高考数学中档小题押题训练（一）

高考数学中档小题押题训练（一）

姓名：班级：

一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个

选项中，只有一项是符合题目要求的.）

;2023

1.已知复数z=2Fm+三，i为虚数单位，则复数z在复平面内所对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2.在非等腰48。中，角4,B,。所对的边分别为小b,c,则

“A・sin（A-C）=cos2C-cos?A”是〈人”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3.已知/（力的定义域为（0,+力），/'（力为"X）的导函数，且满足/（x）＜rf（x）,则

不等式+的解集是（）

A.(0,4)B.(1,4)C.(l,+oo)D.(4,-KO)

，82

4.设4=4=2°\C=log03(ln3)»则&庆c的大小关系为（)

A.b<a<cB.b<c<a

C.c<a<bD.c<b<a

的值为()

5.sin70°JJsE50°

sin40°

\_

A.B五D.2

22

6.记函数/（K）=sin®x+。）］0＞0,（）＜夕＜?）的最小正周期为了.若/（r）=立，n

x--

\/26

为“X）的零点，则了的最小值为（）

A.2B.3C.4D.6

7.关于圆周率不，数学发展史上出现过许多有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理

斯实验.受其启发，我们也可以通过下面的实验来估计，，的值：先请360位同学每人随机

写下一个x，），都小于1的正实数对（x，y）,再统计其中x,丁能与1构成钝角三角形三边

的数对（内）的个数用最后根据统计个数〃，估计笈的值，如果〃=102,那么可以估计不

为（）

“23「47「25八53

A.—B.—C・—D・—

715817

8.已知向量。，b,c都是单位向量，若（a-of+（/?-c）2=3,则卜一可的最大值为（）

A.—B.2C.—D.75

42

二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，

有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0

分.）

9.已知抛物线。:），2=2〃4（〃>0）的焦点尸到准线/的距离为2,则（）

A.过点A（-1,0）恰有2条直线与抛物线C有且只有一个公共点

B.若一（3,2）,尸为C上的动点,则|叼+|尸耳的最小值为5

C.直线x+y-1=0与抛物线C相交所得弦长为8

D.抛物线C与圆f+）2=5交于M,N两点，则|MN|=4

10.甲箱中有3个红球，2个白球和2个黑球，乙箱中有2个红球，3个白球和3个黑

球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别以A，4和A表示从甲箱中取出的球是红

球、白球和黑球的事件，再从乙箱中随机取出一球，以“表示从乙箱中取出的球是红球

的事件，则（）

A.P（8|A）=（B.

J03

4

c.P（A）P（8）=P（AB）D.P（A2\B）=-

11.勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始

终保持与两平面都接触,因此它能像球一样来回滚动（如图甲），利用这一原理，科技

人员发明了转子发动机.勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱

长为半径的四个球的相交部分围成的几何体如图乙所示，若正四面体A6C。的棱长为2,

则下列说法正确的是（）

A.勒洛四面体A8CO被平面A8C截得的截面面积是9兀-6）

B.勒洛四面体ABCD内切球的半径是4-#

C.勒洛四面体的截面面积的最大值为2冗-26

D.勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为2-亚

2

12.函数/(1)与g(x)的定义域为R,且/(x)g(x+2)=4J(x)g(r)=4.若/(司的图

像关于点(0,2)对称.则()

o(y)4

A.的图像关于直线--1对称B.£>(4)=2048

(=1

c.g(x)的一个周期为4D.g(x)的图像关于点(0,2)对称

三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分，其中笫16题笫一空2

分，第二空3分.)

13.已知则到点M(a,0)的距离为2的点的坐标可以是

.(写出一个满足条件的点就可以)

V1

14.已知正实数乂丁满足©23+3-3%=01+)，，则=十一的最小值为_________.

xy

n-2

15.设数列｛〃”｝的前〃项和为S“，且〃”>0,4S〃=d+2%-8,则:最大值是

16.如图所示，已知尸|、F?分别为双曲线《—£=1的左、右焦点，过弱的直线与双曲

412

线的右支交于A、。两点，则么入。的取值范围为；记zMRE的内切圆。|的近积

为S，片乃的内切圆Q的面积为*,则，+其的取值范围是.

