高中数学（人教版必修五）教师第三章3-3二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题3-3-2（二）

3.简单的线性规划问题（二）

.学习目标.1.了解实际线性规划中的整数解求法.2.会求一些简单的非线性函数的最值.

M问题导学---------------------------

知识点一非线性约束条件

思考类比探究二元一次不等式表示平面区域的方法，画出约束条件（x—a）2+（p—。）2忘声

的可行

梳理非线性约束条件的概念.约束条件不是二元一次穴等式,这样的约束条件称为非线性

约束条件.

知识点二非线性目标函数

x+介6,

思考在问题“若X、y满足求2=—的最大值”中，你能仿照目标函数

X—1

y—1

Z="+"的几何意义来解释z==的几何意义吗？

y-]

答案Z=：―r的几何意义是点（X,0与点（1,1）连线的斜率.

X—1

梳理下表是一些常见的非线性目标函数.

目标函数目标函数变形几何意义最优解求法

平移直线尸一齐，

z=ax-\-by(at#

a.z在y轴上的截距是彳

0)尸F+Z1）使在y轴上的截如最

大（或最小）

改变圆（X—a）2+（y

令m=（x-a）,+（y-

一。）2=/的半径，寻

(x-a)'+(y—点（x,y）与点、（a,抗

A了,则目标函数为

b)2距离的平方求可行域最先（或最

（gL

后）与圆的交点

y-b点（*,y）与定点（a,绕定点（a,〃）旋转直

x—a力连线的斜率线，寻求与可行域最

先（或最后）相交时的

直线斜率

平移直线ax+Ay+c

点（x,y）到直线ax+

|ax+by+c|(a=0,寻求与可行域最

Iax+Z?y+c|力+c=0距离的

+62#0)先（或最后）相交时的

yjJ+If7a2+6倍

交点

2题型探究

类型一生活实际中的线性规划问题

例1某工厂制造甲、乙两种家电产品，其中每件甲种家电需要在电器方面加工6小时，装

配加工1小时，每件甲种家电的利润为200元；每件乙种家电需要在外壳配件方面加工5

小时，在电器方面加工2小时，装配加工1小时，每件乙种家电的利润为100元.已知该工

厂可用于外壳配件方面加工的能力为每天15小时，可用于电器方面加工的能力为每天24

小时，可用于装配加工的能力为每天5小时.问该工厂每天制造两种家电各几件，可便获取

的利润最大？（每天制造的家电件数为整数）

解设该工厂每天制造甲、乙两种家电分别为x件、y件，获取的利润为z百元，

贝I」z=2x+y（百元）

”6x+2Q4,

x+Z5,

5冲5,

、x,蚱N,

平移直线尸一2x+z,又x,yGN,所以当直线过点（3,2）或（4,0）时，z有最大值.

所以工厂每天制造甲种家电3件，乙种家电2件或仅制造甲种家电4件，可获利最大.

反思与感悟在实际应用问题中，有些最优解往往需要整数解（比如人数、车辆数等），而直

接根据约束条件得到的不一定是整数解，可以运用列举法验证求最优整数解，或者运用平移

直线求最优整数解.最优整数解有时并非只有一个，应具体情况具体分析.

跟踪训练1预算用2000元购买单价为50元的桌子和20元的椅子，希望使桌子和椅子的

总数尽可能的多，但椅子数不少于桌子数，且不多于桌子数的倍，问桌子、椅子各买多少才

是最好的选择？

解设桌子、椅子分别买A•张、y把，目标函数z=>+/,把所给的条件表示成不等式组，

〃50x+20jW2（）00,

即约束条件为〈Zx，

x£N,

”N.

所以8点坐标为（25,y）.

所以满足条件的可行域是以/（第，竿），425,用,

。（0,0）为顶点的三角形区域（含边界）（如图），

由图形可知，目标函数2=X+卜在可行域内经过点425,同时取得最大值,

x=25,

但注意到x£N,y£N,故取

［尸37.

故买桌子25张，椅子37把是最好的选择.

类型二非线性目标函数的最值问题

命题角度1斜率型目标函数

'2x+y-2H0,

例2已知实数x,y满足约束条件,x—2y+420,

.3%—y—3^0.

试求z=E的最大值和最小值.

AI1

解作出不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示,

由于Z=E=二月’

x+1X—(—1)

故Z的几何意义是点（X,。与点玳一1,一1）连线的斜率，

因此三｛的最值是点（X，力与点做一1，-1）连线的斜率的最值,

4IJL

由图可知，直线初的斜率最大，直线J/C的斜率最小,

二2的最大值为3,最小值为）

引申探究

3/4-1

1.把目标函数改为2=27+7求z的取值范围.

3出

5・不

叶5

夕3（1i\

其中仁一y的几何意义为点（x,0与点.《一亍一切连线的斜率.

叶5

214

由图易知，kaWkWkxs,艮年在攵・刀，

,o

i31

的取值范围是[鼻，7].

J/J

2.把目标函数改为z=Zi手，求Z的取值范围.

