高考数学一轮复习 第七章 数列、推理与证明 第37课 合情推理与演绎推理教师用书-人教版高三数学试题

第37课合情推理与演绎推理

［最新考纲］

知识梳理

...▼...

1.合情推理

类型定义特点

根据一类事物的邵父对象具有某种特征，

归纳由部分到整体、

推出这类事物的全部对象都具有这种特征

推理由个别到一般

的推理

由两类对象具有某些类似特征和其中一类

类比

对象的某些已知特征，推出另一类对象也由特睦到位稣

推理

具有这些特征的推理

2.演绎推理

(1)定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演

绎推理.简言之，演绎推理是由一般到特稣的推理.

(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：

①大前提一一已知的•般原理；

②小前提一一所研究的特殊情况：

③结论一一根据一•般原理，对特殊情况做出的判断.

学情自测

▼

1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“J”，错误的打“X”)

(1)归纳推理与类比推理都是由特殊到一般的推理.(;

(2)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适.()

(3)“所有3的倍数都是9的倍数，某数初是3的倍数，则加一定是9的倍数”，这是

三段论推理，但其结论是错误的.()

(4)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确.()

［答案］⑴X(2)X⑶J(4)X

2.由“半径为〃的圆内接也形中，止方形的面积最大”，推出,,半径为〃的球的内接

长方体中，正方体的体积最大”是________.

①归纳推理；②类比推理：

③演绎推理：④以上都不是.

②[类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相收性或一致性.（2）用一类事

物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）.所以，由“半径为4的圆

内接矩形中，正方形的面积最大”，推理出“半径为"的球的内接长方体中，正方体的体积

最大”是类比推理.]

3.（教材改编）已知数列｛a｝中.d=1,时，&=a-+2〃-1,依次计算祖，a”

国后，猜想品的表达式是.

an=rf[劭=1,改=4,&=9,劭=16,猜想%=〃；]

4.“因为指数函数卜=才是增函数（大前提），而尸（；）是指数函数（小前提），所以函

数是增函数（结论）"，上面推理的错误在于_______.

①大前提错误导致结论错误；

②小前提错误导致结论错误：

③推理形式错误导致结论错误；

④大前提和小前提错误导致结论错误.

①[“指数函数y=d是增函数”是本推理的大前提，它是错误的.因为实数a的取

值范围没有确定，所以导致结论是错误的.]

5.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A,B,C三个城市时，

甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；

乙说：我没去过C城市：

丙说；我们三人去过同一城市.

由此可判断乙去过的城市为________.

A[由题意可推断：甲没去过B城市，但比乙去的城市多，而丙说“三人去过同一城

市”，说明甲去过A,C城市，而乙“没去过C城市”，说明乙去过城市A,由此可知，乙

去过的城市为A.]

明考向•题型突破|•探求规律方法

归纳推理

⑴数列点?*『?4*'肝1'"1'…'皆？…的第2。项是

(2)(2016•山东高考)观察卜列等式:

r2+fsin^-\2=1x1X2：

（sin1'（sin答＞+（sin*"sin^2=1X2X3;

（sin2+（sin芋），+（sin早）2H----F（sin号）-24汽

*=-X3X4；

J

（sinf）-2+（sin引i+gin*一旺…+6^等）2=g

-X4X5：

照此规律，

(s5帚“(sin篇^2+-+(sin磊)-，=---------

(1)1(2)%(〃+1)[⑴数列,在数列中是第l+2+3+…+m="项，当加

Iontv1乙

55

=5时，即'是数列中第15项，则第20项是亍

O(

44

(2)通过观察已给出等式的特点，可知等式右边的不是个固定数，鼻后面第•个数是等式

JJ

4

左边最后一个数括号内角度值分子中n的系数的一半，三后面第二个数是第一个数的下一个

自然数,所以，所求结果怎4X〃X(〃+1),即4各数+1).]

JJ

[规律方法]1.常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：

(1)数的归纳包括数字归纳和式子归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项

及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；

(2)形的归纳主要包括图形数目归纳和图形变化规律归纳，合理利用特殊图形归纳推理

得出结论，井用赋值检验法验证其真伪性.

2.归纳推理的一般步骤：

(1)通过观察个别情况发现某些相同性质：

(2)从相同性质中推出一个明确表述的一般性命题.

