高考数学大一轮复习 第十三章 推理与证明、算法、复数 133 数学归纳法教师用书 理 苏教版-苏教版高三全册数学试题

第十三章推理与证明、算法、复数13.3数学归纳法教师用书理苏

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基础知识自主学习

ET知识梳理---------------------------

数学归纳法

一般地，对于某些与正整数有关的数学命题，我们有数学归纳法公理：

如果

(1)当〃取第一个值m(例如m=l,2等)时结论正确：

(2)假设当〃=A(A£N\且在力加时结论正确，证明当〃=«+1时结论也正确.

那么，命题对于从m开始的所有正整数〃都成立.

【思考辨析】

判断下列结论是否正确(请在括号中打“或"X”)

(1)用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当〃=1时结论成立.(X)

(2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明.(X)

(3)用数学归纳法证明问题时，归纳假设可以不用.(X)

(4)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由〃=A到,7=〃+1时，项数都增加了一

项.(X)

(5)用数学归纳法证明等式“1+2+2?+…+2"+2=2"3一1，，，验证〃=1时，左边式子应为1

+2+22+23.(J)

(6)用数学归纳法证明凸〃边形的内角和公式时，m=3.(V)

2

1.用数学归纳法证明l+a+J+…+。田=%1^(aHl,〃£『)，在验证〃=1时，等式左

1—a

边的项是.

答案l+a+才

解析当n=］时，〃+1=2,

/.左边=1+J+/=1+a+a；

2.（2016•南京模拟）已知〃为正偶数，用数学归纳法证明1一<+4—；+—」=2（上+工

Z34n〃十，〃十4

+…+；）时，若已假设n=Mk｝2且立为偶数）时命题为真，则还需要用归纳假设再证

①〃=4+1时等式成立

②〃=4+2时等式成立

③〃=24+2时等式成立

④〃=2（A+2）时等式成立

答案②

解析因为〃为正偶数，〃=A时等式成立，

即〃为第4个偶数时命题成立，

所以需假设"为下一个偶数，即〃=4+2时等式成立.

3.在应用数学归纳法证明凸"边形的对角线为5;（〃-3）条时，第一步检验〃=.

答案3

解析凸〃边形边数最小时是三角形，

故第一步检验〃=3.

■1I

4.用数学归纳法证明1+2+3+…则当片A+1时左端应在片A的基础上加

上_____________________.

答案（尸+1）+（六+2）+（〃+3）+•••+（〃+

解析等式左边是从1开始的连续自然数的和，直到/A

故〃=4十】时，最后一项是（六+1）2,而时，最后一项是芥，应加上（六+1）+（2+2）

+（如+3）+•••+（什1）2.

5.（教材改编）己知｛&｝满足aii=a：—na”+1,〃£N*,且d=2,则a>=,a=,

&=,猜想a,,=.

答案345〃+1

题型分类深度剖析

题型一用数学归纳法证明等式

例1设r(〃)=l+J+<H---l--(/7£N*).求证：Al)+/(2)H---\-f[n—1)=n[f(n)—

1](启2,

证明①当〃=2时，左边=f(l)=l,

右边=2(1+；—1)=1,

乙

左边=右边，等式成立.

②假设〃=*(AN2,MN')时，结论成立，即

Al)+A2)+-+AA-1)=Atr(A)-1],

那么，当〃=4+1时，

A1)+f(2)+-+f(k-1)+f(/d

=k[f(k)-i]+f(左)=(«+1)r(外-k

=(什1)[丹什1)一占]一〃

K~\1

=(4+D/U+l)—(A+1)=(4+1)"(R+—

当〃=k+1时结论成立.

由①②可知，rd)+f(2)+-+r(/?-l)=n[f(n)-1]AGN*).

思维升华用数学归纳法证明恒等式应注意

(1)明确初始值"的取值并验证〃=〃)时等式成立.

(2)由〃=A证明〃=々+1时，弄清左边增加的项，且明确变形目标.

(3)掌握恒等变形常用的方法：①因式分解；②添拆项：③配方法.

跟踪训练1(2017•南京质检)用数学归纳法证明：

『[2___________/£______________nn+\门

TX3+3X5+，"+2//-12〃+1=22〃+1心'

I21

证明①当〃=1时，左边=T^G=W，

1A.5J

....IX1+11

石边12X2X14-1一7

左边=右边，等式成立.

②假设时，等式成立.

