高考教案数学第六章平面向量复数第1讲平面向量的概念及线性运算.2025年

第六章平面向量、复数

第1讲平面向量的概念及线性运算

（教师尊享•命题分桥］

课标要求命题点五年考情命题分析预测

1.通过对力、速度、位移等的平面向量的2022新高考卷

分析，了解平面向量的实际背有关概念IT3

景，理解平面向量的意义和两2022新高考卷

个向量相等的含义.IT3；2020全

平面向量的本讲命题热点为平面向

2.理解平面向量的儿何表示和国卷IT14；

线性运算量的线性运算、共线向

基本要素.2020新高考卷

量定理的应用，一般以

3.借助实例和平面向量的几何IIT3

选择题、填空题的形式

表示，掌握平面向审:加、减运

出现，难度不人.预计

算及运算规则，理解其几何意

2025年高考命题稳定，

义.

备考时注意对向量的凡

4.掌握平面向量数乘运算及运共线向量定

何意义的理解和应用.

算规则，理解其几何意义理理的应用

解两个平面向量共线的含义.

5.了解平面向量的线性运算性

质及其几何意义.

0学生用书P112

1.平面向量的有关概念

名称定义备注

既有①大小又有②方向的

向量量；向量的大小叫做向量的长度平面向量是自由向量.

（或③模）.

零向量记作0,其方向是④任意

零向量长度为0的向量.

的.

与非零向量。共线的单位向量为⑤—

单位向量长度等于1个单位长度的向量.

义和⑥一右.

1a|1a1

平行向量（共方向⑦相同或相反的非零向

。与任意向量平行（共线）.

线向量）量.

长度⑧一相等且方向⑨相同相等向量一定是平行向量，平行向量

相等向量

的向量.不一定是相等向量.

若G,力互为相反向量，则。=一。

相反向量长度相等且方向相反的两个向量.

0的相反向量为0.

注意（I）0是一个向重，0是一个实数，|0|—0.

（2）两个向量不能比较大小，只能判断它们是否相等，但它们的模可以比较大小.

2.平面向量的线性运算

向量

定义法则（或几何意义）运算律

运算

(I)a+b=)+a.

求两个向量和

加法(2)(a+b)+c=a+(b

的运算.

三角形法则平行四边形法则+c).

求。与〃的相

反向量一力的

减法a〃——力=a+(-b).

和的运算叫做

三角形法则

。与b的差.

（1）1痴1=|2|lai.

(1)z(〃a)=)串a=

求实数2与向（2）当久>0时，痴与〃的方向

ft(za).

数乘量。的积的运@相同；当2<0时，幺。与。

(2)(2+")a=la+fia.

算.的方向⑪相反：当2=0时，

(3)x(a+力)=痴+筋.

2a=0.

注意利用三角形法则时，两向量要首尾相连；利用平行四边形法则时，两向量要有相同

的起点.

常用结论

向量运算的常用结论

（I）若。为线段人8的中点，。为平面内任一点，则而=：COA+OB）.

(2)对于任意两个向量a,b,都有：①Il〃|—IblI<Ia±bI<IaI+II;

②Ia+bI2+Ia-bI2=2(IaI2+II2).

注意当“，力不共线时：①式的几何意义是三角形中两边之和大于第三边，两边之差的

绝对值小于第三边；②式的几何意义是平行四边形中两邻边的长与两对角线的长之间的关

系.

3.共线向审定理

向量a（。对）与〃共线的充要条件：存在唯一一个实数L使⑫—.

注意（I）只有非零向量才能表示与之共线的其他向量.（2）两向量共线包含同向共线和

反向共线两种情况.

1.下列说法正确的是（D）

A.零向量是唯一没有方向的向量

B.单位向量都相等

C.a与〃同向，日|〃|>|力I，则a>h

D.两个向量平行是这两个句量相等的必要不充分条件

2.［新高考卷H］若D为AABC的边AB的中点，则方=（A）

'・・・・・・......'・・・・・•

A.2CD-CAB.2CA-CD

C.2CD+CAD.2CA-\~CD

解析解法一因为。是的中点，所以而=2同，所以方=/+荏=三?+2而=方彳

4-2（CD—G4）=2CD—CA,故选A.

