2026步步高高考大二轮复习数学-专题突破　专题一　第1讲　三角函数的运算

第1讲三角函数的运算1.(2025·全国Ⅱ卷，T8)已知0<α<π，cosα2=55，则sinα-π4等于A.210 B.25 C.32102.(2024·新课标Ⅰ卷，T4)已知cos(α+β)=m，tanαtanβ=2，则cos(α-β)等于()A.-3m B.-m3 C.m3 3.(2024·全国甲卷，理T8)已知cosαcosα-sinα=3，则tanA.23+1 B.23-1 C.32 D.1-4.(2023·新课标Ⅰ卷，T8)已知sin(α-β)=13，cosαsinβ=16，则cos(2α+2β)等于(A.79 B.19 C.-195.(多选)(2025·全国Ⅰ卷，T11)已知△ABC的面积为14，cos2A+cos2B+2sinC=2，cosAcosBsinC=14，则(A.sinC=sin2A+sin2B B.AB=2C.sinA+sinB=62 D.AC2+BC26.(2024·新课标Ⅱ卷，T13)已知α为第一象限角，β为第三象限角，tanα+tanβ=4，tanαtanβ=2+1，则sin(α+β)=.

命题热度：本讲是历年高考命题常考的内容，属于中等或偏下题目，主要是选择题或填空题，一般考查一道选择题或填空题，也有渗透在解答题中考查，分值约为5~6分.考查方向：一是考查三角函数的概念，主要考查根据给出的点或点所在直线求三角函数值；二是考查同角三角函数关系式、诱导公式，主要考查利用平方和关系进行正弦与余弦之间的转化、利用商数关系求解齐次式的值以及诱导公式的正用与逆用；三是考查三角恒等变换，两角和与差公式的正用、逆用以及倍角公式的灵活运用等.1.答案D解析由题意得cosα=2cos2α2=2×552-1=-因为0<α<π，则sinα=1-cos2α=1-所以sinα-π4=sinαcosπ4-cosαsinπ4=45×222.答案A解析由cos(α+β)=m得cosαcosβ-sinαsinβ=m. ①由tanαtanβ=2得sinαsinβcos由①②得cos所以cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=-3m.3.答案B解析因为cosαcosα所以11-tanα=3⇒tanα=1-所以tanα+π4=tanα4.答案B解析因为sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ=13而cosαsinβ=16因此sinαcosβ=12则sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=23所以cos(2α+2β)=cos2(α+β)=1-2sin2(α+β)=1-2×232=5.答案ABC解析cos2A+cos2B+2sinC=2，由二倍角公式，得1-2sin2A+1-2sin2B+2sinC=2，整理可得sinC=sin2A+sin2B，A选项正确；方法一由诱导公式得，sin(A+B)=sin(π-C)=sinC，展开可得sinAcosB+sinBcosA=sin2A+sin2B，即sinA(sinA-cosB)+sinB(sinB-cosA)=0，若A+B=π2，则sinA=cosB，sinB=cosA若A+B<π2，即0<A<π2-B，由诱导公式和正弦函数的单调性可知，sinA<sinπ2-B=cosB，同理sin又sinA>0，sinB>0，于是sinA(sinA-cosB)+sinB(sinB-cosA)<0，与条件不符，故A+B<π2若A+B>π2，同理可得sinA(sinA-cosB)+sinB(sinB-cosA)>0，与条件不符，故A+B>π2综上可知，A+B=π2，即C=π则cosAcosBsinC=14=cosAcosB，由A+B=π2，得cosB=sinA，即sinAcosA=则sin2A=12，同理sin2B=12，因为A，B∈0，π2，则2A，2B∈(不妨设A<B，则2A=π6，2B=5π即A=π12，B=5π由两角和与差的正弦公式可知sinA+sinB=sinπ12+sin5π12=6-24+6由两角和的正切公式可得，tan5π12=2+3设BC=t(t>0)，AC=(2+3)t，则AB=(2+6)t，由S△ABC=12(2+3)t2=14，则t2=4-234=3-1于是AB=(2+6)t=2，B选项正确；由勾股定理可知，AC2+BC2=AB2=2，D选项错误.