高三数学下册月考试卷模拟考试训练

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选择题

设，则

A.B.C.D.

【答案】C

【解析】分析：首先根据复数的运算法则，将其化简得到，根据

复数模的公式，得到，从而选出正确结果.

详解：因为，

所以，故选C.

选择题

£I

已知命题命题«x2+«r+l>0,则P成立是q成

立的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

1

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

分别由命题p,q求得a的取值范围，然后考查充分性和必要性是

否成立即可.

求解不等式々4可得

对于命题夕，当。=。时，命题明显成立；

a>0

当"0时，有：b”'一府<。.解得一

即命题为真时

故P成立是成立的充分不必要条件.

故选：A.

选择题

已知随机变量f服从正态分布N（2,八），<4）=0.84,则

<0）=（）

A0.16B.0.32c0.68口，0.84

【答案】A

【解析】

由正态分布的特征得P6W0）=l-P（e<4）=1-0.84=0.16,选

2

A.

选择题

在““BO中，48=1,BC=2f则角。的取值范围是()

A.MB.K3C.KD艰

【答案】A

ABBC11

【解析】菽==，所以sh"=利必，所以°v,me”，因旗v8C

,必定为锐角，故，'(°伺

选择题

若直线公J=ML4)与直线|2关于点(2,1)对称，则直线12过定点

'I

A.(Q4)B.(Q2)

C.L24)D.(4.-2)

【答案】B

【解析】

先求出II的定点，再利用点关于点的对称求出II的定点的对称

点，该点即为所求点.

3

选择题

x-y-240

’2x-y+3川"4

设x,＞满足约束条件，则示的取值范围是（）

1

A.[B.卜冢】c.3T】U[g）D[~?]

【答案】B

【解析】

首先画出可行域，然后结合目标函数的几何意义确定其取值范围

即可.

绘制不等式组表示的平面区域如图所示，

y+4

目标函数示表示可行域内的点与点尸（y，-4）之间连线的斜率,

1+4i

数形结合可知目标函数在点C（-U）处取得最大值：Hi',

5

目标函数在点4f7)处取得最小值：句-3

故目标函数的取值范围是卜象].

故选：B.

选择题

已知两点4(—L0),B(LO)以及圆C：*_3)2+(y-4)2=7-2(r>0),

若圆上存在点匕满足屈孑8=0,则厂的取值范围是()

A」3,6]b13,5]c.邑5]D14,6]

【答案】D

【解析】

由题意可知：以AB为直径的圆与圆(％-3产+(y-4产=r2(r>0)

有公共点，从而得出两圆圆心距与半径的关系，列出不等式得出「的

范围.

・・・/,PB=O,・•.点P在以小TO),8(1,0)两点为直径的圆上,

该圆方程为：x+y=i,又点在圆c上，两圆有公共点。

两圆的圆心距d=产不=5

|r-l|<5<r-l-l

解得：4W"6

故选：D

6

选择题

r.—L—\（n>b>0）_

已知椭圆-b?=IJ的离心率为3且椭圆C的长轴长

与焦距之和为6,则椭圆的标准方程为（）

2222222

4xyxyx9xy

A,石+不=1B,T+T=1C.0+y=1D,彳+、=1

【答案】D

【解析】

1

根据椭圆的离心率为彳，椭圆的长轴长与焦距之和为6,结合性

质02=b2+c2,列出关于Q、b、C的方程组，求出、，即可得结

果.

/c]

依题意椭圆c：W1（。>力>°）的离心率为得『1

椭圆的长轴长与焦距之和为6,2a+2c=6,

解得a=2,c=l,则心脾，

x2y2

所以椭圆的标准方程为：彳+M=1,故选D.

选择题

对数列{%},如果土河及4,4，LdwR,使

+4,成立，其中力EN4,则称为£阶递归数

7

列.给出下列三个结论：

①若是等比数列，则为1阶递归数列；

②若是等差数列，则为2阶递归数列；

③若数列的通项公式为4=则为3阶递归数列.

其中止确结论的个数是()

A.OB.1C,2D.3

【答案】D

【解析】

对于①，令匕1得，〜=4气又如}是等比数列，所以存在4=r

①正确.

对于②，令k=2得4+2=4%】+%，，因为是等差数列，所以

2，+I=，+，+2=＞，+2=%+i-，，故存在4=24=T,②正确.