即JJ…+--------甘--------=卜-1

B|1X33X52A-12A+122A+1'

当n=k+l时,

大力fI2Z■L/।〃+]

左攻-1X3十3X5十…2k-i2k+l2A+124+3

kk+\,A+l2

=22Z+1+2〃+l244-3

kA+l2A+3+2%+l

=22A-+12什3

_A+l2发+5A4-2

22A-+12A-+3-

hH4+2

=-22〃+3，

,.,,A+l4+1+l

击磔=2[2什1+1]

=_k±l__k±2_

=-22A-+3，

左边=右边，等式成立.

即对所有〃£N.，原式都成立.

题型二用数学归纳法证明不等式

例2(2016・泰州模拟)等比数列｛&｝的前n项和为S”.已知对仟意的••点(〃・$)均在

函数尸//+厂(〃>0且〃W1,4?,均为常数)的图象上.

(1)求/•的值；

⑵当b=2时，记b0=2(log2a+1)(〃£N')，证明：对任意的不等式

喑•喑…安1>再成立•

⑴解由题意，S—,

当〃N2时，S-F-'+r.

1

所以a,；=Sn—Sn-1=t)'~(^―1).

由于b>0且好1,

所以时，｛&｝是以6为公比的等比数歹lj.

又演=b+r,我=6(6—1),

个Ak-1

所以L=b,即一—=/),解得「=-1.

a\b-rr

(2)证明由(1)及8=2知&=2'f.

因此A=2〃(〃£N'),

2-4-14+1〃

所证不等式为守--T-丁2+1〉山/­T+71

①当〃=1时:左式=*右式=，5,

左式》右式，所以结论成立.

②假设〃=★1,keN")时结论成立,

2+14+12什1

即2

则当〃=什1时,

2+14+12A+124+3、r—2A+325+3

—,—,…，F'2什1）邓+1•2什］

要证当〃=«+1时结论成立，

只需证券力师'

231______________

即证一T-2ylA+lAH-2

乙

川甘十7砧十知24+3*+1+k+2I———

由基本不等式得f-=--------5--------R左+14+2成立,

乙乙

故恭母而成立，

所以当〃=*+1时，结论成立.

由①②可知,当〃CM时'不等式号・空・・・・・昼》"成立•

思维升华数学归纳法证明不等式的适用范围及关键

(1)适用范围；当遇到与正整数〃有关的不等式证明时，若用其他办法不容易证，则可考虑应

用数学归纳法.

(2)关键：由〃=%时命题成立证〃=〃+1时命题也成立，在归纳假设使用后可运用比较法、

综合法、分析法、放缩法等来加以证明，充分应用基本不等式、不等式的性质等放缩技巧，

使问题得以简化.

跟踪训练2若函数f(x)=f—2x—3,定义数列｛%｝如下：汨=2,*小是过点P(4,5)、Q,(x,”

£(*〃))的直线与x轴的交点的横坐标，试运用数学归纳法证明：2Wx“<x,”<3.

证明①当〃=1时，汨=2,!(%>)=-3,。(2,-3).

所以直线PQ的方程为y=4x—11,

令y=0,得>2=?，因此2WXK>2<3,

即〃=1时结论成立.

②假设当〃=%时，结论成立，即2WM〈冬+<3.

当n=k+1时，直线即+i的方程为y—5=~~~!~，•(*—4).

**+L4

又f（北+J=北+1—2M+I—3,

代入上式，令尸0,

73+4M+I5

得Xk-2一,）」__4—77T,

2+Xk±।2+XA-+1

55

由归纳假设，2<x*<3,照+2=4—五一<4-7TT=3；

+1/十4十J

3—Xk+il+&q、八

X*+2—**+1=-----------石7---------------->0,

Bp*什1<*«+?,

所以2Wxi+K**+2<3,

即当〃=k+1时，结论成立.

由①②知对任意的正整数n,2Wx“＜x-K3.

题型三归纳一猜想一证明

命题点1与函数有关的证明问题

例3已知数列｛刘｝满足击=示3产士，〃£N’.猜想数列｛跖｝的单调性，并证明你的结

Z1।An

论.

解由乂=3及乂+1=■）■£,

2513

得X2=~,X|=-,A6=—,

由盟＞国〉而猜想：数列｛用〃｝是递减数列.

下面用数学归纳法证明：

①当〃=1时，已证命题成立.

