高考复习数学专项平面向量训练与解析

限时集训(六)

第6讲平面向量

■基础过关

1.已知才&<2,3),而［4,7),则就=()

A.(-2,T)B.(2/1)

C.(6,10)0.(-6,-10)

2.如图X6-1所示在△/阿中，初］科%.［以；则而=()

«54

图X6-1

A二配［而

B.京Y而

OO

C.^AC-^AB

D.^-AC-yAB

26

3.已知向量a<2,-1),归/〃+1,3/〃),若a_L〃则!b/=()

A.1B.3x/5

C.-1D.7

4.已知日十】,3),加(幽加~4),月2见3),若a///),则b・c={)

A.-7B.-2

C.5D.8

5.△月阿内一点0满足就+2而用沆电直线切交比于点颇()

A.2DB+3瓦-0B.3D5/2DC4)

C.0A-50b^CD.5福拓也

6.设〃为△力欧所在平面内一点配=3而，若而二/而+〃前厕儿-〃二()

7.如图XG2所示，在△力比'中,G为’的重心用为上点且满足就=3翔厕()

A

Gi

图X6-2

K.GM^AB^AC

•51

B.丽二—而$尼

•5JL4

C.而毛丽W尼

JJL4

D.GM^AB^-AC

JJL4

8.两个非零向量a,力满足a+b[=ia-bf&/m,则向量b与b-a的夹角为（）

A.1B，2

66

c争呜

9.在直角三角形力比中,/力切0°,力庐2,464/在△力弦斜边欧的中线力〃上，则而•（丽彳元）的最大值

为（）

8242

10.已知向量a与b的方向相同,VI,7^）/力/=2,则/V2a-b/=.

11.已知两个单位向量a,b的夹角为30°,c=ma^[\-Di）b,b•。期则m=.

12.在直角三角形力切中,N/吩90°,OA1=\,丽优'平分/力5且与/力相交于（；则反在编方向

上的投影为.

・能力提升

13.已知〃为等边三角形力比所在平面内的一个动点，满足钾=[阳IWR）,若福『之则而〈而，硝=

（）

A.2V3B.3

C.6D.与久有关的数值

图X6-3

14.如图X6-3,在平行四边形/\BCD^,AB=3,AD=2^APAB.AQAD^CP・丽=12厕/月心()

.STT3IT

A•不BN.彳

C空D2

L-3U-2

15.如图X6-4所示，已知OX'而=1,沆M/2,tanZAOH=-^-,ZBOC^OC=nVAR),则巴等于

34也

()

A5n7

A吁B.g

C三DZ

J7%

图X6T

16.如图X6~5,在△月欧中，/胡。写而Y丽/为⑦上一点，且满足於=〃/正弓而（〃/为常数），若△力弦的

面积为2祗则，成的最小值为

限时集训（七）

第7讲三角函数与正、余弦定理

■基础过关

1.已知角。的顶点与原点重合，始i力与通由非负半轴重合，终说过点（遍,-2）,则sin（a-3n）=（）

.V52V5

A・丁BV

C.qD.1

2,若cosJsin2a=)

8.若tana=3,则sin2a=()

33

A1

44

c-lD-s

图X7T

9.已知函数/(x)=/lcos(3/0)(/LX),出为,/。弓)的图像如图X7-1所示若函数用力=/3+1的两个不

同的零点分别为及,则/小-而的最小值为()

A.争吗

C.yD.n

10.在△力砥中，内角力明。的对边分别为a,"c,若a=L百sinAcos。(百sinC瑜cos力力,则力=

()

A争力

Lr，-6nU，—6

11.某小区打算将如图X72所示的直角三角形,4回区域进行改建,在三角形三边上各选一点连成等边

三角形如■在△明'内建造文化景观.已知力庐20m,/IC=10m,贝!△〃分'的面积(单位:m?)的最小值为

图X7-2

A.25V3B.萼

14

「100V3口75V3

C.—^―D.—

12.已知\用$迷x化osx考，则cos(xg)^.

13.困数/G)=sin，+3cosMx匕［)的值域为.

14.在△/函中，内角力前的对边分别为Me,若△放的周长为7,面积为苧,cos0=3厕c=.

■能力提升

(oj,且sin2。cos

15.已知。e=2cos2a(\*sinf),则)

A.2a-尸方B.2a+£^

C.a+*D.a-吟

（3x^）（'"刀）的图像和爪*）3cos（2内。）刊（0q）

16.已知函数/（.¥）^2sin的图像的对称轴完全相

oL

同，则下列关于虱X）的说法正旃的是（）

A.最大值为3

B.在区间（喏）上单调递减

C.点（今。）是其图像的一个对称中心

I）.直线是其图像的一条对称轴

O

17.在△46。中MG3,向量而在尼方向上的投影为2%,阀f则BC=（）

A.5

B.2V7

C.V29

l）.4x/2

18.在△力66•中,N/18CR00,/由工,86>3,点〃在舜殳力C上.若N6心15°，则,cosN

ABD=.

