高考数学压轴题（新高考版）：专题20 立体几何与空间向量（解答题压轴题）（教师版）

专题20立体几何与空间向量（解答题压轴题）

目录

1、直线与平面所成角问题.............................................1

①求直线与平面所成角定值问题.....................................1

②求直线与平面所成角最值或范围问题...............................9

③直线与平面所成角中探索性问题..................................15

2、平面与平面所成角问题............................................24

①求平面与平面所成角定值问题....................................24

②求平面与平面所成角最值或范围问题..............................31

③平面与平面所成角中探索性问题..................................40

3、体积（距离）问题...............................................46

4、折叠I句题.......................................................53

1、直线与平面所成角问题

①求直线与平面所成角定值问题

1.（2023•云南•云南师大附中校考模拟预测）如图，『为圆锥的顶点，八，B为底面圆。上两点，^AOB=y,E

为P8中点，点F在线段48上，且=

E

A--------------

⑴证明：平面40P1平面。EF；

⑵若OP=AB,求直线/P与平面0E尸所成角的正弦值.

【答案】⑴证明见解析

⑵运

26

【详解】(1)设圆。的半径为

在U08中，04=。8=厂，408=?,ZOAB=7.

36

故=8r,又4尸=2FB、故4F=也，

3

22

在440F中，由余弦定理得。尸2=042+力尸2-2。4AFcosZOAF=^0A=\rf

所以。力2+。尸2=4尸2,即。人上。/?；

圆锥中，。。_1底面。。，。F<=底面。。，故尸。1。尸，

又OACOP=。，所以。Fl平面力OP,

又OFu平面OEF,所以平面AOP1平面。EF.

(2)以。为原点，建立如图所示的空间直角坐标系。-盯z,

不妨设04=43，则OP=/18=、'3O/1=3，OF=-0A=1,

3

则4(叔0,0),P(0,0,3)，B(-泽I，0),E(-9，：，I),F(0，1，0),

丽=(-V5,0,3),痈=(-R,3，OF=(0,1,0),

设平面。EF的一个法向量为元=Q,y,z),

有色•逅=0,gp|-Tx+^+Iz=0,解得羽=(26，o,ri,

kn-OF=0(y=0

设直线4P与平面OEF所成角为8,

则s勿夕=\cos(AP,n)\=磊j=黑莓=噤*

z.

2.（2023•宁熨银川•校考模拟预测）如图，在四校锥*-A8c〃中，底面是边长为2的菱形,ACn=0,

且PO1平面ABC。，P0=2,F,G分别是PB,P。的中点，E是PA上一点，且4P=3AE.

（1）求证：BD〃平面EFG；

⑵若"AB=予，求直线/M与平面EFG所成角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析

屣

【详解】（1）证明：G,"分别为PD,PB中点，：.GF//DB,

又BD《平面GEF,GFu平面GEF,

，双＞〃平面£7环；

（2）底面力BCD是边长为2的菱形，所以力C18C,又P01平面力BCD,040Bu平面4BCD,

所以P01OA,PO10B,

如图所示，以。为原点，以OA。氏。尸所在白线为匕y,z轴，建立空间直角坐标系,

z

­:ADAB=—,底面力BCD是边长为2的菱形，.•.0力=1,0。=。3=百,

则4(1,0,0),8(0,遮,0),0(0,一8,0)，P(0,0,2)，G(0,—?,1)/(0,管,1).

--PA=(1,0,-2),而=(-1,0,2),04=(1,0,0)，

又7IP=34£,.••族=［丽，••・丽=市+］而=(|,0,|),

*1,需'。,>而-(-*当+)屈=今》

设平面EFG的一个法向量为元=(x,y,z),

则1:2n3令x=l,所以〃=(1,0,2),

n-FG=-1x-^y+1z=0kz=2x

设直线P4与平面EFG所成角为仇。60片

则$出a=用=悬.故有s’0=V1-sin2°=r

所以直线P4与平面EFG所成先的余弦值，

3.(2023•江苏扬州•统考模拟预测)如图，平行六面体力8。。-48心。1的体积为6,截面的面积

为6.

⑴求点8到平面4CG4的距离；

(2)若力B=AD=2/B4)=60。，力4=灰，求直线BD】与平面CGD】D所成角的正弦值.

【答案】⑴1

(2)等

【详解】(1)在平行六面体4BCD—&9iGDi中，ABC-AiBiCi是三棱柱,

=

匕-ACGA=］匕BC-A4G~^ABCD-Alf\C^=2'

设点8到平面4CC1&的距离为d,则%WGA=gs“.cMM=gx6d=2,所以d=1,

即点8到平面4CG①的距离为L

⑵在团4BCD中，AB=AD=2,ABAD=60°,所以488是菱形，连接BD交AC于。，则80=1,

由（1）知点8到平面力CG4的距离为1,所以5。1平面4CG4.