调递减，转化+(五—1)/(工一1)为g(五+l)>g(.L1),结合单调性即可求解.

【详解】设8(力=设(»,则短3=33］'=矿(1)+/3<()，

即当4>0时，函数g(x)单调递减，

所以(4+i)f(4+i)>(x_i)f(x-i),

即g(4+l)>g(x-l),

4x+\<x-\

所以7-1>0，解得x>4,

«+1>0

则不等式的解集为(4,y).

故选：D.

4.D

【分析】计算〃=!，〃=4，cv(),得到答案.

23

【详解】«=4=-1,〃=2味？=；,c=log()3(In3)<log031=0,故

故选：D.

5.B

【分析】根据三角函数诱导公式以及同角的三角函数关系结合二倍角正弦公式和辅助角公式,

化简求值，即得答案.

［详解］sin70。J1-sin50。cos20。Jsin?25。+cos?25。-2sin250cos25°

sin4002sin20°cos20°

=cos25。-sin25。=岳皿45。-25。)=旦

2sin20°--2sin20°"V'

故选：B

6.C

【分析】先求出函数的周期T=去再由/(7)=*可求出凡然后由尸?为的零点，

可求得结果.

答案第2页，共12页

【详解】因为小)=53+9)(。>0,0<。<5的最小正周期为丁=去且/(7>#,

所以sin(0---+(p=sin0=2

\CD)2，

因为所以e=g,

所以/(x)=sin(@x+g,

因为X=g为/(X)的零点，

6

所以尼卜喉呜卜0,

所以工◎+工=女肛&eZ,解得口=6左一2次eZ,

63

因为口〉()，所以《。的最小值为4,

故诜：C

7.B

【分析】由题意，根据几何概型的概率计算公式，计算所求的概率值，由此求出圆周率乃的

估计值.

[0o<<xy<”l面一积为(「

【详解】由题意，360对都小于1的正实数对《力，满足

0<A<1

两个数能与I构成钝角三角形三边的数对(KN),满足f+)，2<],且对应的区域

x+y>\

为图中的弓形AC3,

答案第3页，共12页

故选：B

8.C

【分析】根据数量积的运算律得到(a+/>c=g,设《4+〃)，=。，即可得到卜

再由卜_〃『=4_(a+可求出卜_司的范围，即可得解.

【详解】由(a—cH+S-c)、？，得/+〃2+2/-2(〃+〃)式=3，即(a+A)・c=g.

设《“+〃),c)=0,则(0+/?)年=卜+可8$〃=；,显然cosOwO,

所以卜+〃=--[^之;.

14cos04

又(a+/?)2+(〃一/?)2=2/+2方2=4,所以,一同=4-(.+力)44-(=日，

所以,一可《巫，即,川的最大值为巫.

22

故选：C.

9.CD

【分析】利用直线与抛物线位置关系的知识判断选项A；利用抛物线的定义进行距离转化进

而判断选项B；利用焦点弦公式计算并判断选项C；由抛物线方程设出点M坐标，利用M

到圆心的距离等于半径求出M的坐标，就可以判断选项D.

【详解】因为抛物线。厂=2度(〃>0)的焦点尸到准线/的距离为2,所以〃=2,

从而抛物线C的方程是/=4.r.过点4(-1,0)可以作2条直线与抛物线C相切，

而直线)，=。与抛物线。相交，只有1个交点，从而过点八(-1,0)恰有3条直线与抛物线。有

且只有一个公共点，故A不正确；

抛物线C的准线方程是尸-1,设7到准线的距离为d,则”=4；

过尸作准线的垂线，垂足为Q,则由抛物线的定义知归。=归用，所以|尸71+归耳=|々1+归。

>d,所以|PT|+|P尸|的最小值为4,故B不正确;

答案笫4页，共12页

抛物线的焦点为厂(1,0),直线X+)」1=0过焦点,

不妨设直线x+y-1=0与抛物线的两个交点分别是A(XQ3B(孙必)，

..J+y-1=0,

则=内+X2+〃，又，y2—4x得f-6x+I=0,则A-+x2=6,

所以|人目=玉+9+〃=8,故C正确;

抛物线。与圆/+),2=5交于",N两点，则M,N关于x轴对称.