19.在△力比中，内角力典。所对的边分别是a.b,c若a=l,且比•边上的高等于tan/,则△械、的周长的取

值范围为.

20.在△川町中406,8CW,cos是△4比、的内心/为平面力弘内一点，若前三加+历瓦其中

LOWjWl,则动点〃的轨迹所覆盖的面积为-

限时集训（八）

第8讲三角函数与解三角形

■基础过关

1.已知函数/(.r)=4cosxsin!，L

6

⑴求《引的值；

⑵求心)的最小正周期.

2.在欧中，内角/UC的对边分别为a,b,c,2cma&戾osA.

(1)求6

⑵若c=7,Z)sin力力求b.

3.在△力常中滔“c分别是内角的对边，层2Csin

⑴求cos£cos力的值；

⑵若如=24,求a的值.

4.已知△/1用的内角4,欧、所对的边分别为a,b,c,且b=3,c=\,A^B.

⑴求a的值；

⑵求cos（24W）的值.

■能力提升

5.已知中角力圈。的对边分别为a"aa=6cosGesinB.

⑴求笈

⑵若人2求△//（,面积的最大值.

6.如图X8-1所示在△/!&'中，〃是应边上一点.仍=〃；做=Lsin/a/fsinN的〃

⑴求比'的长；

⑵若求△4欧的面积.

解析部分

限时集训1（六）

①基础过关..........................

LB［解析］近浓-而@4）.故选B.

2.D［解析］DE二丽^BE上AB山前MS）』尼」彳瓦故选D.

3226

3.B［解析］由al“得2m+2-3相），解得/肝2,」以3,6）,即⑹彩底.故选B.

4.A［解析］由勺〃〃得TXWf）TXg,解得m=1,."4LT）,c=（2⑶，故h-c=1X2«T）X2=-7故选

A.

5.A［解析］:•△/法内一点。满足赤+2而+3瓦R,.：；引士而片击成令a*砺号而厕

55555

^OA，而R,」自三点共线,力，西三点共线又直线10交8c于点〃.:〃月重

合,二而玛而电.：2DB+3瓦=20B-20D+3沅-3丽=6-50D0.故选A.

A

6.A［解析］由近编而可知典/〃三点在同一直线上，如图所示.根据题意及图形，可得

AD^AC^CD^AC^（AC—而）=2而《尼,」』=工,〃』,・：』一〃=A」=±故选A.

33333333

7.B［解析］根据向量加法运算法则可得的奇丽，因为G为△月欧的重心，且祝期的所以

AG^X-（AB^AC）^（AB，配），而」而,所以丽=-Q而▲配）/元=工丽」•祝，故选B.

3Z3433^31Z

8.B［解析］方法一:因为动片/&-〃『,所以即团+如/“•斤/"“川%-〃所以

a・60.又/a+/2/a［所以/a功故/"〃/>/&•5=4/“，即力/力所以历AV5/&/.设向

量6与日的夹角为〃厕ss。々）；：」4：「受等所以向量b与6「的夹角为:.故选B.

\b'a\\b\2|a|p|21al26

方法二:由，a%/=/a-Z）/可知a与〃垂直作矩形/放〃如图，记而=&而=〃则m=a+〃又必也%%/,所以

心2月〃所以三所以向量〃与6%的夹角，即丽与丽的夹角为9

66

9.B［解析］以月为坐标原点以前，冠的方向分别为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系（图略）,

则氏2,0）40,4）,女1,2）,设7U2疝所以

而而＜1-％2-26,而•（PB^PC）^AP・（2而）=2［耳1-才）必（2-2初=10（*2-0易知当0

时，丽•（而痂）取得最大值：.故选B.

10.2［解析］:，武企,-V6）,.：/a/名战又发与少的方向相同，且例2•：a=42b,.\lxf2a-bl=lb^.

11.4+20[解析]b•c=b•[ma«1-m）t]=ma,b个-而S=m/n//5/cos300式1-勿）./b旦^m+1-0电解得

m=4*2>/3.

12.；［解析］在直角三角形4必中,N/Q作90°,建立如图所示的平面直角坐标系.由

的=1,丽餐2,小平分//例且与也相交于C可得*1,0）,取2）,直线.仞的方程为2尸尸2,则八；落

JJ

则屈（：“勘＜）故而在而方向上的投影为

=,1,0,然•或

S«5|07|13,

①能力提升.........................

13.C［解析］由就二4而（［£R）,可知点〃在直线附上，设以、的中点为〃则通商？玄茄，又

!AB!=2,/.AD^./.AP・［而布）2而六之X（百）?W,故选C.