设点4在直线4C上射影为点H、SACC^=ACA.H=26AH=6,

则&H=V5,且/30_1_A〃,AH="LA；_A〃2=J（厢2—（后二G

所以。和H重合,即A10140.

以0为坐标原点，0A080A分别为%轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系,

则8（0,1,0）,A（G0,0）,0（0,T,。）,4（。,0,6），

根据双=西=(-V3,0,V3),^5=DC=(-V3,l,0)»则^(-73,-1,73),

BD1=(-75,-2,75),设平面CC/i。的i法向量为元=(x,y,z),

则(DD；­n=-V3x+yj3z=0

IDC-n=-V3x+y=0取4=1,则元=(i,V5,i),

设直线BQ与平面CG5D所成角为*则sma=Ico式西，孙=|禺言-日一2百+百|_渔

-VToxVs_I__5f

4.（2023•安徽六安•安徽省舒城中学校考模拟预测）如图，已知多面体E4BC。尸的底面A8CZ）是边长为2

的正方形，EA1.底面ABCD,FD,EA,且广D=gE4=l.

E

⑴记线段8c的中点为K,在平面718CO内过点K作一条直线与平面ECF平行，要求保留作图痕迹，但不要求

证明；

⑵求直线EB与平面ECr所成角的:E弦值.

【答案】(1)答案见解析

【详解】(D延长4D,E尸，设其交点为N,连接CN,

则CN为平面力BCD与平面ECF的交线，

取线段CO的中点M,连接KM,直线KM即为所求.

证明如下：延长设其交点为N,连接CN,

则CN为平面4BCD与平面ECF的交线，

因为尸D〃£4,所以△尸04-△E4N,乂FZ)=，E4

所以ND=gNA,

所以ND=/Z4=BC,又ND“BC、

所以四边形8CN0为平行四边形，所以CN〃BD,

取CD的中点M,连接KM,

•・・凡”分别为8。(。的中点，

:.KM“BD,:.KM“CN.

•・•CNu平面£TC,KMU平面EFC,

・・・KM〃平面EFC.

(2)以点力为原点，48所在的直线为X轴，A0所在的直线为、轴，建立空间直角坐标系，如图.由已知可得

71(0,0,0),E(0,0,2),8(2,0,0),6(2,2,0),F(0,2,l),

所以的=(2,2,—2),丽=(2,0,-2),而=(0,2,-1),

设平面EC/7的法向量为泾=(%,y,z),

吧取料口二算°

取y=1得，x=l,z=2,

平面EC尸的一个法向量记=(1,1,2).

设直线E8与平面ECF所成的角为8,

则而8=Im式丽，制=磊=岛|=T-

所以直线E8与平面ECr所成角的正弦值为恒.

6

5.(2023•福建福州•福建省福州第一中学校考模拟预测)如图，在底面为正方形的四棱台4BCD-4BiGDi

中，已知40=2,DD1=1,BD［=gA到平面BOQ的距离为第.

⑴求久到平面4BCD的距离；

⑵若=寺求直线CG与平面48劣所成角的正弦值.

【答案】⑴字

⑵誓

【详解】(1)在正方形中，A3=4。=2,则80=2四，

在ABD%中,由条件可知BO?=叫+。好即BDilZWi，

所以SA8D5=3BD「ODI=日，

因为A到平面BODl的距离为殍，所以匕.8叫=襄守Sw%=金

因为S&A8D=\AB,AD=2,记D］到平面力BCD的即:因为h,

所以由％1-4BD=:八'S^ABD=H-BDDI=［，得力=学

即％到平面4BCD的距离为亭

（2）在四棱台力BCD-&B1QD1中,力也〃平面4BC。,

则"到平面4BCD的距离即为a到平面ABCD的距离,

假设力必不垂直于平面4BCD,则曰，与44=半矛盾，

所以/Mi1平面A3C0,

又因为平面4出。必II平面4BCD,所以44i_L平面281GD1，

由u平面ABiGDiMA1A1Di,

所以在直角梯形A4W1。中，如图所示，过。/作O/M_LAD于M点,

则DM=AD-AD,AA=DM,DM2+AA1=DDf=>DM=-,AD=",

11112112

以A为原点，而，而，丽方向为x,y,z轴的正方向，如图建立空间直角坐标系,

y

翡专同。,1，科同=（200），瓯=（。，泊，鬲=

则A(0,0,0)1(2,0,0),C(2,2,0),0(020),C

Z✓

w,外

设布=(x,y,z)是平面的一个法向豉，

n•=2%=0

rh一-777*3,V3，取y=L，则z-6,所以元—（0,1,—Q）,

n-ADi=-y+yz=0

ICQn_W_275

设直线"i与平面所成角为仇贝％皿。=||鬲1同瓦有5

②求直线与平面所成角最值或范围问题

1.：2023春•黑龙江•高二校联考开学考试)如图，在梯形43co中，/0〃8C,点〃在边A。上=

-BC=—,CM=CD=2,以CM为折痕将△CM。翻折到△CMS的位置，使得点S在平面A8C。内的射影

42

恰为线段。。的中点.

