)的“友导”函数.已知函数g(x)=J小-1+3为函数/(x)=x2]nx+式的“友导”函数，则4

的最小值为()

15

A.-B.IC.2D.-

22

【答案】C

【解析】=由题意，g(x)为函数/*)的“友导”函数，即方程Yinx+xu米-l有解，故

,,1।

K=xlnx+—+1,

X

11r2-1

记p(x)=xlnx+—+1,则p\x)=1+Inx——=———+lnx,

x7

当上>1时，一「>0,lnx>0,故"(x)〉0,故P(x)递增；

厂

Y2-1

当Ovxcl时，一「<(),InxvO,故"(x)<0,故p(x)递减，

X-

故p*)Np(l)-2,故由方程〃二八1|1工十工十|有解，得4之2,所以A的最小值为2.故选：C.

x

tzlnx-x2-2(x>0)

2.12020•广东中山纪念中学高三月考)若函数/(x)=|1/、的最大值为了(一1),则实数。

x+—+4(X<0)

的取值范围为()

A.[0,2e2]B.[0,2eJ]C.(0,2e2]D.(0,2e3]

【答案】B

【解析】由/(-1)=-2+。，可得4法一丁一2〈一2+〃在x>0恒成立，

即为a(1-hix)>-x2,

当工=e时，0>一？2显然成立；

x2

当(KxVe时，有1-lnxX),可得〃之一一,

htx-1

设g(x)=QVxVe,

lnx-\

2x(bu-l)-xx(2/nx-3)

g'(x)=，由0<x<e时，21nx<2<3,则g'(x)<0,g(#在(0,e)递

(限一1)2(打x-1)?

减，且g（x）<0,

可得。之（）；

当A>e时，有1一/nr〈0，可得〃工一一

lnx-\

2

设g(x)=7^-T、A(2//U-3)

Irvc-l

由时，g<"）VO,g"）在（°,el）递减，

/3\

由时，g'（X）>0,8。）在X〃，+8递增，

\/

即有g（x）在x=%处取得极小值，且为最小值223，

可得442/,

综上可得0«〃工2/.故选B.

YPaJ~~廿<°k

3.（2020湖南省永州市高三）若存在&勺21，使得X+叶~犷成立，则实数"的取值范围是（）

.（-00.-1]R（一巳+8）

a・15.

「（…占+8）（-L+8：

L・U•

【答案】I）

【解析】

原不等式等价于："弱?"犷？》、

t=2vF[-171k>t+—

令「则存在〔’），使得小成立

/rr*l-i

.=—

又

"当"e【Tl)时,C>0,则'单调递增；当”e(L2时，'<0,则'单调递减

・••£+3>0・•・£+々=(£+3)+4;-3>2-3=-1

t3'

当且仅当一用，即£二一2时取等号

(£+什3)而「：即此(-L+8),本题正确选项：Q

2.形如/(x,a)=g(x)或4(x)<g(x)(其中/(x,a)是关于x一次函数)

该类题型中，参数与自变量可以半分离，等式或不等式一边是含有参数的一次函数，参数对一次函数图像

的影响是比较容易分析的，故而再利用数形结合思想就很容易解决该类题目了.

【例2】已知函数/(x)=In"+1-3-有两个零点a、b,且存在唯一的整数不£(。为)，则实数〃，的取

x

值范围是()

In3^e

AC.D.

-1呜,于5(。罕

【答案】B

■elfin?；*、\nx+\-mx2八/曰lnx+1

【解析】由题意f(x)=----------=0,得加=—,

设3)=曾。>0),求导小吗Z)J-2QnZ)=-(2mZ)

x~XXX

令"(X)=O,解得T

A-t

当OvxveT时，〃")>0，人(x)单调递增：当了>/；时，力'(幻<0，力(工)单调递减;

故当丫_。尺时，函数取得极大值，且〃(JD=二

又工=1时，h(x)=0；当x-4w时，lnx+1>0,x2>0,故〃(x)->0；

作出函数大致图像，如图所示:

因为存在唯一的整数与e（a,b）,使得y=m与/?（x）=电学1的图象有两个交点,

x

1g

由图可知：/?（2）＜,n＜/?（l）,即以竺＜加＜1

4

故选：B.