②假设当〃=%（A£N\且A21）时命题成立，即黑*＞热*+2,

易知必＞0,那么

11

X2k+2-用叶4=TTTT

1+检1+11+^2i+3

________如+3-如+1_______

1+照A+11+%!什3

11

______1+必1121+心力

1+照-11+X2k+3

___________________―/一_________________＞0

l+生*1+生*+11+M/+21+心H3

BP*2＜«+］）＞版（叶1）+2.

所以当〃=A+1时命题也成立.

结合①②知，对于任何命题成立.

命题点2与数列有关的证明问题

例4在数列｛&)中，a=2,&+尸[&+八++(2—八)2"(〃£『A>0).

(1)求&2，a,@；

(2)猜想｛&｝的通项公式,并加以证明.

解(1)念=21+〃+2(2—A)=乂+22,

d=，(#+23+4-4)22=2.A3+2\

&=、(2V+23)+卜+(2—Q2s=3箱+2」.

(2)由(1)可猜想数列通项公式为：

a»=(/?—1)4"+2".

下面用数学归纳法证明：

①当〃=1,2,3,4时，等式显然成立，

②假设当〃=〃(衣24,AWN*)时等式成立，

即以=(%—1)尸+2”,

那么当n=k-\-1时，

a*+i=/I&+A+l4-(2一1)2”

=X(A-1)〃+42*+4*+14-2*+,-42*

=U-1)A*+,4-4"i+2+

=[(A+1)-1]L+2叫

所以当〃=A+1时，&+i=[(A+D—1]八"|+2"'，猜想成立，

由①②知数列的通项公式为&,=(〃-1)，l"+2〃(〃£N',，1〉0).

命题点3存在性问题的证明

例5设a=1,azi=7£—2a“+2+b(nWN*).

(1)若8=1,求a,a及数列｛a｝的通项公式：

(2)若8=-1,问：是否存在实数c使得M〈“说用对所有成立？证明你的结论.

解(1)方法一a=2,&=\2+1.

再由题设条件知(国+1-1)2一区-1)2=1.

从而数列是首项为3公差为1的等差数列，

2

故[a,—l)=n—1,即an=y[n—i+1(〃£N").

方法二至=2,麴=/+1.

可写为句=勺］-1+1»32=72—।+1，鹤=23—1+1.

因此猜想3n=yjn—l+1.

下面用数学归纳法证明上式：

①当〃=1时结论显然成立.

②假设〃=在(左£”,且421)时结论成立，即&=业—1+1,

则当n=k+1时，1=4_a*—1~2+1+1=7~k—1+7+1

=、)+1~~+1.

所以当〃=〃+1时结论成立.

所以a..,=yjn—l+1(〃£N*).

(2)方法一设f(x)=7~x—\~彳7—1,

则a”+j=f(&).

令c=f(c),即c=7~~c—1~2+1—1,

解得T

下面用数学归纳法证明加强命题：

当〃=1时，选=f(l)=O,a.i=/(a2)—AO)=y［2—1,

所以&<；<&,<1,结论成立.

假设〃=屋《£”,且4N1)时结论成立，即或K&&什<1.

易知f(x)在(-8,1］上为减函数,从而c=f(c)>f(侬生,即1>—a.

再由f(x)在(-8,1］上为减函数，得c=F(c)<£(侬+2)"(我)=史<1,故“的t+3〈l.

因此加什即*+1)+<L

这就是说，当〃=*+1时结论成立.

综上，符合条件的C存在，其中一个值为c=/

方法二设f(x)=yjx~\J+l-l,

则&+】=£(&).

先证：0Wa“Wl(〃cW).①

当〃=1时，结论显然成立.

假设〃=A("£N',且A21)时结论成立，即OWaWl.

易知八彳)在(-8,1］上为减函数，从而

O=/U)WFE)Wf(O)=A/2-1<1,

即OWa+WL

这就是说，当〃=〃+1时结论成立.

故①成立.

再证：&><段八।(〃£!<).②

当〃=1时，A2=AD=0,<ai=f(a^)—/(O)=y［2—l,

有&即72=1时②成立.

假设〃=*(〃£N',且421)时，结论成立，即a水色什1.

由①及/'(力在(一8，1］上为减函数，得

&2k+1=F(**)>/*(念什1)=品什2，

段(*+1)=f(&*+l)〈/\82*+2)+1.

这就是说，当〃=〃+1时②成立，

所以②对一切〃WN成立.