S

⑴求四棱锥S—4BCM体积：

⑵若点P为线段SB上的动点，求直线CP与平面WAS所成角的正弦值的最大值.

【答案】⑴答

(2)竽

【详解】(1)取的中点0,连接S。、S0,取M。的中点尸，连接。尺

,."M="D=.=¥，♦・・8C=M0=2VL

VCD=CM=2,：.CD2+CM2=MD2

：.CM1CD,CF1MD,CF=^DM=y/2.

由题意知SO±平面ABCD,CDu平面ABCD,：.S01CD

为C。中点，且CD=CS=2,：.0C=^CS=1,：,S0=<3

XS0=3X2X(^+2夜)X遮X遮=般;

“四棱锥S-ABCM=四边形ABCM

(2)延长。。到点£,以。为原点，CM.无的方程分别为x轴、y轴的正方向，建立如图所示的空间直角

坐标系，则C(0,0,0),M(2,0,0),5(0,—

MS=(-2,-l,V3)，CS=(0,-1,V3),

•；BC=MD,且/10〃BC,，四边形8CQM为平行四边形,

J.LBMC=^.MCD=90°,/.5(2,2,0),

・••丽=(0,2,0)，Sfi=(2,3,-V3).

设方=店瓦Ae[0,1]

则而=CS+SP=CS+ASB=^,-1,y/3）+A（2,3,-V3）

=（2A,3A-l,V3-x/3A）.

设平面MBS的一个法向量五=（x,y,z）,直线CP与平面MBS所成的解得为仇

由,匣=0得,2y=°令》则），=0,z=2,

故可取元=（百,0,2）.

Sind=

■■匕。S伉而”=S=同16爱田4=

・•・当;I=涧，sin。取得最大值竽.

所以直线CP与平面MBS所成角的正弦值的最大值竽.

2.（2023春・福建福州•高二校联考期末）如图，三棱台48C-&31cl中，AB=BC=28^=4,。是AC

的中点，E是棱8c上的动点.

（1）若力为II平面。£6,确定E的位置.

（2）已知CQL平面且设直线9。1与平面OEQ所成的角为d,试在（1）的条件下，求的

最大值.

【答案】（1）见解析

B

由三棱台48c-A/iG中,AB=BC=281G=4,。是AC的中点可得力iQ〃AD,A£=AD,所以四边形

ADCMi为平行四边形，故AA、〃DC[,

力力1u平面。/?Ci，D（\u平南iOE[,故441//平面。月。i，

又8为〃平面。EG，且A%44iu平面力8/&,AB1C\AA1=4,

所以平面平面DEC]，又平面A阴A。平面ABC=AB,

平面ABCn平面DEG=DE儆DE!/AB,

由于。是力C的中点，故E是BC•的中点，

故点E在边8C的中点处，力当〃平面OEG；

（2）因为CG1平面HBC,ABu平面ABC,

所以CCIAR,又AB工BCaCCiCRG=C\,CC\,BQu平面BCGBi，

故1平面BCGBI，由于8cu平面8CC[8],所以AB1CB,

由（1）知：E在边BC的中点，。是4C的中点，

所以ED〃48,进而DE1BC,

连接四瓦由81ci〃EC,B]G=EC,

所以四边形为GCE为平行四边形，

故CC"/BiE，由于CQ1平面4BC,因此aEl平面4BC,

故ED,EC,E8i两两垂直，建立如图所不的空间直角坐标系；设&E=a,

B

则E(0,0,0),矶一2,0,0),C(2,0,0),0(0,2,。),C/2,0,Q),%(0,0,a),

故方=(0,2,0)西=(2,0,。)，

设平面DEG的法向量为访=(x,y,z).

，取x=a,则沆=(a,0,—2),

又BCi=(4,0,a)，

故而”|皿（西向|=甯=悬焉=得q

当且仅当。2=­，即Q=2或时取等号，

a~

所以s出。的最大值为;.

3.（2023•海南海口•统考模拟预测）如图，四棱锥P-718co中，力8〃。。，ABLAD,平面04。_L平面PCD.

p

I

c.

