高中数学5.1.1 任意角教学设计

高中数学5.1.1任意角教学设计

一、内容和内容解析

1.内容

章头图与章引言；任意角；象限角；终边相同的角.

2.内容解析

章头图与章引言应该隶属于整个第五章的总引言，简单介绍了本章将要学习

的主要内容、研究方法及实际应用.但其内容比较少，因此可以与"5.1.1任意角"

合成一个课时.教科书在章引言中列举了一些现实中存在的周期变化现象，并在

章头配置了一幅月亮围绕地球运转产生圆缺变化的图形，一方面说明了三角学的

起源、发展与天文学密不可分，另一个方面也说明了本章将要研究的三角函数是

用来刻画这种周期现象的数学模型.

对于角的概念推广，因为学生过去接触的角都在0。~360。范围之内，但在

现实生活中有大量的关于角的例子都超出了这个范围，要想描述清楚这些角，就

要从动态的角度重新定义角的概念.实际上，我们很容易认识到一般的角是〃转”

出来的，要准确刻画一个角，必须知道两个方面：一是旋转方向；二是旋转量.

有了这两个方面就可以将0°~360°的角推广到任意角，但如何对任意角进行量

化，这还是一个问题.我们知道，旋转量的大小可以在角度制的基础上进行推广，

而旋转方向需要利用我们已有的〃通过符号代表方向"的经验加以解决.因比，

我们规定：若角通过逆时针方向旋转形成为正角；顺时针方向旋转形成为负角；

没有作任何旋转（即旋转量为0）为零角.同时，可类比正负数的规定，说明正角、

负角是用来表示“具有相反意义的旋转量〃，零角无正负，就像实数0无正负一

样.

角的范围扩展到任意角后，角的运算的意义也随之得到扩展.初中学过角的

和、差和倍角，角的运算中不考虑方向，两角差只考虑〃大角减小角"•角的范

围扩充后,基于用符号表示方向，依据沙尔定理，即万+元=就，不仅可以

"小角减大角"，而且对两角和也赋予了全新的意义.

教科书定义的两个任意角四勺和是：把角加勺终边旋转角夕，这时终边所

对应的角是a+及这个规定既符合人的直觉，也与实数的运算法则一致，因此它

是合理的.

首先，字母a,倦示任意角，它们是带有符号的.当/为勺符号为正时,射

线的旋转方向为逆时针；符号为负时，射线的旋转方向为顺时针为了方便，我

们用同，国表示相应的旋转量.

角（a+夕）是两次连续旋转的结果，可以分如下几种情况：

（l）a>0,/?>0;（2）a>0,/?<0;（3）a<0,/?>0;（4）a<0,.<0.

下面我们根据任意角的概念做一个分析：

对于（1），角（a+B）的旋转方向为逆时针，旋转量为|目+|4

对于（2）,如果冏>|用，则角（a+S）的旋转方向为逆时针，旋转量为

1-1/51；如果间<园,则角（a+B）的旋转方向为顺时针，旋转量为|历同

对于（3）,如果同<期，则角（a+0）的旋转方向为逆时针，旋转量为核

卜阿；如果ia>罔,则角（a+B）的旋转方向为顺时针,旋转量为ia-i用

对于（4），角（a+0）的旋转方向为顺时针，旋转量为间+|风

于是：同号两角相加，取相同的方向，并把〃绝对值〃相加；"绝对值"不

相等的异号两角相加，取"绝对值〃较大的角的方向，并用较大的〃绝对值"减

去较小的"绝对值”.

显然，旋转量相同，旋转方向相反的两个角相加得零角；一个角与零角相加

仍得这个角.

