2026步步高高考大二轮复习数学-专题突破　专题五　第3讲　圆锥曲线中的二级结论

第3讲圆锥曲线中的二级结论1.(2023·全国甲卷，文T7)设F1，F2为椭圆C：x25+y2=1的两个焦点，点P在C上，若PF1·PF2=0，则|PF1|·|PFA.1 B.2 C.4 D.52.(多选)(2022·新高考全国Ⅱ卷，T10)已知O为坐标原点，过抛物线C：y2=2px(p>0)焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点M(p，0).若|AF|=|AM|，则()A.直线AB的斜率为26 B.|OB|=|OF|C.|AB|>4|OF| D.∠OAM+∠OBM<180°3.(多选)(2025·全国Ⅰ卷，T10)已知抛物线C：y2=6x的焦点为F，过F的一条直线交C于A，B两点，过A作直线l：x=-32的垂线，垂足为D，过F且与直线AB垂直的直线交l于点E，则(A.|AD|=|AF| B.|AE|=|AB|C.|AB|≥6 D.|AE|·|BE|≥184.(2022·新高考全国Ⅱ卷，T16)已知直线l与椭圆x26+y23=1在第一象限交于A，B两点，l与x轴、y轴分别交于M，N两点，且|MA|=|NB|，|MN|=23，则l命题热度：本讲是历年高考命题必考的内容，属于中高档题目，三种题型都有所考查，分值约为10~12分.考查方向：一是圆锥曲线的定义与标准方程，主要考查圆锥曲线标准方程的求解以及定义的灵活应用；二是圆锥曲线的几何性质，主要考查离心率、双曲线渐近线的求解；三是直线和圆锥曲线的位置关系，主要考查弦长与三角形面积的计算以及相关的判断与证明问题.1.答案B解析方法一因为PF1·P所以∠F1PF2=90°，从而S△F1PF2=b2tan45°=1=12|PF1所以|PF1|·|PF2|=2.方法二因为PF1·P所以∠F1PF2=90°，由椭圆方程可知，c2=5-1=4，解得c=2，所以PF1|2+PF2又|PF1|+|PF2|=2a=25，平方得|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|·|PF2|=16+2|PF1|·|PF2|=20，所以|PF1|·|PF2|=2.2.答案ACD解析对于A，由题意，得Fp2，0.因为|AF|=|AM|，且M(p，0)，所以xA=xF+xM2=34p，将其代入抛物线方程y2=2px，得yA=62p，所以A34p，62对于B，方法一1|AF|+1|BF|=134p+p2+1|BF|=2p，解得|BF|=56p，xB=p3，yB=-63p，所以|OB|2=方法二由选项A的分析，知直线AB的方程为y=26x-p2，代入y2=2px，得12x2-13px+3p2=0，解得x=34p或x=13p，所以xB=13p，所以yB=-63p，所以|OB|=xB2对于C，由抛物线的定义及选项A，B的分析，得|AB|=xA+xB+p=1312p+p=2512p>2p，即|AB|>4|OF|，故对于D，方法一易知|OA|=334p，|AM|=54p，|OB|=73p，|BM|=则cos∠OAM=|OA|2+|AM|2cos∠OBM=|OB|2+|BM|2所以∠OAM<90°，∠OBM<90°，所以∠OAM+∠OBM<180°，故D正确.方法二由选项A，B知A34Bp3，-63OB=p3，-63MB=-2所以OA·OB=-3p24<0，所以又MA·MB=-5p26<0，所以又∠AOB+∠AMB+∠OAM+∠OBM=360°，所以∠OAM+∠OBM<180°，故D正确.3.