由②得色可W—2侬+2—1,

即(如+1>〈原—2二+2,

因此比<；.③

又由①②及/.(*)在(-8,1］上为减函数，

得/'(次〃)f即a”+1〉a-2,

所以的2a2”+I+2-+

解得祖〃+1〉;.④

综上，由②③④知存在。=*使得期<“的+1对-切〃eNt成立.

思维升华(1)利用数学归纳法可以探索与正整数〃有关的未知问题、存在性问题，其基本模

式是''归纳一猜想一证明”，即先由合情推理发现结论，然后经逻辑推理即演绎推理论证结

论的正确性.

(2)“归纳一猜想一证明”的基本步骤是“试验一归纳一猾想一证明”.高中阶段与数列结合

的问题是最常见的问题.

跟踪训练3(2015♦江苏)已知集合＞={1,2,3},匕={1,2,3,…，〃}(〃£“)，设S={(a,

Z>)Ia整除b或4b整除a,X,bGK),令F(〃)表示集合S所含元素的个数.

(1)写出f(6)的值：

(2)当〃26时，写出八〃)的表达式，并用数学归纳法证明.

解⑴—3,4,5,6},$中的元素(a,b)满足:

若a=l,则Z)=l,2,3,4,5,6；若a=2,则6=1,2,4,6：

若a=3,则匕=1,3,6.所以/6)=13

(2)当〃26时，

〃+2+修+3，n=6t,

(n—1,n—1A

〃+2+12।31t+1,

(n〃一2、

/?+2+l-+—1,〃=6什:?,

f(n)=</1、(feK).

\2

(nn—1A

/7+2+I-+—1,”=6E+4,

(n~1,/?—2\

[〃+2+12।3)6f+5.

下面用数学归纳法证明：

①当〃=6时，/(6)=6+2+-4--=13,结论成立；

②假设n=k(kEK,且46)时结论成立，那么n=k+\时，S*+i在&的基础上新增加的元

素在(1,什1),(2,什1),(3,4+1)中产生，分以下情形讨论

(i席4+1=63则A=6(Ll)+5,此时有

L—1L—2

F(4+1)—/(4)+3—4+2+,+q+3

-1k-\-1

=(4+1)+2+-^+—,结论成立：

(ii)若4+1=6什1,则4=63此时有

/〃+1)=f{k)+1=片+2+9+9+1

k+1—1K+1—1

=(4+1)+2+——-——十——-——，结论成立；

(iii)若A+l=6f+2,则〃=6f+l,此时有

八A+1)=/W+2=A+2+1—+=一+2

43

a+1k+\—2

=U+l)+2+—4——-——，结论成立；

(iv)若A+l=6f+3,则〃=6£+2,此时有

k4一2

ra+1)=/、(〃)+2=4+2+5+—^-+2

k+I—Ik+1

=(〃+1)+2+—4——+『，结论成立：

乙O

(V)若4+1=6-4,则4=6t+3,此时有

L—1k

&4+1)=f6)+2=〃+2+-r-+w+2

/J

a+1k+1—i

=a+i)+2+—+—-——，结论成立；

乙O

(vi)若R+l=6t+5,则左=6£+4,此时有

kk—1

r(A+l)=/W+l=A+2+--F—+1

乙J

a+i_i4+1—9

=(4+1)+2+—七——L+一——J结论成立.

综上所述，结论对满足的自然数〃均成立.

答题模板系列

9.归纳一猜想一证明问题

典例(14分)数列W满足S,=2〃一.

(1)计算a,或，改,国，并由比猜想通项公式国：

(2)证明(1)中的猜想.

思维点拨(1)由5=旬算出小：由a,=S-Si算出或，a„国，观察所得数值的特征猜出通

项公式.

(2)用数学归纳法证明.

规范解答

(1)解当〃=1时，&=S=2一句，=1；

3

当〃=2时,a+/=S=2X2—a,

7

当〃=3时，劲+生+&=W=2X3—麴，

当/?=4时，ai+a+&+ai=S=2X4—融,

.15

[3分]

2"—1

由此猜想&=7k（〃£N.）.[5分]

（2）证明①当〃=1时，囱=1,结论成立.[6分]

②假设〃且〃£N*）时，结论成立，

2*—1

即a*=21t~~,

那么n=k+1时,

a*+i=£+i—£=2(〃+1)—&+L2A+&

=2+a-&+i,

2&-+1=2+a.[10分]

,2'~1

2+/2+2124+1-1

・・8+尸一^―=―-—

当n=k+1时，结论成立.[13分]

2"—I

由①②知猜想a产行h(〃£N)成立.[14分]

归纳一猜想一证明问题的一般步骤

第一步：计算数列前几项或特殊情况，观察规律猜测

数列的通项或一般结论：

第二步：验证一般结论对第一个值成立；

第三步：假设〃=4（左二〃），★£”）时结论成立，证明当〃=4+1时结论也成立;

第四步：下结论，由上可知结论对任意〃Nm,

成立.

