2026高中【MST新思路思维扩展】(二轮复习) 上-立体几何

板块四立体几何立体几何，最近几年高考真题难度相对稳定，但是模考题难度就经常会出现一些难度偏大的类型，尤其是小题难度偏大，需要的二级结论模型较多，本节我们先从解答题建系板块说起，结合一些立体几何与平面解析几何的类型进行综合分析，数学其实就是建立模型，并不断优化升级的过程。考点一.常见空间角度计算T17类型【例1】（2025全国新课标I卷•T17）如图所示的四棱锥中,平面，.（1）证明：平面平面；（2）若在同一个球面上，设该球面的球心为.（ⅰ）证明:在平面上；（ⅱ）求直线与直线所成角的余弦值.【例2】（2025全国新课标Ⅱ卷•T17）如图，四边形中，，，为中点，在上，,，。将四边形沿翻折至四边形，使得面与面所成的二面角为。（1）证明：平面;（2）求面与面所成二面角的正弦值。【例3】（2025北京卷•T17）四棱锥中，与为等腰直角三角形，，E为BC的中点．(1)F为的中点，G为PE的中点，证明：面PAB；(2)若面ABCD，，求AB与面PCD所成角的正弦值．【例4】(2025天津卷•T17)正方体的棱长为4，分别为中点，．(1)求证：平面；(2)求平面与平面夹角的余弦值；(3)求三棱锥的体积．考点二.立体几何隐藏的轨迹与最值问题一．定长的圆弧隐藏【例5】（2025·多选·贵州黔南期末）如图，在棱长为2的正方体中，M，N，P分别是的中点，Q是侧面内的动点（含边界），则下列结论正确的是（

）A．四点共面B．异面直线与所成的角为C．当点Q在线段上运动时，三棱锥的体积为定值D．当时，点Q的运动轨迹的长度为【例6】（2025·山东威海三模）在三棱锥中，平面，．若为侧面内的动点，，当该三棱锥的体积最大时，的轨迹与所围成区域的面积为．【例7】（2025·多选·辽宁大连期末）已知正方体，，且直线与直线夹角为，则下列说法正确的是（

）A．若点在棱上，且，则B．若，且点在面上，则点的轨迹长度为C．是面上的动点，，则的轨迹图形面积是D．点为截面上的动点，，则点的轨迹长度是【例8】（2026届河北衡水高三开学考试T14）已知正方体的棱长为，以为球心，为半径的球面与该正方体不含顶点的三个面的交线总长度为，则.二.由线面平行和垂直构造的隐藏线性最值问题【例9】（2026届广东阳江阳西一中9月月考T7）在正四棱柱中，，为棱的中点，点为侧面内一动点，且平面，则线段的长度的最小值为（

）A．1 B． C． D．【例10】（2026届南通9月调研T8）已知三棱柱的所有棱长均为2，，则异面直线，间的距离的最大值为A．1 B． C． D．2【例11】（2024•涉县月考）如图，在棱长为1的正方体中，，，若平面，则线段的长度的最小值为A． B． C． D．【例12】（2026届陕西西安新城区一模T11）已知正方体的棱长为2，点满足，下列结论正确的是（

）A．若，则与所成角为B．若平面，则C．若点，，，都在球的表面上，且球心在底面上，则D．若平面时，与平面交于点，则三．截面线性构造最值问题【例13】（2026届广东高三上学期9月质量检测T11）在棱长为2的正方体中，，，过且平行于的平面记为.下列说法正确的是（

）A．若棱与交于点，则B．若棱与交于点，则C．截正方体所得截面是五边形D．截正方体所得截面的面积为【例14】（2025•湘豫名校入学摸底，T18）如图，正四棱锥中，是棱的中点，是底面的中心．过作平面与棱分别交于不同的点（可以是端点）．（1）求证：三线交于一点；（2）若．（i）求直线与平面所成角的正弦值；（ii）求多面体的体积的取值范围．【例15】（2025•武汉二调）四棱锥中，，，，，，△内部点满足四棱锥与三棱锥的体积相等，则长的最小值为．【例16】（2026届武汉高三九调，T14）在四棱锥中，，，，，，且平面，过点A的平面与侧棱PB，PC，PD分别交于点E，F，G，若四边形为菱形，则______．考点三.外接内切球综合问题一．棱锥体构造不等式与外接球最值问题本质就是选择设边还是设角【例17】（2026届广东惠州九月月考T8）已知A，B，C，D四点均在半径为R（R为常数）的球O的球面上运动，且，，，若四面体的体积的最大值为，则球O的表面积为（