解法二因为。是AB的中点，所以而=：（石5+瓦）,印2而=65+而，所以而=

2CD-CA,故选A.

3.已知向量a,b,若IaI=2,|h|=4,则|a—bI的取值范围是［2,6|.

解析由I|a|—I/HI<Ia-bI<IaI+II,得2WIa-bI<6.

4.已知a与力是两个不共线的向量，且向量a+〃》与一（力一3a）共线，则2=—g.

A=­k,

解析由题意知存在&WR,使得。+劝=和一（万一3。）］,所以

,1=3k,

。学生用书Pl13

命题点1平面向量的有关概念

例1（1）下列说法正确的是（B）

A.若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同

B.若4,B,C,。是不共线的四点，且荏=觉，则四边形A8CO为平行四边形

C.〃=b的充要条件是I〃I=I”且

D.已知九〃为实数，若加=曲，则。与力共线

解析A错误，两个向量是否相等只与模及方向有关，与位置无关；B正确，因为标=

DC,所以I而I=I万？I且而〃方？，又A,B,C,Z）是不共线的四点，所以四边形

A8CO为平行四边形；C错误，当.〃方且I“I=I。I时还可能是“=一儿所以“|°|

=I5I且。〃b”是的必要不充分条件：D错误，当％="=0时，。与方可以为任意向

量，满足〃=〃仇但。与力不一定共线.故选B.

（2）设m）都是非零向量，下列四个条件中，使七=—9成立的充分条件是（C）

IaIIbI

A.a=——AB.a〃力

C.a=2bD.a〃〃且IaI=I力I

解析因为向量不彳的方向与向量。的方向相同，向量了筌的方向与向量力的方向相同，

IaIIbI

且一一=7」，所以向量a与向量。的方向相同，故可排除选项A,B,D.当a=2）时.

IaIIbI

T^F=-I^T=—^T，故。=2力是成立的充分条件.

IaIIlbIIbIIaIIhI

方法技巧

向量有关概念的关注点

（I）向量定义的关键是方向和长度.

<2）非零向量的平行具有传递性.

（3）平行向量即共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制.

（4）向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量.

（5）向量7一是与向量。同方向的单位向量.

IaI

训练1下列说法正确的是（B）

A.相反向量就是方向相反的向量

B.a,b,c为非零向量，若a〃从b//c,则a〃c

C.若。与力共线，则。=6或〃=一力

D.若。为平面内的某个向量，的为单位向量，则。=|〃|如

解析对于A,相反向量是方向相反，长度相等的两个句量，故A错误；对于C,若句量

。与力共线，则。与b的方向相同或相反，但长度不一定相等，故C错误；对于D,。与

|°|加的模相等，但方向不一定相同，故D错误；易知B正确.故选B.

命题点2平面向量的线性运算

角度1向量加、减法的几何意义

例2(1)［多选］P是△加C所在平面内一点，且满足IPB-PCI-IP5+PC-2R4I=

0,则△A8C不可能是(AD)

A.钝角三角形B.直角三角形

C.等腰三角形D.等边三角形

解析设。为边8C的中点，则而+玩=2万，由已知有I而I=I2而一2刀I=

2IADI,所以△44C为直角三角形，故选AD.

(2)［全国卷I］设分为单位向量.且I〃+力I=1,则I〃一力I=O.

解析解法一如图，四边形为平行四边形，设65="，OB=bf?

利用平行四边形法则得沆=“+》，:IaI=I8I=Ia+bI=1,

O<

•••△O4C为正三角形，・•・I而I=Ia-bI=2x/x|aI=V3.

解法二Va,力为单位向量，且|a+)|=l,:.(a+b)2=1,工1+1+2ab=1,

»\ab="pIa~bI2=a2+ft2—2aI+1—2x(—^)=3,:.Ia~~bI=>/3.