彳十1

/=小当匚1号+2.

y—I1

设〃=工，仿例2解得一万WAWl.

AzG[1,3].

命题角度2两点间距离型H标函数

.2x+y-2M,

例3已知x,p满足约束条件,x—2y+420,

、3x—y-3W0,

试求z=『+"的最大值和最小值.

解z=f+/表示可行域内的点到原点的距离的平方，

结合图形(例2图)知，原点到点力的距离最大，原点到直线欧的距离最小.

(\0B\>|^|\_pxn_4

故外x=|勿「=13,n=l\BC\J=lV5；=5-

反思与感悟(D对于形如*工的目标函数,可变形为定点到可行域上的动点连线斜率

问题.

(2)当斜率人两点间的距离、点到直线的距离与可行域相结合求最值时，注意数形结合思

想方法的灵活运用.

x—4p+3W0,

跟踪训练2变量x、y满足约束条件,3x+5y—25W0,

>21.

(1)设2=上，求Z的最小值;

X

(2)设z=，+，，求z的取值范围；

(3)设z=f+y2+6x—4什13,求z的取值范围.

解

x-4v+3=O

Ji一

由约束条件

x—4y+3W0,

*3x+5y-25W0,作出可•行域如图阴影部分(含边界)所示.

.41

次=1,

rtii,

3x+5y_25=0,

解得彳1,日：

(x=l,

由,…八解得0(1,1);

[)-4.尸+3=0,

卜一4y+3=0,

由j3x+5y—25=0,

解得M5,2).

所以z的值即是可行域中的点与原点。连线的斜率.

2

观察图形可知Znin=ArW=-

0

(2)z=V+"的几何意义是可行域上的点到原点。的距离的平方..结合图形可知，可行域上

的点到原点的距离中，小产|%|=[5,&、、=\()8\=港江

即2—W29.

(3)z=/+/+6x—4y+13=(x+3)?+(y—2)2的几何意义是可行域上的点到点(一3,2)的

距离的平方.结合图形可知，可行域上的点到点(一3,2)的距离中，

rf.in=l-(-3)=4,乩、=#(一3—5)2+(2—2尸=8.

所以16W/W64.

3当堂训练

1.某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒

装磁盘.根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有()

A.5种B.6种C.7种D.8种

答案C

解析设购买软件x片，磁盘y盒.

60x+70jW500,

则，*23,画出线性约束条件表示的平面区域，如图阴影部分(含边界)所示.

yGN*,

落在阴影部分(含边界)区域的整点有(3,2),(3,3),(3,4),(4,2),(4,3),(5,2),(6,2)

共7个整点.即有7种选购方式.

x+Z4,

2.已知点P(x,力的坐标满足约束条件y2x，则/+炉的最大值为()

、)21,

A.^WB.8C.16D.10

答案I)

解析画出不等式组对应的可行域如图所示,

易得4(1,1),

4(2,2),|必|=2位，

r(l,3),|OC\=VIo.

2

(x4-y),BX=IOC\

=(Vio)2=io.

x+y26,

y—1

3.若x、y满足约束条件-W4,则/=看的最大值是

g，

答案3

y-1

解析作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示（包括边界）.z=口可看作可行

域上的点（…）与定点8（1,1）连线的斜率.由图可知的最大值为33.

■J<1,

4.已知实数x,y满足约束条件JxWl,则z=/+/的最小值为

/+在1，

答案|

解析

实数X,P满足的可行域如图中阴影部分（含边界）所示,

1

则z的最小值为原点到直线/历的距离的平方，故为“=

2'

规律与方法-

1

1.画图对解决线性规划问题至关重要，关键步骤基本上是在图上完成的，所以作图应尽可

能准确，图上操作尽可能规范.

2.在实际应用问题中，有些最优解往往需要整数解（比如人数、车辆数等）应结合可行域与

目标函数微调.

3.对于非线性目标函数，应准确翻译其几何意义，如炉+炉是点（必y）到点（0,0）的距离的

平方，而非距离.

40分钟课时作业

一、选择题

1.在“家电下乡”活动中，某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇.现有4辆甲型货车和

8辆乙型货车可供使用.每辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车

运输费用300元，可装洗衣机10台.若每辆车至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用

为（）

A.2000元B.2200元

C.2400元D.2800元

答案B

解析设需使用甲型货车不辆，乙型货车y辆，运输费用z元,

根据题意，得线性约束条件

-20x4-10^100,

，0Wx<4,x£N,

-0Wj<8,*N.

求线性目标函数z=400x+300y的最小值，

可行域如图阴影部分（含边界），

x=4,

解得当c时，z有最小值，且z“n=2200（元）.

〔尸2

2.某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目

2

乙投资的？且对每个项目的投资不能低于5万元，对项目甲每投资1万元可获得万元的利

15

润，对项FI乙每投资1万元可获得万元的利润，该公司正确规划投资后，在这两个项FI上共

可获得的最大利润为（）

A.36万元B.万元

C.万元D.24万元

答案B

解析设投资甲项目x万元，投资乙项目y万元，可获得利润为z万元，

0+j<60,

x^-y,

则03z=x+y.

