高中数学：直线与抛物线

课题直线与抛物线

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1.直线与抛物线的位置关系

设直线/：y=kx+ni,抛物线)2=2p.r(p>()),将直线方程与抛物线方程

联立整理成关于x的方程：lex2+2(hn-p)x+zzr=0

⑴若AWO,

当/>0时，直线与抛物线想交，有两个交点;

当/=0时，直线与抛物线相切,有一个交点;

当/<()时，直线与抛物线相离,无公共点；

(2)若2=0,直线与抛物线有_±交点，此时直线平行于抛物线的对称

轴或者与抛物线的对称轴重合.

2.弦长公式

若直线(斜率为&)与抛物线)2=2pNp>0)交于&卬»),8(右，力)两点，

则|相|=41+后7(幻+l2)2—4川及=y1#)，|+竺)2—4y1)2

⑴若人8过抛物线的焦点F,则依阴=内+也+〃，y\y2=~p2.

(2)若A8过抛物线的焦点F,且垂直于对称轴，则|AB|=2p

问题一：设直线/：丁=依+1,抛物线C/=4x,当火为何值时，I

与C相切、相交、相离.

问题二：已知顶点在原点，焦点在)，轴上的抛物线被直线x-2y~\

=0截得的弦长为仃，求此抛物线方程.

问题三：已知AB是抛物线产=2〃戈5>0）的焦点弦，/为抛物线焦点，

A（x\,JI）NBS，”），求证：

（1）若A8的倾斜角为仇则必身一点^

112

⑵所卜所为定值p・

学习记录教-学记要

1、我的疑惑、收获归纳的方向：

课堂检测教-学记要

1.过抛物线丁=84的焦点作倾斜角为45。的直线，则被抛物线截得的

弦长为（）

A.8B.16

C.32D.64

2.过抛物线炉=2〃必》0）的焦点作一直线交抛物线于A3,y）、8a2,

”）两点，则%,08的值为（）

A.4B.-4

C.p1D.—p2

22

3.（2012・山东南旁）已知双曲线G：力一方〃>0）的离心率为

2.若抛物线C”f=2p.v（p>0）的焦点到双曲线Ci的渐近线的距离为2,则

抛物线Ci的方程为（）

A.8^3D,16^3

A.AT=yB.广=~^~y

C.f=8），D.f=l6y

4.已知抛物线）2=2pMp>0）,过其焦点且斜率为I的直线交抛物线

于A、8两点，若线段A8的中点的纵坐标为2,则该抛物线的准线方程为

5.（2011•京庆胡名）设圆。位于抛物线与直线彳=3所围成的封闭区

域（包含边界）内，则圆C的半径能取到的最大值为.

6.已知抛物线）2=6X,过点P（4,l）引一弦，使它恰在点。被平分，求这条

弦所在的直线方程.

作业布置

一、选择题

1.过点（1,0）作斜率为一2的直线，与抛物线），=8式交于A,B两点、,

则弦的长为）

A.2^/13B.2<15

C.2屈D.2标

2.设抛物线产=8.r的准线与工轴交于点Q,若过点。的直线/与抛

物线有公共点，则直线/的斜率的取值范围是（）

A.[一/|]B.[-2,2]

C.[-1,1]D.[-4,4]

3.已知直线），=区一上及抛物线尸=2〃*〃>0）,则（）

A.直线与抛物线有一个公共点

B.直线与抛物线有两个公共点

C.直线与抛物线有一个或两个公共点

D.直线与抛物线可能没有公共点

4.（2011•天洋商考）已知双曲线，一卓=1（。>0,〃>0）的左顶点与抛物

线丁=22«〃>0）的焦点的距离为4,且双曲线的一条渐近线与抛物线的准

线的交点坐标为(-2,—1),则双曲线的焦距为()

A.2小B.2小

C.4小D.4小

二、填空题

5.已知抛物线)，2=4.V,过点P(4.0)的直线与抛物线相交于4国，yi),

Bg1y2)两点，则,彳+)4的最小值是.

6.抛物线)，2=4x上的点到直线x—＞，+4=0的最小距离为.

7.已知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点在x轴上，直线y=x与抛

物线C交于4,B两点，若尸(2,2)为AB的中点，则抛物线C的方程为

8.已知以尸为焦点的抛物线)2=4%上的两点4、8满足AJF=3FB,

则弦AB的中点到准线的距离为.

三、解答题

9.设有一颗彗星绕地球沿一抛物线型轨道运行，地球恰好位于该抛

物线轨道的焦点处，当此彗星离地球为d(万千米)时，经过地球和彗星的直

线与抛物线的轴的夹角为6()。，求这颗彗星与地球的最短距离.

10.