高考数学新题型训练-开放型题型

高考数学新题型训练-开放型题型

1.已知等比数列｛q｝满足2%+。；=0,则数列｛可｝的通项公式可能是见=.

(写出满足条件的一个通项公式即可)

2.若周期为2的函数)，=/("，在其定义域内是偶函数，则函数y=/(x)的一个解析

式为/("=.

3.满足直线/：人十，+,〃=。与圆C：/十y=2有公共点的一个整数，〃-.

4.写出一个与-1130。终边相同的正角：a=.(用弧度数表示)

5.写出一个满足下列两个条件的复数：z=.①z?的实部为5：②z的虚部不为0.

6.请写出一个模长为2的虚数：z=.

7.能说明“若/(x)K/(2)对任意的xe［0,2］都成立，则/")在［0,2］上单调递增”为假

命题的一个函数是.

8.若抛物线C：丁=2内存在以点(3,3)为中点的弦，请写出一个满足条件的抛物线方

程为.

9.已知ae［-3兀,3可，,写出一个满足条件的a的值：_______.

I6J2

10.写出一个同时满足下列条件①②的等比数列｛4｝的通项公式为=—.

①4一＜。；②同＞|%|

11.若(丫+9)的展开式中含有常数项'则正整数"的一个取值为.

12.写出一个满足下列条件的正弦型函数，/*)=.

①最小正周期为瓦；②/(x)在0，：上单调递增；③X/xeR,『(x)区2成立.

13.已知函数/(力=(。-3"(-2)2,当x=2时，有极小值，则满足条件的一个。

的值为.

14.写出一个的充分条件.

x

15.己知函数/(x)=sin(x+*)(OKe＜27r).若f*)在区间pH上单调递减，则。的一

个取值可以为.

16.写出使“不等式"对一切实数％都成立,，的。的一个取值____.

17.请写出一个幕函数f(x),满足：Vx>0,/(%)=f(-x)vf(x+l).此函数可以是

/(》)=-------

18.已知0+gx)=《+q(x+l)++a“(x+l)",写出满足条件①②的一个〃的值

@n>3,/?GN\②/Nq，7=°，l，2」、〃.

19.写出一条与圆/+/=1和曲线y=/+5都相切的直线的方程：

20.己知0(0,0),4(1,2),8(3,-1),若向量〃?〃.，且，〃与OB的夹角为钝角，写

出一个满足条件的机的坐标为.

21.如图，圆R和圆G的圆心分别为G(2,3)、G(4,3),半径都为1,写出一条与圆G

和圆a都相切的直线的方程：

22.若曲线l)，l=x-a上恰有四个不同的点A(i=L2,3,4)到直线A;及点。值,()］的距

离都相等，则实数〃的一个值可以是.

23.已知点*3,4),直线/与圆：f+)/=25交于两点，若二以A为等腰直角三角

形，则直线/的方程为.(写出一条即可)

24.写出过点(2,0)且被圆产一4工+),2-2｝，+4=。截得的弦长为夜的一条直线的方程

25.写出过抛物线丁=代上的点且与圆"-2)2+丁=1相切的二条直线的方程

26.写出一个使等式(6-12记0。卜0§。=1成立的角。的值为.

27.若定义在R上的函数/(力满足：Vx,yGR,f(x+y)+/(x-y)=2/(x)/(y),且

/(0)=l,则满足上述条件的函数/(x)可以为.(写出一个即可)

28.写出同时满足下面两个条件的数列｛%｝的一个通项公式《=.

①｛%｝是递减数列；②对任意〃［，〃eN*,都有*=4+4•

29.已知/（工）不是常数函数，写出一个同时具有下列四个性质的函数/（外：

①定义域为R;②/⑴二/卜+^；③1+/（2x）=2尸（x）；④/仔卜-1.

30.在函数/（4）=3山（2人-野）（3＞。）图象与内轴的所有交点中，点你0）离原点最近，贝

可以等于（写出一个值即可）.

故答案为：3+2i（答案不唯一）

6.2i（答案不唯一）

【分析一】根据题意直接写即可.

【详解】模长为2的虚数：如z=2i.

故答案为：2i.

7./（.r）=（x-l）2（答案不唯一）

【分析】举例八幻=1-1）2,结合二次函数的性质，即可求解.

【详解】令八x）=（x-l）2,则“解［令2）对任意的xw［0,2］都成立,

但/（X）在［0,1］上单调递减，在［1,2］上单调递增,

所以函数/*）在102上不是增函数.

故答案为；/@）=*-1尸.

8.r=4x（答案不唯一）

【分析】抛物线存在以点（3,3）为中点的弦，则该点在抛物线开口内，列式求解即可.