课时作业

1.如果命题〃（力对/?=%（左£2）成立，则它对。=4+2也成立.若〃（〃）对〃=2也成立，则

下列结论正确的是.

①05）对所有正整数〃都成立；

②夕(力对所有正偶数〃都成立；

③p(〃)对所有正奇数n都成立；

④夕(〃)对所有自然数〃都成立.

答案②

解析〃=2时，n=k,〃=〃+2成立，

〃为2,4,6,…，故〃为所有正偶数.

2.用数学归纳法证明命题“当〃是正奇数时，*"+/能被整除"，在第二步时，正确

的证法是.

①假设〃=­〃£"),证明n=k+1时命题成立；

②假设〃=左(〃是正奇数)，证明〃=〃+1时命题成立；

③假设〃=2〃+1(★£"),证明〃=衣+1时命题成立；

④假设〃=左(〃是正奇数)，证明〃=〃+2时命题成立.

答案④

解析相邻两个正奇数相差2,故④正确.

3.(2017•盐城质检)设f(x)是定义在正整数集上的函数，且户”)满足：当ZU)2A+1成立

时，总能推出f(A+D2A+2成立，那么下列命题总成立的是.

①若f(l)<2成立，则八10)<11成立：

②若f(3)24成立，则当A21时，均有f(A)2A+l成立：

③若八2)<3成立，则八1)22成立：

④若f(4)N5成立，则当AN4时，均有八%)，立+1成立.

答案④

解析当/W2A+1成立时，总能推出/U+D2A+2成立，说明如果当％=〃时，

+1成立，那么当a=〃+1时，£(〃+1)2〃+2也成立，所以如果当4=4时，£(4)25成立，

那么当A24时，f(A)2A+l也成立.

4.在数列｛&｝中，动=：,且Sc=〃(2〃-1)4,通过求生，纯，曲,猜想&的表达式为4=

答案2/2-12〃+1

解析当〃=2时，J+/=(2)<3)出.*.32=7-77.

33X5

当〃=3时，＜+白+&=(3X5)次，.,.用=^TZ.

6!□3X/

当片4时，打导专+&=""&=袅,

故猜想&=2/7-12〃+1

5.(2016•盐城质检)利用数学归纳法证明”(〃+1)(〃+2)..........(〃+〃)=

2"X1X3X…X(2〃-1),时,从“〃=〃”变到“〃=什1”时,左边应增乘的因式是

答案2(2衣+1)

解析当〃=A(衣£N*)时，

左式为(衣+1)(*+2)........(A+R)；

当n=k+l时，左式为(4+1+1)・(衣+1+2)..........(A-4-1+A-1)・(*+1+4)・(R+1+%

+1),

9^4-19^-4-2

则左边应增乘的式子是1~不~—=2(2A+1).

6.设数列｛&｝的前〃项和为S,且对任意的自然数〃都有($—1)2=&S,通过计算S,S,

S，猜想Sn=.

答案帚

解析由(s—1)2=S・S,得析='

2

由(S-1)2=(S-S)S,得£=鼻,

同理得£=*猜想^<=~V7-

4〃十1

7.设S=HS=l''+2'+「，…，.$,=1*2+*422+3'+,**+(/?—1)'+/?'+(/7—1)2+***+2'+12»

用数学归纳法证明S尸〃时,第二步从"k"到“4+1”应添加的项为.

答案(A+iy+V

解析由S,S,…，S可以发现由〃=〃到〃=4+1时，中间增加了两项a+l)2+*(〃,AeM).

8.设平面内有〃条直线S23),其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一

点.若用£(/?)表示这〃条直线交点的个数,则f(4)=:当〃>4时，f(〃)=(用

n表示).

答案52)

解析，3)=2,A4)=f(3)+3=24-3=5,

+3+4+…+(〃-1)

=2+3+4+…+(〃-1)

=1(/?+1)(/?—2).