方法二sinC=sin2A+sin2B，由C∈(0，π)，则sinC∈(0，1]，于是1×sinC=sin2A+sin2B≥sin2C，设在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，由正弦定理得a2+b2≥c2，由余弦定理可知cosC≥0，则C∈0，若C∈0，π2，则A+B>π2，注意到cosAcosBsinC=14，则cosA于是cosA>0，cosB>0(两者同负会有两个钝角，不成立)，于是A，B∈0，结合A+B>π2⇔A>π2-B，而A，π2-B都是锐角，则sinA>sinπ2-于是sinC=sin2A+sin2B>cos2B+sin2B=1，这和0<sinC≤1矛盾，故C∈0，π2不成立，则C=π方法三cos2A+cos2B+2sinC=2⇒2sinC=1-cos2A+1-cos2B⇒2sinC=2sin2A+2sin2B，所以sinC=sin2A+sin2B，故A正确；设在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，由正弦定理asinA=bsinB=可得a2+b2=c·2R≥c2，若a2+b2>c2，则cosC>0，0<C<π2则A+B>π2⇒A>π2-B，则sinA>sinπ2-B，即sinA>cosB，代入sinC=sin2有sinC=sin2A+sin2B>cos2B+sin2B=1，与C∈0，π2矛盾，故a2+b2=c2，则C即cosC=cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB=0⇒cosAcosB=sinAsinB，又cosAcosBsinC=14，则sinAsinB=1因为S△ABC=12absinC=14⇒ab=所以absinAsinB=(2R)2=2⇒2R=2，所以csinC=2R=2⇒(sinA+sinB)2=sin2A+sin2B+2sinAsinB=sinC+12=32⇒sinA+sinB=62因为C=π2，则AC2+BC2=AB2=c2=2，故D错误6.答案-2解析方法一由题意得tan(α+β)=tanα+tanβ1-tanα因为α∈2kβ∈2mπ+π，2mπ+3π则α+β∈((2m+2k)π+π，(2m+2k)π+2π)，k，m∈Z，又因为tan(α+β)=-22<0，则α+β∈(2m+2k)π+3π2，则sin(α+β)<0，则sin(α+β联立sin2(α+β)+cos2(α+β)=1，解得sin(α+β)=-22方法二因为α为第一象限角，β为第三象限角，则cosα>0，cosβ<0，cosα=cosαsincosβ=cosβsin则sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=cosαcosβ(tanα+tanβ)=4cosαcosβ=-4=-4=-442+2考点一同角三角函数基本关系与诱导公式例1(1)(2025·石家庄模拟)已知x∈0，π4，cosx-π2-cos(3π+x)=35A.1 B.2 C.5 D.3答案D解析因为cosx-π2-cos3π+所以sinx+cosx=35方法一所以2sinx+π4所以sinx+π4因为x∈0，则x+π4∈π所以cosx+π4=1-si所以tanx+π所以tanx+5π4=tanπ+x方法二与sin2x+cos2x=1联立得sinx=55，cos所以tanx=12所以tanx+5π4=tanx+(2)(2025·东北三省部分高中联合调研)已知tan2βsin2β=3，则tan2β-2sin2β-sin2βtaA.1 B.2 C.3 D.4答案B解析因为tan2βsin2β=3，所以(sin2β)2=3(1-sin2β)，所以sin4β+3sin2β=3，则tan2β-2sin2β-sin2βtan2β=3sin2β-2sin2β-=3sin=-3si=-3sin=2sin4β+6si[规律方法]应用同角三角函数的基本关系式、诱导公式的注意事项：(1)同角并不拘泥于角的形式，只要角“同”就可以.(2)含有sinα，cosα的齐次式，可用同角的商数关系进行转化，即化弦为切，整体代入.(3)涉及诱导公式时，要注意角所在的象限.跟踪演练1(1)(多选)已知sinα=45，α∈π2，πA.sin(π-α)=45 B.tan(π+α)=-C.sinπ2-α=-35答案AC解析因为sinα=45，α∈π所以cosα=-35则tanα=sinαcosα则sin(π-α)=sinα=45tan(π+α)=tanα=-43sinπ2-α=cosαcos3π2-α=-sinα(2)(2025·安庆模拟)已知tanθtan2θtanθ-tan2θ=45，则sin4A.925 B.35 C.17答案C解析因为tanθtan2θ所以sinθcosθ所以sinθsin2θ所以sinθsin2θ所以sin2θ=-45所以2sinθcosθ=-45所以sinθcosθ=-25所以sin4θ+cos4θ=(sin2θ+cos2θ)2-2sin2θcos2θ=1-2×425=17考点二三角恒等变换考向1公式的直接应用例2(1)(2025·郴州模拟)已知cosα+sinα-π6=34，则cos2A.338 B.58 C.