方法技巧

利用向量加、减法的几何意义解决问题的思路

(1)根据两个向量的和与差，构造相应的平行四边形或三角形，再结合其他知识求解；

(2)平面几何中，如果出现平行四边形或可能构造出平行四边形或三角形的问题，那么可

考虑利用向量知识来求解.

角度2向量的线性运算

例3［2022新高考卷I］在△ABC中，点£>在边/W上，BO=2OA.记石?=机，而=〃，则而

=(B)

A3m-2nB.-2，〃+3〃

C.3〃？+2〃D.2，〃+3〃

解析因为4Q=2D4,步以荏=3而，所以浜=石5+彳§=3?+3同=石5+3(CD-

CA)=一2乙？+3而=一2山+3乩故选8.

方法技巧

向量的线性运算问题的求解策略

(I)利用三角形法则或平行四边形法则求解；

(2)利用相等向量、相反向量、共线向量以及三角形中位线等，把未知向量转化为与已知

向量有直接关系的向量进行求解.

角度3根据向量线性运算求参数

例4在△A8C中，点。在线段BC上，且丽=2岚，点。在线段C。上(与点C,。不重

合).若彩=.t・湄+(1-v)AC,则x的取值范围是(C)

A.(0,1)B.(^,1)C.(0,；)D.(；,；)

3333

解析设的；.e串1),则？5=而+前=短+7而=(l-A)AB+}^C=xAB

+(1-A)AC,M'l,v=l-ze(0,1).故选C.

方法技巧

求参数问题可以通过向量的线性运算将向量表示出来，进行比较，构造方程(组)求解.

训练2(1)［多选］在梯形ABC。中，AB//CD,AB=2CD,4c与B。相交于点。，则下列

结论正确的是(ABD)

AAC-AD=-2ABB.IOA~^2OCI=0

C.OA=-CD+-CBDJS+丽+而+57=0

33

解析对于A,AC-AD=DC=^AB故A正确.对于B,由题知穿=黑=；,所以褊十

2fAOAB2

2OC=0,故I65+2泥I=0,故B正确.对于C,OA=1CA=^(CB-AB)=1(3+

2CD)=1C§+^CD,故C错误.对于D,荏+近+而+万5=尼+石?=0,故D正确,故

选ABD.

(2)在△4BC中，AB=2,BC=3V5,NA8C=30。，AD为边上的高.若而=2荏+

fiAC,则入一4=1.

解析如图，・・・AO为边上的高，・・・4O_1_BC.・・・AB=2,/4BC=30。，

:,BD=6=[BC,・,•丽=而+丽=而+萍=而+：(AC-AB)=

-AB-\--AC.

又近=7万+"而，/.A=p/<=p故

命题点3共线向量定理的应用

例5(1)已知。为△A8C内一点，且而=：(而+说)，AD=tAC,若B,0,。三点

共线，贝卜=(B)

A.；B.；C.；D.；

4323

解析设七是BC边的中点，则g(而+说)=OE,由题意得彳5=区，所以彳0=:屈=

-(彳豆+冠)=-AB^--AD,又因为8,0,。三点共线，所以乙+2=1,解得/=士故选

444t44t3

B.

(2)［全国卷1【］设向量”•力不平行，向量痴+力与a+2b平行，则实数;1=:.

解析因为与。+2A平行，所以存在"ER.使得2a+〃=〃(a+2A),即(2一促)a

+(1-2")力=0.因为向量a,b不平行，所以2—〃=0,1—2"=0,解得九="=/

方法技巧

利用共线向量定理解题的策略

(1)利用a//b^u=>.b(厚0)求解.

(2)当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线，即A,B,C三点共线而共

线.

(3)若a与b不共线且加=心,则2=〃=0.

(4)OA=WB+i(OC(九〃为实数)，若A,4C三点共线，则2+"=1.

注意瓦彳=7而+"击中的三个向量的起点相同时，才有A,B,C三点共线7+4=1.