⑴证明：平面PA。1平面A8CD：

⑵若40=248=2,PB=a，PD=痘,8C与平面PC。所成的角为仇求sin。的最大值.

【答案】(1)证明见解析

⑵9

【详解】(1)证明：过点A作力H1PD于〃，

因为平面/<401•平面PC。，平面PADn平面PCD=PD,所以AH，平面P。。，

又CDu平面PCD,所以CD14”，

由4B//CD,AB1AD,可知CD1AD,

而4Hn/W=4,AH,ADc^PAD

所以CD1平面PAD,

因为CDu平面ABCD,所以平面P4D1平面ABCD.

(2)法1：由(1)知C0_L平面尸4D,24<=平面上4。，所以C0J.P4,

又AB“CD,所以481P4

所以PR=、PB2-AB2=1，PA^+AD2=PD2=5,所以P4_L/1D,

由48C\AD=A,AB,ADu平面ABCD,所以241平面力BCD.

如图建立空间直角坐标系，则8(1,0,0),P(0,0,l),D(0,2,0),设C(m,2,0)(m>0),

平面PC。的一个法向曷为记=(x(),yo，zo),~PD=(0,2,—1),

比=(m,0,0)，所以元_L而，nlDC^即£.丝二°,

'"(五.OC=0

得令%=1，得另=(。，1，2)，

丽=(血-1,2,0),所以s'=繇"二后

显然，当m=l时，"m—1尸+4取最小值,

综上，当CO=1时，sE6的最大值为正.

S

法2：设点8到平面PCO的距离为d,因为48〃CD,CDu平面PCD,

所以48〃平面PCD,所以点人到平面PCD的距离也为d,

由（1）,CDJ_平面PAZ）,所以CD1PA,又AB“CD,所以AB1P4

所以=7PB2—AB2=1，所以0/P+力。2=2。2=5,所以B4171D,

rti（1）,AH1平面PC。，所以4=力〃=把"=/，

AnPD5

由s出。=色=2・工，在四边形48CD中，当BC1CD时，BC取最小值，

BC5BC

此时四边形48co显然为矩形，BC=2f所以s出6的最大值为度」二匹.

525

4.（2023春•江苏常州•高二江苏省滦阳中学校考阶段练习）如图，四棱锥「-力庆:。的底面为正方形，41_L

底面/BCD,PA=AB=3,点E在棱PD上，且20E=ED,点尸是棱PC上的动点（不含端点）.

⑴若F是棱PC的中点，求N64尸的余弦值；

（2）求PA与平面4EF所成角的正弦值的最大值.

【答案】（1拶

（2卢

【详解】（1）由PA1平面A8CZ）,AB,ADc^ABCD,所以P4148,PA1AD,

又＜8140,所以24、AB.A0两两垂直，

以4为坐标原点，分别以力8,AD,4P所在直线为％,y,z轴，建立空间直角坐标系“一xyz,

则P(0,0,3),4(0,0,0),B(3,0,0),6(3,3,0),D(0,3,0),E(0,l,2),

当，为棱PC的中点时,F(|,|,|),则荏=(0,1,2),布=(|，谷)，

COSOE.AF)=普"i==7=—，

所以，氏4"的余弦值为誓.

(2)PC=(3,3,-3)，设方=4定=(3九3九一3入)，0<A<l,

则万一而二（3尢3尢-3/1），则而=（3尢3/1,3—3；1），又版=（0,1,2），

设平面4EF的一个法向量为方=（%i，yi,zD，

震二即3乜+3K•常-£=(T取/=(竽-2,1),

则

西=（0,0,-3），设P4与平面4EF所成角为仇

sinf)=\cos(jv[PA)\=IM•西

t河向I

f

令)=今_1+14=G_3)+5,当1=3时,ymin

即7=9时，sine有最大值争

所以尸力与平面AEF所成角的正弦值的最大值为日.

5.（2023•全国•学军中学校联考模拟预测）已知体积为1的四面体ABCO,其四个面均为全等的等腰三角形.

⑴求四面体ABC。的外接球表面积的最小值；

⑵若4B=8D=2,的面积为空设点P为线段”（含端点）上一动点，求直线CP与向河所成角

的正弦值的取值范围.