答案ACD解析方法一易知l为抛物线的准线，点A在抛物线C上，由抛物线的定义可知A选项正确；设∠AFx=θ，易证△ADE≌△AFE，则∠DAE=∠EAF=θ2因为|AF|=|AD|=|AF|·cosθ+p，所以|AF|=p1-cosθ，同理|BF|=所以|AE|=|AF|cosθ2则|AB|=|AF|+|BF|=p1-cosθ+p1+cosθ=2psin|AB|=2psin2θ≥2由∠DAE=∠EAF=θ2，则AE为抛物线C的切线，同理BE也为抛物线C由阿基米德三角形可知AE⊥BE，|AE||BE|=|AB|·|EF|=2psin2θ·psinθ=方法二对于A，抛物线C：y2=6x，则p=3，其准线为l：x=-32，焦点F3则|AD|为抛物线上的点A到准线的距离，|AF|为抛物线上的点A到焦点的距离，由抛物线的定义可知，|AD|=|AF|，故A正确；对于B，过点B作准线l的垂线，垂足为P，由题意可知AD⊥l，EF⊥AB，则∠ADE=∠AFE=90°，又|AD|=|AF|，|AE|=|AE|，所以△ADE≌△AFE，所以∠AED=∠AEF，同理∠BEP=∠BEF，又∠AED+∠AEF+∠BEP+∠BEF=180°，所以∠AEF+∠BEF=90°，即∠AEB=90°，显然AB为Rt△ABE的斜边，则|AE|<|AB|，故B错误；对于C，当直线AB的斜率不存在时，|AB|=2p=6；当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx-32(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y联立y=kx-32，y2=6x，消去y，得k2x2-(易知Δ>0，则x1+x2=3+6k2，x1x2=所以|AB|=1+k2|x1-x2|=1+=1+k2×3+6k综上，|AB|≥6，故C正确；对于D，在Rt△ABE与Rt△AEF中，∠BAE=∠EAF，所以Rt△ABE∽Rt△AEF，则|AE||AB|=|AF||AE|，即|AE|2=|AF|·|AB同理|BE|2=|BF|·|AB|，当直线AB的斜率不存在时，|AB|=6，|AF|=|BF|=12|AB|=3所以|AE|2·|BE|2=|AF|·|BF|·|AB|2=3×3×62，即|AE|·|BE|=18；当直线AB的斜率存在时，|AB|=61+1|AF|·|BF|=x1+32x2+32=x1x2+3=94+323+6k所以|AE|2·|BE|2=|AF|·|BF|·|AB|2=91+1k2×则|AE|·|BE|=31+1k212×6综上，|AE|·|BE|≥18，故D正确.方法三对于A，抛物线C：y2=6x，则p=3，其准线为l：x=-32，焦点F3因为点A在抛物线C上，由抛物线的定义可知，|AD|=|AF|，故A正确；对于B，过点B作准线l的垂线，垂足为P，如图，由题意可知AD⊥l，EF⊥AB，则∠ADE=∠AFE=90°，又|AD|=|AF|，|AE|=|AE|，所以△ADE≌△AFE，所以∠AED=∠AEF，同理∠BEP=∠BEF，又∠AED+∠AEF+∠BEP+∠BEF=180°，所以∠AEF+∠BEF=90°，即∠AEB=90°，显然AB为Rt△ABE的斜边，则|AE|<|AB|，故B错误；对于C，易知直线AB的斜率不为0，设直线AB的方程为x=my+32，A(x1，y1)，B(x2，y2)联立x=my+32，y2=6易知Δ>0，则y1+y2=6m，y1y2=-9，又x1=my1+32，x2=my2+3所以|AB|=x1+x2+p=m(y1+y2)+3+3=6m2+6≥6，当且仅当m=0时取等号，故C正确；对于D，在Rt△ABE与Rt△AEF中，∠BAE=∠EAF，所以Rt△ABE∽Rt△AEF，则|AE||AB|=|AF||AE|，即|AE|2=|AF|·|AB同理|BE|2=|BF|·|AB|，又|AF|·|BF|=x1+32x2+32==m2y1y2+3m(y1+y2)+9=-9m2+18m2+9=9(m2+1)，|AB|=6m2+6=6(m2+1)，所以|AE|2·|BE|2=|AF|·|BF|·|AB|2=9(m2+1)×36(m则|AE|·|BE|=3(m2+1)12×6(m2+1)=18(m2+14.答案x+2y-22=0解析方法一设直线l的方程为xm+yn=1(m>0，n>0)，C为AB的中点，则C也是MN的中点，分别令y=0，x=0，得点M(m，0)，N(0，n)，则C由垂径定理知，kAB·kOC=-b2a2又kAB=-nm，kOC=n2m所以kOC+kAB=0，所以kAB=-22所以nm=22，又|MN|=23，即m2+n2解得m=22，n=2，所以直线l即x+2y-22=0.方法二设直线l的方程为xm+yn=1(m>0，n>0)，分别令y=0，x=0，得点M(m，0)，N(0，n设A(x1，y1)，B(x2，y2).