电路分析(第2版) 课件 第四章 相量法-正弦稳态分析

1第四章相量法

——正弦稳态分析4.1正弦信号及其表示方法正弦量的三要素相位差正弦量的有效值23一正弦量的三要素

tu(t)02

tTUm−Um−

正弦信号：随时间按正弦规律变化的信号（以cos函数表示）u(t)=Umcos(

t+

)瞬时值振幅|最大值初相位

|单位rad/度角频率

|单位rad/s4角频率

u(t)=Umcos(

t+

)2

=T=2

f

频率

与f的区别在于量纲和单位:

角频率

：

量纲是每秒弧度(rad/s)

频率f：量纲是赫兹(Hz,cycle/s)

tu(t)02

tTUm−Um−

5

t02

tTUm−Um−

初相位

u(t)=Umcos(

t+

)，

>0

>0：超前于

=0的正弦；

<0：滞后于

=0的正弦

tu(t)=Umcos(

t)02

tTUm−Um把sin变换为cos：Imsin(

t+

)=Imcos(

t+

−90)初相位：零时刻的正弦相位，决定了正弦波初始值大小

u(0)=Umcos

Umsin(

t)−Umsin(

t)−Imsin(

t+

)=Imcos(

t+

+90)6二、同频率正弦的相位差—初相位之差设u1=U1mcos(

t+

1)，u2=U2mcos(

t+

2)则u1与u2的相位差：

12

=

1−

2u1超前u2

的相位

12/

为u1超前u2

的时间3种特别的相位差同相:

=0

正交:

=±90

反相:

=±180

7同频率正弦的相位差规定相位差值

满足：|

|≤180

当|

|>180

时,令

=

±360

例：已知求i1与i2的相位差解:

i1滞后i28t(ms)051015202530100－100u(t)(V)(1)求T、f、

(2)求u(t)(3)以sin表示已知波形解：(1)T=20msf=1/T=50Hz

=2

f=100rad/s(2)设u(t)=100cos(100

t+

)∵u(2.5×10-3)=100=100cos(0.25

+

)∴

＝−0.25

或−45∴u(t)=100cos(100

t−

45)(3)u(t)=100sin(100

t−

45+90)=100sin(100

t

+45)9三、正弦量的有效值周期电流i

的有效值定义若周期电流i与直流电流I分别流过相同电阻R，在周期T内，两者做功相同，则I为i的有效值周期信号大小的表示？∵T内做功=

瞬时值：随时间变化，不方便平均值：正弦平均值为0，不恰当最大值：只表示某一瞬间的值，不全面

有效值：做功的平均效果，√同理，周期电压u的有效值∴周期电流i的有效值0TRi2(t)dt=RI2T01TTi2(t)dtI=01TTu2(t)dtU=10将i=Imcos(t+

i)代入，有常识：我们平时说的交流电压或电流都是有效值

220V表示日常生活用电的相电压，振幅为有效值380V的线电压，振幅为537V注意：电压表、电流表的读数是有效值正弦信号的有效值表示：i(t)=Imcos(t+

i)=2Icos(t+

i)u(t)=Umcos(t+

u)=2Ucos(t+

u)2T001TTImcos2(

t+

)dt=I=2Im2T[cos(2

t+2

)+1]dt同理220×2=311V01TTi2(t)dtI=4.2相量法的基本概念正弦量与相量正弦量的相量运算11CharlesProteusSteinmetz1865~1923German-bornAmericanelectricalengineer12ThomasAlvaEdison1847~1931NikolaTesla1856~1943WardenclyffeTower无线传输电能电能的交流传输、直流传输、无线传输科学是不断发展、不断革新的，科学技术本身没有对与错，只有优缺点13u(t)=Umcos(

t+

)三角函数表示法的缺点：运算不方便i1i2i3

i1=3cos(2t+10

)

i2=4cos(2t−20

)求i3。解：i3=i1+i2=3cos(2t+10

)+4cos(2t−20

)

＝Acos(2t+

)

A=……？？？…….(麻烦)

