电路分析(第2版) 课件全套 吴锡龙 第1-6章 电路的基本规律、电阻电路分析-网络参数分析法

电路与电子线路基础（1）绪论课程介绍其他一课程介绍电路理论是电类各专业的基础理论研究电路共同的基本规律包括电路分析和电路综合两部分第一门专业基础课电路的结构/元件参数电路的性能分析综合课程内容电路基本规律电阻电路分析

动态电路分析正弦稳态分析频率响应和谐振二端口网络第一章电路的基本规律电路模型电流、电压、功率基尔霍夫定律器件：电阻、电源、受控源电路等效1.1引言模型化实际装置物理模型数学模型抽象建立理想化反映主要本质建立方程求解方程R+u−i+u−iu=i∙R激励和响应网络N衰减器时域和频域分析

基本电信号

itititt信号分解为阶跃信号的叠加－时域分析（时间t的函数)正弦信号的叠加－频域分析（频率ω的函数)ω集中化假设：

理想模型（元件）不具有空间几何尺寸

假设条件元件尺寸远小于最高工作频率对应的波长，电路不向空间辐射能量由集中参数元件连接组成的电路为集中参数电路。电压、电流是时间的函数若不满足集中假设的条件，必须建立分布参数电路模型。电压、电流是时间、空间的函数f=50Hzλ=6000kmf=100MHzλ=3m移动TD-SCDMA（TDD）：

•核心频段：1880~1920MHz，2010~2025MHz

•补充频率：2300~2400MHz联通WCDMA（FDD）：

•核心频段：1920~1980MHz，2110~2170MHz（分别用于上行和下行）

•补充频率：1755~1785MHz，1850~1880MHz（分别用于上行和下行）电信CDMA2000（FDD）：

•核心频段：825~835MHz，870~880MHz（分别用于上行和下行）

•补充频率：885~915MHz，930~960MHz（分别用于上行和下行）3G移动：TD-LTE频率：1880-1900MHz、2320-2370MHz、2575-2635MHz联通：TD-LTE频率：2300-2320MHz、2555-2575MHzFDD-LTE频率：1755-1765MHz、1850-1860MHz电信：TD-LTE频率：2370-2390MHz、2635-2655MHz4G5GFR1：450MHz-6000MHzFR2：24250MHz-52600MHz1.2电流、电压、功率电流电压

电荷磁通

功率能量带电质点的定向运动

电场力把单位正电荷从一点移向另一点所做的功1、电流A方向：1）实际正方向：正电荷运动的方向。

2）参考正方向：任意假定的方向。单位时间内通过导体横截面的电荷量。符号：i

或I说明：

1）真实极性与参考极性一致，电流数值为正；真实极性与参考极性相反，电流数值为负。必须指定电流参考方向，电流的正值或负值才有意义

2）电路中标出的方向都是参考方向，一经标定，在整个分析过程中不能任意改变！3）电流的双下标表示：

iab：表示“电流参考方向为由a指向b”2、电压V方向：1）实际正方向：规定为从高电位指向低电位。

2）参考正方向：任意假定的方向。单位正电荷从电路的一端移动到另一端所获得或失去的能量，又称两端的“电位差”。符号：u或U线圈两端说明：（1）若正电荷dq从a移到b失去能量dw（电路吸收/消耗能量），则a为正/高，b为负/低，方向：a→b（电压降方向）（2）若正电荷dq从a移到b获得能量dw（电路产生/释放能量），则a为负/低，b为正/高，方向：b→a（电压降方向）（3）真实极性与参考极性一致，电压数值为正；真实极性与参考极性相反，电压数值为负。必须指定电压参考方向，这样电压的正值或负值才有意义。+u−ab（4）电压的双下标表示双下标的顺序表示电压降的参考方向。

uab：表示“a为参考正极，b为负极”

uab=-uba

uac=uab+ubcabc设电路的电压与电流参考方向如图所示，已知U>0，I<0，则电压与电流的实际方向为A.a点为高电位,电流由a至bB.a点为高电位,电流由b至aC.b点为高电位,电流由a至bD.b点为高电位,电流由b至a电压与电流关联参考方向：电流参考方向是从电压参考方向的正极流入，负极流出。+u(t)-i(t)-u(t)+i(t)电压与电流非关联参考方向：电流参考方向是从电压参考方向的负极流入，正极流出。3、功率W单位时间内电路消耗/吸收的能量。符号：p