训练3(1)已知右，62是平面内两个不共线的向量，而=3ei+2e2,而=40+曲2,OC=

5约一4e2，若A，B,。三点共线，则实数A-的值为(A)

A.-lB.OC.lD.2

解析解法一因为。1=34+2c2,砺=4d+处2,OC=5e］-4e2t所以荏=而一耐=

(4ei+&e2)­(3e)+2e2)=e1+(左一2)AC=OC~OA=(5e］一4ez)—(3e1+2e2)

=2约一6%,又4B,。三点共线，所以存在唯一的实效人使得通=2而，即6+(k-

(2A=1,(k=—l,

2)62=%(2e］-6e?),所以《解得|i故选A.

I—6A=k—2,|"=2,

解法二根据题意，设耐=入赤+(I-X)况,则3ei+2e2=[4x+5(l-x)]q+[自一

’4工+5(1—y)=7

"

4(1-x)]e2,因为白，劭是平面内两个不共线的向量，所以'祥

./ex—4(1—z)=2,

『=2,故选儿

U=-i.

(2)[2023湖北天门中学、仙桃中学等校5月联考]如图，在A/IBC中，AD木

为8C边上的中线，G为AABC的重心，M,N分别为线段AB,AC上的动

点，且M,N,G三点共线，若祠=2而(2和)，AN=/(AC(4和)，则2~~

+4〃的最小值为(B)

A.2-B.3C.2D.4-

解析由题意得布=：而=树(而+而)=1(而+元)=[0祠+；福)，由于

M,N,G三点共线，故3+；=1.故7+4〃=Q+4/z)(3+；)="/+；。+2居，

3A3/2,户3A3g33A3/z3yj3A3”

=3,当且仅当当=；,即4=1,"=；时等号成立，故7+4〃的最小值为3,故选B.

3A3〃/

0学生用书P115

等和线的应用

例6[全国卷川]在矩形ABCD中，AB=l,AD=2,动点P在以点。为圆心且与BD相切的

圆上.若而=2通而，则2+"的最大值为(A)

A.3B.2V2C.V5D.2

解析解法一如图，过点C作CE〃4。交直线于点已因为彳？=力彳54___

+//AD,则由等和线定理可知，当等和线/与圆相切时，2+"最大，设此时/""生

号直线48交于点尸，贝"易土门48=8E=ER此时4+〃=喋=也写一竺=噤』一”

=3.

解法二以人为坐标原点，AB,人。所在直线分别为大轴、y轴建立如图所示的

平面直角坐标系，则A(0,0),B(I,0),C(I,2),D(0,2).可得直

线8D的方程为2x+y—2=0,点C到直线8。的距离[=下'=等，所以圆C

J22+12V5

的方程为G-1)2+(y-2)2=，因为点尸在圆。上，所以可设夕(|+

学os。，2+告in。).易知丽=(1,0),AD=(0,2),布=2而+〃而=Q,

1H---cos3=A»yf=同

2"),所以〈5所以4+〃=2+竽COS&+去in8=2+sin(。+勿)<3,其

2+*sin8=2”，55

5

中8满足tan°=2.所以2+4的最大值为3.

方法技巧

等和线定理：如图，对于平面内一组基底瓦5,万1及任一向量而，OP=

2瓦f+〃砺（2,蚱R）,若点P在直线上或在平行于AB的直线A|/3|

上，则2+"=*（定值）且I&I=芸=器=绘（尸为0P与的交

OrUoUA

点），反之也成立.我们把直线46以及与直线A4平行的直线4以称为等和线.

推导：由三点共线结论推导等和线定理，由三点共线结论可知，若而=入成+）•砺（X,

.yeR）,则x+）,=i,由△与△相似，必存在一个常数〃4£R）,使得加=

kOF,则而=切？=左或+公而，又而=2函+"而a,"WR）,所以a+"=ka+.y）

=k反之也成立.

训练4在扇形AO8中，C为弧A3上的一个动点，乙4。8=60。.若泥=x6?+.v诂，则x+

3），的取值范围是II,31.

