高考数学二轮复习专题五概率与统计第1讲计数原理与概率含答案及解析

I专题突破

专题五概率与统计

第1讲计数原理与概率（新高考专用）

【考点一】排列与组合问题.......................................................3

【考点二】二项式定理...........................................................4

【考点三】概率.................................................................5

【专题精练】...................................................................7

考情分析:

1.主要考查两个计数原理、排列、组合的简单应用，时常与概率相结合，以选择题、填空题为主.

2.二项式定理主要考查通项公式、二项式系数等知识，近几年也与函数、不等式、数列交汇考查.

3.概率重点考查古典概型、条件概率、全概率公式的基本应用.

真题自测

一、单选题

1.（2023•全国•高考真题）现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从

这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有（）

A.120B.60C.30D.20

2.（2023・全国•高考真题）甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有

1种相同的选法共有（）

A.30种B.60种C.120种D.240种

3.（2023・全国•高考真题）某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作

文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为（）

521I

A.-B.-C.-D.-

6323

4.（2023•全国•高考真题）某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名.从这4名学生中随机选2

名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（）

11一I2

A.—B.-C.-D.一

6323

5.（2022•全国•高考真题）有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和

丁相邻，则不同排列方式共有（）

A.12种B.24种C.36种D.48种

二、填空题

6.（2024•全国•高考真题）有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6,从中无放回地随机取3次，

每次取1个球.记〃?为前两次取出的球上数字的平均值，〃为取出的三个球上数字的平均值，则〃?与〃之差

的绝对值不大于;的概率为.

/1、1。

7.（2024•全国•高考真题）山+d的展开式中，各项系数中的最大值为.

8.（2024・全国•高考真题）在如图的4x4的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中,

则共有种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是

11213140

12223342

13223343

15243444

9.（2023•全国•高考真题）某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修

2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有种（用数字作答）.

10.（2022•全国•高考真题）从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为.

11.（2022•全国•高考真题）从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率

为.

12.（2022•全国•高考真题）的展开式中Y），6的系数为（用数字作答）.

考点突破

【考点一】排列与组合问题

核心梳理：

解决排列、组合问题的一般过程：

（I）认真审题，弄清楚要做什么事情；

（2）要做的事情是需要分步还是分类，还是分步分类同时进行，确定分多少步及多少类；

（3）确定每一步或寺•一美是排列（有序）问题还是组合（无序）问题，元素总数是多少及取出多少元素.

一、单选题

1.（23-24高三上•河南焦作•期末）小明将1,4,0,3,2,2这六个数字的一种排列设为自己的六位数字的

银行卡密码，若两个2之间只有一个数字，且1与4相邻，则可以设置的密码种数为（）

A.48B.32C.24D.16

2.（23-24高二上•河南•期末）2023年10月23日，杭州亚运会历时16天圆满结束.亚运会结束后，甲、乙、

丙、丁、戊五名同学排成一排合影留念,其中甲、乙均不能站左端，且甲、丙必须相邻.则不同的站法共有（）

A.18种B.24种C.30种D.36种

二、多选题

3.（2024•山西晋中•模拟预测）某中学的3名男生和2名女生参加数学竞赛，比赛结束后，这5名同学排成

一排合影留念，则下列说法正确的是（）

A.若要求2名女生相邻，则这5名同学共有48种不同的排法

B.若要求女生与男生相间排列，则这5名同学共有24种排法

C.若要求2名女生互不相邻，则这5名同学共有72种排法

D.若要求男生甲不在排头也不在排尾，则这5名同学共有72种排法

4.（23-24高三下•江苏镇江•开学考试）正方体ABC。H勺8个顶点中的4个不共面顶点可以确定一

个四面体，所有这些四面体构成集合丫，则（）

A.V中元素的个数为58

B.V中每个四面体的体积值构成集合S,贝IJS中的元素个数为2

c.V中每个四面体的外接球构成集合。，则。中只有1个元素

D.V中不存在四个表面都是直角三角形的四面体

三、填空题

5.（2024•河北沧州•一模）有F位大学生要分配到A3,C三个单位实习，每位学生只能到一个单位实习，每

个单位至少要接收一位学生实习，已知这5位学生中的甲同学分配在A单位实习，则这5位学生实习的不同

分配方案有种.（用数字作答）

6.（2024•江苏南通•模拟预测）把5个人安排在周一至周五值班，要求每人值班一天，每天安排一人，甲乙

安排在不相邻的两天，乙丙安排在相邻的两天，则不同的安排方法有种.