-答案B解析由cosα+sinα-π6得cosα+32sinα-12cosα=32sinα+12cosα=sin所以cos2α+π3=1-2sin2α+π(2)(2025·昆明质检)若cos2α1+sin2α=sin2βA.tan(α-β)=1 B.tan(α+β)=1C.tan(α-β)=-1 D.tan(α+β)=-1答案B解析因为cos2α1+sin2α则cos2α则cosα-sinαcosα+sinα=所以1-tanα=tanβ+tanαtanβ，即得1-tanαtanβ=tanβ+tanα，所以tan(α+β)=tanα+tan考向2角的配凑例3(1)(2025·许平汝名校模拟)已知α，β∈(0，π)，且cosα=55，sin(α+β)=210，则cosβ等于(A.1010 B.-1010 C.9答案B解析由α∈(0，π)，0<cosα=55<2可得α∈π4则sinα=1-cos2α=1-因为β∈(0，π)，所以α+β∈π4又因为0<sin(α+β)=210<2所以3π4<α+β<π，cos(α+β)=-7cosβ=cos(α+β-α)=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=-7210×55+210×(2)(2025·济南模拟)若sin2α=55，sin(β-α)=1010，且α∈π4，π2，β∈π，3πA.4π3 B.5π3 C.7π答案C解析因为α∈π4，π2，所以2α∈π2，π，则由sin得cos2α=-1-sin22α=-1-552因为sin(β-α)=1010>0，β∈π，3π2，α∈π4，πcos(β-α)=-1-sin2(β-所以cos(α+β)=cos[(β-α)+2α]=cos(β-α)cos2α-sin(β-α)sin2α=-31010×-255-因为α∈π4，π2，β∈π，3π2故α+β=7π4考向3积化和差与和差化积例4(1)(2025·南昌模拟)已知函数f(x)=sin(x+2θ)+cos(x+4θ)，θ∈0，π4是偶函数，则g(x)=sinxsin(x+4θ)的最大值为A.-14 B.34 C.1答案B解析由f(x)是偶函数，得sin(x+2θ)+cos(x+4θ)=sin(-x+2θ)+cos(-x+4θ)，展开并整理得cos2θ=sin4θ，根据二倍角公式得cos2θ=2sin2θcos2θ，又θ∈0，π4，则2θ所以cos2θ≠0，则sin2θ=12，θ=π则g(x)=sinxsinx+利用积化和差公式得sinxsinx=12化简得g(x)=14-12cos当cos2x+π3=-1时，g(x(2)(2025·南昌模拟)已知α，β终边不重合，sinα-3cosβ=sinβ-3cosα，则tan(α+β)等于()A.32 B.23 C.4答案D解析因为sinα-3cosβ=sinβ-3cosα，所以sinα-sinβ=3(cosβ-cosα)，又sinα-sinβ=2cosα+β2cosβ-cosα=2sinα+β2所以2cosα+β2sinα-β因为α，β的终边不重合，则α-β≠2kπ(k∈Z)，则α-β2≠kπ(k∈所以sinα-β2≠0，则3sinα+β2=cosα因此tan(α+β)=2tanα+β21-ta[规律方法]三角恒等变换“四大策略”(1)常值代换：常用到“1”的代换，即1=sin2θ+cos2θ=tan45°.(2)项的拆分与角的配凑：如sin2α+2cos2α=(sin2α+cos2α)+cos2α，α=(α-β)+β，α=α+β2+α-β2，2α=(α+β)+(α-β)，2β=(α+β)-((3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次.(4)化一法：通过二倍角、降幂公式、两角和与差公式化简为辅助角形式，再利用辅助角化为正弦、余弦单一函数形式，最后借助函数性质求解计算.跟踪演练2(1)(2025·亳州模拟)已知sinα=35，α∈π2，π，若sin(α+β)cosβ=4，则A.-167 B.