=6解得7=2,所以|MN|=4,故D正确;

故选：BD

10.ABD

【分析】根据全概率公式及条件概率概率公式计算可得.

【详解】因为尸(A)",尸⑷吟尸(4)=5

31

若A发生，则乙箱中有3个红球，3个白球和3个黑球，所以P(8|A)=?=：,故A正确;

答案第5页，共12页

7

若4发生，则乙箱中有2个红球，4个白球和3个黑球，所以P(8|A)=g,

2

若A发生，则乙箱中有2个红球，3个白球和4个黑球，所以P(8|AJ=§,

所以P(B)=P(A)P(BIA)+P(4)P(BI4)+P(A)P(BI4)

31222217-

故B正确:

因为尸(BiA)=g^,所以P(A3)=P⑷A).p(A)=gx>3,

所以尸(A)P(8)WP(AB),故c错误;

22

3)=锵="警冷哈故口正确：

63

故选：ABD

11.CD

【分析】对A选项结合勒洛三角形得到其截面图，利用扇形面积和三角形面积公式即可得

到答案，而A选项的截面积为C选项的最大截面积，对B选项需要利用正四面体的高以及

外接球半径与棱长的关系，得到外接球半径为亚，再根据图形得到勒洛四面体的内切球半

2

径，而此半径即为该勒洛川面体的能够容纳的最大球的半径，即可判断D选项.

【详解】对于A,

S敬二(s扇形八ABC)，3+SA8C=:吟x2>一半x2>x3+咚x2>=2九一

\4J1/»

故A错误，截面示意图如下：

对■于B,由对称性知，勒洛四面体ABC。内切球球心是正四面体ABCO的内切球、外接球球

心0,如图：

答案笫6页，共12页

A

正△ACO外接圆半径Q8=2.2.COS30=2叵，正四面体ABC。的高

133

22

AQ=^AB-O}B=半，令正四面体A8CQ的外接球半径为R,

在放"OQ中，胪=（竺-川+（竺），解得R=迈，

此时我们再次完整地抽取部分勒洛四面体如图所示：

图中取正四面体A8CO中心为。.连接80交平而ACD于点乩交曲面AC。于点/，其口8。

即为正四面体外接球半径/?=逅,因为点ACD尸均在以点8为球心的球面上，

2

所以8/=45=2,

设勒洛四面体内切球半径为「，则由图得r=。尸=8/-月O=AB-80=2-直，故B错误；

X'iT-C,显然勒洛四面体截面面积的最大值为经过正四面体某三个顶点的截面，由对A的

分析知（S衽）皿=2万-2百,故C正确；

对rD,勒洛四面体能够容纳的最大球与勒洛四面体的4个弧面都相切，即为勒洛四面为内

切球，所以勒洛四面体A8CQ能够容纳的最大球的半径为2-逅，故D正确.

2

故选：CD.

【点睛】本题实际上是勒洛三角形在三维层面的推广，对计算能力，空间想象能力要求高,

记住正四面体的高，内切球半径，外接球半径与棱长关系的二级结论将会加快对本题的求解.

12.AC

答案第7页，共12页

【分析】根据条件可得即可判断A,然后可得/(X)=/(X-4),即可判

断R,由条件可得g(r)=g(—-4),即可判断C,举特例可判断D.

【详解】A选项：由/(x)g(r)=4,得/(—x—2)g(x+2)=4,又/(x)g(x+2)=4,

所以/(—x—2)=〃x)J(x)的图像关于尸-1对称，A选项正确；

B选项：由/*)的图像关于点(0,2)对称，得/(T)+〃X)=4,由A选项结论知

/(A-2)=/(-X),

所以“x-2)+〃力=4,从而/(工一4)+/(工-2)=4,故以力=/(X-4),

即人"的一个周期为4,

因为〃0)=2J⑴+/(3)=/⑴+/(-1)=4,〃2)=4-/(-2)=4-7(0)=2,

2024

所以£/伙)=506f/(0)+/(1)+/(2)+/(3)]=4048,B选项错误；

k=\

C选项:由/(x)=〃x+4),及/(x)g(—x)=4,

则“x+4)g(T—4)=4,得g(1)=g(—x—4),函数g(x)的周期为4,C选项正确；

D选项:取小"电力北㈠卜「又g(T)+g⑴号,

(2)

与g(x)的图像关于点(0,2)对称矛盾，D选项错误，

故选：AC.