=……？？？…….(麻烦)

tu(t)02

tTUm-Um-

14=Re[Umej

ej

t]=Re[Umej

t]=Re[Um/

t]相量：表示正弦信号的模和初始相位的复数Um=Umej

=Um

/

•u(t)=Umcos(

t+

)=Re[Umej(

t+

)]为u(t)的相量根据欧拉公式：ej

=cos

+jsin

定义••

t=0+1+jUm•一、复数表示法——相量15Um=Umej

=Um

/

•为u(t)的相量定义:UmUm

0+1+j相量图:u(t)=Umcos(

t+

)=Re[Umej

t]•从cos到相量Um=Um/

•u(t)=Umcos(

t+

)从相量到cos说明：Ph[sin(

t+

)]=−j=/−90

/−90

Ph[Sin(

t)]=u(t)=Re[Umej

t]=Umcos(

t+

)•16O+1

+jUmUm•Umcos

jUmsin

Um=Umej

=Um

/

•Um=Umcos

+jUmsin

•例1：已知正弦电压的相量分别为Um1=253–j25V和•Um2=−50+j503V，设角频率为

，求u1(t)和u2(t)•Um1=253−j25=50−30°VUm2=−50+j503=100120°V••解：u1(t)=Um1cos(

t+

1)=50cos(

t−30º)Vu2(t)=Um2cos(

t+

2)=100cos(

t+120º)V有17例2已知i=10cos(2t+45o)A，求波形图、相量图和复数表示式解：(1)(3)i(t)=Re[10/45o

/2t

]

t0/410－10i/A-/43/47/4(2)Im=10/45oA·Im=10cos(45o)+j10sin(45o)=5√2(1+j)A·Im·45o10A+1+j05√25√218i2(t)=–10cos(314t−30

)=10cos(314t+150)u(t)的振幅相量u(t)的有效值相量例3

已知i1(t)=5cos(314t+60

)A，i2(t)=−10sin(314t+60

)A，i3(t)=–4cos(314t+60

)A。写出三个电流的相量，并作相量图。i3(t)=4cos(314t−120

)Au(t)=Umcos(t+

u)=2Ucos(t+

u)Um=Um

u

=U

u

=2U2如无特别说明，相量指有效值相量60

150

-120

xjyI3I1I2解19例4已知U1=50–30

V，U2=220150

V，f=50Hz。试写出它们所代表的正弦电压。

故u1(t)=502cos(100

t–30

)V

u2(t)=2202cos(100

t+150

)V解由给定的相量可知：

U1=50，U1m=502，

1=–30

U2=220，U2m=2202，

2=150

又

=2

f=100

20对于同频率的正弦：u1(t)+u2(t)u1(t)=u2(t)U1=U2

••••

U1+

U2ddtu(t)•j

U唯一性线性微分积分二、正弦量的相量运算21引理I唯一性引理两个同频正弦信号相等•Re[Aej

t]=Re[Bej

t]•A=B

••引理II线性引理各同频正弦信号线性组合的相量=各信号相量的线性组合U1m，••u1(t)u2(t)U2m若••u1(t)+u2(t)

U1m+

U2m则引理III微分引理。正弦导数的相量=原信号相量与j

的乘积则ddtx(t)•j

X两个信号的相量相等证证•u1(t)+u2(t)=

Re[U1mej

t]+

Re[U2mej

t]=Re[(

U1m+

U2m)

ej

t]••••x(t)X，若dtdtdxd=Re[Xej

t]=Re[Xej

t]=Re[j

Xej

t]...dtd22例：正弦激励RC一阶电路O

t

iiS(t)已知iS(t)=Ismcos(

t+

i

)，求uC(t)(t≥0)is(t)C+–uC(t)Rt=0解:齐次解:特解:设uCp=Ucmcos(

t+

u)CduCdt+uCR=Ismcos(

t+

i

)uC(0)=0uCh=Ke−t/RC23特解:代入方程:由：得：直接求解较麻烦CduCdt+uCR=Ismcos(

t+

i

)设uCp=Ucmcos(

t+

u)−ωCUCmsin(

t+

u)+UCmRcos(

t+

u)=Ismcos(

t+

i

)Acos

−Bsin=A2+B2cos(+arctg)