-78 C.16答案C解析因为sinα=35，α∈π所以cosα=-1-sin2αtanα=sinαcosα因为sin(α+=sinα+cosαtanβ=35-45tanβ所以tanβ=-174所以tan(α+β)=tan=-34-(2)(2025·长春模拟)已知cosα+π3=45，cosβ-π3=513，α，β∈-π3，A.1665 B.3365 C.56答案C解析∵α，β∈-π∴α+π3∈0，2π3，β-又∵cosα+π3=45>0，cosβ∴α+π3∈0，π2，β-∴sinα+π3>0，sin∴sinα+π3=1-cosinβ-π3=-1-co则cos(α+β)=cosα=cosα+π3cosβ-π3-sinα+π3sinβ-π(3)(2025·新余模拟)已知α，β∈0，π2，cos2α-cos2β=15，cos(α+β)=223，则A.-13 B.13答案A解析因为cos2α-cos2β=12(cos2α-cos2β=-sin(α+β)sin(α-β)=15又因为cos(α+β)=223，且α，β∈0，π2，α+β∈(所以sin(α+β)=13，故sin(α-β)=-3又由于α，β∈0，α-β∈-π所以cos(α-β)=45tanα-β2=sin(专题强化练[分值：84分]一、单项选择题(每小题5分，共40分)1.已知cos9π2-α=78，则sin(3π+α)A.-78 B.78 C.-15答案A解析由cos9π2-α=cos2π×2+π2-得sin(3π+α)=-sinα=-782.已知cosα+3sinα=85，则sinα+π6A.35 B.45 C.-3答案B解析因为cosα+3sinα=212cosα+3所以sinα+π63.(2025·惠州模拟)若tanα=cosα3-sinα，则sin2αA.23 B.13 C.8答案D解析tanα=sinαcosα=cosα3-sinα，化简得3sinα-sin所以3sinα=sin2α+cos2α=1，即sinα=13所以sin2α+π2=cos2α=1-2sin24.(2025·济宁模拟)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，点A(m，3m)(m≠0)是角α终边上一点，则cos2α-π4A.-210 B.-110 C.1答案A解析由题意可得，tanα=3mm=3，所以sin2α=2tanα1+tancos2α=1-tan2α1+tancos2α-π4=22(cos2α+sin2α)=25.(2025·张家口模拟)已知sinα+π6=-112，则sin2A.1213 B.-1213 C.71答案D解析方法一(整体代换法)因为sinα+π6则sin2α-π6=-sinπ6-2=-1-2sin2α+π6方法二(换元法)令t=α+π6，则α=t-π6，sint=-所以sin2α-=sin2t-π2=-cos2t=2×-11226.(2025·南昌模拟)已知α，β都是锐角，sin(α+β)=31010，tanα=2tanβ，则cos(α-β)等于(A.63 B.255 C.答案D解析由tanα=2tanβ，得sinαcosβ=2cosαsinβ，由sin(α+β)=310得sinαcosβ+cosαsinβ=310则sinαcosβ=105，cosαsinβ=10sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ=105-1010=由α，β都是锐角，得-π2<α-β<π所以cos(α-β)=1-sin2(7.(2025·安徽皖北协作区模拟)如图，这是一朵美丽的几何花，且这八片花瓣的顶端A，B，C，D，E，F，G，H恰好是一个正八边形的八个顶点，设∠ACG=α，∠EBH=β，则tan(α+β)等于()A.-3 B.-22 C.-22+1 D.-2-1答案D解析如图，连接AE，BF，CG，DH，AC，BE，BH，设线段AE与CG的交点为O，线段BH与线段AE的交点为M，因为∠COB=∠AOB=π4所以∠AOC=π2，又OC=OA所以∠ACG=π4设OA=a，则OB=OE=a，所以OM=BM=22a所以tan∠EBH=EMBM=OE+OMBM=a+2所以tanα=1，tanβ=2+1，所以tan(α+β)=tanα+tanβ1-tanαtan8.(2025·南通模拟)已知x，y∈0，π2，cos(x+y)=-513，sin2x-sin2y=-613，则tan2A.6316 B.3316 C.-33答案C解析由和差化积公式得sin2x-sin2y=2sin(x-y)cos(x+y)，由题意可知sin2x-sin2y=-613，cos(x+y)=-513，所以sin(x-y)=因为x，y∈0，π2，sin(x-y)>0，cos(x+y所以x-y∈0，π2，x+y所以cos(x-y)=1-sin2(x-y)=45，sin(x因为sin2x=sin[(x+y)+(x-y)]=sin(x+y)cos(x-y)+cos(x+y)sin(x-y)=1213×45+-513×cos2x=cos[(x+y)+(x-y)]=cos(x+y)cos(x-y)-sin(x+y)sin(x-y)=-513×45-1213×所以tan2x=sin2xcos2x二、多项选择题(每小题6分，共18分)9.