九年级数学下册（浙教版）第四章《相似三角形》单元整体复习导学案

九年级数学下册（浙教版）第四章《相似三角形》单元整体复习导学案

一、课程背景与设计理念

本节课是浙教版数学九年级上册第四章《相似三角形》的单元复习课。基于单元整体教学视角，本设计摒弃传统复习课“知识点罗列+大量习题堆砌”的模式，转而采用“一线串珠，重构生长”的理念。以“一个基本图形”为源头，通过“变式”与“追问”，让学生亲身经历知识从“点”到“线”再到“网”的构建过程，体会知识间的内在逻辑联系。课程设计深度融合“教学评一致性”原则，旨在通过高阶思维活动，帮助学生完成对相似三角形知识的深度理解、方法的内化迁移以及核心素养的落地。

二、教学内容分析

本章是初中几何的核心章节，是在学习了全等三角形、平行四边形、比例线段等知识基础上的深化与延伸。复习课的核心任务是帮助学生建立结构化的知识体系，深刻理解相似是研究图形性质的重要工具，掌握将复杂图形分解为基本相似模型的方法。本节课内容聚焦于相似三角形的判定与性质的综合应用，特别是其在解决线段比例、图形面积以及动态几何问题中的工具性价值。

三、学情分析

【基础】九年级学生已具备一定的几何直观和逻辑推理能力，对相似三角形的定义、判定定理和性质有初步记忆。但多数学生存在“只见树木不见森林”的现象，知识碎片化，缺乏系统性；在面对复杂图形时，难以准确识别和分离出基本相似模型；对于“相似比—周长比—面积比”这一链条的转换不够灵活，特别是涉及对应高、中线、角平分线的性质迁移时，容易混淆。因此，复习课需着力打通知识关节，提升图形分析能力。

四、复习目标设定

1.【基础巩固】：通过构建思维导图，系统梳理相似三角形的定义、判定定理（预备定理、SSS、SAS、AA、HL）及性质（对应角、对应边、对应线段、周长、面积），明晰知识间的逻辑关联。

2.【能力提升】：能够从复杂的几何图形中分解出“A型”、“X型”、“母子型”、“一线三等角”等基本相似模型；熟练运用相似三角形的性质解决线段求值、比例证明、面积计算等问题。

3.【素养发展】：在“一图一课”的变式探究中，发展几何直观、逻辑推理和数学建模素养；体会类比、转化、数形结合及分类讨论的数学思想方法。

五、【重中之重】复习教学实施过程

（一）导图先行，重构知识网络

上课伊始，不直接出示知识点，而是向学生抛出一个开放性问题：“同学们，如果让你向一位初学者介绍‘相似三角形’这一章，你会从哪几个方面去讲？它们之间又有怎样的联系？”给学生3-5分钟时间，在纸上独立或同桌合作，尝试画出本章的知识结构草图。

随后，选取几份有代表性的学生作品，通过实物展台进行展示交流。教师在此基础上，引导学生共同提炼、完善，最终形成以“定义”为根基，以“判定”为枝干，以“性质”为果实，以“应用”为归宿的系统化板书结构。此环节旨在变被动接受为主动建构，【重要】强调知识不是孤立点的集合，而是具有生长逻辑的有机体。教师需特别点明“全等三角形是相似比为1的特殊相似”，强化知识间的纵向联系。

（二）源图切入，唤醒基本经验

【教学实施起点】教师在大屏幕上呈现一个最为简单的几何源图：

在△ABC中，点D、E分别是AB、AC边上的点，连接DE。

【核心问题链设计】

1.【基础设问】：请添加一个条件，使得△ADE与△ABC相似。你能想到几种方法？

学生活动：独立思考后回答。答案预设丰富，包括DE∥BC（直接得到A型相似）、∠ADE=∠B或∠AED=∠C（AA判定）、AD/AB=AE/AC（SAS判定，隐含∠A公共）、AD/AC=AE/AB（SAS判定，需注意夹角）、AD/AB=DE/BC（SSS判定，需对应边成比例）。

教师作用：将学生所有答案汇总，并顺势复习相似三角形的五种判定方法。同时，【高频考点】引导学生辨析“若AD/AB=AE/BC，能否判定相似？”，强调对应边成比例的“对应”二字，避免学生乱用条件。