由题意知线段AB与线段MN有相同的中点，所以x1+因为kAB=kMN，所以y1-y2x将A(x1，y1)，B(x2，y2)代入椭圆方程，得x126+y1由题意知x1+x2≠0，x1≠x2，所以y1+y2x即nm·-nm整理得m2=2n2. ①又|MN|=23，所以由勾股定理，得m2+n2=12， ②由①②并结合m>0，n>0，得m所以直线l的方程为x22+y即x+2y-22=0.考点一焦半径与焦点弦例1(1)已知双曲线C：x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2作倾斜角为θ的直线l交双曲线C的右支于A，B两点，其中点A在第一象限，且cosθ=14.若|AB|=|AF1A.4 B.15 C.32答案D解析|AF2|=b2a-ccosθ，|AB|=|AF2|+|BF2|=|AF1|=2a+|AF2|⇒|BF2|=2a⇒b2a+14c=2a⇒2e2-e-6=(2e+3)(e-2)=0⇒(2)已知椭圆方程为x24+y2=1，AB为椭圆过右焦点F的弦，则|AF|+2|FB|的最小值为答案3+2解析由焦半径公式可得1|AF|+1|BF|∴|AF|+2|FB|=14(|AF|+2|FB|)=|AF|4|BF|+|BF|2|AF|+当且仅当|AF|4|BF|=又1|AF|+1|BF|得|AF|∴|AF|+2|FB|的最小值为3+22[规律方法](1)椭圆①通径：2b②椭圆上点到焦点的距离：[a-c，a+c].③焦半径：(ⅰ)坐标式：|PF1|=a+ex0，|PF2|=a-ex0；(ⅱ)角度式：长焦半径|AF1|=b2a-ccosα=ep1-ecosα，短焦半径|BF1|=b2④焦点弦弦长公式：|AB|=|AF1|+|BF1|=2ep(2)双曲线①通径：2b②双曲线上点到焦点的距离：[c-a，+∞).③焦半径：(ⅰ)坐标式：|PF1|=|a+ex0|，|PF2|=|a-ex0|；(ⅱ)角度式：若直线与双曲线交于一支(如图1)，则|AF1|=ep1+ecosα，|BF1|=ep1-ecos若直线与双曲线交于两支(如图2)，则|AF1|=epecosα+1，|BF1|=epe图1图2④焦点弦弦长公式：若直线与双曲线交于一支，则|AB|=|AF1|+|BF1|=2ep若直线与双曲线交于两支，则|AB|=||AF1|-|BF1||=2ep(3)抛物线①通径：2p.②焦半径：(ⅰ)坐标式：|AF|=x0+p2；(ⅱ)角度式：|AF|=ep1-ecosα=p1-cosα，|BF|=ep1+ecosα③抛物线焦点弦弦长公式：|AB|=|AF|+|BF|=2ep1-e(4)焦点弦定理已知焦点在x轴上的椭圆或双曲线或抛物线，经过其焦点F的直线交曲线于A，B两点，直线AB的倾斜角为α，AF=λFB，则曲线的离心率e满足等式|ecosα|=λ-1跟踪演练1已知椭圆C：x24+y22=1的左焦点为F，过F的直线l交椭圆C于A，B两点，若|AF|=3，则|AB答案18解析设|AF|>|BF|，∠AFO=α，则由焦半径公式，|AF|=b2a-c解得cosα=22由焦点弦公式|AB|=2ab2考点二焦点三角形例2(2023·全国甲卷)设O为坐标原点，F1，F2为椭圆C：x29+y26=1的两个焦点，点P在C上，cos∠F1PF2=35，则|OPA.135 B.302 C.14答案B解析方法一设∠F1PF2=2θ，0<θ<π2所以S△PF1F2=b2tan∠F由cos∠F1PF2=cos2θ=co=1-tan2θ解得tanθ=12(负值舍去)由椭圆方程可知，a2=9，b2=6，c2=a2-b2=3，所以S△PF1F2=12×|F1F=12×23×|yP|=6×1解得yP2代入椭圆方程得xP2=9×1-3因此|OP|=xP2+yP方法二因为|PF1|+|PF2|=2a=6， ①|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos∠F1PF2=|F1F2|2，即|PF1|2+|PF2|2-65|PF1||PF2|=12， 