(2025·佛山模拟)已知角α的终边经过点A(-3，4)，则下列结论正确的是()A.sin(α-π)=45 B.sinα+C.sin2α=-2425 D.cos2α=答案BC解析由角α的终边经过点A(-3，4)，可得sinα=45，cosα=-3对于A，sin(α-π)=-sinα=-45≠45，故对于B，sinα+π2=cosα=-3对于C，sin2α=2sinαcosα=2×45×-35=-24对于D，cos2α=2cos2α-1=2×-352-1=-725≠710.下列说法正确的有()A.tan200°+tan40°+3tan(-160°)tan40°=-3B.已知cosπ6+α=25，则C.sin50°(1+3tan10°)=1D.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若tanAtanB>1，则tanAtanBtanC>2答案BCD解析对于A，由诱导公式可知tan200°=tan(-160°)=tan20°，又tan60°=tan(20°+40°)=tan20°+tan40°=3，即tan20°+tan40°=3-3tan20°tan40°，所以tan200°+tan40°+3tan(-160°)tan40°=tan20°+tan40°+3tan20°tan40°=3，A选项错误；对于B，由cosπ6+α则sin5π6+2α=sin2π6+α+π2=cos对于C，sin50°(1+3tan10°)=sin50°·3sin10°+cos10°cos10°=sin50°·2sin40°cos10°=2sin50°cos50°cos10°=sin100°cos10°=对于D，在△ABC中，tanC=tan[π-(A+B)]=-tan(A+B)=-tanA设tanAtanB=k>1，则在△ABC中，tanA>0，tanB>0，所以tanA+tanB≥2tanAtanB=2tanAtanBtanC=tanAtanB·tanA+tanBtanAtanB-1>k11.(2025·哈尔滨模拟)已知锐角α，β满足1-cos2α2sinα-sin2α=sin2β1+cos2β，1tanA.α+2β=π B.tan(α+β)=-2C.sinα=35 D.tanα∶tanβ=2∶答案ABD解析对于A，由1-cos2α2sinα得2sin2α即sinα1-cosα所以sinαcosβ=sinβ-cosαsinβ，所以sinβ=sinαcosβ+cosαsinβ=sin(α+β)，又α，β∈0，π2，所以α+β∈(0，所以β+α+β=α+2β=π或β=α+β(舍去)，故A正确；对于B，由1tanα+1tanβ得tanα+tanβtan即tanα+tanβ=-2(1-tanαtanβ)，所以tan(α+β)=tanα+tanβ1-tan对于C，由A项分析得tanβ=tan[π-(α+β)]=-tan(α+β)=2，所以tanα=tan[(α+β)-β]=tan(α+β)-tanβ即sinαcosα=43，又sin2α+cos所以sinα=45sinα对于D，由C项分析知，tanα∶tanβ=43∶2=2∶3，故D正确三、填空题(每小题5分，共15分)12.若cosα+π4cosα-3π4=-13答案1解析因为cosα+π=1=12cos2α-π2+cosπ=12(sin2α-1)=-13.(2025·浙江Z20名校联盟联考)已知α，β∈0，π2，且满足sinαtanβ=1-cosα，sin(α-β)=13，则cosα答案7解析方法一由sinαtanβ=1-cosα，则sinαsinβ=cosβ-cosαcosβ，因此cosαcosβ+sinαsinβ=cos(α-β)=cosβ，又因为α，β∈0，π2，则α-β所以α-β=β，所以α=2β，则sin(α-β)=sinβ=13，cosα=cos2β=1-2sin2β=7方法二由sinαtanβ=1-cosα，则tanβ=1-cosαsinα结合β∈0，π2，α2∈0，π4，则α则sin(α-β)=sinβ=13，cosα=cos2β=1-2sin2β=714.(2025·昆明模拟)已知α，β∈0，π2，sin(2α+β)=3sinβ，则tanβ的最大值为答案2解析因为sin(2α+β)=3sinβ，所以sin[(α+β)+α]=3sin[(α+β)-α]，即sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα=3[sin(α+β)cosα-cos(α