解析解法一如图1,在08上取一点。，使08=30。，连接A。，与0C交于点E,过

C作CF〃A。，交0B于点、F,则况=x万5+）赤=人•万5+3）而，所以1+3丫=黑=黑当

C,A重合时，黑最小，为1；当CB重合时，黑最大，为3,所以x+3），的取值范围是

H,3J.

解法二（坐标法）设扇膨A04的半径为1,以。为原点，建立如图2所示的平面直角坐

标系，则4(1,0),4g,净，设NBOC=0,把结则C(cos。，sin0),

0C=(cos0tsinO')=x(1,争+y(1,0),

cosO=：+y,2QsinJ

%=^，

即解得

八

sin8=YX,y=cos6——\/3s-i-n0

所以x+3y=2v>；n6+3cosV3sin0=3cos。一当sin0.

令g⑼=3cos0一条in。(g纥)，易知g(0)在［0,会上单调递减，所以

g(；)=1&(。)<g(0)=3,

所以戈+3丁的取值范围是［1,3］.

解法三(构造函数法)设扇形人08的半径为几

因为丽.

所以反2=。函+).而)2=小a2+羽，|0^||丽|•COs60°+)2砺2,即J=/『十

xyf1-广广，

整理得关于.V的方程V+p+/-1=0.

易知X,)，£［0,1］,A=4-3X2>0,

-X+J4-3X2

所以)=―.—,

-3X+34-3X2134-3X2

所以x+3y=x+----J-----=一白+工;一.

•222

3—3%2

令f(x)=一1+'一(x£［0,I］),易知/(x)在［0,I］上单调递减，所以/(I)=

l<f(x)<f(O)=3,

所以x+3)，的取值范围是［I,3］.

(教师尊享•备课题组:

I」命题点I］设。，力为非零向量，则“。〃力”是“与力方向相同”的(B)

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

解析囚为巴力为非零向量，所以当“〃力时，〃与b方向相同或相反，囚此,，a〃ZT是打

与〃方向相同”的必要不充分条件.

2」命题点3］在△八BC中，点P满足前=2而，过点尸的直线与AB,AC所在直线分别交于

点M,N,若丽="而，AN=nAC(w>0,H>0),则〃?+2〃的最小值为(A)

A.3B.4C.-D.-

33

解析如图，连接4R易知而=万+后户=万+,（而一而）=^AB

+?亚=」-俞+三丽.因为M,P,N三点共线，所以-三=1,因

33m3n3m3n

为，n>0,〃>0,所以，〃+2〃=（m+2〃）（—+—）=-+

3m3n3

料黯+2息.黑3,当且仅当%笫即片g时等号成立.

3.［命题点3/2023河南省重点中学测试］己知。，£分别是△A4c的边A6,AC上的点，且满

足而=三而，荏=2而.F为直线OE与直线BC的交点.若而=2荏+〃近（A,〃为实

33

数），则〃一7的值为（C）

A.IBC.|D.1

解析由题意，得存=而+而=］而+而.因为。，E,尸三点共线，所以而=廊=

3

k（方+荏）=k（.-AC--AB）,k为实数，所以存=乙彳5+&（-AC--AB）=

33333

《一夫）而+至前.因为8,C,尸三点共线,所以《一夫）+亲=>即一=2,所以说=

一了另+:而.又而=/.而+〃福所以2=一3〃=%所以

（----------------------------［练透好题精准分层------------------------------------

0学生用书练习帮P316

公基础练知识通关

112024云南州月考］已知平面向量。，力不共线，而=4〃+64近=一。+35，CD=

a+3b,则（D）

A.A,B,。三点共线B.A,B,C三点共线

CBC,。三点共线D.A,C,。三点共线

解析BD=BC-hCD=6b,得不出而=4前，：,AB,而不共线，，人，B,D三点不共

线，A错误；由已知得不出而=2近，：.AB,配不共线，・・.A,B,C三点不共线，B错

误；由已知得不出近=4而，・,屈,而不共线，・・・B,C,。三点不共线，C错误；AC=

彳5+近=3。+9b=3而，：,ACt而共线，・・・4,C,。三点共线，D正确.故选D.

