高考数学二轮总复习考点突破练8空间向量与空间角距离（含解析）

考点突破练8空间向量与空间角、距离

(2022•江苏徐州模拟)如图，在直二棱柱ABCAAC,中，四边形初心。足边长为4的正方

形,g3,BCW.

(1)求直线力/与直线所成角的余弦值；

(2)若在线段园上存在一点〃且察”,飞[0,1],当他L48吐求t的值.

2.

E

/八，L.・\---------->

///!户

(2022•天津河西二模)如图所示,在几何体ABCDEF中,四边形力四为直角梯形,AD//BC,ABVAD,AE

，底面ABCD,AE//CF,力加3,AB=BC=AE★,CF=\.

⑴求证：〃/、〃平面ADE\

(2)求直线德与直线加'所成用的余弦值；

(3)求点〃到直线切的距离.

3.(2022•江苏苏锡常镇四市一模)如图，在直三棱柱/IBC-46。中，△/1勿是以加为斜边的等腰直角

三角形，44=力84,〃,〃分别为棱BC,4。上的点，且5=然文(0〃<1).

HC|D\

⑴若E4,求证：力〃〃平面卯：加

(2)若二面角CT〃七的大小为卷求实数%的值.

4.(2022•河北保定一模)如图，在等腰梯形ABCD't•,AD//BC,AD=AB=CD=\,,现将平面DAC

沿力6•折起至平面PAC,使得PB』.

(1)证明：/l8_LAC;

(2)求二面角的余弦值.

(2)若23,'分别是线段PC、外的中点且异面直线加；与比所成角的正切值为今记平面加沙与平面

/仍C的交线为直线/,点。为直线/上的动点,求直线，。与平面4%所成角的取值范围.

考点突破练8空间向量与空间角、距离

1.解(1)在△力比,中，因为AC+A/=BC,所以ACLAB.

又力/!」平面ABC,所以14,1C,两两垂直.

以点A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，

则4(0,0,4),6(0,3,0),B、(0,3,4),C(4,0,4),/1(0,0,0),所以福二(4,0,4),^=(0,-3,4).设直线

48与直线力C所成角为。(0°W0W90°),

五.而16_2&

则cos0二

I荷网-1V2X5一"F'

即直线A.B与直线力C所成角的余弦俏为学.

⑵依题意脐函，f£[0,1].

因为属=(4,一3,4),福=(0,3,-4),荔=(0,3,0),

所以刘二乐+丽二亚”雨=(4Z,3-3£,4。.

因为而_L漉则而・初NCX0+3X(3-3。~4X4rN),解得1=^.

2.⑴证明；伤〃。"加平面协&8U平面分北：.AE〃平面8CF.•；AD〃B&AR平面仅7•:a'U平

面3CR平面BFC.又力〃/1EU平面ADEt・•.平面力施〃平面BFC.•・•8*=平面BFC,

出'〃平面ADE.

(2)解以/为原点，崩，通豆分别为x轴、y轴、z轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系,

则6(2,0,0),。(2,2,0),〃(0,3,0),/*(0,0,2),文(2,2,1),

则屏二(-2,0,2),游⑵-1,D,

-2_V3

・\cos*,〃平丽/2y/2X^~~f

・•・直线BE与直线加'所成角的余弦值为g.

0

(3)解由(2)可知萨(0,2,1),#-(2,-1,1),

cos碗於Asin<®；J1-COS2<BF,~Db二嚼，，点〃到直线即的距离

4\BF\噂\DF\voXV6v30\V30

为饼/sinMP,DF>W6X焉二普二等

3.⑴证明当时，以£分别为棱比;8c的中点，

在直三棱柱ABC-A.BA中，连接〃以图略），则DE//AA],庞=初,所以四边形DEA.A是平行四边形,所以

AD〃A、E.又因为Am平面A、EB,A/U平面力心力,所以AD//平面4/淞

（2）解（方法一）如图所示,

在平面力比、内，过点C作力〃的垂线,垂足为〃连接CJh

则NC〃C为二面角GTZH7的平面角，即/卬亿胃.

,

在RtA61M7+,CG3,所以CH忐.

在Rt△。加中，CH6,ACA

所以sin/O加耳4<v-

又因为N。1//为锐角，所以cosNU*，且。〈/。〃彳,所以点，在线段力〃的延长线上.在△5/1

34

中，sinZO?//-sin（\Y4+ACAH\/nsinZtZZr/-3夜,所以t写n（.到当鲁士

（方法二）由题可知力力」平面ABC,2%小90°,

以通元直为x轴、y轴、z轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则

4(0,0,0),8(3,0,0),C(0,3,0),C(0,3,3),

所以族(3,0,0),幅=(0,3,3),BC=(-3,3,0),BD=tBC=(-3J,300),所以丽=~AB+则3-31,3f,0).