方向：针对电路，有

1）p>0，电路消耗或吸收功率

2）p<0，电路产生或释放功率电压与电流采用关联参考方向：正电荷dq从a移到b，则消耗能量dw=udq

电压与电流采用非关联参考方向：正电荷dq从a移到b，则消耗能量dw=−udq有dw=uidt，因此−u(t)+i(t)ab有dw=−uidt，因此+u(t)−i(t)abp>0，支路吸收/消耗功率电压与电流取关联参考方向，p=ui电压与电流取非关联参考方向，p=−uip<0，支路发出/产生功率常用的辅助单位量纲词头因数名称（法文）名称（中文）符号10-15femto飞f10-12pico皮p10-9nano纳n10-6micro微μ10-3milli毫m103kilo千k106mega兆M109giga吉G1012tera特T例：A和B两个元件构成的电路，u=3V，i=−2A。求元件A和B分别吸收的功率。AB+u−i两类约束

拓扑约束：元件的相互连接给元件的电流之间和电压之间带来的约束

基尔霍夫定律元件约束：由元件特性决定的其电压与电流之间的关系1.3基尔霍夫定律公理电荷守恒：基尔霍夫电流定律（KCL）能量守恒：基尔霍夫电压定律（KVL）KCL：在集中参数电路中，任一时刻，流入任一节点的全部电流等于流出该点的全部电流KVL：在集中参数电路中，任一时刻，绕行任一回路的全部的电压降等于全部的电压升基尔霍夫定律（Kirchhoff’sLaw)1、基尔霍夫电流定律（KCL）

对于任一集总参数电路的任一节点，在任一时刻，流出（或流入）该节点的所有支路电流代数和等于零。

注意：

流出节点的电流为正，流入节点的电流取负。abc12345di1i2i4+−节点a:-i1+i2+i4=0节点b:

i1+i3=0i3i5节点c:-i2–i5=0节点d:-i3+i5-i4=0推广对于任一集总参数电路，在任一时刻，流出任一节点的电流和等于流入该节点的电流和。即：

对于任一集总参数电路，在任一时刻，流出任一闭合面的电流代数和等于零。即：

闭合面也称为广义节点。定律物理意义：反映电荷的守恒性和电流的连续性。举例：图示电路，求I1和I22、基尔霍夫电压定律（KVL）对于任一集总参数电路的任一回路，在任一时刻，沿该回路的所有支路电压降（或电压升）代数和等于零。推广：对于任一集总参数电路，在任一时刻，沿任一回路绕行方向，回路电压降的代数和等于回路电压升的代数和。定律物理意义：描述回路中支路电压约束关系；反映能量的守恒性。abc12345d+−u1u3++u4u2u5++−−−−回路1:L1

u1+u4-u3=0回路2:u2+u5-u4=0L2

举例：列写回路L1和L2的KVL方程图示电路，求Ucd和Ube。元件约束：电压电流关系（VCR）+u(t)−i(t)ab−u(t)+i(t)ababc12345di1=3Ai3=−1Ai２=4A+−u1=5Vu3=3V++u4=−2Vu2=−7Vu5=5V++−−−−（1）从两条路径求uac（2）求各支路功率（3）验证能量守恒（1）abc12345di1=3Ai3=−1Ai２=4A+−u1=5Vu3=3V++u4=−2Vu2=−7Vu5=5V++−−−−路径abc：uac=uab+ubc=u1+u2=5+(

－7)=−2V路径adc：uac=uad+udc=u3−

u5=3−

5=−2Vabc12345di1=3Ai3=−1Ai２=4A+−u1=5Vu3=3V++u4=−2Vu2=−7Vu5=5V++−−−−（2）p1=u1i1=3×5=15W(消耗)p2=u2i3=(−7)×(−1)=7W(消耗)p3=−u3i1=−3×3=−9W(产生)p4=u4i2=(−2)×4=−8W(产生)p5=u5i3=5×(−1)=−5W(产生)消耗功率：15+7=22W产生功率：9+8+5=22W（单口元件）（双口元件）端口由一对端钮组成；流入一个端钮的电流等于流出另一个端钮的电流1.4电阻元件伏安关系可用u-i平面过坐标原点的曲线来描述的二端元件。电能转换为热能。电阻的分类线性与非线性

时变与时不变

正电阻与负电阻线性电阻：伏安关系为u-i平面过坐标原点的直线。非线性电阻：伏安关系为u-i平面过坐标原点的曲线。ui0ui0时不变电阻：伏安关系为u-i平面过坐标原点的一条曲线。（定常电阻）时变电阻：伏安关系为u-i平面过坐标原点的一族曲线。ui0ui0负电阻：提供能量

（电压电流为非关联参考方向）u(t)=－R∙i(t)i(t)=－G∙u(t)负电阻是对外提供电磁能量的电子装置的理想化模型电阻的极端情况——短路ui0ui0R=0G=∞iu0电阻的极端情况——开路G=0R=∞ui0线性电阻的功率若电流电压为关联参考方向，电阻的功率为：

p(t)=u(t)i(t)=i2(t)∙R=i2(t)/G=u2(t)/R=u2(t)∙G若电流电压为非关联参考方向，电阻的功率为:p(t)=−u(t)i(t)=−[−i(t)R]i(t)=i2(t)∙R