ABUCm

1+(

CR)2

cos(t+u+arctg

CR)

=RIsmcos(

t+

i

)

1+(

CR)2UCm=RIsm

u=i

−

arctg

CR故：24设uCp=Ucmcos(

t+

u)用相量法求微分方程特解特解:由唯一性：由线性：由微分：Ism=Ism/

i故：CduCdt+uCR=Ismcos(

t+

i

)Ucm=Ucm/

uPh[CduCdt+uCR]=IsmCPh[duCdt]+1Rph[uC]=IsmCj

UCm+1RUCm=IsmUCm=

i

−

arctg

CR1+j

CRRIsm=1+(

CR)2RIsm25∴K=−Ucmcos(

u)求K：uC(0)=uCh(0)+uCp(0)=K+Ucmcos(

u)=0完全解:CduCdt+uCR=Ismcos(

t+

i

)uC(0)=0齐次解:特解:设uCp=Ucmcos(

t+

u)uCh=Ke−t/RC1+(

CR)2UCm=RIsm

u=i

−

arctg

CRuC(t)=UCmcos(

t+

u)−UCmcos

ue−t/RC完全解26完全响应波形uCp

稳态响应tuCh

暂态响应tuC完全响应tuC(t)=UCmcos(

t+

u)−UCmcos

ue−t/RCUcmcos(

u)−UCmcos

u27用相量法求微分方程特解的条件当激励频率为

时，±j

不是方程的特征根即S1,2≠

±j

若S1,2=

±j

，则方程的特解为Xp=t(Acost+Bsint)

此时相量法不适用28正弦稳态响应1.激励u(t)=Umcos(t+

u

)2.j

不是电路的一个固有频率则响应固有响应强制响应3.若Re[Sk]<0，k=1,…,n电路渐近稳定t→∞正弦稳态响应x(t)=Xmcos(t+

x)(t→∞)x(t)=xp(t)+xh(t)=Xmcos(t+

x)+K1eSt+…+KneSt1n29附：复数相关知识Ox

jyaAa1a2A=a1+ja2=Re(A)+jIm(A)1.直角坐标表示法A=aej

=a/

2.极坐标表示法A=a1+ja2=

acos

+jasin

=a(cos

+jsin

)3.两种表示法的转换

a2A=a/

=

a12+a22arctg

a1−3+j4==5/180−51.3=5/128.7

a1>0a2>0a1>0a2<0a1<0a2<0a1<0a2>00

<<9090

<

<180−180

<

<−90−90

<<030（1）相等A=a1+ja2=aej

和B=b1+jb2=bej

相等，即A=B，则a1=b1，a2=b2，a=b，

=

（2）加减

A±B=(a1+ja2)±(b1+jb2)=(a1±b1)+j(a2±b2)4.四则运算31（3）乘法A×B=(a1+ja2)×(b1+jb2)=(a1b1–a2b2)+j(a2b1+a1b2)=aej

×bej

=abej(

+

)

=ab

+

复数代数形式的加减较简单复数极坐标形式的乘除简单=aej

÷bej

==abej(

–

)

–

abA÷B==(a1b1+a2b2)+j(a2b1–a1b2)b12+b22

a1+ja2b1+jb2

（4）除法4.2时域模型变换相量模型基尔霍夫定律的相量形式VCR的相量形式相量模型的建立32一、基尔霍夫定律的相量形式33结论：在正弦稳态电路中，基尔霍夫定律可用电流相量和电压相量直接写出前提条件：设线性非时变电路在单一频率

的正弦激励下进入稳态。则各处电流电压都是同频率的正弦波。根据相量运算的唯一性和线性引理，KCL的相量形式为在任何时刻任一节点KCL为在任何时刻任一回路KVL的相量形式为或或例134i1i2i3解i3(t)=6.22cos(

t+36.2

)A已知i1(t)=10√2cos(

t+60

)A，i2(t)=5√2sin

tA，求i3(t)及I3。I1=1060=5+j8.66I2=5-90=−j5I1+I2–I3=0I3=I1+I2=5+j8.66–j5=5+j3.66=6.236.2