【详解】抛物线存在以点（3,3）为中点的弦，则该点在抛物线开口内，即当x=3时，

__3

y=y/6p>3^p>~.

可取〃=2,则满足条件的抛物线方程为丁=4乩

故答案为：/=4x（答案不唯一）

9.兀（答案不唯一）

【分析】解三角方程求得正确答案.

【详解】由于.所以仪一2=2匕元+"或"一［=2无,71：-”，

（6J2666'6

所以a=24兀+兀或a=28兀一生，其中人,女

3

由于aw［-3兀,3可，所以一个满足条件的夕的值为兀.

故答案为：兀（答案不唯一）

10.（答案不唯一）

答案笫2页，共13页

【分析】根据题目所给条件以及等比数列的知识求得正确答案.

【详解】依题意，｛&｝是等比数列，设其公比为q,

由于①44+—。，所以4<0,

由于②㈤>I。"]|=k•4=同14,所以o<|同<1,

1、”符合题意.

所以%=

2>

故答案为：J，]।(答案不唯一)

2J

II.3(只要是3正整数倍即可)

【分析】根据二项式通项公式即可求出结果.

"2)的展开式的通项为7；旬=(2：.(力1.(1)=C：

【详解】

卜十七)的展开式中含有常数项需要满足〃-|A=O,

即2〃=3A,所以〃只要是3正整数倍即可.

故答案为：3(只要是3正整数倍即可).

12.2sin(2x-：)(答案不唯一)

【分析】设/“)=Asin(@r+w),<y>0,根据VxtR,|/(x)|<2,则可设A=2,根据最小正

周期为许可得/=2,通过整体换元法则可得到-5x夕40,取8=-5即可.

【详解】设/⑶=Asin(皿+夕),3>0,因为VxwR,|/(x)区2,

所以〃初而《2J(X)min2-2

所以IAIW2,不妨设A=2

因为〃幻最小正周期为兀，所以丁="=网⑷=2

(D

f(x)=2sin(2x4-^>),x€0.—,2x+°e(p,(p+—

2

因为/(X)在o,：上单调递增，所以弘oWZ,+]C-；+2左0兀.；+2人)兀

答案第3页，共13页

所以一］+24m4①42km.

当即=0时，一号…，不妨设°=一?

乙I

所以满足条件之一的/3=2sin（2x-；）.

故答案为：2sin（2x-：；

13.7（答案不唯一，满足。>6即可）

【分析】由极小值的概念及求导法则即可求解.

【详解】由题意得，

//（x）=-3（x-2）-4-（fz-3x）x2（x-2）=（x-2）（-3x+6+2«-6x）=-（x-2）（9x-2f/-6）,

令r（6=o,解得x=2或户^

当年2>2,即06时，/（刈在（8,2）上单调递减，在（2,2空）上单调递增，

所以/（“在x=2处取极小值，

所以。的一个取值可取。=7,

故答案为：7（答案不唯一，满足。>6即可）.

14.（0,）（答案不唯一〕

【分析】解不等式得。<工<1,只要找0</<1的一个子集即可.

X

111-r

【详解】人>1等价于上一|>0,即—>0,

xxx

则MfvO,解得Ovx<l,

所以0<x<l的一个充分条件是„

故答案为：（olj（答案不唯一）.

15.-（不唯一）

2

【分析】根据正弦型函数的单调性进行求解即可.

【详解】由xe兀=4+夕£^+（p,n+（p,

因为在区间（兀上单调递减，且04。<2兀，

答案笫4页，共13页

7T71

—+(p>—

所以有32n&J,

,3冗62

Tt+(p<—

2

因此。的一个取值可以为会

故答案为：y

16.\（答案不唯一）

【分析】由指数函数的单调性和不等式的性质，可得所求取值.

【详解】解：当时，），="在R上单调递增，由x>x-2,可得，a，、

当0<a<1时，），=〃'在R上单调递减，由x>x-2,可得能〈优-2

因为不等式V/-2对一切实数X都成立，所以0<。<],

所以。的取值可为g.

故答案为：y（答案不唯一）.

17.x2（答案不唯一）

【分析】根据给定条件，确定函数/（X）的定义域，及函数“X）的有关性质，再写出符合的

函数解析式作答.

【详解】令寻函数“1）=，/（。为常数），由VxNO,/"），■（一）知，函数/（力的定义域

为R,为其是偶函数,

又V,t2（）,/（A-）</（X+l）,则函数/“）在[0,+。）上单调递增，因此。可以为正偶数，

所以此函数可以是八幻=一.

故答案为：/

18.8,9,10或11.（答案不唯一）

【分析】令x+l=f,得到q=C：（9,，=0J2,,〃，再由%24，，=0/2，”求解.