2.【深度追问】：在你添加的条件中，如果选择DE∥BC，除了得到三角形相似，你还能得到哪些结论？

学生活动：回顾“预备定理”的结论，得出对应边成比例（AD/AB=AE/AC=DE/BC）以及对应角相等。

教师追问：若已知AD=2，BD=3，则△ADE与△ABC的相似比是多少？周长比是多少？面积比是多少？

学生计算后，【重要】系统梳理相似三角形的性质链条：相似比→对应线段（高、中线、角平分线）比=相似比→周长比=相似比→面积比=相似比的平方。通过具体数值，将抽象性质具象化，强化学生记忆与理解。

（三）图形生长，串联核心模型

在源图基础上，通过添加辅助线或运动变换，使图形逐步复杂化，引导学生识别并处理“图形中的图形”。

1.变式一：添加中线，引出“母子”

【图形演变】保持DE∥BC不变，连接CD和BE，设交点为点O。

【问题探究】

（1）图中有几对相似三角形？请一一列举出来。

学生小组合作寻找。预设答案：△ADE∽△ABC（A型），△DOE∽△COB（X型），△OBD∽△OCE（旋转型/蝶形，需条件支撑，此处可引发讨论）。

（2）【难点突破】若DE是△ABC的中位线，则图中相似三角形的相似比分别是多少？△ODE与△OCB的面积比是多少？

通过计算，让学生直观感受“A型”与“X型”往往相伴而生，且中位线将大三角形分成的小三角形与整体相似比为1:2，但内部交叉的“X型”相似比可能为1:2（对应边比例），面积比则为1:4。

2.变式二：垂直引出“双垂”，聚焦射影

【图形演变】将△ABC特殊化为直角三角形，∠ACB=90°，过点C作CD⊥AB于点D。

【问题探究】

（1）【热点模型】请观察图形，这个图形象什么？你能找到几对相似三角形？

学生脱口而出：“双垂直”或“射影定理”图。明确有三对相似三角形：△ACD∽△ABC；△CBD∽△ABC；△ACD∽△CBD。

（2）【性质深挖】由△ACD∽△ABC，你能得到哪个比例式？如何用等积式表示？同理，由△CBD∽△ABC呢？

引导学生推导出射影定理的核心结论：AC²=AD·AB；BC²=BD·AB；CD²=AD·DB。

（3）【高频考点】已知Rt△ABC中，AC=3，BC=4，求CD的长度。

学生通过等面积法或相似比例法均可求解。借此强调相似三角形是解决直角三角形中线段关系的重要利器，而射影定理则是“双垂直”模型下的高效结论。

（四）模型应用，解决复杂问题

将上述模型融入更为复杂的几何图形或实际问题中，检验学生“从复杂中分离模型”的能力。

1.【综合探究】矩形中的相似

呈现题目：在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E是BC边上的一个动点，连接AE，过点E作EF⊥AE，交CD于点F。

（1）求证：△ABE∽△ECF。

（2）设BE=x，CF=y，求y关于x的函数解析式。

（3）探究：当点E运动到何处时，△ABE与△ADF相似？

【实施策略】这是典型的“一线三等角”模型（此处为“一线三直角”）在矩形中的应用。学生独立审题后，小组内交流第一问的证明思路。教师巡视，重点关注学生是否能准确找到“同角的余角相等”这一关键突破口。

第一问解决后，第二问的函数关系式便水到渠成，利用相似比例即可得到。第三问是分类讨论思想的绝佳载体。【难点】引导学生思考：△ADF中的直角顶点是D，当△ABE与△ADF相似时，对应关系并不明确，需分情况讨论：①△ABE∽△ADF；②△ABE∽△FDA；③△ABE∽△AFD？结合图形特点，排除不合理情形，锻炼学生思维的严密性。

2.【实际应用】测量中的相似

呈现情境：为了测量学校旗杆的高度，小明同学在阳光下测得自己的影长为1.5m，同时测得旗杆的影长为9m。已知小明身高1.6m。

【问题】请你帮小明算出旗杆的高度。

学生口答，利用相似三角形的性质直接得出比例：身高/影长=旗杆高/旗杆影长。此题看似简单，但【重要】在于引导学生抽象出数学模型：两个直角三角形（人与光线，旗杆与光线）相似，体现了相似在解决实际测量问题中的工具性价值，渗透数学建模素养。