综上可知，两角和的运算与实数的加法运算完全一致；同时，像实数减法的

"减去一个数等于加上这个数的相反数"一样,我们有a%=（邛），即"减

去一个角等于加上这个角的相反角".这样，角的减法可以转化为加法.从几何角

度看，就是一条射线绕端点旋转任意角诟再旋转任意角夕，这时终边所对应的

角是a+及

引入象限角概念，使角放在一个统一的标准下进行讨论，可以使角的讨论得

到简化，并进而可以利用任意角、直角坐标系刻画周期性变化现象.

终边相同的角是具有特殊关系的象限角，可以看成是在定义象限角概念之后

研究它的性质，这些隹有〃始边、终边都相同〃的共同特征.从几何角度看，"终

边旋转整数周回到原来的位置"而形成"终边相同的角〃，用数量关系表示，就

是“终边相同的角相差360。的整数倍"，用符号形式表示，就是：所有与角a

终边相同的角,连同角避内,可构成一个集合S=伊全4360。，庄Z｝另

外，有了终边相同的角的表示，就可以非常方便地得出三角函数的诱导公式一.

根据上述分析，确定本课时教学重点是：将0°到360。范围的角扩充到任意

角，终边相同的角.

二、目标和目标解析

1.目标

(1)通过阅读章引言，了解三角函数的背景，体会三角函数与现实世界的

密切联系，了解学习三角函数的必要性；

(2)了解任意角以及象限角的概念，会判断一个任意角是第几象限角，发

展数学抽象素养；

(3)掌握所有与角终边相同的角(包括角)的表示方法.

2.目标解析

达成上述目标的标志是：

(1)学生能简单说出本章所学的内容、结构、研究过程与方法，知道三角

函数就是刻画一类周期变化规律的数学模型，并能举出现实世界中这类周期现象

的例子；

(2)对于给定一个任意角，学生能说出旋转方向及旋转量，并能在直角坐

标系中作出该角，还能判断它是第几象限角；对于两个角，会判断它们是否相等

或是否为相反角，如果相加、减后，从数量上，知道结果是正角、负角或零角，

从图形上,［不能解释是通过怎样的旋转得到的.

(3)学生能说出集合中、的准确含义，知道终边相同的角不一定相等,

终边相同的角有无限多个，它们相差360。的整数倍，体会数形结合思想及特殊

到一般的归纳思想.

三、教学问题诊断分析

第一个学习难点应该是对角的概念的推广，就象数系的扩充与推广一样，从

自然数到整数，整数到有理数，有理数到实数，实数到复数，等等，每一次犷充

与推广都与学生以前的认知产生矛盾，原本对前面知识的认识与接受可能就经历

了不平凡的过程，这就使得打破学生认知的定势难上加难.

通过初中的学习，学生对角的认知基础是：角的范围在0°~360。为了改变

学生对角的认识，首先，让他们举出现实生活中超出0°~360。的角的大量例子,

而且让他们认识到这些角只能用超出0°~360。的角才能描述清楚，用以说明引

入新概念的必要性和实际意义.其次，还可以借助信息技术工具(如GeoGebra),

让学生在动态的过程中感受到：角是转出来的，在角的终边”任意〃旋转的过程

中，要准确地刻画一个角，必须"既要知道旋转量,又要知道旋转方向〃.最后，

如何将这种旋转量与旋转方向进行量化才是关键所在。初中研究过"平面图形的

旋转〃，学生已经知道旋转的〃三要素〃，这是对旋转的定性刻画，可以作为刻

画任意角的一个基础.如何用量化的方法刻画任意角呢？旋转量的大小可以在初

中学过的角度制基础上进行推广，这里的关键是用符号表示"旋转方向"，逆时

针方向为正、顺时针方向为负.教学中可类比正负数的规定，说明正角、负角是

用来表示“具有相反意义的旋转量”.

第二个学习难点是对"0。~90。的角"〃第一象限角"〃锐角""小于90。

的角"这些概念之间关系的认识.在教学中，有必要在坐标系中利用动画进行演

示，让学生直观感知，另外，还可以通过具体例子来反映它们之间关系，从特殊

到一般加强认识.