【详解】解：令x+i=/，得（i+L）=4+卬+…

答案笫5页，共13页

q=C：(g),，=0/,2,,，?，

=>8<??<11.

又人协,「.〃的值可以为8,9,10或又（答案不唯一）

故答案为：8,9,10或H.（答案不唯一）

19.2y/2x+y-3=（）（答案不唯一）

【分析】设切线/与圆/+=1相切于点（%为）（为文）），得到切线/的方程，与产炉+5联

立，由判别式为零求解.

【详解】解：设切线/与圆/+），2=1相切于点（用,%）（为工0）,则X+火=1,

切线/的方程为y-%=T（x-xo）,即⑼）+=।,

将M）+»0=1与y=丁+5联立，可得为/+X%+5%-1=0,

令△=片-4%(5%—1)=0,

[.2无4G4百

Y^3-2叵Y,-----Y,-

飞2，A

3o7r，气7，

联汇解得，或3或或

1』。=3111

%=31%=-于

所以切线/的方程为2缶+），-3=0或2&4一），+3=0或4任一），一7=0或4岛+y+7=（）.

故答案为：2>/2x+y-3=（）（答案不唯一）

20.（-1,-2）

【分析】根据向量的共线和向量乘法的坐标计算公式即可求解.

【详解】根据题意可得：0A=。,2）,OB=（3,-\）t

设m=（x,y）,

因为向量小〃CM，且根与08的夹角为钝角，

答案笫6页，共13页

\y=2x

所以，3-x+(-l),y<0

3y工(-1)•工

所以xvO,

不妨令x=T，

所以)，=一2,

/«=(-1,-2),

故答案为：(T-2).

21.>'=2(或)，=4或x=3)(答案不唯一)

【分析1分析可知两圆外切，根据圆的几何性质以及图形可得由圆G、圆的三条公切线

的方程.

因为圆C1和圆C?的圆心分别为G(2,3)、G(4,3),半径都为1,且|GG|=2=I+1,

所以，圆C1和圆G外切，易知这两个圆的切点为c(3,3),且GG〃x轴，

所以，这两个圆的公切线共3条，设这三条切线分别为4、〃、4，

其中，切线4过点C,且4人轴，则直线乙的方程为x=3,

设切线，2分别切圆C1、圆G于点A、B,连接AG、BC2,

因为|AG|=|8G|=1，且ACJ，2，BC』,所以，

AC,//BC2,

故四边形4BGG为矩形，故

易知直线C02的方程为y=3,且直线与直线CC2间的距离为1,

结合图形可知，宜线4的方程为y-2,同理可知，直线13的方程为X-4.

答案第7页，共13页

故答案为：），=2（或y=4或1=3）.（答案不唯一）

22.（填写区间（一），。］内的任一实数均可）

5I4J

【分析】先求到直线尸二和点的距离相等的点的轨迹方程，再由其与曲线

4U）

1川=%-。有四个交点求出。的范围，由此可得结论.

【详解】到直线x=-J及点。fj，。］的距离都相等的点的轨迹

为以尸―为准线以。（：，。）为焦点的抛物线，

设其方程为）‘=2px,则〃=g,

所以V=x.

由|y|二x-a,得y=x-a\x>.ay）或y=a-x（x>a）.

由已知曲线产=x与曲线1用=1-。有四个交点，

因为）,=x-a（x>a）^y=a-2a）关于x轴对称，

抛物线）？=x关于x轴对称，

所以曲线尸=x与射线y=x-。。之。）有两个位于x轴上方的交点，

y=x-a,,,

由《2得y-_y-a=0,

）'=，

所以、,2一）,—〃=（）有两个正根，

所以△=l+4a>0,且一〃>（）

故满足题意的实数〃的取值范围是卜;,o）.

故答案为：一（填写区间（-；，。）内的任一实数均可）

23.3x+4y=（）（或x-7y-25=0或7x+），+25=（））

【分析】分NA尸8=90。、NP84=90。和NB48=9（）°讨论即可得解.

【详解】由圆：X2+/=25,得圆心0（0,0）,半径r=5,

32+42=25,二。在圆。上，

若4尸8=90。，可得48寸圆心且A8_L0P,

」,4-04,3

乂3元=屋二/=-"

二直线/的方程为），二-白，即版+4），=0；

4

答案笫8页，共13页

若NPB人=90。，可得”过圆心且OBJ_/IP,

,__1_3

则与L彳二一^,可得0B的直线的方程为3x+4y=0,联立圆方程V+），=25,

3

Y*=一4x—4

解得|）二3或I）二-3,可得4的坐标为（T3）或（4，-3）,

根据圆的对称性易知4（-3,T）,

・・・直线A8的方程为>+3=：：（一：）（x—4）或），-3=罩言"+4）,

4-（-3）-4-（-3）

即不一7），-25=0或勿+），+25=0；

若ZPAB=90°，由A8的等价性可知该情况与人=90。一致；

综上：直线/方程为：3x-4y=。或工-7），-25=。或7x+y+25=0.