对于③,令k=3得，"=4心+4/+1+4，,

因/=力3+3)2=46+2)2+4(力+1)2+货为，所以

M+6力+9=(4+4+4》'+(44+判》+44+4,

4十％十4=14=3

{4^+2^=6n{4=-3

44+4=94=1,所以③正确

选择题

在448c中，点P满足裾=2PC,过点的直线与力以4c所在的直

8

线分别交于点M,若4M=独应AN=nAC04>°）,则2/1+〃的

最小值为（）

810

A.1B.3C.TD.4

【答案】A

【解析】

根据题意画出图形，结合图形利用平面向量的线性运算与共线定

理，即可求得22+〃的最小值.

如图所示，

TTT

BP=BA+/1P,

PC=PA^ACf

TT

又BP=?PC,

TT——

-AB4-AP=2{AC-AP

-1-*2T2T

・幺2=+54c=+nAN

又P、M、N三点共线，

12

.•币+k1,

12

.・.=（）・（数+而）

22n4a4R―4A8

=（3+3）+（数+即）之/2折,药=3

4

当且仅当〃=22=9时取“=”，

8

J的最小值是可.

故选：A.

9

选择题

若函数f(x)=+ax2+队+C有一个极值点为m,且f(m)=叫

则关于x的方程3[f(x)]2—2af⑺-b=0的不同实数根个数不可能为()

A.2B.3C.4D.5

【答案】A

【解析】分析：

详解：由已知/'(%)=-3/+2以+工

由题意一3/++b=°有两个不等实根，不妨设为m，、2,

因此方程3t2-2或-5=0有两个不等实根，即f(x)=m或八乃=x2,

由于m是f(x)的一个极值，因此有两个根，而有1或2或3个根(无

论是极大值点还是极小值点都一样，不清楚的可以画出的草图进行观

察)，所以方程3[/(切2-2af(x)-匕=°的根的个数是3或4或5,不可

能是2.

故选A.

10

填空题

若二项式博/+3的展开式中的常数项为吃则'/"d”

【答案】124

【解析】

根据题意，利用二项式求得机的值，再求出被积分函数的原函数,

即可求解.

由题意，二项展开式的通项为

分+1=%岸）（J=备6fl,x12-3r

由12—3厂=0,得丁=4,所以巾=（号）.以=5,

贝J：3/dx=j53x2dx=x3|i=53-13=124

填空题

在418c中，角48。的对边分别为a,b,c,c=4fa=4扬iM,且

C为锐角，则面积的最大值为.

【答案】4+4#

【解析】

11

n

由c=4,a=4#sin/l,利用正弦定理求得再由余弦定理

可得16=i+b2-^ab,利用基本不等式可得帅式二至=8(2+/),

从而利用三角形面积公式可得结果.

Cacr

因为，又麻==二川2,

所以s】nC=E,又C为锐角，可得.

因为16=a2+庐-2abcosC=a2+b2-^2abN(2-初ab,

所以，

当且仅当"'=典(2+a)时等号成立,

即=彳absinC=与ab<4-1-4枢,

即当时，MBC面积的最大值为.故答案为.

填空题

平行四边形ABCD中，已知AB=4,AD=3,ZBAD=60°，点E,

IXU(XULLUfLLUTIXUTLUI

F分别满足4E=2⑷，DF=FC,则〃力£=.

【答案】Y

minLLUIlirHITLLirLUI1LUI

…一，.AE=-ADAF=AD-¥DF=ADi--AB

【解析】试题分析：因为3,2；

umunminLLULLU

BE=BA+AE=-AD-AB

3,那么

/HIT1HUA(2UH、nIlir.ium-n业mr

(XUi.Ju-^ABAD

=6—8—4■=—6

12

填空题

.a%a

已知VaE[l,2),3x0e(0,1],使得底o+e>—+则实数

m的取值范围为—.

【答案】(一8，。-1)

【解析】

画出函数外幻=hlX+火"幻=版+1)+山的图像，根据在区间

91J上,函数八幻图像最高点，高于9(幻图像的最高点列不等式，解

不等式求得7n的取值范围.

画出函数的图像如下图所示，要VaE[l,2),八°C(0,1],使得

ax0a

+丁+，+m成立，则需要函数图像最高点，高于图像的最

aa

高点,即f⑴>9⑴，即e>a+nun<(e-a)m.n.对于

xx

y=e-x(l<x<2)fy=e-l>Qf故(，一@"也=。一1，所以mv°-1,

即的取值范围是(-8£-1).

解答题

△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知aABC的面

积为

13

(1)求sinBsinC;

(2)若6cosBcosC=l,a=3,求AABC的周长.

【答案】(1).(2).

【解析】试题分析：(1)由三角形面积公式建立等式，再利用止

弦定理将边化成角，从而得出的值；(2)由和计算出，从而求出角，

根据题设和余弦定理可以求出和的值，从而求出的周长为.