）A．4π B．6π C．8π D．9π【例18】（2022•新高考Ⅰ）已知正四棱锥的侧棱长为，其顶点都在同一球面上，若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（）B．C．D．【例19】（湖北襄阳市第四中学高三开学综合测试，T11,多选）如图，半圆锥的底面直径为，母线，为圆弧上任意一点（不包括，两点），直线垂直于平面，且．连结交母线于点．下列结论正确的是（）A.三棱锥的4个面均为直角三角形B.C.沿此半圆锥的曲侧面从点到达点的最短距离为2D.当直线与平面所成角最大时，平面截三棱锥外接球所得截面的面积为二．棱切球与内切球模型【例20】（2025·广东广州三模）已知棱长为2的正方体的几何中心为，平面与以为球心的球相切，若截该正方体所得多边形始终为三角形，则球表面积的取值范围为（）A． B． C． D．【例22】（2025•八省第一次联考）如图，在三棱锥中，，，，，分别为，，上靠近点的三等分点，若此时恰好存在一个小球与三棱锥的四个面均相切，且小球同时还与平面相切，则A． B． C． D．【例23】（2025•南京六校联合体8月调研，T14）已知正方体的棱长为2，点在正方体的内切球表面上运动，且满足平面，则的最小值为_________．三．垂面外接球最值问题常见的长方体切割体，抓住体对角线为外接球直径，通常也在鳖臑模型中常见，以及切瓜模型中，大圆面的半径最值通常需要利用正弦定理边化角来实现.【例24】（2025·湖北黄冈·模拟预测）我们规定：在四面体中，取其异面的两条棱的中点连线称为该四面体的一条“内棱”，三条内棱两两垂直的四面体称为“垂棱四面体”.如左图，在垂棱四面体中，若的边长分别为，，，则外接球表面积；如右图，在空间直角坐标系中，平面内有圆：，直线与圆交于，两点，为平面下方一点，若为垂棱四面体，则其外接球表面积的取值范围是.【例25】（2025·多选·湖北襄阳模拟预测）在棱长为2正方体中，为的中点，是侧面内的一点（包含边界），则以下结论正确的是（

）A．若，则点的轨迹长度为B．与所成角的最大值为C．若三棱锥的体积为，则点的轨迹长度为D．若在线段上，则三棱锥的外接球表面积的取值范围是四．鳄鱼公式的应用鳄鱼公式：以及如图，若空间四边形中，二面角的平面角大小为，的外接圆圆心为，的外接圆圆心为，为公共弦中点，则，，，，，由于四点共圆，且，根据余弦定理，．注意：①此公式最好配合剖面图，需要求出两个半平面的外接圆半径，和外接圆圆心到公共弦的距离.②有的时候需要利用到：，和之前的区别就是二面角的两个半平面到底是什么三角形决定，如果两个是锐角三角形，如下左图的二面角，或者都是钝角三角形，如下左图的二面角，此时的，满足.如果两个半平面一个是锐角，一个是钝角，比如下左图的二面角，或者二面角，则会出现二面角与互补，此时.综上，用鳄鱼公式，最好结合剖面图来分析，这样能万无一失，不过判断好两个半平面形状也能快速判断得出结论.【例26】(2026届石家庄一中学高三年级统底考T13)《九章算术》中记录的“刍甍”是算学和建筑学术语，指的是一段类似隧道形状的几何体，如图，刍甍中，底面是正方形，平面，和均为等边三角形，且．则这个几何体的外接球的体积为______．【例27】（25·云南师大附中高三月考卷（三）T14）在平面四边形中，，是边长为6的正三角形．将该四边形沿对角线折成一个大小为，的二面角，则四面体的外接球半径的取值范围为．【例28】（2025·黑龙江佳木斯·三模）如图1所示，在四边形中，，，.如图2所示，把沿边折起，使点不在平面内，连接.则下列选项正确的是（

）A．当平面平面时，点到平面的距离为B．异面直线与所成角的取值范围为C．、分别为、的中点，在翻折的过程中，存在某个位置，使得D．三棱锥的外接球的表面积的最小值为【例29】（2025·湖北恩施·模拟预测）已知为坐标原点，已知双曲线的左右焦点分别为，过作的垂线交双曲线于，现将轴左侧的半平面绕轴旋转，原来的左焦点经旋转后得到点，求三棱锥的外接球表面积为（