14.C［解析］:在平行四边形力腼

^P,AB^,AD=2^APAB^AQ^AD,.'.CP-CB^BP-^4D-|AB^CQ<5+DQ=^ABAD.：*CP-CQ=12,/.CP

（—而•而）・（一而，而）上而2/而24而•AD=^X3-^X2^X3X2X

•CQ=cosZBAD=\2相cos

3

/BADQ/BAD..NADCK5音故选c-

15.A［解析］以〃为原点，以例所在的直线为丫轴，以过。且与物垂直的直线为y轴，建立平面直角坐

标系如图所示.7OX，=/而/=1，且tan/力施T.：cosN/3=',sin//1〃8E.：/1（L0）/（w,2）.令/

35555

月心，，则"=/AOB-NBOC,；・tan，三可由图可知0＜。C,.：cos0当sin又,况/个反."

1--21010

pp.V'OC=mOA^nOB[m,n^R）,.：（1）=（幽0）+=（加T磁），联对必必解得"3*二善,故

选A.

16.V3［解析］因为△/1仇的面积为2河所以泊引Csin/物C、=26，所以鸿•/忆Fin；4百，即/出血潮

因此而•AC=/A0/；^4C/cos-=1.因为而=/祝人荏=/点无标,所以/〃金=1,解得/昌因此而片

32444

^AC-^ABU=^AC2^AB2-^AC•AB=^lAC『+MS/H22X：J4C/•柒而"1=3,当且仅当

元/2通/F时取等号，所以而住国,故AP的最小值为百.

限时集训（七）

但基础过关..........................

1.D［解析］由已知得sin2=—,则sin（。-3n）=~sin。与故选D.

•5S

)弓.净。samsina弓两边平方，得;cos?a号sin'a力inercos

2.D［解析］方法一：Teos'；。

喂，即sinacos―京则sin2”4.

fcOfcOU

方法二:sin2a=ros(--2a)=2cos"(--a)

T=《.故选D.

24

sinx,x£fkir,kn+。),k£Z,

3.AD［解析］:,函数/(x)=Aanx/,cosx->.、画出函数4r)的图像(图

-sinx,x£(/CTT+:,/CTT+TT),k£Z,

略）,：7（x+2JI）=/tan（户2n）,•cos（x+2n）勺tanx•cos%/（*）的最小正周期是2n13的值域为

（T」）,/U）在区间g,n）上单调递增，根据/（力的图像心）的图像关于（版）中心对称，.:说法正确的是

AD.故选AD.

4.A［解桐由2cos”及余弦定理得2y胃号整理得旌瓦.△/侬一定为等腰三

角形.故选A.

5.B［解析］在△月欧中，由正弦定理勺畛得士4-,可得s:n月》，由题意得当作（45°,90°）U

sinAsinesmAsm452

（90°,135°的满足条件的ZX/ISC有两个，所以彳令＜1廨得或＜r＜2.故选B.

6.C［解析］在△/成中，丁力=2£」；右加3,.:七谷三,整理得aWcos后由余弦定理可得

sin八siniT2sin8cos8sinn

a=6比",.：a=2y［3.故选C.

7.D［解析］因为函数/（x）min（（a刈的图像的两个相邻的对称轴之间的距离为：所以几Y）的

62

最小正周期7=丸，因此3夕2所以4x）=sin（2M）=sin12（/喧）］因此，为了得到函数4x）=sin2x

T612

的图像，需将QKin［2（¥竹）］的图像向右平移点个单位长度.故选D.

8,A［解析］sin2“年会筌十三故选A.

siMa+co/atania+l5

9.A［解析］由图像可知，月支用4三.：$~则3=1,.：/3女8（户0）.丁/0n81>力力,且

4362\6/6

0=三则/（•¥）=2cos（X、）.令/?（x）=/（力+13COS（X，+1电可得COS（X、）=」厕

266662

小卫+2%丸，片亡Z或Z业也儿员，k£乙得游迈+2k、n/亡Z或*卫+2他丸，他仁Z厕/汨-版,的最小值为N

6363623

故选A.

10.D［解析］:VJsinJcos^VSsinCH»cosJrO,.*V3sinJcosC^V^sin6cosA=-bcos

4•:百sin（力+0个月sinff=-£cos力,：,a=l,.：V5asinS=~bcos儿由正弦定理可得百sin/sin庐~sin

氏。sA,:'sin^0,.：V3sinJ-cos儿即tan月=4,:（0,n包.故选D.

36

H.I）［解析］由△//'是直角三角形渊庐20m,〃、=10m,可得C*=106m,设/纸9=则易知N

BFE=+。£E=xss〃.在△«四中，由正弦定理，可得免"呼叫得好「°百=i°6其中tan

6'1sinjsin《+8）'bGsin8+2co必V?sin（0+a），：^

a等.：仑曙厕△板'的面积s*Xsin梦等.故选D.