[变式训练1](1)(2017•如皋市高三调研一)观察下列等式：

12=1；

3，=2+3+4：

52=3+4+5+6+7；

72=4+5+6+7+8+9+10：

92=5+6+7+8+9+10+11+12+13；

比几何平均数，故&的平达式为-Q........篇

nn-1n-1

法二；若（&｝是等差数列，则&+&H------\-a=na\-\---------------d,/./>«=aid-------------d

n4乙

=9+囱一呆即㈤为等差数列；若伍｝是等比数列，则5・5.........C.=d'・/—）

=C；•（T~今」一，,dn=yjci•C2.........cn=Cl•JJ,即｛㈤为等比数列，故选④.

（2）由平面中线段的比转化为空间中面积的比可得当=沁］

CD3△废y

［规律方法］1.进行类比推理，应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行对比，

提出猜想，其中找到合适的类比对象是解题的关键.

2.类比推理常见的情形有：平而与空间类比：低维与高维类比：等差数列与等比数列

类比；运算类比（和与积、乘与乘方，差与除，除与开方）.数的运算与向量运算类比；圆锥

曲线间的类比等.

［变式训练2］给出下面类比推理（其中。为有理数集，R为实数集，C为复数集）：

①“若a,OCR,贝ij&-。=0=々=力”类比推出"a,ctC.贝Ua-c=0=H=c”：

②''若a,b,c,d£R,则复数a+Oi=c+"i=a=c,b=d"类比推出"a,b,c,d

£Q,则a+Z/\/5=c+cm=a=c,b=（r；

③"a,bWR,则a—Z）>O=a>/）"类比推出"若a,b^C,则a—£>O=a>Z>"；

④“若二£R,则|*|<1=-1<水1”类比推出“若z£C,则.

其中类比结论正确的有________.（填序号）

（D®［类比结论正确的有①②.］

I**3J..........演.绎.推理

数列｛a｝的前〃项和记为S,,已知劭=1,am=」-S..SCM）.证明:

n

⑴数列,慌是等比数列：

（2）£+i=4源【导学号：62172201】

［证明］⑴•••a<r+i=STLS”&+1=生上£,

n

工5+2）£=〃—一£）,即〃£*尸2（〃+1）以

,••■^彳=2・,,又：=1*0,（小前提）

故是以1为首项，2为公比的等比数列.（结论）

（大前提是等比数列的定义，这里省略了）

⑵由⑴可知普=4.罟（心2）,

〃-1+2

••・S+L=4(/J+1)•—4-----:―

n—1n—1

=4&（〃N2）,（小前提）

又改=3S=3,£=&+》=l+3=4=4a,（小前提）

・•・对于任意正整数〃，都有S,1=4%.（结论）

（第（2）问的大前提是第（1）问的结论以及题中的已知条件）

［规律方法］演绎推理的一般模式为三段论，三段论推理的依据是：如果集合”的所有

元素都具有性质P,S是J/的子集，那么S中所有元素都具有性质P.应用三段论解决问题时，

首先应该明确什么是大前提，小前提，然后再找结论.

［变式训练3］如图37-2所示，I）,E,少分别是比；CA,力4上的点，NBFD=NA,且

班〃阴.求证：及=力网要求注明每一步推理的大前提、小前提和结论，并最终把推理过程用

简略的形式表示出来）.

图37-2

［证明］⑴同位角相等，两条直线平行，（大前提）

/乃叨与N/1是同位角，且/所加=/儿（小前提）

所以ZF〃口.（结论）

⑵两组对边分别平行的四边形是平行四边形，（大前提）

DE"BA旦DF〃EA.（小前提）

所以四边形"Z国为平行四边形.（结论）

（3）平行四边形的对边相等，（大前提）

和加•,为平行四边形的对边，（小前提）

所以9=4£（结论）

上面的证明可简略地写成：

/BFD=/A=DF〃EA\

DE//BA\

四边形"沈、是平行四边形=反右,"：

名师微博与

［思想与方法］

1.合情推理的过程概括为

从具体问题出发］一|观察、分析、比较、联想i~nn纳、类比i~履田藕

2.演绎推理是从•般的原理出发，推出某个特殊情况的结论的推理方法，是由•般到

特殊的推理，常用的一般模式是三段论.数学问题的证明主要通过演绎推理来进行.

［易错与防范］

i.在进行类比推理时要尽量从本质上去类比，不要被表面现象迷惑，否则只抓住一点

表面现象的相似甚至假象就去类比，那么就会犯机械类比的错俣.

2.合情推理是从已知的结论推测未知的结论，发现与猜想的结论都要经过进一步严格

证明.