［方法点睛】已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常月的方法:

（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围;

（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决;

（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,

利用数形结合的方法求解.

【举一反三】

1.（2020•重庆市第三十七中学校高三（理））已知函数/（x）=-d+3/一以一24,若刚好有两个正整数

%（，=1,2）使得/（七）＞0,则实数。的取值范围是（）

A.。,|B.0,|

C.D.?1

【答案】A

【解析】令g(x)=-x3+3/2,/?*•)=+2)/(幻二g(x)-力(工),且g\x)=-3x2+6x,

因为刚好有两个正整数七4二1，2）使得了（%）＞0,即9（七）〉/;（七）,

作出g（x）,力。）的图象,如图所示,其中〃*）过定点（-2,0）,直线斜率为

由图可知，工时,

3

有且仅有两个点（1,2）,（2,4）满足条件，

即有且仅有X=1,々=2使得/（七）〉0.

（2~

实数。的取值范围是0,-,故选：A

3

2（2020济宁市高三模拟）己知当“€0'+8）时，关于“的方程".+（3-。）1：+0=°有唯一实数解，则

所在的区间是（）

A.（3,4）B.（4,5）C.（5,6）D.（6.7）

【答案】C

【解析】

xlnx*3:

a

x-1

由xlnx+(3-a)x+a=0,得

=xlnx^3>।=x-IHXT]1

令f(x)XT(X>1),贝IJf'(x)

二=口>

令g(x)=x-Inx-4,贝ljg'(x)=1xx0,

.*.g(x)在(1,+8)上为增函数，

Vg(5)=1-ln5<0,g(6)=2-ln6>0,

；・存在唯一x(>£(5,6),使得g(xo)=0,

，当x£(1,x0)时，f'(x)<0,当x£(Xo»+8)时，f'(x)>0.

则f(x)在(1,Xo)上单调递减，在(Xo,+8)上单调递增.

Af（X）mn=f（Xo）

《殉）=~"T=血

则MTG（5,6）.

••・a所在的区间是（5,6）.故选：C

3.（2020蚌埠市高三）定义在（0'.9上的函数〃为满足M'（X）=I+",且"1）=2,不等式

fO（a+l）x+l有解，则正实数口的取值范围是（）

)

「（吟D.M

A.（。/(0,促

【答案】C

【解析】

因…F

因/⑴=4所以C=】即向…皿+1

不等式■'）＞（0+1）”+’有解可化为

Inx、

x+lnx+l＞（a+l）x+1即"7在（°，+8）有解

1-1W

令g或（X）=-,则。'（功二中，

9（染（°总上为增函数；

当X6（«,+8）时，也＜°9⑸在（%+8）上为减函数:

。（%）皿=9（8）=：0＜Q＜；

故'，所以‘故选C.

二.分类讨论法

分类讨论法是指通过分析参数对函数相应性质的影响，然后划分情况进行相应分析，解决问题的方法，

该类方法的关键是找到讨论的依据或分类的情况，该方法一般在分岗参数法无法解次问题的情况下，才考

虑采用，常见的有二次型和指对数型讨论.

1.二次型根的分布或不等式解集讨论

该类题型在进行求解过程，关键步骤出现求解含参数二次不等式或二次方程，可以依次考虑依次根据

对应定性(若二次项系数含参)，开口，判别式.，两根的大小(或跟固定区间的端点比较)为讨论的依据，

进行分类讨论，然后做出简图即可解决.

【例3】(2020全国高三专题)函数〃x)一(丁一3"',关于x的方程/(切一〃矿(x)+l=0恰有四个不

同实数根，则正数〃?的取值范围为()

(3\/x3、

A.2)B.(2,+x)C.0,—+—D.—+—,4-co

【答案】D

【解析】

【分析】利用导函数讨论函数单调性与极值情况，转化为讨论"+1=0的根的情况，结合根的分布求

解.