设平面〃的一个法向量为4=(x,y,z),

/?(・AC\=0,|3y+3z=0,

〃i•~AD=0,(3(l-i)x+3ty-0,

令y=t-\y则x=t,z=\-t,故n1=(t,t-1,1-t).

由题得平面4r的一个法向量为屯二(0,0,1).

因为二面角…的大小码所以|舱卜。S：N即冷4>得入但

乂因为oc<i,所以r=2W2.

4.(1)证明在等腰梯形ABCD中,过点A作AELBC于点E,过点〃作DFIBC于点、F.因为在等腰梯形

ABCD中，AD//BC,AD=AB=CD=\,NBCD=60°,

所以BE=CF1CD±,EF=AD=\tAE=DF^

所以心*针+俘)2二代BC2

所以BhChBG,所以BDLCD,同理ABA.AC.

又因为AP=AH=\,口他,

所以AP+AE=PE,所以ABLAP.

乂ACP\AP=A,AC,APU平面力〃所以AHL平面ACP.

因为/ru平面ACP,所以ABLPC.

⑵解取线段〃'的中点为X线段式的中点为N,则拗〃血.因为小_1_平面ACP,所以就归_平面ACP.

因为花PMU平面ACP,所以.桃归_犯

因为PA=PCt线段47的中点为M所以PMVAQ所以城蚂.必两两垂直.

以"为原点，以所在直线为★轴，以.依所在直线为y轴，以•伊所在直线为z轴建立如图所示的

空间直角坐标系，

则力(0,4,o),c(o,£o)"(o,(),J),/(o,；,3),夙=(1,―一).

由题得,平面的一个法向量为m-(l,0,0).

设平面月％的一个法向最为n=(x,y,z),

n*'PC=-}^-z=O,.6

则{',令y=l,则x-V5,贝ijn=(V5,1,V5),所以cos〈in,二；^:

Fv31八朝⑶IXV/

(〃・PB=x--y^-z=o,

、乙乙

且

因为二面角A-PCT3为锐角,所以二面角力-。。-4的余弦值为六.

5.（1）证明连接/匕交加于点0,连接SO.因为四边形/狈力是菱形,所以。为4CM的中点，且8〃_L

AC.因为三棱锥S-凡力是正三棱锥,SB=SD,。为8〃的中点,所以BDLSO.

又SOHAC=OfSO,dCU平面S"；所以/切_1_平面SAC

（2）解作S〃J_平面BCD于点H,则〃为正三角形灰力的中心，月在线段3上且

0*0*X£=4,CH油与SHNSG-C*1口工.

如图，以。为坐标原点，分别以通介市的方向为X轴、y轴、Z轴的正方向建立空间直角坐标系,

则力（0,¥，0）"（；,0,0）,C（0,4,0）"（30,0）,5（0片,J,£（0,R）尸（0，W，P，所以

法（T,屣（T今P，丽二（T，0,0）•

设小二⑸,必，z）是平面防尸的法向量，

（〃]・^=-^1-^/1+；Z]=0,

则，262

）成1上«Jn

、/J/

取Ai=l,则y）=0,4=1,故nt=（l.0,1）.

设％=（g,y2,zj是平面〃出,的法向量，

/?2,~BD--x2=0,

则

他・BF--^X2+J/2+,Z2-0,

取见』,则即力，@=-2,故好（0,V3,-2）.

所以cosCh”电）=功•攻_"2=~又因为二面角E-BF-D是锐凫,所以二面角的余弦值为

billnal显X比

（3）解直线S/l与平面BI）F平行.理由如下：

连接OF,由⑴知0为线段〃的中点，且尸为线段SC的中点,所以OF//SA.又因为S於平面

BDF,0"U平面BDF,所以直线。〃平面BDF.

（或者用向量法判断直线SA与平面B诉平行:

由⑵知廿((),V3,-2)是平面/切/；的一个法向量,G=(0,--1A因为

*5

SA-n24)X0^/3X(一竽)+(-2)X(-1)R,所以M_Ln”

又因为S依平面/，小;所以直线S4〃平面BDF.)

设点A与平面顺的距离为力，则h为直线SA与平面质的距离.因为忌=(0,~0),川=(0,V3,-2)

足平面〃加,的一个法向量，

所E一加⑹.随竺也经1-竺

""〃-i^i77

6.(1)证明因为「是以4?为直径的圆。上异于A,4的点，所以打UL/1C又平面处C_L平面ABC,且平

面为。n平面ABC=ACy8CU平面ABC,所以8C_L平面PAC.因为月EU平面PACt所以BCYAE.

⑵解由E,〃分别是线段P&阳的中点,连接AF,EF,所以BC//EF.由⑴知BCLAE,所以EF1AE,

所以在RtZ\/1叫中，N"万就是异面直线"一与旗所成的角.因为异面直线/力与肉所成角的正切值

所以ta