试题解析：(1)由题设得，即.

由正弦定理得.

故.

(2)由题设及(1)得，即.

所以，故.

由题设得，即.

由余弦定理得，即，得.

故的周长为.

点睛:在处理解三角形问题时，要注意抓住题目所给的条件，当

题设中给定三角形的面积，可以使用面积公式建立等式，再将所有边

的关系转化为角的关系，有时需将角的关系转化为边的关系；解三角

形问题常见的一种考题是“已知一条边的长度和它所对的角，求面积

或周长的取值范围”或者“已知一条边的长度和它所对的角，再有另

外一个条件，求面积或周长的值。这类问题的通法思路是：全部转

化为角的关系，建立函数关系式，如，从而求出范围，或利用余弦定

14

理以及基本不等式求范围；求具体的值直接利用余弦定理和给定条件

即可.

解答题

如图，在四面体力BCD中，E尸分别是线段4D6D的中点，

Z.ABD—Z.BCD—90°?EC=枢,AB=BD=2直线EC与平面力所

成的角等于30°.

(I)证明：平面EFC,平面BCD；

(II)求二面角％一CE—B的余弦值.

1

【答案】(I)见证明；(II).

【解析】

(I冼证得EFCC,再证得EF1B匕于是可得EF,平面BCD,

根据面面垂直的判定定理可得平面EFC，平面.(II)利用几何法求

解或建立坐标系，利用向量求解即可得到所求.

(I)在RMBCD中，F是斜边8D的中点，

15

因为E尸是4D，8D的中点，

所以"=且％=监，

所以EF2+F，2=EC2,

所以.

又因为4B_LBD,EF〃/8,

所以，

又BDAFC=F

所以平面，

因为EFu平面EFC,

所以平面平面.

(II)方法一：取'C中点”，连ME,则ME〃CD

所以CD-C.

又因为CDJLBC,ACr\BC=Ct

所以CD，平面力BC,

所以ME1平面.

因此NECM是直线EC与平面所成的角.

16

故力C=2MC=2EC,cos30°=而

所以CD=BC=M

过点B作BN14C于N,则BN1平面力CD,

AB•BC2J3

且=

过点作8"'EC于"，连接"N,

则4BHN为二面角力-CE-B的平面角.

因为8E=BC=EC=^,

所以8H=当BE=专,HN=陋于_

HN1

所以COS"HN=^=3

因此二面角的余弦值为.

方法二:

如图所示，在平面BCD中，作乂轴_1_8口，以B为坐标原点，BD,

BA所在直线为y轴，z轴建立空间直角坐标系版".

因为(同方法一，过程略)

则C(1,1,0),4(0,0,2)产(0,1,1)

所以裾=(-1,0,1),康=(0,1,1)万=(0,1,_1),

设平面4CE的法向量m=(打丫避1),

17

AEm.=0yx_Z1=o

则即（f+4=0,取々=1,得［mi）.

设平面8CE的法向量"=（无2必之2）

则H“n=0,即1—2+22=0,取外=1痴=（1,—L1）.

IIm-n11

cos<m,n>=----=-pF-=7

所以|m||n|0x03,

由图形得二面角为锐角，

因此二面角的余弦值为.

解答题

已知双曲线/廿二l(a>0,b>0)的一条渐近线方程为2x+y=0,

2百

且顶点到渐近线的距离为丁.

⑴求此双曲线的方程；

(2)设P为双曲线上一点，A,B两点在双曲线的渐近线上，且分

别位于第一、二象限，若游=涉，求AAOB的面积.

y2

【答案】⑴4-x2=l；(2)2.

【解析】

(1)利用一条渐近线的离心率为2,和顶点到渐近线的距离列

18

出两个等式结合d求得。力可得双由线方程；

(2)设A(m,2m),B(—n,2n),其中m>0,n>0,心=23说明P

是AB的中点，由中点坐标公式得P点坐标，代入双曲线方程可求得附心

设NA0B=2。，则有tan2=2,由此可求得sin2。，再有|0A|

=^m,|OB|=n,面积易求.

­=L

b

|2X0+O|_2^fa=2

(1)依题意得l在一不一解得1=1

故双曲线的方程为一x2=l.

⑵由⑴知双曲线的渐近线方程为y=±2x,设A(m,2m),B(—n,2n),

其中m>0,n>0,由得点P的坐标为2'

将点P的坐标代入一x2=l,

整理得mn=l.

设NA0B=2。，,**tan=2,

I4

则tan8=2,从而sin20=5.