联立①②，解得|PF1||PF2|=152设P(x0，y0)，由焦半径公式得|PF1|=a+ex0，|PF2|=a-ex0，所以|PF1||PF2|=a2-(ex0)2，解得x02=92，则y02因此|OP|=x02+y0方法三因为|PF1|+|PF2|=2a=6， ①|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos∠F1PF2=|F1F2|2，即|PF1|2+|PF2|2-65|PF1||PF2|=12， 联立①②，解得|PF1||PF2|=152，|PF1|2+|PF2|2=21而PO=12(PF所以|OP|=|PO|=12|PF1=1=1221+2×方法四因为|PF1|+|PF2|=2a=6， ①|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos∠F1PF2=|F1F2|2，即|PF1|2+|PF2|2-65|PF1||PF2|=12， 联立①②，解得|PF1|2+|PF2|2=21，由中线定理可知，2|OP|2+12|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2解得|OP|=302[规律方法]焦点三角形的面积公式：P为椭圆(或双曲线)上异于长轴(或实轴)端点的任意一点，F1，F2为其焦点，记∠F1PF2=θ，则在椭圆中，S△PF1F2=b2tan跟踪演练2(2025·宁波模拟)已知双曲线C：x2-y2b2=1(b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点A在C上，且2|AF1|=|AF2|，△AF1F2的面积为23.若∠F1AF2为钝角，则C的焦距为A.7 B.27 C.7 D.14答案B解析根据双曲线的定义，a2=1，c2=a2+b2=1+b2，|F1F2|=2c，|AF2|-|AF1|=2a=2，又因为2|AF1|=|AF2|，可得|AF1|=2，|AF2|=4，因为△AF1F2的面积为23，所以12|AF1||AF2|sin∠F1AF2=23⇒12×2×4×sin∠F1AF2=23，解得sin∠F1AF2=因为∠F1AF2为钝角，所以∠F1AF2=2π3又S△AF1F所以b2=6，c2=a2+b2=7，因此双曲线的焦距为27.考点三垂径定理例3(多选)已知A，B是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上任意两点，且弦AB不平行于x轴和y轴，弦AB不过坐标原点O，M为线段AB的中点，则有kAB·A.b2a2 B.-b2a2 C.答案BD解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则Mx1kOM=y1+y2x1+x2，kAB=∵A，B在椭圆上，代入A，B坐标得x12a2+y12b两式相减得x12-x整理得y12-∴kAB·kOM=-b2a2=e[规律方法]双曲线中的垂径定理：已知A，B是双曲线x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)上任意两点，且弦AB不平行于x轴和y轴，弦AB不过坐标原点O，M为线段AB的中点，则有kAB·kOM=跟踪演练3(多选)(2025·泸州模拟)已知双曲线C：x2a2-y2b2=1a>0，b>0的左、右焦点分别是F1，F2，其中F1F2=2cA.弦AB的最小值为2B.若|AB|=m，则△F1AB的周长为2m+4aC.若AB的中点为M，且AB的斜率为k，则kOM·k=bD.若直线AB的斜率为3，则双曲线的离心率e∈[2，+∞)答案ABC解析对于A，弦AB的最小值为通径2b2a对于B，由双曲线的定义得AF1-AFBF1-BF所以AF1=AF2+2a，BFAF1+BF1=AF2+2a+BF则△F1AB的周长=AF1+BF1+|AB|=2|AB|+4a=2m+4对于C，根据双曲线中的垂径定理可得kAB·kOM=b2a2对于D，若直线AB的斜率为3，所以ba<3所以b2<3a2，所以c2<4a2，所以e=ca∈1，2，故专题强化练[分值：52分]一、单项选择题(每小题5分，共30分)1.