）A． B． C． D．【例30】(2026届江西省部分学校9月调研·T14)正方体棱长为2，E，F分别是棱，的中点，M是正方体的表面上一动点，当四面体的体积最大时，四面体的外接球的表面积为______．五．二面角未知的鳄鱼模型外接球最小值在折叠过程中，二面角未知情况下，若，则当且仅当时，外接球半径取得最小值，本质就是将置于大圆面，利用，具体证明过程参考例题.【例31】（广东“六校联盟”2026届高三年级第一次联考数学试题T19）在平面四边形中，，，，将沿翻折至，其中为动点．（1）若二面角为直二面角，求三棱锥的体积．（2）记三棱锥外接球半径为；①求的最小值；②当最小时，求异面直线AB，CP所成角．【例32】（2025•成都外国语联盟模拟19题）在平面直角坐标系中，分别以轴和轴为实轴和虚轴建立复平面．已知复数，在复平面内满足为定值的点的轨迹为曲线．且点在曲线上．（1）求曲线的平面直角坐标系方程；（2）若斜率为的直线与曲线交于、两点（直线斜率为正），直线、（若、重合，直线即为椭圆在点处的切线）分别与轴交于、两点，为中点．证明：为定值；最大时，将坐标平面沿轴折成二面角，在二面角大小变化过程中，求三棱锥外接球的半径最小时，三棱锥的表面积．考点四.最大角最小角定理最小角定理（三余弦定理）与最大角（三正弦定理）在考试中应用很广，既需要定性分析，也要求定量计算，某些小题不建系求二面角与线面角，优势特别明显。【例33】（2025·多选·湖北期末）如图，四面体ABCD中，M是棱AB上的动点，N是棱CD上的动点（M、N不与四面体的顶点重合）.记BN与DM所成的角为与平面MCD的所成的角为，平面MCD与平面BCD的夹角为，则的大小关系不可能是（

）（注：平面与平面相交形成的四个二面角中，不大于90°的二面角称为平面与平面的夹角）A． B． C． D．【例34】（2025·多选·福建福州期末）已知空间四边形中，，，且，设AC与平面BCD所成角为α，二面角的平面角为β，则（

）A． B．C．的最小值为 D．【例35】（2025•T8模拟T19）在平面四边形中，，，，将△沿翻折至△，其中为动点．（1）设，三棱锥的各个顶点都在球的球面上．证明：平面平面；（ⅱ）求球的半径；（2）求二面角的余弦值的最小值．考点五.体积分割与比例问题【例36】（2025·浙江宁波模拟预测）如图，是正四面体棱上的两个三等分点，分别过作同时平行于的平面，将正四面体分成上中下三部分，其体积分别记为，则．【例37】（2025·北京期末）正方体的棱长为1，是棱上的一个动点，平面与棱交于点.（1）给出下列三个结论：①四棱锥的体积为定值；②四边形可能是正方形；③若在棱上存在点，使得平面，则线段；其中所有正确结论的序号是.（2）当点不是棱的端点时，设，，记和四边形的面积分别为，，则的取值范围是.考点六.立体几何中的隐藏二次曲线一．截面与截口曲线构造的二次曲线轨迹【例40】（2025·福建福州·三模）如图，已知Rt是圆锥SO的轴截面，C，D分别为SA，SB的中点，过点C且与直线SA垂直的平面截圆锥，截口曲线是抛物线的一部分.若P在上，则的最大值为.【例41】（2025·多选·湖南长沙模拟预测）如图，棱长为2的正方体．中，点P是棱的中点，动点M满足，其中，则下列结论正确的是（

）A．若，则B．若，则直线与直线所成角的最小值为C．若且．，则点的轨迹长为D．若动点M在平面上的投影为点与平面所成角与二面角大小相等，则直线与点N的轨迹相切【例42】（2025·多选·江苏宿迁模拟预测）已知正方体的棱长为2，P为平面ABCD内一点，点M，N，Q分别是棱的中点，下列说法正确的是（）A．平面MNQ与正方体各面的交线是正六边形B．直线PM与直线QN是异面直线C．三棱锥P-MNQ体积的最大值为1D．若P到棱CD，距离相等的点，则点P的轨迹是双曲线二．立体几何结合圆锥曲线综合计算【例43】（2025•南昌9月开学考，T19）如图，球O的半径为4，PQ是球O的一条直径，C是线段PQ上的动点，过点C且与PQ垂直的平面与球O的球面交于⊙C，是⊙C的一个内接正六边形．（1）若C是OQ的中点．（i）求六棱锥的体积；（ii）求二面角的余弦值；（2）设的中点为M，求证：tan∠MPQ·tan∠MQP为定值．【例44】（2026届安徽江淮十校高三第一次联考（8月），T18）三棱锥中，，，．点P在底面上的射影E是线段上靠近点A的四等分点．（1）求与平面所成角的正弦值；（2）求三棱锥外接球表面积；（3）设靠近的四等分点为F，D是平面内的