线性电阻功率为：

p(t)=i2(t)∙R=i2(t)/G=u2(t)/R=u2(t)G线性电阻的功率R<0→p<0，负电阻输出能量，有源元件R>0→p>0，正电阻吸收能量，无源元件u2(t)——

Rp(t)==i2(t)∙R讨论：电压源能维持端口电压为定值而与所流过电流无关的二端元件。

电压为零的电压源,等效于R=0的电阻（短路）

电压源的电流由外电路决定1.5电源电流源能维持端口电流为定值而与其两端电压无关的二端元件。

电流为零的电流源,等效于R=∞的电阻（开路）

电流源的电压由外电路决定例1：计算电压源、电流源和电阻的功率解：计算功率要注意各元件电压和电流是否为关联参考方向5V+–2A10

P5V=5×2=10W(吸收)P2A=−(20+5)×2=−50W(产生)P10

=10×22=40W(吸收)P5V=5×(2−0.5)=7.5W(吸收)P2A=−5×2=−10W(产生)P10

=52/10=2.5W(吸收)5V+–2A10

例2：计算电压源、电流源和电阻的功率解：计算功率要注意各元件电压和电流是否为关联参考方向电路中的参考点指定某节点为参考点，计算或测量其他各节点对参考点的电位差，称为各节点的电位或电压。以d为参考点求输出电压uo。受控源独立源：与其它支路无关的电压源、电流源（单口元件）受控源：受其它支路电流或电压控制的电流源或电压源（双口元件）（1）控制支路，该支路为开路电压或短路电流（2）受控支路，该支路为一个电压源或电流源

根据控制支路是电压还是电流，受控支路是电压源，还是电流源，可以将受控源分成４类（1）压控电压源（VCVS）（2）流控电压源（CCVS）（3）压控电流源（VCCS）（4）流控电流源（CCCS）电压控制型电流控制型58受控源的分类：受控源端口电压－电流关系VCVS：CCCS：VCCS：CCVS：+u1–+–u1+u2–i2+–i1ri1+u2–i2gu1+u1–i2+u2–i1i1i2+u2–u2=

u1i2=任意值u2=ri1i2=任意值i2=gu1u2=任意值i2=i1u2=任意值5960受控源是一种电路模型，晶体管、运算放大器等的伏安关系可用含受控源的电路模型来模拟。晶体管的模型化icbeecib晶体管符号ceebibic

ib晶体管理想模型运算放大器的模型化ceebibic

ib晶体管实际模型RiRo∞+u2–+u1–运放的符号+u2–+u1–RiRo+

u1–运放实际模型+u2–+u1–+

u1–运放理想模型例：放大器简化模型。已知R1=2Ω，R2=15Ω，α=4，

输入电压ui=2cost（V），求输出电压uo

。1.6电路等效

等效的概念电阻串并联等效

Δ-Y型等效（*）等效电阻63如果网络N1

的VCR和N2的VCR相同，则网络N1

和N2

等效。等效目的——以简单网络代替复杂网络，简化等效电路以外的网络的计算适用范围——计算等效电路以外的变量

uS——

RSiS=RS+uS-NN1

RSiSNN2

一等效的概念64串联1）所有电阻流过同一电流；2）等效电阻：3）所有电阻消耗的总功率：4）电阻分压公式：二电阻的串并联等效65并联1）所有电阻施加同一电压；2）等效电导：3）所有电阻消耗的总功率：4）电阻分流公式：66在只有两个电阻R1和R2并联的情况下，等效电阻R为R=R1R2R1+R267例1：8Ω，2Ω，14Ω69三Y型网络和Δ型网络的等效（*）70两个三端网络的等效：若两个网络的u13、u23、i1、i2的关系完全相同，则N和N’等效。简而言之：N的两个端口的VCR=N’的两个端口的VCR<=>N与N’等效N’21i1i2N231i1i2371设想在三端网络的两个端口上分别施加相同的电流源i1和i2，计算端口电压u13和u23。R31230R1R2i1i2i2i1R2312R12R313i0Y―△推导：72Y型网络：u13=R1i1+R3(i1+i2)=(R1+R3)i1+R3i2R31230R1R2i1i2u23=R2i2+R3(i1+i2)=R3i1+(R2+R3)i2Δ型网络:R12i0+R23(i0+i2)+R31(i0−i1)=0R31i1–R23i2i0=(R12+R23+R31)代入R2312R12R313i1i2i0u13=R31(

i1–i0

)=u23=R23(

i0+i2

)

=R23R31R31(R12+R23)R12+R23+R31i1+i2R12+R23+R31R23R31i1+R12+R23+R31R23(R12+R31)R12+R23+R31i273u13=u23=R23R31R31(R12+R23)R12+R23+R31i1+i2R12+R23+R31R23R31i1+R12+R23+R31R23(R12+R31)R12+R23+R31i2R3=R23R31R12+R23+R31R1+