设直线y=kx与双曲线C：x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)相交于A，B两点，P为C上不同于A，B的一点，直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，若C的离心率为2，则k1·A.3 B.1 C.2 D.3答案B解析由题意可知点A，B关于原点对称，根据双曲线的第三定义可知k1·k2=e2-1，又由e=2，则k1·k2=1.2.设O为坐标原点，F1，F2为椭圆C：x24+y23=1的两个焦点，点P在C上，cos∠F1PF2=35，则PFA.94 B.74 C.2答案A解析记∠F1PF2=θ，由焦点三角形公式变形得|PF1||PF2|=2b即|PF1||PF2|=154则PF1·PF2=|PF1||PF2|cos∠F1PF3.(2025·辽宁模拟)过椭圆C：x25+y24=1的左焦点F作倾斜角为45°的直线l与椭圆C交于A，B两点，则1|AF|+A.54 B.45 C.5答案C解析方法一由焦点弦的性质1|AF|+1|BF|=2ep方法二由x25+y得a2=5，b2=4，c2=a2-b2=1，左焦点为(-1，0).则过左焦点F，倾斜角为45°的直线l的方程为y=x+1.代入x25+y得9x2+10x-15=0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2=-53，x1+x2=-10又y1y2=(x1+1)·(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1=-169根据弦长公式得|AB|=1+1×-1092且|AF||BF|=(x1+1)2+y12·(x2+1所以1|AF|+1|BF|=|AB||AF||BF|4.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2作倾斜角为π6的直线与椭圆相交于A，B两点，若AF2=2A.239 B.13 C.答案A解析由题意得|AF2|=2|F2B|，则b2a1-ecosθ=2·b2a5.已知直线l经过抛物线y2=4x的焦点F，且与抛物线交于A，B两点(点A在第一象限)，若BA=4BF，则△AOB的面积为()A.833 B.433答案B解析设直线l的倾斜角为θ(0<θ<π)，由题意知|AF||BF|=3，|AF|=p|BF|=p1+cos∴1+cosθ1-cosθ=3，解得cosθ=12，则sin又抛物线焦点弦弦长|AB|=2p∴S=12|OF|·|AB|·sinθ=p22sinθ=6.已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则|AB|+|DE|的最小值为()A.16 B.14 C.12 D.10答案A解析设l1的倾斜角为θ，不妨设θ∈0，那么|AB|=2psin因为l1⊥l2，所以l2的倾斜角为θ+π2则|DE|=4sin2求|AB|+|DE|的最小值，即求41sin2令f(θ)=41sin2θ+1cos2当sin22θ=1，即θ=π4时，f(θ)取得最小值16，即|AB|+|DE|的最小值为16二、多项选择题(每小题6分，共12分)7.下列与双曲线有关的结论，正确的是()A.双曲线的焦点到渐近线的距离为常数bB.双曲线的顶点到渐近线的距离为常数abC.双曲线上任意一点P到两条渐近线的距离乘积为定值D.过双曲线x2-y2=2上任意一点P(m，n)分别作两条渐近线的垂线，垂足分别为A，B，则四边形OAPB的面积为2mn答案ABC解析对于A，B，由点到直线的距离公式知A，B正确；对于C，设双曲线方程为x2a2-y2b2=1(a过点P作两条渐近线的垂线，垂足分别为A，B，设P(x0，y0)，则|PA|=bx|PB|=bx|PA|·|PB|=bx0=b2又点P(x0，y0)在双曲线上，所以x02a2-y02b2=1，b2x02即|PA|·|PB|=a2b2对于D，双曲线x2-y2=2的渐近线方程为x+y=0和x-y=0，直线x+y=0与x-y=0相互垂直，又PA⊥OA，PB⊥OB，所以四边形OAPB为矩形，所以四边形OAPB的面积为|PA|·|PB|=a