13.(x-2-+丁=4上的任意一点都可以

【分析】根据定积分的几何意义先求出。，再写出到点M(«0)的距离为2的点表示一个圆.

【详解】由于表示以(0,0)为圆心，1为半径且在第一、二象限的圆弧与坐标

轴围成的面积，其面积是半径为1的圆的面积的一半，即为

所以a=—J'JA/1-X2+xjdr=—x1Mv=2+0=2,

到点A/(2,0)的距离为2的点是圆(文-2>+尸=4上的点.

故答案为：*-2)2+尸=4上的任意一点.

答案笫8页，共12页

【分析】构造函数/(x)=e'+x,利用单调性可得2-3x=y-1,再利用均值不等式即可求

解.

【详解】由e2-3x+3-3x=e,T+y,We2_3t+2-3x=ev-'+y-l,

令〃x)="+x,则/(x)在R上单调递增，所以2-3丫=)，-1,即3r+y=3,

又因为是正实数，

V1y3x+yvx1、、[yxI7

所以—+—=二+-----=-+—+-＞2I—x—+-=-,

xyx3yxy3\xy33

当且仅当2=二，即x=y=1时等号成立，

xy4

故答案为：—

15.—

40

【分析】由4S“=a：+2q「8结合为=,｝"；、于〃wN：可得耍=4TT＞后利

电-5,i，〃22Sn〃+3〃

用换元法结合函数y=x+W单调性可得答案.

x

fS.,77=1.,

【详解】由_,〃eN,可4q=a：+2q-8nq=4或一2,

[5“-2_/22

因为可＞0,所以％=4,

当〃22时，44=45“-4S“_|=a；-4_1+2%-24T.

因式分解得(4-4T-2)(4+%)=0

又见＞0.则a“-a,i=2,即｛4｝为以《=4为首项,公差为2的等差数列.

则S=〃q+""一)•2=〃2+3〃n仁二=n~2.

125“+3〃

n—2

要使一^一最大，易知〃23,〃eN'.令〃-2=/21,/eN,

•3

答案第9页，共12页

n-2_t_t_1

===

则FT（f+2y+3（r+2）叫+10+7tt+^+r

t

注意到1y=x+3在e,府）上单调递减，在（加,e）上单调递增，3vji6<4

.1

，且3+乎<4+乎.则当f=3,即〃=5时，—有最大值，

34S.

本---------3

为3+外7=此

3

3

故答案为：4，

40

,（112兀、r40

6［阮o丁J

【分析】分析可知直线A8与x轴不重合，设直线A8的方程为工二〃9+4,将直线A8的方

程与双曲线的方程联立，利用韦认定理结合已知条件求出〃，的取值范围，可求得的取

值范围；设圆。।切46、AF?、月人分别于点M、N、G,分析可知直线A4的倾斜角取值

范围为你用,推导出圆。I、圆。2的半径小4满足楂=4,求得段,26,利

用双勾函数的单调性可求得$+S?的取值范围.

【详解】设直线48的倾斜角为〃，

22

在双曲线5—会=1中，〃=2,b=26则c=V7/=4,故点片（4,0）,

若直线A8与x轴重合，则直线A8与双曲线交于该双曲线的两个实轴的端点，不合乎题意,

所以，直线48与x轴不重合，设直线的方程为x=/”+4,设点A（XQ，J、网孙力），

x=my+4

联立可得（3。/-1）），+24/〃y+36=0,

3/一=12

3加_]工0]

由题意可得,,/，、，解得〃『工一,

A=24'/n2-4x36x（W-1）>03

由韦达定理可得“旷-扁，）以=3

Xi+W=〃?（y+%）+8=_^^+8=_：>0,可得<；,

3m-13m-13

x}x2=（/町+4）（"?2+4）=〃产）1%+4〃，（,+%）+16=+>0,可得M<g♦

-13

答案第10页,共12页

所以，一¥<〃?〈等，且二40,兀）

当一立〈根<0时,

3

当机=0时，A8工x轴，比时a=:,

2

nsi

当0<〃?<且时，lana="!"w(JJ,*o),止匕时