R3=R31(R12+R23)R12+R23+R31R2+R3=R23(R12+R31)R12+R23+R31代入得R1、R2u13=(R1+R3)i1+R3i2u23=R3i1+(R2+R3)i2两式分别表示Y型网络和Δ型网络的VCR。若VCR完全相同，则两式中i1和i2系数应相等。74R3123R1R2R2312R12R313R1=R31R12R12+R23+R31R3=R23R31R12+R23+R31R2=R12R23R12+R23+R31两边同除R1两边同除R2两边同除R375R3123R1R2R2312R12R313R12=R1R2+R2R3+R3R1R3R23=R1R2+R2R3+R3R1R1R31=R1R2+R2R3+R3R1R2R12=R1R2R3R1+R2+如果3个电阻相同:R1=R2=R3=RY，R12=R23=R31=RΔ则有:RΔ=3RYR1=R31R12R12+R23+R31R3=R23R31R12+R23+R31R2=R12R23R12+R23+R31R23=R2R3R1R2+R3+R31=R3R1R2R3+R1+76例2：求a，b端等效电阻∆→Y77Y→∆78例3：如图所示的电桥电路，求电流I

。解：运用T-Π变换79U04=10()0.891.5+0.89=3.72VI==2.33A=U041.63.721.6I80

四无源二端网络的等效无源线性二端网络的最简等效电路：VCR为过原点的直线，可等效为一个电阻——等效电阻等效电阻R

的求法:1）电阻串联化简、并联化简、Y-Δ型变换2）施加电源法：在端口加电压源u，求端口电流i

或在端口加电源流i，求端口电压u

R=u/i

（u、i为关联参考方向）3）设某支路电压或电流为１，求端口电压u和电流i

R=u/i

（u、i为关联参考方向）例：求端口等效电阻。在端口施加电压源u例：计算输入电阻令u=1，有i2=1/3，i1=(1-μ)/2i=1/3+(1-μ)/2=5/6+μ/2R=u/i=1/(5/6+μ/2)=6/(5-3μ)Ω82例：计算输入电阻由KVL，有由分流关系，有令i=1A，有6V9V0.5A1.5ARi=9/1.5=6Ω83例：计算输入电阻84例：计算输入电阻abcd851.7含独立源电路的等效

独立源的串联和并联实际电源模型及其等效变换87us2++–i–uNus1+–+i–uN’us+–us=us1+us2+i–uNis2is1+i–uN’isis=is1+is2电压源串联电流源并联独立电源的串并联电压源并联电流源串联89+i–uNus+–N’ab+i–uN’us+–abu=us+i–uNisN’ab+i–uN’abisi=is等效为一个理想电压源和电阻的串联。等效为一个理想电流源和电阻的并联。实际电源的两种模型及等效变换实际电压源模型实际电流源模型实际电源模型的等效互换（1）电压源等效为电流源等效条件：保持端口伏安关系相同。左图伏安关系:

右图伏安关系:

有:

即:

（2）电流源等效为电压源等效条件：保持端口伏安关系相同。左图伏安关系:

右图伏安关系:

有:

即:

说明等效条件：对外等效，对内不等效。实际电源可进行电源的等效变换，注意等效参数的计算、电源数值与方向的关系。理想电源不能进行电流源与电压源间的等效变换。2Aab3

(a’)3

+6V-(a)ba5

+5V-(b)ba+5V-(b’)ba不能等效为电流源－电阻模型例

求等效电源模型不能等效为电压源－电阻模型3Aab4

(c)４

+12V-(c’)ba2Aab(d’)2Aab10

(d)96含源线性二端网络的最简等效电路：

VCR为一直线－－有２种最简等效电路电压源us与电阻Rs的串联电流源is与电阻Rs的并联最简等效电路的求法:1由已知VCR求等效电路2由等效电源定理求等效电路+us-RsisRs网络VCR等效电路等效电源定理iscuoc97含源二端网络最简等效电路的求法由VCR求等效电路ui0iscuocNi+u-abNi=0+uoc-abNiscabiu=0is=iscus=uocRs=iscuocu=us-Rsii=is-u—Rs

i=isc-uisc—uocisRsabi+_u+us-Rsabi+_uu=uoc-iuoc—iscVCR的确定:

等效电路和参数:

98Ni+u-ab8-20i(A)u(V)例：网络VCR如图，求最简等效电路解：由网络VCR图，得：i=−2+(1/4)u根据uoc

=

8V，isc

=−2A，Rs

=−4

-2A-4

abi+u_isRs+8V--4

ab+u_i

i=isc-uisc—uoc99例：网络如图，求最简等效电路10

+5V-2Aab+u

-i解：电源等效变换+25V-ab10

10

2Aab0.5A10

ab2.5A1002.1图与电路方程七桥难题1234657ABCD怎样才能不重复地走过所有七座桥，再回到出发点？

如何“一笔画”出以上图形？第二章电阻电路分析图中有3个以上顶点的度为奇数时，该图无法一笔画出101图论的基本定义和概念拓扑图：抽象实际问题得到的由点、线构成的几何图形，反映了点、边邻接关系。图是边（或支路，是图中的线段）和点（或节点，是支路的连接处或终端）的集合。I1I5I4I2I3I6+us1−+us2−is1ABCDI1I2I3I6I5I4ACBD102有向图：各支路都有参考方向的图（电压降，电流方向）；否则为无向图。子图：若图G包含有图H所有的点集和边集，则称图H为图G的一个子图，图G为图H的母图。连通图：全部节点都为支路连通的图；否则称为非连通图。分离部分的个数称为分离度。图G图H无向图有向图103平面图：若图能表示在一个平面上，使得图的任意两条边仅仅在它们的公共节点上相交，则图称为平面图；否则为非平面图。平面图非平面图104回路：由一组支路构成的闭合路径。秩：图G节点数为n，分离度为k，则称R=n−k为图G的秩。表示连通图中不包含起点的所有节点数。零度：图G为有n个节点，b条支路的连通图，则称

L=b–n+1为图G的零度。表示独立回路的个数。I1I2I3I6I5I4ACBDR=4−1=3L=6−4+1=3

b=6=R+L105树：连接所有节点但不包含回路的子图。树支：构成树的边称为树支。连支：不属于树支的边称为连支。106基本回路：仅含一条连支的回路为基本回路。割集（cut-set）：能被切割/移去而使连通图分为两个分离部分的一组最少数量的边的集合。如果切割/移去这些支路，就会使图成为两个分离部分只要少切割/少移去其中任一支路，图仍然连通ABCD12345ABCD234ABCD13107基本割集：仅含一条树支的割集为基本割集。ABCD12345ABCD12345(2,4,5)不是基本割集重要的数量关系：

在分离度为k、点数为n、边数为b的图中

秩R=n

−

k不含起点的节点数，树支数，基本割集数零度L=b–R=b–n+k独立回路数，连支数，基本回路数连通图：R=n–1，L=b–n+1109用矩阵表示有向图的节点与支路的连接关系未连：0，进入：−1，离开：1

支路：12345A 1 0 0 0−1

节B−1 1 0 1 0

点C 0−1 1 0 0 D 0 0−1−1 1任一支路必进入一点、离开一点（任一列：+1、−1）删除任一行，仍能充分反映连接关系删除的一行对应的节点为参考点关联矩阵关联矩阵：A=1

000−1−1101

00−110

0ABCD12345110ABCD12345A=1

000−1−1101

00−110

0关联矩阵（以D为参考点）支路12345树支连支=[ATAL]设支路电流向量I=[i1

i2i3i4i5]T

则：AI=1

0

00

−1−11

0100

−1

10

0i1

i2i3i4i5i1

−

i5−i1+

i2+

i4

−i2+

i3==000KCL的矩阵形式：AI=0节点ABC111关联矩阵（以D为参考点）支路12345设支路电压向量U=[u1

u2u3u4u5]T节点电压向量UN=[uA

uB

uC]TATUN=1−1001

−1001010−100uA

uB

uCuA−uB

uB

−

uCuCuB−uA=由节点电压得支路电压：ATUN=Uu1

u2u3u4u5==UABCD12345节点ABCA=1

000−1−1101

00−110

0=[ATAL]1122.22b法和支路法一最多数量的变量和方程设电路有b条支路，n个节点，则最多可有

2b个变量：

b个支路电压，b个支路电流

2b个独立方程：

n−1个节点/基本割集的KCL方程

b−n+1个基本回路/平面图的网孔的KVL方程

b个支路的VCR方程

求解电路的2b法1133个节点KCL方程3个独立回路KVL方程n=4，b=66条支路VCR方程114支路电流/电压法：以支路电流/电压为变量列方程n=4，b=63个节点KCL方程6个方程，求解6条支路电流115二最少数量的变量和方程（1）变量是独立的

——变量的数量最少（2）变量是完备的——能求得其它所有的变量方程必须满足：

——与变量同样的数量

——独立的方程最少数量的变量必须满足：116节点法网孔法ABCD123456im1im2im3适合于节点少的电路适合于网孔少的平面电路独立的方程n−1个节点KCL方程b−(n−1)个网孔KVL方程独立的变量n−1个节点电压b−(n−1)个网孔电流变量完备性之差为支路电压之差/和为支路电流117割集法

