高考数学一轮复习 第六章 不等式 6.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题-人教版高三数学试题

【步步高】(浙江通用)版高考数学一轮复习第六章不等式6.3二

元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

基础知识自主学习

D知识梳理要点讲解深层突破

i.二元一次不等式表示的平面区域

(1)一般地，二元一次不等式加+敌+。0在平面直角坐标系中表示直线Ar+如+C=C某一

侧所有点组成的平面区域.我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线.当我们在坐标

系中画不等式/k+如+30所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线,则把边界直线画

成实线.

(2)由干对直线月“+饮+C=0同一侧的所有点(*,卜)，把它的坐标。代入力x+"+C.

所得的符号都相同,所以只需在此直线的同一侧取一个特殊点(甩，H)作为测试点，由/U+

的符号即可判断Ax+By+OO表示的直线是4H■郎+。=0哪一侧的平面区域.

2.线性规划相关概念

名称意义

约束条件由变量x,y组成的一次不等式

线性约束条件由x,-的一次不等式(或方程)组成的不等式组

目标函数欲求最大值或最小值的函数

线性目标函数关于X，■的一次解析式

可行解满足线性约束条件的解

可行域所有可行解组成的集合

最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解

线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题

【知识拓展】

1.画二元一次不等式表示的平面区域的直线定界，特殊点定域：

(1)直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线；

⑵特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取(0,1)

或(1,0)来验证.

2.利用“同号上，异号下”判断二元一次不等式表示的平面区域：

对于/k+如+6>0或而+如+氏0,则有

(1)当〃(1*+砌+。＞0时，区域为直线而+取+仁()的上方；

(2)当4(取+&+。＜0时，区域为直线加+的十a0的下方.

3.最优解和可行解的关系：

最优解必定是可行解，但可行解不一定是最优解.最优解不一定唯一，有时唯一，有时有多

个.

【思考辨析】

判断下面结论是否正确(请在括号中打“J”或“X”)

(1)不等式/U+如+00表示的平面区域一定在直线而+的+40的上方.(X)

(2)线性目标函数的最优解可能是不唯一的.(J)

(3)目标函数z=ax+Z;W。#。)中，z的几何意义是直线ax+by—z=0在y轴上的截

距.(义)

(4)不等式z-Ao表示的平面区域是一、三象限角的平分线和二、四象限角的平分线围成

的含有y轴的两块区域.(V)

2考点自测快速解答自查自纠

1.下列各点中，不在x+y-1W0表示的平面区域内的是()

A.(0,0)B.(-1,1)

C.(-1,3)D.(2,-3)

答案C

解析把各点的坐标代入可得(一1,3)不适合，故选C.

A—3y+6＜0,

2.(教材改编)不等式组八表示的平面区域是()

x—y+210

答案C

解析用特殊点代入，比如(0,0),容易判断为C.

X一介-1,

3.若实数x,y满足不等式组则该约束条件所围成的平面区域的面积是

3x一—W3,

B.乎C.2D.272

答案

因为直线x—y=—\与x-\-y=\互相垂直,

所以如图所示的可行域为直角三角形,

x+y-l=O3x-y-3=0

|7/i-y+l=0

易得力（0,1）,6（1,0）,C（2.3）,故I力切=啦，|〃1=2*,

其面积为:X|力8|X|〃1=2.

x-Z。，

4.（•北京）若x,y满足r+yWl,则z=x+2y的最大值为（）

日），

3

A.0B.1C-D.2

乙

答案D

解析可行域如图所示.目标函数化为y=一9+9，

yx-y-Q

当直线尸一9+k过点4（0,1）时，z取得最大值2.

5.（教材改编）投资生产力产品时,每生产100吨需要资金200万元，需场地200平方米;投

资生产8产品时，每生产100吨需要资金300万元，需场地100平方米.现某单位可使用资

金1400万元，场地900平方米，则上述要求可用不等式组表示为（用x,

y分别表示生产儿8产品的吨数，x和y的单位是百吨）.

j2()0x+300_j<l400,

200x4-100^^900,

答案1i

xM,

、介0

解析用表格列出各数据

AB总数

产品吨数Xy

资金200A-300y1400

场地200A-100/900

所以不难看出，x20,y>0,200%+300J<1400,200%+100/^900.