2J2024河南济源市第六中学月考］设°,力是两个非零向量，则下列说法正确的是

（C）

A.若Ia-\-hI=IaI—I/>I,则aA_b

B.若aLb,则Ia+bI=IaI—IbI

C.若Ia+力I=IaI—I力I,则存在实数九使得。

D.若存在实数人使得。=动，则I〃+力I=I〃I-I力I

解析\a-\-h\=\a\-\h\成立的充要条件是向量明〃方向相反，且Ia|>I力|,

易知C正确.

3.如图，P是线段OB,48的延长线所围成的阴影区域(含边界)内任意一点，且而=

xOA+yOB,则(C)糜声

A,X+J<1B.x+y<1

C.x+y>lD..t+y>1

解析设赤与线段AB的延长线交于点旦则丽=方才+(1-2)0Bf设而=i痂,根

据题意易知机N1,当且仅当P,E重合时加=1.所以而=加.万3+机(1一2)丽=.而4+

yOR,所以*=，僦，y=m(1一久)，r+y=/%21故选C.

4.已知平面向量0,力满足IbI=2,I2a-bI=1,贝ljIaI的取值范围为(C)

A.[1,1]B.(1,3)C.[1,g]D.(2,4)

解析因为|2a—b1=1,所以I力I—I2a—bI<2IAI<IZ>I+I2a—bI,所以

i<2IAI<3,可得IaI呜1],故选C.

5.[2023武汉市调研]在正六边形ABCTO产中，用血和廉表示而，则而=(B)

A.-^-AC^AEB-^-AC^AE

C.-2^AC，+^2AE，

解析解法一如图，记正六边形的中心为0,连接8E,交AC于点笊

G,则点。在BE上，G为AC的中点，且G为08的中点，所以而=F/\()

/UCD=-GE=-(AE-AG)=-(AE--AC)=--AC^-AEt故选K-

B.

解法二如图，以A为坐标原点，AB,AE所在直线分别为x轴，)，轴建“

立平面直角坐标系，不妨设正六边形ABCOE/的边长为2,则A(0,

0),C(3,V3),D(2,26),E(0,273),所以元=(3,

V3),AE=(0,2再)，CD=(-1,V3).设而=工无+'族，则

(—1,V3)=x(3,V3)+y(0,2V5)=(3x,V3X+2A/3V),得［J

lV3x+2V3y^/3,

(x=~-,一一一

解得123所以而=一二无+?荏，故选B.

I—/33

6.［2024四川资阳模拟］在平行四边形A4CO中，七是43的中点，厂是线段。石上的点，且

FC=-AB-\--AD,贝lj(D)

84

A.丽=2EFB.EF=2FD

C.FD=3EFD.EF=3FD

解析解法一由四边形ABC。是平行四边形可知而=反，因为七为A8的中点，所以

AB=2AE,FV=T^^W=-AB-\--AD-\-CD=-AD--AB=-AD--AE=-ED,所以方=

8448444

3而.故选D.

解法二设丽=/前，zG［0,11,因为前=而一荏=而一3彳§,所以定=而+尻=

XED+~AB=k(.AD--AB}+肉=(1--A)AB-\-LAD,又前=2四而，所以

22844

所以而=」而，即加=3丽.故选D.

4

7J2024河南信阳部分学校联考］已知向量。=(6,2),则与。方向相反的单位向量力的坐

标为(—噜—坐).

ruru

解析解法一b=--^-=(一察，一嘿).

IaI1010

解法二设b=ia=(6x,2x),2<0,则(62)2+(2%)2=1,得/=一呼，故方=

(3g限)

8.［2024天津四中月考］在等腰直角三角形ABC中，P是斜边8c上一•点，若彳户

IzloI

则△A8C的面积为个.

解析而而+7先前.由题可知&P,C三点共线，所以—7

+—^=1.又因为I35I=InI,所以I而I=5,故△A8C的面积S=；x5x5=§.

IACI