回路法

ABCD123456独立的方程n−1个基本割集KCL方程b−(n−1)个基本回路KVL方程独立的变量n−1个树支电压b−(n−1)个连支电流变量完备性可求连支电压可求树支电流2.3回路法和网孔法一方程的建立118+us1–R1i1+us2–R2i2R3i3i1i3R1i1+R2(i1−i3)+us2−

us1=0R3i3+R2(i3−

i1)−

us2=0网孔法以网孔电流i1、i3为变量立网孔的KVL方程回路法以连支电流i1、i3为变量立基本回路的KVL方程i1i3(R1+

R2)i1−

R2i3=us1−us2−R2i1+(R2+

R3)i3=us2119网孔法（适合平面图）以网孔电流为变量立网孔KVL方程+us1–R1i1+us2–R2i2R3i3i1i3i1i3选树：尽量选电流源、待求电流为连支变量：以不含电流源的连支电流为变量方程：不含电流源连支的基本回路的KVL方程回路法二网孔方程的一般形式120(R1+

R2)i1−

R2i3=us1−us2−R2i1+(R2+

R3)i3=us2一般形式（设网孔电流顺时针方向）R11i1−

R12i2−…−

R1nin

=us11−R21i1+R22i2−

…−

R2nin

=us22

……………−Rn1i1−Rn2i2−

…+

Rnnin

=usnn自电阻：R11、R22、…，各个网孔内所有电阻之和互电阻：R12、R13、…，两网孔间公共电阻之和电压升：us11、us22、…网孔内电压源的电压升代数和（网孔电流方向）+us1–R1i1+us2–R2i2R3i3i1i3121网孔方程的矩阵形式

RI=UsR为网孔电阻矩阵R=

R11−R12−R13…−R1n

−R21+

R22−

R23…−R2n

……………−Rn1−

Rn2−

Rn3…+

Rnn若网孔电流方向不统一则互电阻的符号由两个网孔电流的方向决定，方向相同为正，方向相反为负

一般形式（设网孔电流顺时针方向）R11i1−

R12i2−…−

R1nin

=us11−R21i1+R22i2−

…−

R2nin

=us22

……………−Rn1i1−Rn2i2−

…+

Rnnin

=usnn三回路方程的一般形式

122一般形式（以连支电流方向）R11i1±

R12i2±…±

R1nin

=us11±R21i1+

R22i2±…±R2nin

=us22……………±Rn1i1±

Rn2i2±…+

Rnnin

=usnn自电阻：R11…，各基本回路内所有电阻之和互电阻：R12…，两基本回路间公共电阻之和，两连支电流方向相同取正，相反取负电压升：us11…基本回路内电压源的电压升代数和（以连支电流方向绕行）+us1–R1i1+us2–R2i2R3i3i1i3(R1+

R2)i1−

R2i3=us1−us2−R2i1+(R2+

R3)i3=us2123网孔法说明：对电流源（包括受控电流源）的处理：

1若电流源为某网孔所独有，则该网孔不列KVL方程，网孔电流为已知的电流源

2否则，电流源端口增设电压变量，增立表示电流源的方程

对受控源的处理：

1受控源先当独立源处理

2增立表示控制量的方程例1：求各支路电流124i1i3i25

20

10

+20V

–+10V

–Im1Im2解：设网孔电流Im1和Im2，均为顺时针方向。网孔方程：25Im1−20Im2=20−20Im1+30Im2=−10125求解Im1、Im2：Im1=20−20−103025−20−2030=20×30−(−10)×(−20)25×30−(−20)×(−20)=1.143AIm2=2520−20−1025−20−2030=−25×10−(−20)×2025×30−(−20)×(−20)=0.429A25Im1−20Im2=20−20Im1+30Im2=−10126i1=Im1=1.143Ai2=−Im2=−0.429Ai3=Im2−Im1=−0.714A

各支路电流均可用网孔电流表示。得i1i3i25

20

10

+20V

–+10V

–Im1Im2例2：列网孔方程127解：

(R1+

R2+

R5)i1−R5i2−R2i3=−us5−R5i1−(R3+

R4+

R5)i2−R3i3=us5−R2i1−R3i2+(R2+

R3+

R6)i3=us6

+us6–+us5–R5R1R2R3R4i2i1i3R6例3：求i+9V–3ii1i2–6i+36解：9i1−

3i2=9−3i1+6i2=6ii=i1−

i2

得：

i=1/3A例4：求I（对电流源的处理）12820

+40V

–2A50

30

II12A解：本题含电流源,且电流源为一网孔所独有。该网孔的网孔电流就是电流源的电流值（已知）。该网孔不列网孔方程。网孔1的方程为：50I1+30·2

=40解得:I1=−0.4AI

=I1+2

=−0.4+2=1.6A若电流源（包括受控电流源）为某网孔所独有，则该网孔不列KVL方程，（网孔电流=电流源）例5：列网孔方程（对电流源的处理）1297A+6V–I2I3I12