题型分类深度剖析

题型一二元一次不等式（组）表示的平面区域

命题点1不含参数的平面区域问题

例1（1）不等式（x—2y+l）（x+y—3）W0在坐标平面内表示的区域（用阴影部分表示），应是

下列图形中的（）

在0,

⑵不等式组卜+3y24,

所表示的平面区域的面积等于（）

3x+yW4

A.1c2八4n3

B.gC.-D.-

答案(1)C(2)C

x—2v+120,

解析(l)Cr-2y+l)(x+y-3)W0=J「〜八

x十y-3W0,

或Ix—2-y+1W。O.,画出平面区域后，只有c符合题意・

4

⑵由题意得不等式组表示的平面区域如图阴影部分，力（0,可），8（1,1）,。（0,4）,则△/L%

O

184

的面积为1x-=-故选C.

乙JJ

命题点2含参数的平面区域问题

才20,

4

例2若不等式组x+3y》4,所表示的平面区域被直线分为面积相等的两部

分，则左的值是.

…7

答案7

15

解析不等式组表示的平面区域如图所示.

由于直线尸过定点［（），引.因此只有直线过力8中点时，直线尸履+!能平分平面区域.

J'、J,J

因为力（1,1）,6（0,4）,所以月6中点zQ,

当尸4x+g过点&|）时，|=^+1,

7

所以k=~

思维升华（1）求平面区域的面积：

①首先画出不等式组表示的平面区域，若不能直接画出，应利用题目的已知条件转化为不等

式组问题，从而再作出平面区域：

②对平面区域进行分析，若为三角形应确定底与高，若为规则的四边形(如平行四边形或梯

形)，可利用面积公式直接求解，若为不规则四边形，可分割成几个三角形分别求解再求和即

可.

⑵利用几何意义求解的平面区域问题，也应作出平面图形，利用数形结合的方法去求解.

卜20,

跟踪训练1(1)不等式组卜+内3,

表示的平面区域为。，直线了=杉-1与区域。

LK2X+1

有公共点，则实数4的取值范围为()

A.(0,3]B.[-1,1]

C.(-8,3]D.[3,+8)

⑵已知约束条件4W0,表示面积为1的直角三角形区域，则实数k的值为

()

A.1B.-1C.0D.-2

答案(1)D(2)A

解析(1)直线尸履一1过定点"(0,—1)＞由图可知，当直线1经过直线y=x+l

9——1

与直线x+尸3的交点。(1,2)时,A最小，此时如=一^=3,因此栏3,即M[3,

+8).故选D.

(2)由于x=\与x+y—4=0不可能垂直，所以只有可能x+y—4=0与kx—y=0垂直或x=

1与6一尸=0垂直.

①当x+y—4=0与履一尸0垂直时，k=l,检验知三角形区域面积为1,即符合要求.

②当*=1与履一y=0垂直时，k=0,检验不符合要求.

题型二求目标函数的最值问题

命题点1求线性目标函数的最值

例3(•广东)若变量x,y满足约束:条件,x+Zl，且z=2x+y的最大值和最小值分

-1，

别为/〃和〃，则加一〃等于()

A.5B.6C.7D.8

答案B

解析而出可行域，如图阴影部分所示.

由z=2x+y,得y=—2x+z.

y=x,^=-1,

由得

y=-l»y=-h

•9•/!(—1»—1).

x+y=\,x=2,

由,J，

尸_1，

AM2,-1).

当直线y=-2x+z经过点力时，Znm=2X(―1)—1=—3=〃.当直线y=—2x+z经过点〃时,

Zg、=2X2—1=3=勿，故〃=6.

命题点2求非线性目标函数的最值

x—y+lWO,

例4实数x,p满足V才>0，

.J<2.

(1)若z=C求z的最大值和最小值，并求z的取值范围；

X

(2)若，=/多/，求z的最大值与最小值，并求z的取值范围.

x—y+1W0,

解由，入＞0，作出可行域，

Z2，

如图中阴影部分所示.

⑴z=」表示可行域内任一点与坐标原点连线的斜率,

X

因此」的范围为直线切的斜率到直线0A的斜率（直线小的斜率不存在，即z.不存在）.

才

x-y+l=O,

曲得8(1,2),

7=2,

2

.*.Am=Y=2,即为in=2,

・・.z的取值范围是[2,+8）.

（2）z=V+/表示可行域内的任意一点与坐标原点之间距离的平方.

因此f十/的值最小为I/r（取不到），最大值为|如L

LJ/+1=(),

曲得/(0,1),

x=0,

A|6M|2=（-\/02+l2）2=l,I仍「=（严两）2=5,

・・・z的取值范围是（1,5].

引申探究

V—1

1.若2=二-P求2的取值范围.