【答案】（1）3海7T

喉3

【详解】（1）解：因为在四面体48CD,其四个面均为全等的等腰三角形，

所以，将四面体放置于如图所示的长方体AMON-0CQ8中，其中AM=4/7,则48=AC=CD=BD,

BC=AD,

所以，在长方体AMDN-OCQB中，底面4MDN为正方形，设4M=4N=Q,AO=b,

因为四面体4BCD的体积为1,

所以，四面体4BCD的体积为以-BCD=/长方伙-4%_08c=一|。2匕==1,即/匕=3,

设四面体4BCD的外接球的半径为R,

所以，4R2=2a2+b2=a2+a2+b2>3Va2-a2-b2=3^/（a2/?）2=3V9»当且仅当口=匕时等号成立,

所以四面体A8CD的外接球表面积S=4nR2>3炳n，

所以，四面体A8C0的外接球表面积的最小值为3班不

（2）解：因为力8=BD=AC=2,△ABC的面积为叵，

2

所以，S^ABC=-AB-ACsinz.BAC=-x2x2xsin^.BAC=—^解得sin/8/1C=汇，

2224

所以，COS/B4C=3

4

所以，在△力BC中，由余弦定理得8c2=4^2+4。2-2AB•4LcosA=6,即吕。=遍，

所以，AD=BC=#，AM=AN=>13,AO=1»

所以，以N点为坐标原点，而，而，雨的方向分别为％y,z轴建立空间直角坐标系，如图所示.

所以,4(73,0,0),D(0,V3,0),8(0,0,1),C(8,V5,1),

则通=(-75,0,1),AD=(-V3,V3,0),CA=(0,-V3,-l)

设平面ABO的一个法向量为论=(x,y,z),

则，竺•五=0,即b=75%,令“I,则记=（i,i,V5）

（40•元=0kx=y'）

因为点P为线段AB（含端点）上一动点，故设行=2元瓦2E[0,1]

所以而=CA+^=（0,-V3,-l）+A（-V3,0,l）=（一百九一百X-1）

设直线CP与平面AW）所成交为8,

8=\cos(n,CP)\=黯=26

所以,sin—+例一何=

75-V'4A2-2A+4

因为;lW[0,l],4("；)，号W4,6]

所以，M念+^愣，共即sin。6愣局

所以，直线CP与面A8。所成角的正弦值的取值范围

③直线与平面所成角中探索性问题

1.（2023春•福建漳州•高二校考期中）已知直角三角形ABC中NBAC=9（r,C4=2A3=4,。、E分别是

AC、8c边中点，将ACOE和△8AE分别沿着。E,AE翻折，形成三棱锥P-ADE,M是AO中点.

⑴证明:平面人。£：

⑵若直线PM上存在一点Q,使得QE与平面PAE所成角的正弦值为%求QM的值.

【答案】(1)证明见解析

(2)QM=—

6

【详解】(1)因为。，E分别是AC,8。边中点，所以。切/AB,

因为NH4C=90°,即A814C,所以CE1AC,

所以。E_LAO,DE工CD,SRDELPD,

因为AOc尸。=£>,AD.POu平面PA。，所以。E_L平面尸A。，

又PMu平面RAO,所以PMJLOE,

由题意，PA=BA=2,PD=CD=^CA=2,则产力=P。=2,

又做为A。中点，所以PM_L4Z),

因为AOcOE=。，AD.QEu平面AOE,

所以户加_1_平面/1。£.

//以:二w^_>

E

(2)以M为原点，MZXMP分别为x,z轴，作My〃。&建立如图所示的空间直角坐标系,

由P4=PD=2,DE=^AB=1,则A(-1,0,0),0(1,0,0),P(0,0,Q),E(1,1,0)，

所以瓦?=(-1,0,-何荏=(2,1,0)，设面尸AE的法向量为元=(x,y,z)f

则?二小r—8z=°,令z=—i,则元=(百,一2低一1),

设Q(0,0,£),则证=(1,1,-£),

因为QE与平面PAE所成角的正弦值为%

所以I不悬I=/解得t=9,则Q（O,O，E）,故QM=9.

2.（2023春•云南楚雄•高二校考期末）如图，已知S4垂宜于梯形A8CD所在的平面，矩形S4DE的对角线交

于点F,G为S8的中点，/-ABC=LBAD=SA=AB=BC=^AD=1.

BC

⑴求证：BD//平面/EG.

⑵求平面SCO与平面ESD所成锐二面角的余弦值；

⑶在线段EG上是否存在一点〃，使得BH与平面SC。所成角的大小为却若存在，求出GH的长：若不存在,

说明理由.

【答案】（1）证明见解析

【详解】（1）连接FG,因为四边形SADE为矩形，所以F为SO的中点,

在ZiSBO中，F、G分别为SD，SB的中点，

所以FG//8D,

又因;6Gu*P面4EG,BD9平面AEG,

所以8。〃平面AEG.