（五）变式拓学，挑战思维极限

在完成了上述探究后，为了满足不同层次学生的需求，设计一道具有挑战性的中考变式题，作为课堂的“压轴大戏”。

【题目呈现】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，动点P从点A出发，沿AC方向以每秒1个单位的速度向终点C运动，同时动点Q从点C出发，沿CB方向以每秒每秒1个单位的速度向终点B运动。过点P作PD∥BC，交AB于点D，连接DQ。设运动时间为t秒（0<t<6）。

（1）用含t的代数式表示线段PD的长。

（2）是否存在某一时刻t，使得△ADP与△QDB相似？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由。

【实施策略】

1.审题分析：引导学生将动态问题转化为静态图形，明确运动过程中哪些量在变，哪些量不变（如两动点速度相同）。

2.模型识别：由PD∥BC，学生应能识别出“A型”相似△ADP∽△ABC，从而用t表示出PD。

3.分类讨论：这是解题的关键和【难点】。△ADP与△QDB相似，由于未指明对应关系，需分两种情况讨论：

（1）当△ADP∽△QBD时，即∠ADP=∠QBD，此时DP与BQ是对应边，或AP与DQ是对应边。结合平行线性质，利用比例式列方程求解。

（2）当△ADP∽△DBQ时，即∠APD=∠DQB，再次利用角度关系（可能涉及垂直或特殊角）和边长比例列方程。

教师在此过程中，要引导学生紧扣“对应顶点写在对应位置上”这一原则，准确列出比例式，避免漏解。最后，检验求出的t值是否符合时间范围。此环节旨在让学生体验动态几何中分类讨论思想的重要性，提升解决综合问题的能力。

六、【教学重点、难点与高频考点标注】

1.【重中之重】：相似三角形的判定与性质的综合运用。这是解决一切相似问题的基石，无论是简单题还是压轴题，最终都要落脚到“判定靠角边，计算靠比例”这一核心。复习课中所有环节均需反复强化这一核心。

2.【高频考点】：

1.3.相似三角形的判定：特别是“两角分别相等”的判定（AA），因其条件最简单、最常用，是各类考试中的必考点。

2.4.相似三角形的性质：特别是面积比等于相似比的平方这一性质，常与函数、不等式结合，出现在填空选择压轴题或解答题中。

3.5.基本几何模型：“A字型”、“X字型”、“母子型”（射影定理）、“一线三等角”模型。这些模型是中考几何综合题的“基本构件”，识别模型的速度直接决定解题效率。

4.6.动态几何与分类讨论：在点的运动过程中探究相似的存在性问题，是各地区中考的【热点】和【难点】，着重考查学生的综合分析能力和思维的严密性。

7.【难点】：

1.8.对应关系的确定：在复杂的图形或动态问题中，准确找出两个相似三角形的对应顶点、对应边，是列出正确比例式的前提，也是学生最易出错的地方。

2.9.比例式的灵活转换与恒等变形：从一个比例式推导出另一个比例式，或将比例式与等积式互化，需要较强的代数运算能力和几何直观。

3.10.分类讨论思想的完整性与严谨性：在无图或图形不确定（如动点问题、对应关系不明确）的情况下，学生往往因考虑不周而漏解。

七、【基础夯实】课堂达标检测设计

为检验本课复习效果，设计以下分层检测题，限时10分钟。

1.【基础题】：如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=2，DB=3，则AE:AC=。若△ADE的周长为8，则△ABC的周长为。

2.【中档题】：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D。若AD=1，BD=4，则CD=，AC=。

3.【拓展题】：如图，在正方形ABCD中，E是边CD上一点，连接AE，过点B作BF⊥AE于点F，连接CF。求证：△ABF∽△BFC。

八、【跨学科视野】课堂小结与反思

引导学生从以下三个方面进行课堂小结：

1.知识层面：我们构建了怎样的知识网络？相似三角形的“判定”和“性质”是如何互为因果、相互转化的？

2.方法层面：本节课我们通过“一图一课”的方式，研究了哪些基本图形？在解决相似问题时，我们运用了哪些关键的数学思想？（转化思想：将复杂图形转化为基本模型；方程思想：通过比例式建立方程；分类讨论思想：解决不确定问题）

3.素养层面：