X—1

y—1

解可以看作过点尸（1,1）及（X,力两点的直线的斜率.

X—1

的取值范围是（一8,。）.

2.若7=/+/—2x—2y+3.求z的最大值、最小值.

解z=f+y—2x—2y+3

=(x-1)2+(y-1)2+1,

而(1一1/+。-1)2表示点/>(1,1)与0(必力的距离的平方I」"「,|&|黑=(0—1)2+(2—1)

=2,

Ipn\2-=（JT+I）2，

13

，2皿=2+1=3,^.in=-+l=-

乙乙

命题点3求线性规划的参数

在1,

例5已知a〉0,x,y满足约束条件•x+yW3,若z=2x+y的最小值为1,则a

.y^ax-3

答案i

解析作出不等式组表示的可行域，如图（阴影部分）.

易知直线z=2x+y过交点月时，z取最小值，

\x=\,（x=l,

由°得C

{y=a%—3,{y=~2a,

.•.Znin=2—2a=l,解得a=*

乙

思维升华（1）先准确作出可行域，再借助目标函数的几何意义求目标函数的最值.

（2）当目标函数是非线性的函数时，常利用目标函数的几何意义来解题，常见代数式的兀何意

义有：

①了表示点（x,y）与原点（0,0）的距离，«~x—a'+~y—b'袤示点点,y）与点（a,

方）的距离；

雷表示点（刈力与原点（0,0）连线的斜率，W表示点（x，。与点（a，6）连线的斜率.

（3）当目标函数中含有参数时，要根据临界位置确定参数所满足条件.

工一介0,

跟踪训练2（1）（,山东）已知筋y满足约束条件，x+jW2,若2=3叶9的最大值为4,

斤0,

则a等于（）

A.3B.2C.-2D.-3

x+y—2W0,

(2)(•安徽)筋y满足约京条件，*一2产一2WO,若z=y—取得最大值的最优解不唯

、2x—y+220.

一，则实数a的值为()

八.)或一1B.2或)

乙乙

C.2或1D.2或一1

答案(1)B(2)1)

解析(1)不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示.

易知力(2,0),

x-y=0,

曲得"(1,1).

x+y=2,

由z=ax+y,得y=—ax+z.

・••当a=-2或&=一3时，z=ax+y在0(0,0)处取得最大值，最大值为劣仆=0,不满足题

意，排除C,D选项；当a=2或3时，z=ax+y在力(2,0)处取得最大值,

・・,2a=4,・・・d=2,排除A,故选B.

(2)如图，由y=ax+z知z的几何意义是直线在y轴上的截距,

故当公0时，要使z=p—ax取得最大值的最优解不唯一，则a=2；

当a<0时，要使z=y—ax取得最大值的最优解不唯一，则a=-1.

题型三线性规划的实际应用

例6某客运公司用力、4两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返

一次.力、占两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1600

元/辆和2400元/辆，公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求/，型车不多于A

型车7辆.若每天运送人数不少于900,且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配

备力型车、8型车各多少辆？

解设力型、3型车辆分别为X、y辆，相应营运成本为z元，则Z=1600x+2400y.由题意,

得x,y满足约束条件

4+々1,

Zx+7,

36x+60y2900,

、x,y20,x,yEN.

作可行域如图所示,可行域的三个顶点坐标分别为尸(5,12),0(7,14),M15,6).

由图可知，当直线z=l630x+2400y经过可行域的点P时，直线z=l600x+2400y在y

轴上的截距公次最小，即z取得最小值.

4*W

故应配备力型车5辆、型车12辆，可以满足公司从甲地去乙地的营运成本最小.

思维升华解线性规划应用问题的一般步骤：

(1)分析题意，设出未知量；

⑵列出线性约束条件和目标函数；

⑶作出可行域并利用数形结合求解；

⑷作答.

跟踪训练3(.陕西)某企业生产甲、乙两种产品均需用A,8两种原料，已知生产1吨每种

产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3

万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为()

甲乙原料限额

力(吨)3212

4（吨）128

A.12万元B.16万元

C.17万元D.18万元

答案D

'3x+2yW12,

x+2彩8,

解析设每天甲、乙的产量分别为x吨，y吨，由已知瓦得〈…

x30,

、y20.

目标函数z=3x+4y,线性约束条件表示的可行域如图阴影部分所示:

可得目标函数在点A处取到最大值.

x+2尸8,

由＜得履2,3）.

3x+2y=12,

则4ax=3X2+4X3=18（万元）.