（2）因为SA1平面ABC。，AB,ADu平面A8CD,

所以S4LAB,SALAD,

又NZMQ=巴，所以48_L/0,

以通，而，而为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系4-xyz

x

则｛(0,0,0),8(100),C(LLO)，0(020),S(O,O,1),E(0,2,l),GQ,0，)•

CZ)=(-1,1,0),SC=(1,1,-1),

设平面SCD的一个法向量为记=(x,y,z),

则［Fg=r+y=°,令x=l,得y=l,z=2,

所以平面SCO的一个法向量为沅=(1,1,2),

因为S/JL/B,AB1AD,SAC\AD=A,u平面ES。，

所以力B1平面ESD

所以平面ESD的一个法向量为AB=(l,0,0)

所以cos伍AB)=髓=7==号

所以平面SCO与平面ESD所成锐二面角的余弦值为名.

6

(3)旗=(心，2,3同=(一卜0弓),

假设存在点H,设滂7=入立=(-乂,24])，

则BH-BG+GH-BG4-AGE-(————A,2A,~,

由(2)知，平面SCO的一个法向量为沅=(1,1,2),

因为与平面SCO所成角的大小为，

所以sE：=|cos(万，丽)|=|i^i|=上『尸+二^=i,

6|4A2+|(l+A)2X>/l+l+42

||^+||1

所以L9,「5,即。-1)2=0,所以2=1.

故存在满足题意的点H，此时回=|西=2+4+”苧

3.(2023春•江西新余•高二统考期末)如图，在四楂锥P-4BCD「3底麻48。。为正方形，PA_L底面43c0,

PA=DC=1,E为线段P8的中点,，尸为线段BC上的动点.

(1)证明：力E_L平面P8C；

⑵若直线AF与平面P4B所成角的正弦值为泣求点P到平面力£7的距离.

5

【答案】(1)证明见解析

【详解】(1)证明，因为P41底面且BCu底面/8C0,所以P41BC,

因为48C。为正方形，所以AB1BC,

又因为24nA8=A,且P4ABu平面PAB,所以8cl平面PAB,

因为力Eu平面P48,所以BC_L4E,

由PA=DC=48,E为线段PB的中点，所以4E1P8,

因为尸3C8C=Bh,PB,BCu平面P3C,所以HE_L平面P3C.

(2)解：因为尸力_L底面218。。，旦40,

以4为坐标原点，以AB/D,4P所在的直线分别为x轴，y轴和z轴，建立空间直角坐标系力-孙z，如图所示,

则4(000),B(l,0,0),P(0,0,l),所以E6,0+),

设F(l,t,0)(tW[0,1])，则4/=(1/0),

因为y轴平面P4B,所以平面P4B的一个法向量为沅=(0,1,0)

所以*1磊H舟I，解得—所以广储,0)：

又因为荏=&0弓)，而=(1，3=),

(AE-n=-x4-=0

设平面AEF的法向量为元=(3,z),则《一2：,

li4F-n=x+-y=0

取彳二-1,可得y=2,z=l,所以五=(一1,2,1).

因丸布=(0。1)，所以点P到平面4"的距离为d=胃=*

4.(2023・四川宜宾•统考三模)如图(1),在正三角形ABC中,D,E分别为中点,将△力OE沿OE折

起，使二面角4-小一8为直二面角，如图(2),连接48,/lC,过点E作平面E尸G与平面平行，分别

交B&AC于凡G.

A

A

(1)证明：EG_L平面力8C；

(2)点”在线段上运动，当rH与平面£7访所成角的正弦值为巫时，求党的值.

【答案】(1)证明见解析

(2)；或1

【详解】(1)作。E中点0,连接40,0F,4F,

D,E分别为48,4C中点,则力。=RE,，AO1DE,

而二面角A-DE-R为直二面角,且平面/DEC平面8CED=DE,

力。＜=平面40E,故力。平面8CED,

•・•平面EFG||平面AB。，平面EFGn平面ABC=FG,平面力8Dn平面A8C=A8,

：.AB||FG

同理8。IIEF,

由。,£分别为/18,4(；中点，「.。七〃8。，则四边形BDE广为平行四边形,

故DE=89=^8C,，/为8c中点，・・・G为AC的中点，

而4E=EC,*,GE1AC,

•・・401平面8CED,BCu平面BCE。,：,A01BC,

而0F18C,A0dF0=0,A0,F0c^AOF,：.BCL^AOF,

力Fu平面力。尸，1AF,：.GF=GC=\AC.

由于E尸=D8=EC,GE是公共边，:.〉GEC9dGEF,

：.LFGE=Z-CGE=90°,即EG1GF,

XXCAGF=G,AC,GFu平面ABC,：,EG1平面4BC.