9.(2016•镇江模拟)已知函数/•(4)=3系一斯数列(/｝满足条件：&21,(4+1),

试比较747+士+£+・「+；与1的大小，并说明理由•

1十dl1十垃I十SHn

解,:f(x)=7—1,且(&,+1),

:,&+12(&+I)=1,令g(&)=(a〃+I)'一1，

•・•函数以/)=心+1)2—1在U，+8)上是增函数.

于是由功21,得aE+1)?-122’-1,

进而&2(.+1)2—1>21-1>23-1,

由此猜想：&22"-1.下面用数学归纳法证明这个猜想：

①当〃=1时:1=1,结论成立；

②假设〃=A(A21且AGN*)时，结论成立，

即每22、-1.

当〃=A+1时，由g(x)=(x+l)2—1在区间［1,+8)上是增函数，知&+I，E+1)2-I，22R

一1225一1,

即〃=%+1时，结论也成立.

由①②知，对任意〃已N',都有—1.

即1+222",二］1,,

•,++士+*+…+士4+抖吴…+%Lg〃〈】•

10.(2016•苏州模拟)数歹必必｝满足汨=0,*用=一翥+乂+。5£?0.

(1)证明：｛的｝是递减数列的充要条件是《0：

⑵若0<°<亨，证明：数列｛煽是递增数列.

证明(1)充分性：

若“0,由于X"+1=-&+X”+CWXn+c<xf/,

所以数列Id是递减数列.

必要性：若｛乂｝是递减数列，则*且M=0.

又%=—M+M+C=C,所以汉0.

故5“｝是递减数列的充要条件是H0.

(2)若0GW彳要证｛及｝是递增数列.

即XnQX",即Xx+1—xn=—xn-Yc>0,

也就是证明照<&.

下面用数学归纳法证明当0<c4时，■对任意启1,〃£N’都成立.

①当〃=1时，汨=0<y[cW，结论成立.

②假设当〃时结论成立，即水

因为函数f(x)=-v+x+c在区间(一8,占内单调递增，

所以彳叶1=f(x))<f(y[c)=y[c,

这就是说当〃=々+1时，结论也成立.

故x„<•对任意〃独1,N4都成立.

因此,x^\=X-xn-\-cyx„,即兀｝是递增数列.

sinV

11.已知函数6(彳)=二一(x〉0),设为人("的导数，。£N\

A

⑴求2£(5)++做子)的值：

(2)证明：对任意的〃£N’，等式

Infn-x(rr)+千人(今I=乎都成立.

111M

⑴解由己知，得

“、z/、sinX、，cosxsinx

f\3=Fo(x)=(z-----)'=­；-------»

XXX

于是£(*)=尸|(*)=(手」)，一声『)'

4A

sinx2cosx,2sinx

所以/i(5)=--1，为(弓-)=-：+当，

2n2nn

故26(5)+子£(亍)=—1.

(2)证明由已知，得X4(x)=sinx、等式两边分别对*求导,

得6(x)+*ro(^)=cosX,

即6(x)+x/](x)=cosx=sin(x+5),类似可得

2/I(x)+*为(x)=-sinx=sin(x+n),

3IT

3左(向+>投(¥)=­COSA—sil(x+--7-),

w

46(x)+x£(x)=sinx=sin(x+2n).

下面用数学归纳法证明等式(x)=sin(x+午)对所有的八WM都成立.

乙

①当72=1时，由上可知等式成立.

②假设当〃=%时，等式成立，即左C-i(x)+x，(x)=sin(x+T~).

因为[kfk-i(x)+xft{x)]*=kf*-i(x)+fk[x)+xf*(x)=(〃+1)fk{x)+*△+1(*),

LITkXkJT

[sin(x+—)]z=cos(x+—)•(x+—)'

乙乙乙

・「工A+1T

=smLxH----------J,

乙

所以(4+l)&(才)+x/i+i(x)=sin[x+——^7---].

J

因此当〃=4+1时，等式也成立.

综合①②可知等式+>£(x)=sin(*+—~)对所有的〃£N"都成立.

令*=；，可得">-】(?)+:£令)

=sin(­+-^~)(〃£“)，

*乙

所以Infr-i(-y)+宁£(?|=乎(〃£心.

*12.设函数f(x)=ln(l+x),g1h=xF(x),*20,其中/(力是£(x)的导函数.

(1)令g(x)=g(x),g,+i(x)=g(%(*)),求%(x)的表达式；

(2)若f(*)NagC