易错警示系列

7.含参数的线性规划问题的易错点

，却，

典例已知实数x,y满足彩2x—1,如果目标函数z=x—y的最小值为一1,则实数

m=.

易错分析题目给出的区域边界“两静一动”，可先画吕已知边界表示的区域，分析却直线

的位置时容易出错，没有抓住直线x+y=/和直线卜=-x平行这个特点；另外在寻找最优点

时也容易找错区域的顶点.

解析显然，当欣2时，小等式组表示的平面区域是空臭；

当勿=2时，不等式组表示的平面区域只包含一个点力(1,1).此时为E=1-1=0W-L

显然都不符合题意.

故必有於2,此时不等式组＜Z2x—1,所表示的平面区域如图所示,

/+y^m

平面区域为一个三角形区域,

其顶点为/1(1,1),以加一1,1),。(中2川一1

3)♦

O

由图可知，当直线y=x-z经过点。时，z取得最小值,

最小值为华一空=号

由题意，得［「二一1,解得勿=5.

«5

答案5

温馨提醒(1)当约束条件含有参数时，要注意根据题目条件，画出符合条件的可行域.本题

因含有变化的参数，可能导致可行域画不出来.

⑵应注意直线尸x—z经过的特殊点.

।——思想方法感悟提高■■——।

［方法与技巧］

1.平面区域的画法：线定界、点定域(注意实虚线).

2.求最值：求二元••次函数z=ax+"(abWO)的最值，将函数z=ax+by转化为直线的斜

截式：尸f+彳,通过求直线的截距-的最值间接求出z的最值.最优解在顶点或边界取得.

3.解线性规划应用题，可先找出各变量之间的关系，最好列成表格，然后用字母表示变量,

列出线性约束条件；写出要研究的函数，转化成线性规划问题.

4.利用线性规划的思想结合代数式的几何意义可以解决•些非线性规划问题.

［失误与防范］

1.画出平面区域.避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式标准化.

2.在通过求直线的截距令j最值间接求出z的最值时，要注意：当力0时，截距印乂最大值时,

z也取最大值；截距的最小值时，z也取最小值；当伙0时，截距甑最大值时，z取最小值;

截距孤最小值时，z取最大值.

练出高分

A组专项基础训练

（时间：30分钟）

“20,

介:0,

1.直线2>+夕-10=()与不等式组〈、表示的平面区域的公共点有（）

xyA2

、4*+3J<20

A.0个B.1个C.2个D.无数个

答案B

解析由不等式组画出平面区域如图（阴影部分）.

4

直线2x+y—10=0恰过点水5,0）,且其斜率左=—2〈检=一『即直线2x+y—10=0与平

面区域仅有一个公共点力（5,0）.

x+y—3W0,

2.若函数y=log2》的图象上存在点（x,y）»满足约束条件,2x—y+220,则实数为的

最大值为（）

13

A-B.1C-【）.2

乙乙

答案B

解析如图，作出不等式组表示的可行域，当函数y=log了的图象过点（2,1）时，实数勿有

最大值1.

p+y-2^0,

3.设变量x,y满足约束条件｛x-P—2W0,则目标函数z=x+2y的最小值为（）

1后1，

A.2B.3C.4D.5

答案B

解析由线性约束条件画出可行域（如图所示）.

由/=%+2y,得y=-Jx+）z,Jz的几何意义是直线y=-在y轴上的截距，要使z

乙乙乙乙乙

最小，需使Jz最小，易知当直线y=—过点/（I,1）时，z最小，最小值为3,故选B.

乙乙乙

"一y20,

2x+j<2,

4.若不等式组，表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是（）

y20.

B.(0,1]

D.(0,1]U*+8

答案D

x-y20,

解析不等式组«2x+j<2,

表示的平面区域如图（阴影部分）,

求4月两点的坐标分别为仔今和（1,0）,若原不等式组表示的平面区域是一个三角形，则

4

a的取值范围是OVaWl或a^~

5.某公司生产甲、乙两种丽装产品.已知生产甲产品1桶需耗力原料1千克、3原料2千克;

生产乙产品1桶需耗力原料2千克、4原料1千克.每桶甲产品的利润是300元，每梢乙产

品的利润是400元.公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗力、8原料都不超过12

千克.通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润

是（）

A.1800元B.2400元

C.280（）元I）.3100元

答案C

解析设每天生产甲种产品x桶，乙种产品y桶，

“20,x£N,

了20,p£N,

则根据题意得x、y的约束条件为＜

x+2T2,

、2x+yW12.

设获利Jz元，贝I]z=300/十400」.