规律方法：

排列、组合问题的求解方法与技巧

（I）合理分类与准确分步；（2）排列、组合混合问题要先选后排；（3）特殊元素优先安排；（4）相邻问邈捆绑处理;

（5）不相邻问题插空处理：⑹定序问题除法处理：⑺“小集团”排列问题先整体后局部：（8）正难则反,等价

转化.

【考点二】二项式定理

核心梳理：

1.求二项展开式中特定项或项的系数问题的思路:

（I）利用通项公式将八+1项写出并化简.

（2）令字母的指教籽合要求（求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等），解出

（3）代回通项公式即得所求.

2.对于两个因式的积的特定项问题，一般对某个因式用通项公式，再结合因式相乘，分类讨论求解.

一、单选题

2

1.（2024•浙江•二模）xlog83-展开式的常数项为（）

5511

A.—B.一一C.—D.——

12123636

2.（2024,全国•模拟预测）（/+3工+2）’的展开式中d的系数为（）

A.6B.8C.27D.33

二、多选题

3.（2024•山西临汾•三模）在的展开式中（）

A.所有奇数项的二项式系数的和为128

B.二项式系数最大的项为第5项

C.有理项共有两项

D.所有项的系数的和为3s

4.（2024・广西来宾•一模）卜的展开式中，下列结论正确的是（）

A,二项式系数最大项为第五项B.各项系数和为0

C.含/项的系数为4D.所有项二项式系数和为16

三、填空题

/\

5.（23-24高三上•山东滨州•期木）2+-（x-2.），）6的展开式中f），2的系数为________.（用数字作答）

Iy）

6.（2024・云南楚雄•一模）102i°除以1000的余数是.

规律方法：

二项式（“+〃）”的通项公式〃（女=0,1,2,…，〃），它表示的是二项式的展开式的第k+1项，而不

是第A项；其中&是二项式展开式的第大+1项的二项式系数，而二项式的展开式的第A+1项的系数是字

母寐前的常数，要区分二项式系数与系数.

【考点三】概率

核心梳理：

1.古典概型的概率公式

事件4包含的样本点数

“外一试脸的样本点总数.

2.条件榻率公式

设A,8为两个随机事件，且P（A）＞0,

则P（附=鬻

3.全概率公式

设4,Az,…，A“是一组两两互斥的事件，4UA2U…LM〃=。，且尸（Ai）＞0,i=l,2,…，n,则对任意的

事件B7Q,有P（B）=£P（4）尸（8四）.

尸i

一、单选题

1.（2024•河南•模拟预测）袋子中装有5个形状和大小相同的球，其中3个标有字母。,2个标有字母尻甲先

从袋中随机摸一个球，摸出的球不再放回，然后乙从袋中随机摸一个球，若甲、乙两人摸到标有字母〃的球

的概率分别为P”P2,则（）

A.P1=〃2B.2〃|=3〃2

C.PI=3〃2D.2p,=p2

2.（2024•山西•二模）一个盒子里装有5个小球，其中3个是黑球，2个是白球，现依次一个一个地往外取

球（不放回），记事件A表示“第，:次取出的球是黑球“，攵=1,2,…,5,则下面不正确的是（）

A.P（A）=gB.P（AA2）=-

9i

c.P（4+A）=而D.P（A2\A.）=-

二、多选题

3.121-22高三上•江苏南通•阶段练习）已知l耳分别为随机事件48的对立事件，尸（A）＞0,P（8）＞0,

贝（）

A.P（B|A）+P（B|A）=1B.P（B|4）+P（》|A）=P（4）

C.若A,B独立,则P（A|8）=P（A）D.若A,B互斥,则P（A|B）=P（3|A）

4.（23-24高三下•江苏泰州•阶段练习）甲、乙两个口袋各装有1个红球和2个臼球，这些球除颜色外完全

相同.把从甲、乙两个口袋中各任取一个球放入对方口袋中称为一次操作，重复〃次操作后，甲口袋中恰

有。个红球，1个红球，2个红球分别记为事件A“，B„,C“，则（）

A.尸⑻4B.PGIA）qC.P（B£）4D.P（A+，）=\

VZ/o1oI

三、填空题

5.（2024♦江苏扬州•模拟预测）有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%,第2,3台加

工的次品率均为5%,加工出来的零件混放在一起.已知第1,2,3台车床加工的零件数分别占总数的

25%,30%,45%.任取一个零件，如果取到的零件是次品，则它是第2台车床加工的概率为.