12.y［解析］由百sinxis片等可得2sinQq）等厕cos（吟）minQq）#.

13.［午［解析］由题意，可得/（x）=sin"+3cos2x=sin'*-3sin1”3/［3］］令£=sin%££.

1则*尸八3"3"£［号,』,则g'⑺W--6Wf（L2）.当?"<0时笈（。月,当0（々1时,/（「）电

即乩）在［号,。）上为增函数在（。川上为减函数，又g（号）号=。）丸01）=1,所以函数0刈的值域为

.不,3」,即函数中）的值域为［衅拉.

on

14.3［解析］:'cosC'=T，CW（0,n）,•:sin/l-cos2C=^-,\inC；尸,1由余弦定

n\842

理得d才坊'-2a/>cosC%+砰工ab又丁a3加=7,.：/<7-02-7,解得c8

4

宸能力提升

15.A［解析］:'sin2acos£=2cos?a(1为in£),.：2sinacos«cos^=2cos*2«(1*sinB)「「u

w（o,p,」cosa#0,.：sinacos0-cosasin6气os。，即sin（a-f）=cos%：，ae（（）W）,£

G（o,；）,.：a-f+.故选A.

16.1）［解析］:之sin（0*?）（3为）的图像和4》）』cos（2户0）+1（/0/q）的图像的对称相完全

相同,•：/（*）与左。的周期相同，•：Q2.：/（x）Wsin（2xT）.令2*?=比又与AWZ彳导咛,油

ooZ0

2x+6=mx#代工,得2x=nE-%m£Z,:"（x）的图像与虱v）的图像的对称轴相同，.：〃丸号=办6,"后乙

又.“/4,：次osQ』％.：虱x）的最大值为4,故A错误;当*£（喏）时,2x勺（关），

233412366

此时期力不是单调函数，故B错误;丁点go）不在虱6的图像上,•:点（射）不是观力图像的对称中心,

故C错误;丁式J，.:直线*=渥4）图像的对称轴，故D正确.故选D.

17.C［解析］:,向量海在配方向上的投影为-2,.：而/cosn=-2①.：瓦片3,.彳前八前/sin

力』存/sin力=3,；，而/sin月2②由①（g得tanA=~\.:•月为△力欧的内角，•:/里.：而小斗^也

24sin-

在△力仅7中，由余弦定理得〃0=d-2*AB*AC＞cosj-（2V2）?*32-2X2V2X3X（-y）=29,.\BC=^29.

故选C.

18.早?［解析］：2力£690°,力庐4,aF."C5,sinN力券（：在46⑺中,由正弦定理得

""；s'A^X士©.；cos/CBDr0sseD+/BDC\fBC戾g/BDCs/BCDcs4

sinZACSsinZBDC«SS''

2

m^X-^X-^-,00〈/CRD0C/ABD+/CB1）W&，.:cos//劭rin/C汽〃

5252101''10

（［解析］由题可知皮《力，故即5+，"即

19.2,1A/6］Su2atari2Asinbccos1=1,be•〃：:2bc“2=1,b~re=3.

又子》）［当且仅当/1、时等号成立），,：b+cW值又斫I,.：23功VW通力,,：△月俄的局长的

取值范围为（21H句.

20.华［解析］:而=花心）而，其中0，＜1,0＜《1,」动点尸的轨迹为以因阳为邻边的平行四边

形的内部（含边界）,•:点少的轨迹所覆盖的面积S=MM;其中〃为△械?的内切圆的半径.在△，俯?中，

由余弦定理可得cos月36+,“，492,.：3AET2,48-654）,.：/厉玄又sin/1-cos2^.,,S^M-^-AC-J.9,Sin

12AB5\52

月咻后.丁。是△月用的内心,.：0到△月“。各边的距离均为

与.：；X(6巧灯)X1W展,.：r当：.S=ABXr=^岑岑.

限时集训(八)

但基础过关..........................

1.解:⑴/e)乂cosgsin(弓T).1也05翳送+1乂X(-；)X\+1=T.

(2)/(A)=4cosxsin(1)为=4cos*(sinxcos-ncosArsin-)*l=4cosx(—sinx，cosJ+1=2百sin

66622

xcosx-2cos\v+l^/3sin2*POS2A^(ysin2A-^cos2))之sinQ*—),

所以/U)的最小正周期椅=五.

2.解：(1)由已知及正弦定理可得2sinf-V3sin/+2sinBcos4所以2(sinAcos〃飞inBcosJ)八夕sin

"2sinZfcos/I,即2sin/cos6Qsin4因为sin月#0,所以cos庐4,又0<8《天,所以呢.

⑵在△械、中油正弦定理三白,

sin/1slnB

可得asinB=bsin月45,由⑴知g,所以氏由余弦定理可得方=/+c~-2accos於19,所以671田