画出可行域如图.

画直线7：300x+400y=0,即3x+4y=0.

平移直线/,从图中可知，当直线过点V时，

目标函数取得最大值.

x+2y=12,[A=4,

由c.g解得,

t2x+y=12,[y=4,

即1/的坐标为（4,4）,

.,.^,=300X4+400X4=2800（元）.故选C.

卜+y—220,

6.若x,y满足｛履一产+220,

且z=y-x的最小值为一4,则在的值为（）

A.—2B.

2

C-2D.2

答案B

解析当z=y—x取得最小值一4时，直线y—x=-4与x轴相交于点。(4,0),所以直线Zrx

一夕+2=0一定过点以4,0),所以4衣—0+2=(),即4=一£.经验证，符合题意.

x>0,

7.已知实数x,y满足约束条件px+3j<4,则32—p+1的最小值是()

)20，

A.-2B.2C.—1D.1

答案D

解析作出不等式组对应的平面区域如图,

3=山的几何意义是区域内的点P(x,力与定点力(0,—1)所在直线的斜率，由图象可知当

X

〃位于点〃(1,°)时'直线〃的斜率最小，此时g千的最小值为翡.故选D.

，一2y+120,

8.已知实数X，y满足，求2,则z=2x—2y—l的取值范围是()

x-^ry—120,

5

A.5]B.[0,5]

55

C.[T,5)D.5)

JJ

答案D

解析画出不等式组所表示的区域，如图中阴影部分所示，

12

可知2Xq-2Xw-l〈z〈2X2-2义（-1）-1,

JJ

即z的取值范围是［一?5）.

J

9.铁矿石A和6的含铁率a,冶炼每万吨铁矿石的C0?的排放量。及每万吨铁矿石的价格。

如表：

a/"万吨）c（百万元）

A50%13

B70%0.56

某冶炼厂至少要生产1.9（万吨）铁，若要求CO二的排放量不超过2（万吨），则购买铁矿石的最

少费用为（百万元）.

答案15

解析

火

2^0.2）

F5

设购买铁矿石月、8分别为x万吨，y万吨，购买铁矿石的费用为z（百万元），则

’0.5*+0.7户1.9,

x+0.5y^2,

x20,

j20.

目标函数z=3x+6y,

[0.5x+0.7y=1.9,x=l,

由《得记P(l,2),

[x+0.5y=2,y=2.

画出可行域可知，当目标函数z=3*+6y过点产（1,2）时，z取到最小值15.

2x-y^O,

10.若点、P（x,。满足线性约束条件x—2/+220,则z=*—y的最小值是

,y20,

u==•的取值范围是_________.

答案―2|--7,

'2＞一/＜（），

解析作出约束条件x-2y+220,表示的可行域如下图阴影部分所示:

）20

平移直线x—y=0,易知当目标直线/=）一v经过可行域内的点加一2,0）时，z=x-j•取得

最小值，且劣n=-2；表示可行域内的点（x,力与点户（1,一1）组成的直线的斜率，

X—1

4

——1

v+10——113

观察图象可知，u=\_kpxtkj'v\»乂kiv=7-k后----------=-7,故

x—1—2—1

r+1r11

的取值范围是一7,--.

x~1L

B组专项能力提升

（时间：15分钟）

11.在平面直角坐标系中，点P是由不等式组所确定的平面区域内的动点，。

/+介1

是直线2x+y=0上任意一点，。为坐标原点，则|苏+阴的最小值为（）

芯B.平

0o

C.平D.1

乙

答案A

解析在直线2x十p=0上取一点V,使得0=诵

则I9+应1=1苏+。-0\

=|fP|21k夕|2|明，

其中户，8分别为点R4在直线2x+y=0上的投影，如图.

因为|丽=咨^坐，

7，+225

因此|苏+而|nin=害，故选A.

□

12.设平面点集A={(x,y)|(y-x)•(y--)>0},B=\lx,力|(才-1)2+3—1)2辽1},则

，\

/in«所表示的平面图形的面积为（）

A3H3n4nn

A♦才B-Vc~D•万

答案D

y-x》0,y—xWO,

解析平面点集A表示的平面区域就是不等式组，与表示的

两块平面区域，

而平面点集8表示的平面区域为以点（1,1）为圆心,

以1为半径的圆及圆的内部，

作出它们表示的平面区域如图所示，

图中的阴影部分就是所表示的平面图形.

由于圆和曲线尸=：关于直线y=x对称,

因此，阴影部分所表示的图形面积为圆面积的