3.演绎推理是由一般到特殊的推理，它常用来证明和推理数学问题，注意推理过程的

严谨性，书写格式的规范性.

课时分层训练(三十七)

A组基础达标

(建议用时：：乂)分钟)

一、填空题

1.正弦函数是奇函数，f(*)=sin(f+l)是正弦函数，因此F(x)=sin(x'+1)是奇函

数，以上推理_______.(填序号)

①结论正确；②大前提不正确；

③小前提不正确；④全不正确.

③[因为尸⑸=sin(f+1)不是止弦的数，所以小前提不止确.]

2.如图37-3,根据图中的数构成的规律，得a表示的数是—

22

343

412124

548a485

图37-3

144L由题图中的数可知，每行除首末两数外，其他数都等于它肩上两数的乘枳，所以

3=12X12=144.]

3.某种树的分枝生长规律如图37-4所示，第1年到第5年的分枝数分别为1,1,2,3,5,

则预计第10年树的分枝数为_______.【导学号：62172202]

一第1年第2年工第3年”第4年第5年

图37-4

55[因为2=1+1,3=2+1,5=3+2,即从第三项起每一项都等于前两项的利，所以

第10年树的分枝数为21+34=55.]

4.给出下面几个推理：

①由“6=3+3,8=3+5,10=3+7,12=5+7,…”得到结论：任何一个不小于6的偶

数都等于两个奇质数之和；

②由“三角形内角和为180°”得到结论：等腰三角形内角和为180°：

③由“正方形面积为边长的平方”得到结论：正方体的体积为边长的立方：

④由“一由2a6(a,〃£R)“推得：sin2xWL

其中是演绎推理的序号是.

②®[演绎推理的模式是三段论模式，包括大前提、小前提和结论，演绎推理是从■

般到特殊的推理，根据以上特点，可以判断②④是演绎推理.易得①是归纳推理，③是类比

推理.故答案为②④.]

5.由代数式的乘法法则类比推导向量的数量枳的运算法则：

①由"mn=nm”类比得到"a•b=b•a”；

②由"(加+/?)t=mt+nt"类比得到"(a+b),c=a,c+b•cn：

③由“EXO,mt=xtnm=x”类比得到“pHO,a*p=x*p=^a=x"；

④由“|…|=|卬|・|〃|”类比得到“|a・b|=|a|・|引”.

以上结论正确的是.(填序号)

①(②[因为向量玷和满足交换律、乘法分配律，向量没有除法，不能约分，所以①

正确，③错误.又因为la•引=|a|•\b\­|cos3,b>|,所以④错误.]

6.把一个直角三角形以两直角边为邻边补成一个矩形，则矩形的对角线长即为直角三

角形外接圆直径，以此可求得外接圆半径二=勺步(其中&b为直角三角形两直角边

长).类比此方法可得三条侧磁长分别为a,b,。且两两垂直的三棱锥的外接球半径R=

~2~[由平面类比到空间，把矩形类比为长方体，从而得出外接球半径为

'才+3+3

2,J

7.(2017•徐州模拟)观察下列不等式:

1+晟,

1

1+打打品

照此规律，第五个不等式为.

1+"+/+/+<+*年'[左边的式子的通项是1+£+"H1--~7,右边式子

的分母依次增加1,分子依次增加2,还可以发现右边分母与左边最后•项分母的关系，所

以第五个不等式为1+]+++!+[+%4.]

/jaj\)I)

8.给出以下数对序列：

(1,1):

(1,2)(2,1)；

(1,3)(2,2)(3,1)；

(1,4)(2,3)(3,2)(4,1)；

•••

记第了行的第/个数对为须，如&3=(3,2),则徽=.

(勿，/?一"+1)[由前4行的特点，归纳可得：若徽=(外而，则&=如6=/?一"+1,

/.&(/»»n—切+1).]