第三个学习难点是对终边相同角的认识.因为学生们对于动态的任意角的概

念还不熟悉，而终边相同的角有一个共同的特点就是这些角的始边和终边都相同，

从图形上看没有任何区别，那么如何加深对终边相同角的理解呢？

第一，我们可以借助信息技术工具（如GeoGebra）动态地展示这些终边相

同角之间的联系与区别,让学生们从形上对这些角有一个很好的直观感受.

第二，通过具体的例子，比如-32。，让学生找出几个与-32。终边相同的角，

通过运算发现联系：〃它们都与-32。相差360。的整数倍”，然后进行量化表达，

得出所有与-32。终边相同角的表达式，再W-32。推广到一般角a.其实这里用到了

从特殊到一般、从具体到抽象、通过运算发现规律等方法，这是数学地探索事物

性质的普遍方法.

另外，对于终边相同角的认识过程还反映了从定性到定量的研究数学问题的

基本策略，以及数形结合的数学思想，让学生从几何与数量关系角度加强认识.

四、教学支持条件分析

为了加强学生对任意角的旋转量与旋转方向，以及终边相同角之间联系与区

别的直观感受,需要利用信息技术工具（如GeoGebra）动态地进行了展示.

五、教学过程设计

L独立阅读，明确任务

问题1请同学们先观察章头图并阅读第五章章引言，再回答如下问题：

（1）本章将要学习的函数是什么？

（2）这种函数主要可以解决我们实际生活中的哪类问题？你能举出具体例

子吗？

（3）你能简单说说以前研究函数的过程与方法吗？

师生活动：学生独立阅读教科书,通过阅读,明确本章将要学习的主要为容

以及学习方法.（1）本章将要学习的函数是三角函数；（2）三角函数可以用来

刻画现实生活中的一些周期现象，例如单摆运动、弹簧振子、圆周运动、交变电

流、潮汐等；（3）研究函数的一般思路是：先给出函数的定义，通过定义作出

图象，再由图象研究性质，最后是函数的应用.

设计意图：明确本章研究内容、目的、简单的过程和方法，为本章的研究指

明方向.

2.创设情境，引出问题

引导语：我们知道，现实世界中存在着各种各样的〃周而复始〃变化现象,

圆周运动是这类现象的代表.

问题2如图1,0。上的点户以/为起点做逆时针方向的旋转，如何刻画

点"的位置变化呢？

图1

师生活动：学生独立思考，教师通过链接（GeoGebra）动画让学生清楚：

圆周上点的运动可以通过角的变化进行刻画.

说明："刻画〃这个词用在问题2中虽然比较准确，但学生可能不能理解它

的含义，因此，我们可以用信息技术（如GeoGebra）将这种旋转的过程体现出

来，尤其是将线段。夕用鲜艳的颜色突显出来，学生自然就会想到点夕的运动可

以看成是由线段的运动带动点的运动（其实就是射线的运动带动了点的运动），

由此让学生可以理解，这种“刻画"就是"描述""反映”等，另外，主要让学

生可以发现圆周上点的运动与角的关系.

设计意图：通过具体问题引出本节课的研究主题——角.

3.分析事例，归纳特征

问题3我们以前所学角都在0。~360。的范围内，生活中有超出0。~360。

角的例子吗？请你举例说明.

师生活动：学生独立思考，并回答问题预设答案：体操中”前空翻转体540

度""后空翻转体720度〃（如图2）;如果要将钟表调快一个半小时，那么分

针就会顺时针旋转超过360°（如图）.

图2(1)图2(2)

追问1：这些角的不同，体现在哪几个方面?

师生活动：可以通过学生简单的讨论，发现角的不同体现在两个方面：一是

大小；二是方向.

设计意图L方面加强数学与我们现实生活的联系，说明学习数学是有用的；

另一方面，学生在用语言描述这些超出0°〜360。角的时候，会发现用静态角的

定义不再适合，让他们体会到要想说清楚这些角，有必要将角的范围进行拓展，

而且需要从动态的角度重新定义角.