*25,

、介5,

可行域如图阴影部分（含边界）,

由图象知，目标函数z=i+y在力点取得最大值.

x+y=60,

由《3得加24,36),

尸产

，%=X24+X36=3L2（万元）.

3.某加工厂用某原料由甲车间加工出力产品，由乙车间加工出8产品，甲车间加工一箱原

料需耗费工时10小时，可加工出7千克力产品，每千克力产品获利40元，乙车间加工一箱

原料需耗费工时6小时，可加工出4千克〃产品，每千克〃产品获利50元.甲、乙两车间

每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480小时，

甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为（）

A.甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱

B.甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱

C.甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱

D.甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱

答案B

10%+6j<480,

解析设甲车间加工原料x箱，乙车间加工原料y箱，由题意可知〈、八

心0,

、_K20.

甲、乙两车间每天总获利为z=280x+2（）0y.画出可行域如图阴影部分（含边界）所示.

点.17（15,55）为直线叶尸70和直线10叶6尸480的交点,

由图象知z在点M15,55）处取得最大值.

4.已知。是坐标原点，点力若点以用y）为平面区域xWl,上的一个动

「2

点，则而•血的取值范围是（）

A.B.

C.D.

答案C

解析作出可行域，如图所示，

因为力•〃旧一x+y.

所以设z=-x+y,作/o：x—y=O,易知过点夕（1,1）时，z有最小值，益市一1+1=0；

过点。（0,2）时，z有最大值，/x=0+2=2,

所以而•赤舟勺取值范围是.

众0,

5.设x,y满足约束条件则三洋的最大值是（）

、4>+3日2,

A.5B.6C.8D.10

答案D

解析画出可行域如图阴影部分（含边界）所小，号的儿何意义是点.机一1,-1）与口」行域

1AI1

内的点尸（>,0连线的斜率，

当点尸移动到点M0,4）时，斜率最大，最大值为=5,・・・（空?）皿=2乂5=10.故

选D.

6.某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量

为6吨的乙型卡车.某天需送往月地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次,

派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润150元；派用的每辆乙型卡车需配1

名工人，运送一次可得利润350元.该公司合理计划当天派用两类K车的车辆数，可得最大

利润Z等于（）

A.4650元B.4700元

C.4900元D.5000元

答案C

〃2x+j<19,

x+K⑵

解析设当天派用甲型卡车x辆，乙型卡车y辆，由题意得《10x+6y272,

0WxW8,x£N,

y£N.

设每天的利润为z元，则z=450x4-350y.

画出可行域如图阴影部分（含边界）所示.

z=450x+350y=50(9x+7y),

由图可知直线9x+7y=0经过点力时，z取得最大值.

x+尸12,x=7,

又由得「即A(7,5).

2才+尸19,尸5,

，当x=7,y=5时，z取到最大值,

/x=450X7+350X5=4900(元).

二、填空题

’5x—1ly2一22,

2x+3y29,

7.某公司招收男职员/名，女职员y名，X和y需满足约束条件〈。一一

11,

则z=10x+10p的最大值是________.

答案90

解析先画出满足约束条件的可行域，如图中阴影部分:含边界）所示,

5x—lly=-22,

由

2x=11,

x=，

解得

g,

但刀£“，yeK,

结合图知当x=5,y=4时，2^=90.

y^O,

8.实数My满足不等式组（x-y20，则出=三｝的取值范围是.

AI1

.2x—y—2W0,

答案-1，1

|>20,

解析如图，画出满足不等式组・x—y20，的解（X,力构成的可行域△/山。，求得

,2x—y—2^0

8(2,2),

根据目标函数的几何意义是可行域上一点（x,。与点（一1,1）连线的斜率,

可求得目标函数的最小值为一1，最大值*.

故3的取值范围是「一1，|.

9.已知p+IWO,则寸+/的最小值是.

.2x—y-2W0,

答案5

解析令7=产+4,画出可行域,

如图阴影部分（含边界）所示，

令d=\G+”,

即可行域中的点到原点的至离，

由图得d”n=N1+4=*^^,

・•・Znin=d=5.

三、解答题

10.A,8两仓库各有麻袋50万个，30万个，现需调运到甲地40万个，乙地20万个，已知

从力仓库调运到甲、乙两地的运费分别为120元/万个，180元/万个，从8仓库调运到甲、

乙两地的运费分别为100元/万个，150元/万个，怎样安排调运,能使总运费最少？最少总

运费为多少？

解设从月仓库调运x万个到甲地，y万个到乙地，

则从“仓库调运(40—x)万个到甲地，(20一0万个到乙地，总运费记为z元，

N+K50,

40—20—y<30,

则有〈0《xW40,

0WjW20,

、斯y£N,

z=120x4-1807+100(40-x)+150(20-y),

即z=20x+30y+7000,

作出可行域及直线/o：20T+30y=0(如图)，

>,