9.(2017•泰州模拟)如图(1)若从点。所作的两条射线〃蛇刎上分别有点朗、此与点

N\、际则三角形面积之比急念=湍•/.如图(2),若从点。所作的不在同一平面内的

三条射线0P、困和勿？上分别有点代、月，点Q\、Q和点R\、R?,则类似的结论为

图37-5

PQR\_0R.旦缈

［考查类比推理问题,由图看出三极锥百-如。及三极锥

VO-PAR^'OP,.丽.瓦

a加a的底面面积之比为寒•第，又过顶点分别向底面作垂线，得到高的比为器，故体

叭OK：OR

伊N.4月吩EQ居一外•OQ；OR：

10.在某次数学考试中，甲、乙、丙三名同学中只有一个人得了优秀.当他们被问到谁

得到了优秀时，丙说“甲没有得优秀”，乙说“我得了优秀”，甲说“丙说的是真话”.事

实证明，在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么得优秀的同学是•【导学

号：62172203］

丙［如果丙说的是假话，则“甲得优秀”是真话，又乙说“我得了优秀”是真话，所

以矛盾：若甲说的是假话，即“丙说的是真话”是假的，则说明“丙说的是假的"，即“甲

没有得优秀”是假的，也就是说“甲得了优秀”是真的，这与乙说“我得了优秀”是真话矛

盾；若乙说的是假话，即“乙没得优秀”是真的，而丙说“甲没得优秀”为真，则说明“丙

得优秀”，这与甲说“丙说的是真话”符合.所以三人中说假话的是乙，得优秀的同学是丙.］

二、解答题

11.平面中的三角形和空间中的四面体有很多相类似的性质，例如在三角形中：(1)三

角形两边之和大于第三边；(2)三角形的面积S=)X底X高；(3)三角形的中位线平行于第

三边且等于第三边的…请类比上述性质，写出空间中四面体的相关结论.

［解〕由三角形的性质，可类比得空间四面体的相关性质为：

(1)四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积：

(2)四面体的体积底面积X高；

(3)四而体的中位面平行干第四个面且面枳等于第四个面的而枳的;.

1

12.设f(x)，先分别求F(O)++1),/一分+求2),f(-2)4-f(3),然后归

-3八+S

纳猜想一般性结论，并给出证明.【导学号：62172201]

解好⑴与+*

1,1____<3-1,3-^3y[3

=鹏+可=2+6=3'

同理可得:F(-1)+〃2)=坐,

八一2)+/(3)=坐.并注意到在这三个特殊式子中，自变量之和均等于1.

归纳猜想得：当汨+加=1时,

均有汽M)+F(*2)=坐.

证明：设汨+X2=1，

“小)+"照)=就或亚》

3汨+镉+__________3汨+3版+2第

3小3照+\夕3为+煦+*\/53否+3照+3

3为+30+2#_______3M+3.+2##

一93汨+3必+2X3—93汨+3版+2小―3'

B组能力提升

(建议用时：15分钟)

1.(2017•南京模拟)己知数列｛&,｝为等差数列，若a.=a,a=伏〃-/〃21,m,〃eND,

则占肝尸如二丝类比等差数列｛4｝的上述结论，对于等比数列也｝(»0,〃£N+),若b.=c,

n-m

b„=d｛n—m^2,m,〃£N+),则可以得到力、-〃=.

[设数列｛4｝的公差为d,数列｛4｝的公比为q.

nb-ma

因为品=&+(/?—1)d,。,=bxq~\

n—m

所以类比得△+"="<己]

2.(2016•全国卷H)有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取

走一张卡片，甲君•了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2"，乙看了丙的卡

片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1"，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，

则中的卡片上的数字是_______.

1和3［法一：由题意得丙的卡片上的数字不是2和3.

若丙的上片上的数字是1和2,则由乙的说法知乙的卜片二的数字是2和3,则甲的卜

片上的数字是1和3,满足题意；

若丙的卡片上的数字是1和3,则由乙的说法知乙的卡片二的数字是2和3,则甲的卡

片上的数字是1利2,不满足甲的说法.

故甲的卡片上的数字是1和3.

法二：因为甲与乙的卡片卜相同的数字不是2.所以内的卡片卜必有数字2.义丙的卡片

上的数字之和不是5,所以丙的卡片上的数字是1和2.因为乙与丙的卡片上相同的数字不是

1,所以乙的卡片上的数字是2和3,所以甲的卡片上的数字是1和3.］

3.某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：

①sin)3°+COS2170-sin130cos170:

@sin'15°+COS215O-sin15°cos15°:

③sin?18°4-cosz120-sin180cos12°:

@sin2(—18°)+cosJ48°—sin(—18°)cos48°；

@sin°(--25°)4-COS255°—sin(—25°)cos550.

(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；

(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论.

［解］(］)选择②式，计算如下：

sin215fl+COS2150—sir150cos15°=1--sin30°

.13

=1一厂丁

(2)法一：三角恒等式为

3

sin24-cos2(30°—sincos(30°—a)=-

4

证明如下：

sin2a+cos2(30°—a)—sinacos(30°—a)

=sin2aJ-(cos30°cos«+sin300sin«)2—sin«(cos30ccos«+sin30°sin

a