故答案为：3X+4），=U（或x-7y-25=0或7x+y+25=0）.

24.），=%—2（只需填其中的一个即可）

【分析】将圆的方程化为标准方程，求出圆心、半径.根据弦长，得出圆心到直线的距离

]=也.先判断斜率不存在时是否满足，然后设出斜率，得出直线方程，表示出圆心到直线

2

的距离4=T二,得出方程，即可解出k的值.

\Jk-+\

【详解】圆的方程可化为（・2）2+（），-|）2=1,圆心为（2,1）,半径r二1,

由弦长为夜可得，圆心到直线的距离d=｝一=当

当宜线斜率不存在时，直线方程为x=2,此时圆心在直线上，弦长为2r=2,不满足题意，

所以直线的斜率存在.

设直线的斜率为3则直线的方程为），=k"-2）,即依-y-2攵=0,

此时圆心到直线的距离[=-j=当，解得£=±1.

所以，直线的方程为了=>2或），=-x+2.

故答案为：y=x-2.

25.x—l=0或3x+4.y—11=0或3x—4y—11=0（写出其中一个即可）

【分析】山已知求出点玖L2）或。（1,-2）.先求解直线斜率不存在时的方程；然后设斜率，得

答案笫9页，共13页

出点斜式方程，表示出圆心到直线的距离，列出方程，求解即可得出斜率，进而得出直线方

程.

【详解】由题意可知，『=4,解得f=±2,

所以，点尸（1,2）或尸（1,—2）.

又圆"-2）2+>2=1的圆心C（2,0）,半径r=1.

①当点61,2）时

当直线/斜率不存在时，此时,/方程为x=l,与圆相切，满足题意；

当直线/斜率存在时，设斜率为人，此时直线/方程为），-2=勺。-1）,

即^x-y-^+2=0.

因为，直线/与圆相切，所以圆心C（2,0）到/的距离4=r,

|2『/2|%+2|

即所.而TT'

整理可得，44+3=0,解得匕=—^,

代入直线方程整理可得，直线方程为3x+4y-l1=0.

②当点*1,一2）时

当直线/斜率不存在时，此时,/方程为x=l,与圆相切，满足题意；

当直线/斜率存在时，设斜率为网,此时直线/方程为y+2=&（xT），

即k2x-y-k2-2=0.

因为，直线/与圆相切，所以圆心C（2,0）到/的距离&=，

%二幻刍=3=]

'也；+1Jk；+1'

3

整理可得，伏,-3=0,解得匕=1,

一4

代入直线方程整理可得，直线方程为3x-4），-ll=0.

综上所述，直线方程为x=l或3x+4y—ll=0或3x-4y-U=0.

故答案为：x=l.

26.50。（答案不唯­）

答案第10页，共13页

【分析】利用lan6(T=百、同角三角函数的基本关系将切化弦，再利用两角差的正弦公式

及二倍角公式公式得到cosa=cos50。，再根据余弦函数的性质计算可得.

［详解】因为(6-tan100jcosa-(tan600-tan10°)cosa

fsin60°sin10°A

--------------------cosa

cos60°cos10°)

sin60°cos100-sin10°cos60°

----------------------------------------cosa

cos60°cos10°

sin(60°-10°)

——-------------cosa

cos600cos10°

2sin50°

•cosa

cos10°

sin100°

cos50。•cosa

cos10°

sin(90。+10。)

cos50°•cosa

cos10°

cos100

_cos50°•cosa

cos100

cosa.

cos50°

所以cosa=8s50°,则a=50°+kx360°或a=-50°+kx360°,AeZ,

故答案为：50°(答案不唯一)

27./(x)=l(答案不唯一/(x)=cos〃z¥也可)

【分析】根据题意可得函数f(x)为偶函数，可取=在证明这个函数符合题意即可.

【详解】令x=0,则〃丫)+/(->)=2/(力，

所以J(-y)=f(y)，所以函数/(力为偶函数,

可取f(%)=i,则/(「+y)=f(x_y)=/(x)"(y)=i,

所以Vx,yeR,/(x+y)+/(x-)，)=2/(x)/()，)，

所以函数/(x)=l符合题意.

故答案为：/(x)=L(答案不唯一/(x)=cosazr也可)

28.一〃(答案不唯一)

答案第II页，共13页

【分析】先猜想数列是一个等差数列，进而根据性质②得到首项与公差的关系，然后根据性

质①得到答案.

【详解】