6.（2024•湖南衡阳•一模）已知有4笈两个盒子，其中A盒装有3个黑球和3个白球，〃盒装有3个黑球和

2个白球，这些球除颜色外完全杵同.甲从A盒、乙从A盒各随机取出一个球，若2个球同色，则甲胜，并

将取出的2个球全部放入A盒中，若2个球异色，则乙胜，并将取出的2个球全部放入8盒中.按上述方

法重及操作两次后，6盒中恰有7个球的概率是.

规律方法：

求概率的方法与技巧

（1）古典概型用古典概1型概率公式求解.

（2）条件概率用条件概率公式及全概率公式求解.

（3）根据事件间关系，利用概率的加法、乘法公式及对应事件的概率公式求解.

M专题精练

一、单选题

1.（2023・福建•模拟预测）中国救援力量在国际自然灾害中为拯救生命作出了重要贡献，很好地展示了国际

形象，增进了国际友谊，多次为祖国赢得了荣誉.现有5支救援队前往A,8,C等3个受灾点执行救援任务，

若每支救援队只能去其中的一个受灾点，且每个受灾点至少安排1支救援队，其中甲救援队只能去用。两

个数点中的一个，则不同的安排方法数是（）

A.72B.84C.88D.100

2.（2023•广东•模拟预测）如图，在两行三列的网格中放入标有数字1,2,3,4,5,6的六张卡片，每格只放一张

卡片，则"只有中间一列两个数字之和为5〃的不同的排法有（）

A.96种B.64种C.32种D.16种

3.（2023•辽宁沈阳•一模）甲、乙、丙、丁、戊、己6人站成一排拍合照，要求甲必须站在中间两个位置之

一，且乙、丙2人相邻，则不同的排队方法共有（）

A.24种B.48种C.72种D.96种

4.（2024•甘肃陇南•一模）已知3名男同学、2名女同学和1名老师站成一排，女同学不相邻，老师不站两

端，则不同的排法共有（）

A.336种B.284种C.264种D.186种

5.（2023•广东深圳•一模）安排5名大学生到三家企业实习，每名大学生只去一家企业，每家企业至少安排

1名大学生，则大学生甲、乙到同一家企业实习的概率为（）

I3_36

A.-B.—C・—D.—

5102525

6.（2023•山东德州三模）若（2工一3「=《）+4（工一1）+生（工一1）2+…+卬（%-1）”+《2（工一1）"，则（）

A.%=-]B.4）—％+生一---4（）—a”+%=

C.4+H+…+4，=-2D.幺+粤+…+绵+%=-1

222122

7.（2023•四川南充•二模）在二项式五十一\的展开式中，二项式的系数和为256,把展开式中所有的

I2网）

项重新排成一列，有理项都互不相邻的概率为（）

115I

A.-B.-C.—D.-

64123

8.（2021•全国•模拟预测）（1+A）2+（1+X）3++（1+”9的展开式中寸的系数是（）

A.60B.80C.84D.120

二、多选题

9.（2024•山西•三模）已知函数/（x）=（4x—12=4+4/+a/2+…+4/12,贝ij（）

A.B.展开式中，二项式系数的最大值为C1

C.4+/+%+…+%=卡D.”5）的个位数字是1

10.（2023•山东•二模）有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中不放回的随机取两次，每

次取1个球，甲表示事件”第一次取出的球的数字是奇数”，乙表示事件”第二次取出的球的数字是偶数“，丙

表示事件”两次取出的球的数字之和是奇数〃，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是偶数”，则（）

A.乙发生的概率为:B.丙发生的概率为!

22

C.甲与丁相互独立D.丙与丁互为对立事件

11.（2023•山东威海•一模）己知事件A,笈满足F（A）=0.5,P（Z?）=0.2,则（）

A.若BqA,贝iJP（A8）=0.5B.若4与3互斥，则P（A+8）=0.7

C.若A与8相互独立，则片第）=0.9D.若P（例A）=0.2,则A与8相互独立

三、填空题

12.（2024•上海•高考真题）某校举办科学竞技比赛，有A、B、C3种题库，A题库有5000道题，B题库有

40co道题，C题库有3000道题.小申已完成所有题，已知小申完成A题库的正确率是0.92,B题库的正确

率是0.86,C题库的正确率是0.72.现他从所有的题中随机选一题，正确率是.