又|OA|=m,|0B|=n,

/.SAAOB=|OA|•|OB|sin20=2mn=2.

解答题

19

一种掷骰子走跳棋的游戏:棋盘上标有第0站、第1站、第2站、…、

第100站，共101站，设棋子跳到第n站的概率为兄，一枚棋子开始

在第0站，棋手每掷一次骰子，棋子向前跳动一次.若掷出奇数点，

棋子向前跳一站；若掷出偶数点，棋子向前跳两站，直到棋子跳到第

99站（获胜）或第100站（失败）时，游戏结束（骰子是用一种均匀材料做

成的立方体形状的游戏玩具，它的六个面分别标有点数1,2,3,4,

5,6）.

⑴求九匕弓，并根据棋子跳到第n站的情况，试用心和电

表示；

⑵求证：｛耳一加）S=L2，…,100）为等比数列；

⑶求玩该游戏获胜的概率.

【答案】⑴4=1,k=5,4=1,无=声+5用T；⑵证明

M3

见解析；（3）312叫.

【解析】

（1）在第0站是必然事件，所以.棋子跳到第1站，只有一种情

形，第一次掷骰子出现奇数点，可求出々，棋子跳到第2站，包括两

种情形，①第一次掷骰子出现偶数点，②前两次掷骰子出现奇数点，

可求出弓.棋子跳到第水2。几第）站，包括两种情形，①棋子先跳到第

--2站，又掷骰子出现偶数点，②棋子先跳到第总-1站，又掷骰子出

现奇数点，进行求解.

（2）由⑴知，，所以兄可证.

20

⑶该游戏获胜的概率，即求号,由（2）用累加法可求解.

⑴棋子开始在第。站是必然事件，所以.

棋子跳到第1站，只有一种情形，第一次掷骰子出现奇数点，其

概率为5,所以.

棋子跳到第2站，包括两种情形，①第一次掷骰子出现偶数点，

Ip=l+l=3

其概率为;②前两次掷骰子出现奇数点，其暇率为4,所以4・4.

棋子跳到第站，包括两种情形，①棋子先跳到第站，又掷骰子出

现偶数点，其概率为②棋子先跳到第站，又掷骰子出现奇数

点，其概率为2%.

故.

（2）由⑴知，,所以.

又因为勺乜七,

所以（区-%J5=LZL,100）是首项为2,公比为的等比数列.

1（丫】71丫

⑶由⑵知,兄-"-土5广〔司.

所以吃%—4J+G「马）+L+&—，）+用

=K)+L+H户

21

（n

I2）

=的-会）

所以玩该游戏获胜的概率为.

解答题

....l-m.

-/W=x+----minx„

已知x,meR.

（1）讨论了“）的单调区间；

0<AM—XjZrti

（2）当2时，证明：&X+

【答案】（1）/⑶在（5T）上单调递减；在（QD和⑴-L2）上单

调递增.（2）见解析

【解析】

,8二a-l-m-D]

（1）先求函数的定义域，再进行求导得X2,

对附分成流£1,1<W<2,附=2三种情况讨论，求得单调区间；

（2）要证由£>式-犷（力+1-血，等价于证明再对x分

0<x41,x>l两种情况讨论；证明当时，不等式成立，可先利用放缩

J>—xlnx

法将参数消去，转化成证明不等式2成立，再利用构造函数

22

氟x)=------Inx

x利用导数证明其最小值大于0即可。

（1）的定义域为地m）,

/（力=i+至=（1心一（加7]

x2XX2,

当时，由/（琦>。，得；

由，（X）<。，得0<x<l,

所以在上单调递减，在上单调递增;

当时，由，得或0〈x<附一1；

由，得用T<x<l；

所以在⑴一U）上单调递减，在3m-1）和上单调递增;

当时，由/《加号

得在上单调递增;

当加>2时・，由，得x>加一1或；由，得l<x<加一1；

所以在上单调涕减：在和上单调递增.

（2）由，得,

①当时，JA1,mxkix<0,不等式显然成立;

d

0</»0一0<mxlnx^—xlnx

②当时，xtax>0,由2,得2

所以只需证：，

十-----------------lux>0.

即证x,令,

则以力=—飞—

令Mx)=2^r(x-l)-x,

23

则“0=2x/7-l,

令。(x)=g),

则/(X)=2(X+1X”T>0

所以爪力在上为增函数，

2

,A(l)=——1<04,八

因为。,力⑵=3>0,

所以存在，Eg,"(壬)=。,

所以版x)在山壬)上单调递减，在卜，«°)上单调递增,

又因为MD=T<°,叙2)=0,

当xw[L2)时，，㈤