【详解】r(x)=(x2+2x-3)eA=(A：+3)(x-l)ev,令/(£)=(),得4=一3或x=l,

当上〈一3时，r(x)>0,函数“X)在(f,—3)上单调递增，且〃x)〉0；

当一3c<1时，/(x)<0,函数/(x)在(一3,1)上单调递减；

当工>1时，/z(x)>0,函数在(1,内)上单调递增.

所以极大值〃-3)=乌，极小值/(l)=-2e,作出大致图象：

令/(x)=L则方程/一"〃+1=0有两个不同的实数根,

且一个根在［），/）内，另一个根在（摄,+8）内，

或者两个根都在（-2e,0）内.

因为两根之和〃?为正数，所以两个根不可能在（-2e,0）内.

令=一〃1r+］,因为g（o）=i>o,所以只需<0,即当一丝+l<0,m>A+,

［夕Jeee6

6e3'

即〃？的取值范围为一+—,+8.故选：D

"6,

【举一反三】

Inx

1J2020.湖南衡阳市一中高三月考（理））已知函数/。）=丘，g（x）=—，若关于1的方程=

在区间上⑼内有两个实数解，则实数攵的取值范围是（）

e

A.［―,—）B.C.（0,—）D.（一,+oo）

e~2e2eee~e

【答案】A

【解析】易知当ZWO时，方程只有一个解，所以%>0.令〃&）=履2-11'

山、»12kx2-l而x-l）gx+l）

h（x）=2kx——=-------=---------------------，

xxx

令人'"）=0得工=霜，1=心为函数的极小值点,

y/2kq2k

又关于X的方程/a）=g（x）在区间［*］内有两个实数解,

解得kGf—,—)»故选A.

e~2e

2.（2020扬州中学高三模拟）已知函数"乃二"2一有两个不同的极值点%,”2,若不等式

“>/（%）+”必:恒成立，则实物的取值范围是

【答案】T'+8)

【解析Jvy(x)=ax2-2x+ln)，

/(x)=2ax-2+i=^Z?£iJ

•••

••・函数有两个不同的极值点必，”4

Y1，叼是方程2。/-入+1=0的两个实数根，且必>。，12>0,

.与+孙=：>0，*62=^>。4=4-8a>0

・・，旦，

O<a<：

解得，.

由题意得

2

7(xi)+f(x2)=ax[-2M+InXi+*-23+lnx2=a(M+x2)-2axxx2-2(M+x2)-lnx1x2=-1一

-a+ln2a

g(a)=_1--+ln2a,0<a<•

令0J

则E+》。

(O.1：

叼在2上单调递增，

・幽〈港)=-3

••・

又不等式”>八/)+〃”2)恒成立，

,八-3

••9

J实数'的取值范围是[一工+8).

故答案为1-3,+8；

2.指数对数型解集或根的讨论

该类题型在进行求解过程，关键步骤出现求解含参指对数型不等式或方程，可以依次考虑依次根据对

应指对数方程的根大小(或与固定区间端点的大小)为讨论的依据，进行分类讨论.

即可解决.

x

【例4】(2020•泉州模拟)已知函数/(x)=ae-x-aef若存在诧(・1,1),使得关于x的不等式

-A20恒成立，则A的取值范围为()

A.(…，-I]B.(-8,-1)C.(…，0]D.(…，0)

【答案】A

【解析】不等式/(工)-&20恒成立，即&可(/)恒成立；

则问题化为存在任(-1,1),函数/CO=。/-厂衣有最小值，

又/(x)=a/-l,当代(-1,0]时，/(x)WO,/(x)是单调减函数，不存在最小值；

当作(0,1)时，令/'(x)=0,得"=2，解得x=-/〃a,

a

即x=-Ina时，f(x)有最小值为f(-Ina)=1+lna-ae；

设g(a)=\+lna-ae>其中(0,1),则/(a)=--e,

a

令g'(a)=0,解得〃=2，所以坯(0,-1)时，/(a)>0,g(a)单调递增；

ee

ae(2，1)时，g'(a)<0,g(〃)单调递减；所以g(a)的最大值为g(­)=\-¥ln---*e=-I；

e