13.（2023•山东•一模）某企业的一批产品由一等品零件、二等品零件混装而成，每包产品均含有10个零件.小

张到该企业采购，利用如下方法进行抽检：从该企业产品中随机抽取1包产品，再从该包产品中随机抽取4

个零件，若抽取的零件都是一等品，则决定采购该企业产品；否则，拒绝采购.假设该企业这批产品中，

每包产品均含1个或2个二等品零件，其中含2个二等品零件的包数占10%,则小张决定采购该企业产品

的概率为.

14.（2023•福建•模拟预测）若一个点从三棱柱下底面顶点出发，一次运动中随机去向相邻的另一个顶点,

则在5次运动后这个点仍停留在下底面的概率是.

I专题突破

专题五概率与统计

第1讲计数原理与概率（新高考专用）

【真题自测】...................................................................2

【考点突破】...................................................................8

【考点一】排列与组合问题........................................................8

【考点二】二项式定理...........................................................12

【考点三】概率................................................................16

【专题精练】..................................................................21

考情分析:

1.主要考查两个计数原理、排列、组合的简单应用，时常与概率相结合，以选择题、填空题为主.

2.二项式定理主要考查通项公式、二项式系数等知识，近几年也与函数、不等式、数列交汇考查.

3.概率重点考查古典概型、条件概率、全概率公式的基本应用.

真题自测

一、单选题

1.（2023•全国•高考真题）现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从

这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有（）

A.120B.60C.30D.20

2.（2023・全国•高考真题）甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有

1种相同的选法共有（）

A.30种B.60种C.120种D.240种

3.（2023・全国•高考真题）某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作

文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为（）

521I

A.-B.-C.-D.-

6323

4.（2023•全国•高考真题）某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名.从这4名学生中随机选2

名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（）

11一I2

A.—B.-C.-D.一

6323

5.（2022•全国•高考真题）有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和

丁相邻，则不同排列方式共有（）

A.12种B.24种C.36种D.48种

二、填空题

6.（2024•全国•高考真题）有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6,从中无放回地随机取3次，

每次取1个球.记〃?为前两次取出的球上数字的平均值，〃为取出的三个球上数字的平均值，则〃?与〃之差

的绝对值不大于;的概率为.

/1、1。

7.（2024•全国•高考真题）山+d的展开式中，各项系数中的最大值为.

8.（2024・全国•高考真题）在如图的4x4的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中,

则共有种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是

11213140

12223342

13223343

15243444

9.（2023•全国•高考真题）某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修

2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有种（用数字作答）.

10.（2022•全国•高考真题）从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为.

11.（2022•全国•高考真题）从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率

为.

12.（2022•全国•高考真题）（1-1］（4+4的展开式中Y），6的系数为（用数字作答）.

参考答案:

题号12345

答案BCADB

1.B

【分析】利用分类加法原理，分类讨论五名志愿者连续参加两天公益活动的情况，即可得解•.

【详解】不妨记五名志愿者为。，仇c,d,%

假设〃连续参加了两天公益活动，再从剩余的4人抽取2人各参加星期六与星期天的公益活动，共有应72

种方法，

同理：瓦c,d,e连续参加了两天公益活动,也各有12种方法,

所以恰有1人连续参加了两大公益活动的选择种数有5x12=60种.

故选：B.

2.C

【分析】相同读物有6种情况，剩余两种读物的选择再进行排列，最后根据分步乘法公式即可得到答案.

【详解】首先确定相同得读物，共有C；种情况，

然后两人各自的另外•种读物相当于在剩余的5种读物里，选出两种进行排列，共有A；种，

根据分步乘法公式则共有A；=12（）种,

故选：c.

3.A

【分析】对6个主题编号，利用列举列出甲、乙抽取的所有结果，并求出抽到不同主题的结果，再利用古

典概率求解作答.

【详解】用1,2,3,4,5,6表示6个主题，甲、乙二人每人抽取1个主题的所有结果如下表：

123456

甲

1(1』)(1,2)(1,3)(1,4)(2(L6)

2(2.1)(2,2)(23)(24)(2,5)(2,6)

3(3,1)(3,2)(3,3)(3.4)(3,5)(3,6)

4(4,1)(4,2)(4,3)(4.4)(4,5)(4,6)

5(5,1)(5,2)(5,3)(5.4)(5,5)(5,6)

6(6,1)(6,2)(6,3)(6.4)(6,5)(6,6)

共有36个不同结果，它们等可能，

其中甲乙抽到相同结果有(U),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6),共6个,

因此甲、乙两位参赛同学抽到不同主题的结果有30个，概率尸=3%0==5.

