2026高中【MST新思路思维扩展】(二轮复习) 上-向量解三角形篇

向量篇25新Ⅰ卷的多选压轴题考到了次方不对称的解三角形问题，近年的向量和解三角形也越来越多出现在选填压轴题板块，值得我们去不断深挖二级结论和背景来解读，向量的投影和数形结合也越来越重要。向量和解三角形的更多二级结论和基础知识讲解，大家不妨去参考《零轮》，二轮内容精选了最近的模考中相对有难度的选题，属于零轮基础上升级的版本。考点一.向量的数量积计算一．常规建系【例1】（2026届湖北智学联盟十月联考T7）已知，在单位向量上投影向量都是，且，则当与夹角最大的时候，为（

）A．6 B．5 C．8 D．7【例2】（2026届广东肇庆开学考T10）在平面直角坐标系中，与轴，轴方向相同的两个单位向量分别为、，点为曲线上任意一点，且满足，则（

）A．点在曲线上 B．C． D．【例3】

（2026届重庆八中十月月考T13）已知在梯形中，，且，点满足，则．【例4】（2026届重庆八中九月月考T14）已知是半径为1的圆上的三点，为圆的直径，为圆外一点(含圆周)，则的最小值为.二．极化恒等式【例5】（2026江苏南通如皋一调T7）已知圆及两点，，若圆上任一点，都满足，则的取值范围是（

） B． C． D．

【例6】（2026广东广州天河区一调T10）已知圆，直线，直线与圆交于，两点，则（

）A．直线过定点B．的最小值为2C．的取值范围为D．当圆上恰有三个点到直线的距离等于时，

【例7】（2026届河北秦皇岛一中十月月考T13）已知直线与曲线交于，两点，平面上的动点满足，，则的最大值为.

【例8】（2026黑龙江哈六中九月月考T11）已知是边长为3的等边三角形，，，则下列说法正确的是（

）B．C．D．若点是边上的动点，则的最小值为三．梅氏定理梅氏定理：X、Y、Z分别是△ABC三边所在直线BC、CA、AB上的点则X、Y、Z共线的充分必要条件是如图，X、Y、Z三点中只有一点在三角形边的延长线上，而其它两点在三角形的边上；证明：如图所示，设A、B、C到直线XYZ的距离分别为a、b、c.（1）先证明必要性，即若X、Y、Z三点共线，则CXXB⋅BZZA⋅AYYC=1，因为（2）再证明充分性，即若CXXB⋅BZZA⋅AYYC=1，则X、Y、Z三点共线，设直线XZ交AC于Y′，由已证必要性得：CXXB⋅BZZA⋅AY′Y′C=1，又因为CX【例9】（2026届吉林松原十月联考T18）如图所示，在中，在线段上，满足是线段的中点．(1)延长交于点（如图1），若，求的值；(2)过点的直线与边，分别交于点，（如图2），设，．（i）求证：为定值；（ii）设的面积为的面积为，求的最小值．考点二.向量的几何背景分析一．隐藏的垂直定义：若向量，，，满足，则；，则；证明：我们以为例，如图，以相同起点作出，，显然当时，根据斜边大于直角边，故当且仅当时成立.记忆口诀：，同型含x项与后面垂直！【例10】（2026届·河北保定十校九月质检T14）已知向量满足，且对任意的，都有，则的最大值是．二．隐藏的圆与向量投影定理：若向量，，满足，则在以为直径的圆上.【例12】（2026届重庆西南大学附属中学十月月考T11）在平面内，若有，则（

）A．在上的投影向量为B．C．的最小值D．若，则的取值范围【例13】（2026届广西钦州八月联考T14）中，，点为平面内一点，且，，、分别为的外心和内心，当的值最大时，的长度为.三.向量的叉乘向量叉乘（面积计算式推导）：【例14】（2026届重庆一中九月月考T11）已知非零向量，其中向量夹角为θ，定义运算：，若，则下列说法正确的是（

）A．B．若，，则C．