因故二、VCR的相量形式35三种元件的伏安关系(设电压和电流为关联参考方向)：电阻：u=Ridudt电容：i=C正弦稳态下，各元件上的电压电流可表示为：由相量的三大引理，可得VCR的相量形式：uiuiui电感：u=LdidtI=I

iU=U

u电阻：U=RI电容：I=j

CU电感：U=j

LIi(t)=Imcos(t+

i)=Icos(t+

i)=Re(Iej

t)u(t)=Umcos(t+

u)=Ucos(t+

u)=Re(Uej

t)√2√2√2√236电阻元件：u=Ri·U·

Iui正弦稳态下，元件上的电压电流可表示为：i(t)=Imcos(t+

i)=Icos(t+

i)=Re(Iej

t)u(t)=Umcos(t+

u)=Ucos(t+

u)=Re(Uej

t)√2√2√2√2I=I

iU=U

u

i=Cdudt电容元件：·

u

i90

1jIU·uiu=Ldidt电感元件：ui·

i

u90

1jUI·电容：电压滞后电流90

电感：电压超前电流90

i+u−RLi+u−Ci+u−i=Cdudtu=Ldidtu=Ri小结RLC时域形式相量形式相量图·U·I·

i

uIU··

u

iIU·

i

uU=−jI1U=RIU=j

LII=j

CU········U=

LI

u=

i+90

U=I

u=

i−90

U=RI

u=

i

C

C三种元件的阻抗和导纳38在关联参考方向下，三种元件VCR的相量形式：••电感：U=j

LI••I=U••••电阻：U=RI

I=GU••Ij

C电容：

U=••Uj

LI=jC11U=ZI，Um=ZIm欧姆定律的相量形式••••I=YU，Im=YUm••••阻抗：元件在正弦稳态下电压相量与电流相量之比，用Z表示（单位：欧姆）导纳：阻抗的倒数。电流相量与电压相量之比，用Y表示（单位：西门子）U•Um••Im=Z•I=I•U1=Y=Z•三种元件的阻抗和导纳39

R、L、C的阻抗：ZL=j

LZR=RZC=j

C1=

C1−j

R、L、C的导纳：YC=j

C在关联参考方向下，三种元件VCR的相量形式：••电感：U=j

LI••I=U••••电阻：U=RI

I=GU••Ij

C电容：

U=••Uj

LI=jC11YR=1RYL=j

L1=

L1−j阻抗Z一般是复数40

阻抗

Z=

R+jX

阻抗的实部

R

=Re[Z]称为电阻

阻抗的虚部

X

=Im[Z]称为电抗

电感和电容的阻抗为纯虚数

电感的阻抗

ZL=j

L

电感的电抗

XL

=

L

称为感抗

电容的阻抗

ZC=−j/

C

电容的电抗

XC

=−1/

C

称为容抗感抗和容抗反映了电感和电容阻碍电流变化的能力导纳Y一般是复数41

导纳

Y=

G+jB

导纳的实部

G

=Re[Y]称为电导

导纳的虚部

B

=Im[Y]称为电纳

电感和电容的导纳为纯虚数

电感的导纳

YL=−j/

L

电感的电纳

BL=−1/

L

称为感纳

电容的导纳

YC=j

C

电容的电纳

BC

=

C

称为容纳三、相量模型的建立42R、L、C元件→阻抗或导纳;电流、电压→电流相量、电压相量未知量相量未知量电流相量、电压相量→电流、电压运用相量形式KCLKVL求解时域模型N相量模型N