366

故选：A

4.D

【分析】利用古典概率的概率公式，结合组合的知识即可得解.

【详解】依题意，从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，总的基本事件有C；二6件,

其中这2名学生来自不同年级的基本事件有C；C；=4,

42

所以这2名学生来自不同年级的概率为z=；.

63

故选:D.

5.B

【分析】利用捆绑法处理丙丁，用插空法安排甲，利用排列组合与计数原理即可得解

【详解】因为丙丁要在•起，先把丙丁捆绑，看做•个元素，连同乙，戊看成三个元素排列，有3!种排列方

式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种插空方式；

注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有：3k2x2=24种不同的排列方式，

故选:B

6.L

15

【分析】根据排列可求基本事件的总数，设前两个球的号码为4力，第三个球的号码为。，则

a+b-3<2c<a+b+3,就。的不同取值分类讨论后可求随机事件的概率.

【详解】从6个不同的球中不放回地抽取3次，共有A：=120种，

设前两个球的号码为第三个球的号码为。，则空答一竽

故12c-3+份区3,故-3K2c-(。+〃)43,

^la+b—3<2c<a+h+3,

若c=l,则a+〃W5,则(。仍)为:(2,3),(3,2),故有2种,

若c=2,则则(。㈤为:(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(3,4),

(3,1),(4,1),(5,1),(6,1),(4,3),故有10种，

当c=3,则3«〃+后9,则(。,〃)为：

(1,2),(1,4),(1,5),(1,6),(2,4),(2,5),(2,6),(4,5),

(24),(4,1),(5,1),(6,1),(4,2),(5,2),(6,2),(5,4),

故有16种,

当c=4,则5Ka+/”ll,同理有16种，

当c=5,则7<〃+〃<13,同理有10种，

当c=6,则9Wa+Z?W15,同理有2种，

共刑与〃的差的绝对值不超过〈时不同的抽取方法总数为2(2+10+16)=56,

故所求概率为需=2.

11J

7

故答案为：—

7.5

\10-r\9-r

1

Cfo

3J3J

【分析】先设展开式中第,T1项系数最大，则根据通项公式有,,进而求出「即可求

I\IOfI-r

r

Jco>C鸣：’

3J

解.

(ir

【详解】由题展开式通项公式为Z+I=c;。x"0<r<10H.reZ,

10-r9-r

rrrfr

Jco

设展开式中第r+1项系数最大，则〈

fp10-rrrll-r

I2或

、29

r>----

-42933

I'P—<r<—,又rwZ，故r=8,

,3344

r<—

4

所以展开式中系数最大的项是第9项，且该项系数为=5.

故答案为：5.

8.24112

【分析】由题意可知第一、二、三、四列分别有4、3、2、1个方格可选;利用列举法写出所有的可能结果,

即可求解.

【详解】由题意知，选4个方格，每行和每列均恰有一个方格被选中，

则第一列有4个方格可选，第二列有3个方格可选，

第三列有2个方格可选，第四列有1个方格可选，

所以共有4x3x2x1=24种选法；

每种选法可标记为(a/cd),分别表示第一、二、三、四列的数字,

则所有的可能结果为：

(11,22,33,44),(11,22,34,43),(11,22,33,44X(11,22,34,42),(11,24,33,43),(11,24,33,42),

(12,21,33.44).(12,21.34.43).(I2.22,31,44；.(I2,22.34.40).(12.24.31.43).(12.24,33.40),

(13,21,33,44).(13,21,34,42),(13,22,31,44).(13,22,34,40),(13,24,31,42),。3,24,33,40),

(15.2】,33,43),(15,21,33,42),(15,2231,43),(15,2233,40),(15,2)31,42),(15,22,33,40),

所以选中的方格中，(15,21,33,43)的4个数之和最大，为15+21+33+43=112.

故答案为：24；112

【点睛】关键点点睛：解决木题的关键是确定第一、二、三、四列分别有4、3、2、1个方格可选，利用列

举法写出所有的可能结果.