追问2:假如你的手表快了1.25小时，你应当如何将它校准？当时间校准

以后，分针转了多少度？从几个方向描述角？

师生活动：学生独立思考并回答彳导出结果：逆时针旋转；分针会旋转450°

（链接GeoGebra动画）.比如校准前如图3（1）,校准后应该为图3（2）.

图3(2)

设计意图：通过这个具体的例子让学生理解：要想说清楚一个角，包括两个

方面，一是旋转方向；二是旋转量.

追问3:以上问题中对角的描述的共性是什么？

师生活动：学生共同回答出角的大小及旋转方向.

设计意图：通过这个具体的例子进一步让学生体会：要想说清楚一个角,包

括两个方面：一是旋转方向；二是旋转量.

4.通过阅读，获得概念

问题4请同学们先阅读课本第168页最后一段至第169页最后一段，再回

答下列问题：根据旋转方向的不同，角可以分为哪几类？分别是什么？这种定义

方法和分类办法是与之前的哪个知识进行类比的？

师生活动：学生犯立阅读课文，再举手回答上述问题.预设答案：一条射线

绕其端点按逆时针方向旋转形成的角叫做正角才安顺时针方向旋转形成的角叫做

负角.如果一条射线没有做任何旋转，就称它形成了一个零角，因此，角可以分

为正角、负角、零角.这种定义方法和分类办法都是与实数进行类比的.

设计意图：明确了通过推广以后角的定义，知道了角是"转"出来的，关键

是对旋转方向的量化可以通过类比实数，用符号表示方向.

5.初步应用，理解定义

练习1:你能分别作出210\-150。、750。、-660°吗?

师生活动:学生作图，教师用GeoGebra展示动画作图过程.如图4(1X2)

(3)(4).

图4(4)

设计意图：熟悉正角、负角的定义，理解"符号"与"方向"之间的关系，

从数到形的认识.

追问1：你知道什么是两角相等？两角相加又是怎样规定的？

师生活动：可叫学生个别回答问题，通过回答，可以看出学生对角的关系与

运算的理解是否清楚.预设答案：如果两角的旋转方向相同且旋转量相等,就称

两角相等；规定：把角洲终边旋转角夕，这时终边所对应的角是圻及

设计意图：定义了一个具有数量特征的数学概念之后，紧接着需要研究的就

是两个这种数学对象之间的关系以及运算问题.

追问2:你知道什么是互为相反角？两角怎样相减？

师生活动：学生个别回答.预设答案：如果两角的旋转方向不同且旋转量相

等,就称两角互为相反角；类比实数减法，我们有企P=。+(-£).

设计意图：类比实数，得到相反角的定义及两个任意角之间的减法运算.

练习2:你能用作图的方式反映出30。与-30。；30。+120。与150°;30°-120°

与-90。的关系吗？

师生活动：学生分别作图并说明.如图5(1)(2)(3).

图5(3)

追问：对于一般的贝⑶尼，你能类比实数给出相应说明吗？

师生活动力\组讨论并指定学生回答.预设答案:对于一般的。力,如果8夕，

则a-£>0。；如果a=/?,则a/=0。；如果"夕，则。-住0°.从图形上看，就是把

角曲终边旋转角/（若珍0。，则顺时针旋转I£|；若曲0°,则逆时针旋转16

I；若6=0°,则不作旋转）,这时终边所对应的角是a%.

设计意图：通过具体例子加强学生对相等角、相反角、角的加法、减法的理

解，并能推广到一般情形，这里体现了具体与抽象特殊与一般的数学思想方法.