(2)由(1)知力01平面BCE。，以。为坐标原点，0只。£,0月为”,凹2轴,

建立如图所示空间直角坐标系。-孙z,

令BC=4a,则0(0,0,0)/(0,0,V3a),8(V5a,-2a,0),C(y5Q,2a,0),D(0,-a,0),

E(0,a,0)/(岛,0,0),G(苧,a,苧)，

设崇=W[04]»H(x,y,z)^AH=4而，故(％y,z-V3a)=A(0,-a,-V3a),

(%=0

AIy=,・・・“(0,一而,75。(1一乃)，

\z=V3a(l—A)

设平面EFG的法向量n=(Xi，%,zD，EF=(V3a,-a,0),出=(苧,0,年)，

y/Sax^—ayz=0

、&i>/3aA»取与=1，，元=(1,百,一1),

—+—=0

(X1Z1

FW=(-V3a,-Aa,V3a(l-A)),而广〃与平面E/G所成角的正弦值为卓，

•VIS-\3a-y3aA-\^3a(,l-A)I在〃4H1-p«

*-=赤品斩矛I'解得2=5或L

5.12023・吉林•统考三模）如图，在多面体/18CDE/中，四边形力8FE和四边形CDEF均是等腰梯形，底面48co

为矩形，AC与BD的交点为。，EF〃平面48CD,且EF与底面力BCD的距离为&，AE=ED,AB=2EF=

4,AD=2VI

⑵在线段所上是否存在一点M,使得CM与平面4CE所成角的正弦值为等.若存在，请确定点M的位置;

若不存在，请说明理由.

【答案】（1）证明见解析；

⑵存在；M是M的中点.

【详解】（1）证明：取A。中点H,连接EH,HO.

•・・0是底面ABC。对角线AC与8。的交点，即3。的中点

:,HO〃、AB,HO=^AB.

22

•；E尸〃平面力BCO,EFa^-^ABFE,平面48CDn平面/BHE=48,：.EF||AB.

'：AB=2EF.

:・EF〃三AB,EF=^AB,故HO〃EF,HO=EF,则四边形EFOH是平行四边形.

/.F0IIEH

•・・EHu平面FOU平面ADE

:・FO||平面AOE.

(2)'：AE=ED：,EHLAD

*/OH1AD,OHC/TH=〃，且两直线在平面内.：.ADl^EFOH.

•・3。匚平面力8。。・•・平面ABC。_L平面EFOH

在平面EFOH中，过。作。G1OH.

平面ABC。n平面"OH=HO・・・0G1平面4BCD.

取48中点N,取BC中点Q,连接ON,OQ.

以0为原点，ON,OQ,0G所在在线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系

则4(企,一2,0),5(72,2,0),。(一、②2,0),0(-戈,-2,0),E(0,-l，⑨，F(0,l,V2),有瓶=(一2鱼,0,0),

荏企)，BF=(-272,0,0),

设丽=XDF=A(-\/2,-l,\/2)=(-x/2A,-A,>/2A)(0<A<1),

:.Af（V2-V2A,2-A,V21）/.CM=（2V2-0,一人,V2A）.

设刊=（居'2）是平面/1。£的一个法向量出♦言二；，

，｛_苏鬻溜=o令y=-a则z=/■=9-夜，1）

设CM与平面4。£所成角为a

•SITIa=cos\n-CM）=---『=----

V3-J（2>/2-y/2A）2+A2+2A2"

化简得：2A2+A-l=0・・.；1=；或一1（舍）

当M是8〃的中点时，使得CM与平面AQE所成角正弦值为纪亘

21

6.（2023•陕西西安•校考模拟预测）如图，四棱锥。一4%:0的底面为菱形，乙ABCAB=AP=2,PA1

«5

底面A8CD,E,尸分别是线段P8,尸。的中点，G是线段PC上的一点.

⑵若直线4G与平面4E厂所成角的正弦值为噜，试确定保的值.

【答案】⑴证明见解析

磅=泗

【详解】（1）（1）证明：取8C的中点M,连接4M,则AM_L4O,分别以AM,AD,4。所在直线为x,

y,z轴建立空间直角坐标系4-丫彩，如图所示.

则4(0,0,0),fi(V3,-l,0),。(百,1,0),P(0,0,2),-F(0,l,l),

设G(x,y,z),因为对=3近，丽=(%y,z-2)，PC=(V3,1,-2).

所以(％y,2—2)=|(V3,1,-2),即G

荏=停,4,1)，而=(0,1,1)，

设平面4Er的法向量沅=（a,b,c）,则|,所以，当Q_gb+c=°，

Z?+c=0,

取沆=（V3,1,—1）＞

所以正.访=1—=0,即彳5j.布.

*5

又因为4W平面AEF,

所以直线AG在平面AEF内.