9.64

【分析】分类讨论选修2门或3门课，对选修3门，再讨论具体选修课的分配，结合组合数运算求解.

【详解】(1)当从8门课中选修2门，则不同的选课方案共有C：C：=16种；

(2)当从8门课中选修3门,

①若体育类选修课1门，则不同的选课方案共有C：C：=24种；

②若体育类选修课2门，则不同的选课方案共有=24种：

综上所述：不同的选课方案共有16+24+24=64种.

故答案为：64.

10.—.

35

【分析】根据古典概型的概率公式即可求出.

【详解】从正方体的8个顶点中任取4个，有〃=C；=70个结果，这4个点在同一个平面的有〃2=6+6=12个,

故所求概率「=%=三=£.

n7035

故答案为：—.

3

11.—/0.3

10

【分析】根据古典概型计算即可

【详解】解法一：设这5名同学分别为甲，乙，1,2,3,从5名同学中随机选3名，

有：(甲，乙，1),(甲，乙,2),(甲，乙，3),(甲，1,2),(甲，1,3),(甲，2,3),(乙，1,2),(乙，1,

3),(乙，2,3),(1,2,3),共10种选法；

3

其中，甲、乙都入选的选法有3种，故所求概率P=指.

故答案为:得.

解法二：从5名同学中随机选3名的方法数为C：=10

甲、乙都入选的方法数为C；-3,所以甲、乙都入选的概率。

3

故答案为：—

12.-28

【分析】卜+#'可化为(K+y)8-[(.T+y)8,结合二项式展开式的通项公式求解.

【详解】因为(|一？)(x+y)*=(x+y)*-[(x+)T，

2

所以卜—工[卜+的展开式中含产),6的项为C12)F-=-28x/,

Ix)X

(1-?)(x+.V)8的展开式中/y6的系数为一28

故答案为：-28

・考点突破

【考点一】排列与组合问题

核心梳理：

解决排列、组合问题的一般过程：

(1)认真审题，弄清楚要做什么事情：

(2)要做的事情是需要分步还是分类，还是分步分类同时进行，确定分多少步及多少类：

(3)确定每一步或每一类是排列(有序)问题还是组合(无序)问题，元素总数是多少及取出多少元索.

一、单选题

1.(23-24高三上•河南焦作•期末)小明将1,4,0,3,2,2这六个数字的一种排列设为自己的六位数字的

银行卡密码，若两个2之间只有一个数字，且1与4相邻，则可以设置的密码种数为()

A.48B.32C.24D.16

2.(23-24高二上・河南•期末)2023年10月23日，杭州亚运会历时16天圆满结束.亚运会结束后，甲、乙、

丙、丁、戊五名同学排成一排合影留念，其中甲、乙均不能站左端，且甲、丙必须相邻，则不同的站法共有()

A.18种B.24种C.30种D.36种

二、多选题

3.（2024•山西晋中•模拟预测）某中学的3名男生和2名女生参加数学竞赛，比赛结束后，这5名同学排成

一排合影留念，则下列说法正确的是（）

A.若要求2名女生相邻，则这5名同学共有48种不同的排法

B.若要求女生与男生相间排列，则这5名同学共有24种排法

C.若要求2名女生互不相邻，则这5名同学共有72种排法

D.若要求男生甲不在排头也不在排尾，则这5名同学共有72种排法

4.（23-24高三下•江苏镇江•开学考试）正方体AgGR-A4C。的8个顶点中的4个不共面顶点可以确定一

个四面体，所有这些四面体构成集合丫，则（）

A.■中元素的个数为58

B.V中每个四面体的体积值构成集合S,则S中的元素个数为2

C.V中每个四面体的外接球构成集合。，则。中只有1个元素

D.V中不存在四个表面都是直角三角形的四面体

三、填空题

5.（2024•河北沧州•一模）有5位大学生要分配到ARC三个单位实习，每位学生只能到一个单位实习，每

个单位至少要接收一位学生实习，已知这5位学生中的甲同学分配在A单位实习，则这5位学生实习的不同

分配方案有种.（用数字作答）

6.（2024•江苏南通•模拟预测）把5个人安排在周一至周五值班，要求每人值班一天，每天安排一人，甲乙

安排在不相邻的两天，乙丙安排在相邻的两天，则不同的安排方法有种.

参考答案:

题号1234

答案CCACDABC

1.C

【分析】根据相邻问题用捆绑法和不相邻问题用插空法即可求解.