6.研究分类，精致概念

问题5在直角坐标系中研究角，其顶点和始边的位置是如何规定的？根据

其终边位置的不同，又可以把角分为哪几类？在直角坐标系内讨论角有什么好处

呢？

师生活动：学生互相交流后，再回答.预设答案：为了方便，使角的顶点与

原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合；根据角终边所在象限，将角又可以

分为第一、二、三、四象限角以及轴线角；在直角坐标系中讨论角可以很好地表

现角的“周而复始"的变化规律.

设计意图：让学生明确在直角坐标系中讨论角需要有一个统一的标准.在这

个统一前提下，才能对象限角进行定义另外，终边落在坐标轴上是一种“边界"

状念，因此规定它不属于任何一个象限更方便.这样讨论角的好处就是：在同一

〃参照系”下，可以使角的讨论得到简化，由此还能使角的终边位置〃周而复始"

现象得到有效表示.

练习3:教材第171页第1、2、3题.

师生活动：由学生逐题给出答案.预设答案：1.锐角是第一象限角，第一象限

角不一定是锐角；直角是终边落在y轴非负半轴上的角，终边落在y轴非负半轴

上的角不一定是直角；钝角是第二象限角，第二象限角不一定是钝角2三,三,

五.3.（1）第一象限角；（2）第四象限角；（3）第二象限角；（4）第三象限

角.

设计意图：检验学生对象限角的理解情况.

7.研究特殊位置，获得关系

问题5在直角坐标系中，将角的顶点与原点重合，角的始边与X轴的非负

半轴重合，那么与-32。角终边重合的角还有哪些？有多少个？它们与-32。角有什

么关系？能不能用集合的形式将它们表达出来？将・32。推广到一般角，结论应

该是什么？

师生活动：教师演示动画（链接GeoGebra动画），学生观察并思考后,

再举手回答预设答案：还有-392。、328。、688。等等；有无数个;相差360。的

整数倍；

{能=・320+k,360。,keZ};{—+k・360。,keZ）;

设计意图：通过动画演示与回答问题，使学生明确：（1）终边相同的角不

一定相等；（2）终边相同的角有无数个，这些角有"始边、终边都相同"的共

同特征；（3）这无数多个终边相同的角在数量上都是相差360。的整数倍.

8.初步应用，理解关系

例1在0。〜360。范围内，找出与-950。12角终边相同的角，并判定它是第

几象限角.

追问：与-950。12'角终边相同的角都有什么共同点?

师生活动：先由学生独立计算，再回答.预设答案：相差360。的整数倍；与

-950°12'角终边相同的角可以写成｛说必-950。12'+1<-360。，k£Z｝,当k=3时，

住129。48',它是第二象限角.

设计意图：熟悉终边相同的角的表示，并会在0。~360。范围内找出与已知

角终边相同的角，判定其为第几象限角，为以后证明恒等式、化简及利用诱导公

式求三角函数的值等奠定基础.

例2写出终边在y轴上的角的集合.

追问:这些角终边在几条射线上？终边落在每条射线上的角如何表示？这两

条射线上的角都相差多少度？能不能用一个集合表示这所有的角？

师生活动：学生先独立完成，再相互交流.预设答案：两条；y轴正、负半轴

上的角的集合分另II为何3=90°+k・360。，k£Z｝、｛用住270。+匕360。，keZ｝;

相差180。的整数倍；｛^/?=90°+k-180°,keZ｝.

设计意图：此题是终边在坐标轴上的角的表示.应引导学生体会用集合表示

终边相同的角时，表示方式不唯一,要注意采用简约的形式.另外，分析终边与y

轴的正半轴、负半轴分别重合的两个角的集合的联系，可以简化集合的表示，实

质是“终边组成一条直线〃的代数解释："两个集合中的元素相差180。的整数

倍

例3写出终边在直线上的角的集合.中适合不等式-360*氏720。的元素

旗哪些？

追问：在求出角之前，你能判断满足条件角的个数吗？判断的根据是什么？

师生活动：由学生独立完成后，让学生代表进行展示.预设答案：六