1

1

2

3

解：网孔方程实际上是KVL方程，电流源两端电压是未知量，须增设电压变量U，增列一个表示电流源的方程I1−I3=7网孔方程为−2I1−3I2+6I3=U3I1−I2−2I3=6−

U

−I1+6I2−3I3=0I1−I3=7+U-在不改变电路结构的情况下，改画电路图，把网孔1画在右面，可把变量和方程数减少到2个130+U–7A+6V–I2I3I12

1

1

2

3

3I1−2I2+1·7=

−6−2I1+6I2+3·7=0网孔电流不同，但支路电流一样7A+6V–I2I12

1

1

2

3

7A−2I1−3I2+6I3=U3I1−I2−2I3=6−

U

−I1+6I2−3I3=0I1−I3=7例6：求受控源电路中的Ix131解：将受控源看成独立源，写出网孔方程，增立一个表示受控源的控制量的方程10

+6V

–2

4

+–4V+8Ix–I1I2Ix−2I1+6I2=−4+8Ix12I1−2I2=6−8Ix

Ix=I2故12I1+6I2=6

−2I1−2I2=−4得Ix=I2=3A2.4节点法一方程的建立132以流出为正，列KCL方程节点1：G1(u1–u2)+G5(u1–u3)–is=0节点2：G1(u2–u1)+G2u2+G3(u2–u3)=0节点3：G3(u3–u2)+G4u3+G5(u3–u1)=01234i1i2i3i4i5G1G2G3G4G5iS+

u1–+u2–+

u3–133整理得节点方程为：(G1+G5)u1–G1u2–G5u3=is

–G5u1–G3u2+(G3+G4+G5)u3=0–G1u1+(G1+G2+G3)u2–G3u3=01234i1i2i3i4i5G1G2G3G4G5iS+

u1–+u2–+

u3–G1(u1–u2)+G5(u1–u3)–is=0G1(u2–u1)+G2u2+G3(u2–u3)=0G3(u3–u2)+G4u3+G5(u3–u1)=0二节点方程的一般形式1341234i1i2i3i4i5G1G2G3G4G5iS+

u1–+u2–+

u3–(G1+G5)u1–G1u2–G5u3=is

–G5u1–G3u2+(G3+G4+G5)u3=0–G1u1+(G1+G2+G3)u2–G3u3=0一般形式（设流入节点为正）G11u1−

G12u2−…−

G1nun

=is11−G21u1+G22u2−

…−

G2nun

=is22

……………−Gn1u1−Gn2u2−

…+

Gnnun

=isnn自电导：G11、G22、…节点上所有电导之和互电导：G12、G13、…，两节点间公共电导之和，满足对称性电流源：is11、is22、…流入节点的电流源（受控电流源）的代数和135对电压源（包括受控电压源）的处理：1一端接地：不列该节点方程（节点电压为已知）2跨接在两节点间：增设电流变量，增立方程（表示电压源）3电压源与电阻串联的支路等效为电流源与电阻并联的支路4受控源视为独立源，增列控制量方程对电流源（包括受控电流源）的处理：1电流源与电阻串联的支路，电阻为虚元件2受控源视为独立源，增列控制量方程例1：列节点方程13611A0.5A0.1S2340.1S1S1S0.5S0.25S0.5S0.25S+

U1–+U2–+

U3–+

U4–解：选其中一个节点为参考，其余节点电压为U1、U2、U3、U4节点1的自电导：G11=0.1+1+0.1=1.2S节点1的互电导：G12=1S；G13=0；G14=0.1S流入节点1的电流源：Is11=+1A故，对节点11.2U1–U2–0.1U4=1137同理，对节点2、3、4可得–U1+2.5U2–0.5U3=–0.5–0.5U2+1.25U3–0.25U4=0.5–0.1U1–0.25U3+0.6U4=01.2U1–U2–0.1U4=111A0.5A0.1S2340.1S1S1S0.5S0.25S0.5S0.25S+

U1–+U2–+

U3–+

U4–例2：求各支路电流138解：该电路共有3个独立节点，但节点2、3都是已知电压源，U2=20V，U3=10V。仅需对节点1写节点方程：+10V–I1I3I25

+20V–10

20

123得U1=14.286VI1=U1/20=0.7143AI2=(20–U1)/5=1.143AI3=(10–U1)/10=–0.4286A(1/5+1/20+1/10)U1−1/5·20−1/10·10=0

例3：求I1139解：节点电压U3和U4已知，其值分别为120V和–240V123420k

+120V10k

40k

40k

20k

–240VI1对节点1和节点2写节点方程：10×103U21–1140×103+1+U120×10310×103=020×103120–()10×103U11–=040×103–240–1120×103+1+U210×10340×103+()140化简后得得U1=21.8VU2=–21.8V根据I1的方向：I1=U1–U210×103=21.8–(–21.8)10×10343.6104==4.36mA123420k