【详解】1与4相邻，共有A；=2种排法，

两个2之间插入1个数，

共有A；=2种排法，再把组合好的数全排列，共有A；=6种排法,

则总共有2x2x6=24种密码.

故选：C

2.C

【分析】分类当丙站在左端时及丙不站在左端时的情况计算即可得.

【详解】由题意可知，当内站在左端时，有A；=6种站法；

当丙不站在左端时，有C；A；A；=24种站法.

由分类加法计数原理可得，一共有6+24=30种不同的站法.

故选：C.

3.ACD

【分析】利用捆绑法解决选项A,利用插空法解决选项BC,利用特殊元素优先法解决选项D.

【详解】选项A,将2名女生捆绑在一起，再与3名男生进行全排列，

则有A；A：=48（种）,故A正确;

选项B,要求女生与男生相间排列，采用插空法，

先将3名男生进行全排列，再将2名女生插到3名男生所形成的2个空中，

则有A；A；=12（种）,故B错误;

选项C,先将3名男生进行全排列，再将2名女生插到3名男生所形成的4个空中，

则有A；A；=72（种）,故C正确；

选项D.将S名同学排成一排，相当于将他们放到排成一排的S个空位中，

先将男生甲排在中间的3个空位中，再将剩下4名同学进行全排列，

则有A；A：=72（种）,故D正确.

故选：ACD.

4.ABC

【分析】由8个顶点中选取4个不共面顶点，确定V中元素的个数判断选项A；由每个四面体的结构特征,

计算体积值判断选项B；由每个匹面体的外接球特征判断选项C；寻找四个表面都是直角三角形的四面体判

断选项D.

【详解】正方体的8个顶点中任取4个，共有C；=7（）种情况，

其中四点共面的有六个表面和六个对角面共12种情况，不构成四面体，

所以V中元素的个数为58,A选项正确:

四面体的体积有以下两种情况:

第一种情况如下图所示,四面体的四点在相对面“异面的对角线上，如四面体A-B|AC,

若正方体棱长为“，则四面体体积为=,

J4»J

第二种情况如下图所示，四面体的四点中有三个点在一个侧面上，另一个点在相对侧面上，如四面体

ABC,

若正方体棱长为“，则四面体体积为，/，

326

所以丫中每个四面体的体积值构成集合S,则S中的元素个数为2,B选项止确;

每个四面体的外接球都是原正方体的外接球，。中只有1个元素，C选项正确；

如下图，四面体ABD的每个面都是直角三角形，D选项错误.

故选：ABC

5.50

【分析】根据特殊元素进行分类计数，具体分类下是不相同元素分配问题，先分堆再配送，注意平均分堆

的要除以顺序.

【详解】根据特殊元素“甲同学”分类讨论,

当A单位只有甲时,其余四人分配到员C,不同分配方案有C：C；A；+C：C=14种;

当A单位不只有甲时，其余四人分配到A'C,不同分配方案有里GA；=36种;

4

合计有50种不同分配方案,

故答案为：50.

6.36

【分析】根据分步计数原理，结合相邻问题和不相邻问题的方法即可求出.

【详解】根据题意，设5人为甲乙丙丁戊,

①，将乙丙看成一个整体，考虑2人之间的顺序，有A；=2种情况,

②，将这个整体与丁戊全排列，有A；=6种安排方法,

③，排好后，有4个空位，由于甲乙安排在不相邻的两天，则只能从3个空中任选1个，安排甲，有A；=3

种安排方法,

不同的安排方案共有2x6x3=36种;

故答案为：36.

规律方法：

排列、组合问题的求解方法与技巧

⑴合理分类与准确分步；（2）排列、组合混合问题要先选后排；⑶特殊元素优先安排：（4）相邻问题捆绑处理;

（5）不相邻问题插空处理；（6）定序问题除法处理；（7）“小集团”排列问题先整体后局部；（8）正难则反，等价

转化.

【考点二】二项式定理

核心梳理：

1.求二项展开式中特定项或项的系数问题的思路:

（I）利用通项公式将一+1项写出并化简.

（2）令字母的指数符合要求（求常数项时，指数为零；本有理项时，梢数为整数等），解出大.

（3）代回通项公式即得所求.

2.对于两个因式的积的特定项问题，一般对某个因式用通项公式，再结合因式相乘，分类讨论求解.

一、单选题

1.（2024・浙江・二模）'/logQ-"员）展开式的常数项