(2)(2)设方=APC(O<入V1)，则正=AP+PG=AP+APC=(0,0,2)+2(b,1,-2)=(百九尢2-

2A)

则加胸网=西黠%=%

解欲二喝,即合超

2、平面与平面所成角问题

①求平面与平面所成角定值问题

1.（2023•山西运城・山西省运城中学校校考二模）如图，在三棱柱/18。一力道停1中，侧面BBiG。为菱形,

zCBBi=60°,AB=BC=2,AC=ABY=&.

⑴证明：平面ACBil平面BBiGQ

⑵求平面4CC]4与平面4B1C1夹角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析：

明

【详解】（1）如图，连接8C，交8c于。，连接力0.

因为侧面B8£C为菱形，所以aC18C，且。为BG的中点.又.4。=力当=或，故A。1丛二

又48=BC=2,且“BBi=60。，所以CO=1,BO=痘,所以力0=V/1C2-CO2=1.又AB=2,所以人炉=

BO2+AO2,所以

因为BO,CBiU平面B/QC,BOACBX=0,所以40_L平面

又4。u平面ACS,所以平面ACa1平面BBiGC.

A4

BBi

(2)由(1)知,04OB,。々两两互相垂直,因此以。为坐标原点,08,081,04所在直线分别为%轴,y轴,

z轴，建立如图所示的空间直角坐标系。一无yz,则4(0,0,1),5(73,0,0),C(0,-l,0),Q(-遮0,0).

故西=(-V5,1,0)，CA=(0,1,1)，CB=(V3,1,0).

设於=(卬九方)为平面ACC出的一个法向量，则有科生=°,即卜函?二°,令/=1,则元=

(元•(??!=01),+4=。

(l>>/3,-V3).

设沆=。2，'2*2)为平面A8C的一个法向量,则有回，上二。,即[照+：2=0令无2=1,则沅=

(m・C8=0(V3x2+y2=0

(1,-75,75).因为平面4B1GII平面ABC,所以沅=(I,-百,百)也是平面4道£的一个法向量.

所以如<丽>1=儒=卷号.

所以平面4CG4与平面A]8iG夹角的余弦值*

2.(2023•宁夏石嘴山•统考•模)如图，在四棱锥A-8COE中，侧面力DE1底面8CDE,底面BCDE为菱形,

/BCD=120°.AE±AD,AADE=30°.

⑴若四棱锥4—8C力石的体积为L求DE的长;

⑵求平面4BE与平面4CD所成二面角的正弦值.

【答案】⑴2

⑵等

【详解】（1）如图，过4作AG_L/犯于G,连接CE,

因为侧面4DE1底面BCDE,且侧面力DEn底面RCDE=DE,AGu面ADE,

所以AG1底面BCDE,

设Z）E=Q,因为AE_LADN4£>E=30。,

所以AG=AD-sin300=—«x—=—a,

224

在菱形BCOE中，ABCD=120°,则△BCE为等边三角形,

则SBCOE=2sA8CE=当02，

所以四棱锥AMCOE的体积昨卜K%/=?=1，

解得DE=a=2；

（2）取DE的中点0,连接OC,贝J0C1DE,

以正的方向为无轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，设8。=4,

则D（0,2,0）,七（O,-2,O）,C（20,O,O）,3（26TO）,A（O,-l,x/i）,

=CD=（-2>/3,2.0）,£？1=（0,LV3）,DA=（0.-3,75）,

设平面4BE的法向量为访=（x,y,z）,

m-BE=-2V3x+2y=0.«一（入

则.和前=y+信二'令z=L4得a皿=（-1,-乃1），

设平面4C0的法向量为河=（x»z）,

元•C。二+2y'=0.木田T人二八

一一,l,，令？=遮，得n=（l,竟,3）,

（n-D/l=-3/+V3z,=0'）

则（无汾==T-3+3=—叵

人|m||n|遥xg65

故平面4BE与平面力8所成二面角的正弦值为J.（一噜j=雪

3.（2023•贵州黔东南•凯里一中校考模拟预测）如图，在三棱柱4"一力道心中，AB=BC,AB,=B.C.

4G

Bl

AR---+--

B

（1）证明：ACIB国

⑵若AB=BK=2,AB1=”,乙4BC=120。，求二面角4一8B1—C的余弦值.

【答案】（1）证明见解析

（2）-1

【详解】（1）取4c的中点D,连接8D,8也，

vAB=BC,AB1=B1C,/.AC±I3D,AC1B1D,

又BDC\BiD=D,u平面BBi。，MCJ■平面BBiD,

而u平面8&D,

4clMB；

（2）在△48C中，AB=BC=2,^ABC=120°,

可得BD=^AB=