+120V10k

40k

40k

20k

–240VI10.175U1−0.1U2=6−0.1U1+0.175U2=−6例4：列出节点方程141解：由于电压源跨接在两个节点之间，电压源支路的电流为未知，设为I。增设一个表示电压源的方程。(G1+G2)U1–G1U2=–I

–G4U2+(G4+G5)U3=I–G1U1+(G1+G3+G4)U2–G4U3=0Us=U1–U3

例5：列出节点方程（含受控源电路）1421gux+–uxR1R2R3R4is32解：把受控电流源作为独立电流源列出方程，受控源控制量用节点电压表示。节点1(G1+G2)u1–G2u2=is–G2u1+(G2+G3)u2=gux

节点2G4u3=–gux节点3列写受控源控制量ux与节点电压之间的关系式ux=u1–u2

虚元件143注意：去除虚元件！！虚元件——去除后不影响待求电路变量的值的元件。与电流源串联的元件，且不要求计算它的电压和电流源的电压去除方法：把与电流源串联的元件短路节点1(G1+G2)u1–G2u2=is节点2–G2u1+(G2+G3)u2=gux节点3G4u3=–gux增立：

ux=u1–u2

1gux+–uxR1R2R3R4is32R5例：用节点法求u1144u130

+40V–50

20

2A解：50

电阻与电流源串联，应视为短路得：u1=48V若要考虑50

电阻的作用，应考虑另一个节点u2u2145以u2=100+u1代入第一式：与短路50

的结果相同u130

+40V–50

20

2Au130

+40V–50

20

2Au2146列节点方程时，电压源与电阻串联的支路可视为电流源与电阻并联的支路u130

+40V–50

20

u2–2u1+10

+30V–40

例：列节点方程（电压源与电阻串联支路）节点法小结147

G11–G12…–G1k–G21G22…–G2k….–Gk1–Gk2…Gkkis11is22…iskk=uk1uk2…ukk自电导Gij：节点i上所有电导之和互电导Gij：连接i，j的公共电导电流源(流入)节点电压2.9电路的对偶性148若网络N1和N2的电路方程的形式完全相同，则网络N1和N2对偶分压：u1=usR1R1+R2u2=usR2R1+R2R

=R1+R2us=u1+u2KVL：R1i+R2i=usR1R2+us_+u2－+u1－i分流：i1=isG1G1+G2i2=isG2G1+G2KCL：G1u+G2u=isG1G2i2isi1+u−G

=G1+G2is=i1+i2两图的对偶149若平面图G的秩和平面图H的零度相等，且图G的零度和图H的秩相等，则图G和图H对偶秩=2零度=1秩=1零度=2R1R2+us_+u2－+u1－iG1G2i2isi1+u−电路中的对偶量举例150

电压u

电流I

电荷q

磁链

电阻R

电导G

电感L

电容C

短路

开路KCLKVL

串联

并联

网孔电流imi

节点电压unk

电压源us

电流源is2.5齐次定理和叠加定理线性电路叠加定理齐次定理151线性电路：由线性元件和独立电源组成的电路152线性元件：元件特性曲线为过原点的直线（电阻、电容、电感、受控源）

（1）电压源和电流源不是线性元件，其伏安曲线不过坐标原点；独立源：

（2）电压源和电流源是电路的输入，对电路起着激励作用，其他元件上的电流电压只是激励引起的响应。is(t1)iOu一线性电路二叠加定理

定理：线性电路中任一条支路电流或电压等于各个独立电源单独作用时在该支路所产生的电流或电压的代数和。153Ki和Hi分别为第i个独立电压源和电流源激励的响应系数设线性电路有

个电压源、

个电流源,则任何支路的电压或电流为:

uk(或ik)=K1us1+‥‥+K

us

+H1is1+‥‥+H

is

实例154＝+u=u1+u2i=i1+i2155意义：线性电路中电源的独立性。注意：电压源短路；电流源开路；受控源保留。

2、叠加时注意代数和的意义:若响应分量与原响应方向一致取正号，反之取负。

3、叠加定理只能适用线性电路支路电流或支路电压的计算，不能计算功率。1、一个电源作用，其余电源置零：P=i2R=(i1+i2)2R=(i1)2R+(i2)2R=P1+P2叠加定理说明：例1：用叠加定理计算电压u1561、5A电流源独立作用时2、2V电压源独立作用时3、所有电源作用时例2：图示电路，已知

uS＝9V，iS＝3A时，uO＝6V；uS＝2V，iS＝−6A时，uO＝−2V。则uS＝5V，iS＝5A时，uO＝？157根据叠加定理，有代入已知条件，有解得则uS＝5V，iS＝5A时若为有源网络，怎么办？例3：图示电路，已知

uS＝1V，