43例2

图示电路，已知u(t)=1202cos(1000t+90

)V，R=15

，L=30mH，C=83.3F，求各支路电流。电阻：ZR=15

电容：ZC=−j(1/C)=–j12电感：ZL=jL=j30

解：用相量模型求解。（a）U=12090

=j120V·u(t)LCiR(t)iL(t)iC(t)+–Ri

(t)（b）对于各元件：+–15

Uj30

–j12j120VIIRILIC44iR(t)=82cos(1000t+90

)A•IC

=j120−j12=−10A•IL=j120j30=4A•IR=j12015=j8A因此I=IR+IC+IL

=j8–10+4=–6+j8=10127A••••iL(t)=42cos(1000t)AiC(t)=102cos(1000t+180

)Ai(t)=102cos(1000t+127

)Au(t)LCiR(t)iL(t)iC(t)+–Ri

(t)+–15

Uj30

–j12j120VIIRILIC45•IR•U•IL•IC•IC•IL+•II=10127A•u(t)LCiR(t)iL(t)iC(t)+–Ri

(t)+–15

Uj30

–j12j120VIIRILIC•IC

=j120−j12=−10A•IL=j120j30=4A•IR=j12015=j8A46例3

图示电路，求I、Uab、Ubc、Ucd•••10

1H5mF+uS–iabcd（2）求电流相量·10

+100

/0V–Iabcdj20

–j10

US·•us=1002cos20tV102•I=10+j20-j101000

10+j10=45

==−45A521000

1000

（1）画出相量模型47（3）求电压相量+1+jIUabUbcUcdUS·10

+100

/0V–Iabcdj20

–j10

US·（2）求电流相量•I=10+j20-j101000

=−45A52=−45V502Uab=10I••Ubc=j20I=••45V1002Ucd=−j10I=••−135V502运用相量法解题的前提1所有激励均为同频率的正弦2电路是线性非时变的、且渐近稳定的3仅求正弦稳态响应484.3阻抗与导纳阻抗与导纳正弦稳态电路计算相量图解题49一阻抗与导纳50I••U1=Y=Z阻抗：无源单口网络在正弦稳态下电压相量与电流相量之比称为该网络的阻抗，用Z表示（

）Um

••Im=ZU••I=导纳：阻抗的倒数。电流相量与电压相量之比，用Y表示（S）

R，L，C的阻抗和导纳I无源单口网络U+-ZL=j

LZR=RZC=j

C1=

C1−jYC=j

CYR=1RYL=j

L1=

L1−j无独立源单口网络的输入阻抗Z和输入导纳Y51元件的串联（宜用阻抗）：Z=Z1+Z2+…+Zn元件的并联（宜用导纳）：Y=Y1+Y2+…+YnU、I为端口电压、电流相量，设为关联参考方向U••IZ=I••U1Y=Z=例：单口网络u=1002cos(2t+10

)V，I=22cos(2t−70

)A,

u、i为关联参考方向，求单口网络的Z、Y解：Z=10010÷2−70

=5080=8.7+j49.2

Y=20−80mS=3.5–j19.7mS例1求两支路的阻抗Z1、Z2和并联后的总阻抗Z。52220.25F1HZ1Z2

=2rad/s解：2·0.25Z1

=2−j1=2−j2

Z2=2+j2·1=2+j2

(2−j2)(2+j2)Z1+

Z2Z=Z1Z2=2=4阻抗Z、导纳Y的模和相角53阻抗角

Z是u超前i的相位导纳角

Y是

i超前u的相位

Z

>0，X>0单口网络为电感性

Y

>0，B>0单口网络为电容性

Y

<0，B<0单口网络为电感性

Z<0，X<0单口网络为电容性Z=R+jX=|Z|

Z|Z|=UI

Z

=

u

−

iY=G+jB=|Y|

Y|Y|=IU

Y

=

i

−

uRe[Z]Im[Z]|Z|

ZRe[Y]Im[Y]|Y|

Y说明：54阻抗和导纳是复数，但不是相量。阻抗Z=R+jX和导纳Y=G+jB互为倒数：Y=1/Z

但一般：G≠1/R，B≠1/X对于无源网络R>0，必有：阻抗角|

|≤90o

若|

|>90o，则必有负电阻或受控源存在阻抗和导纳一般是频率的函数，电路的性质随频率而变

如：RLC串联电路的阻抗电阻性

电容性电感性二、正弦稳态电路计算55R、L、C元件→阻抗或导纳;电流、电压→电流相量、电压相量未知量相量未知量电流相量、电压相量→电流、电压运用相量形式KCLKVL求解时域模型N相量模型N

56例1求电容器电流2H1F1

2

i10costA√220sintV√22

−+j2

−j

1

2

10/0ºA20/−90ºV2

·

I−+·

I1·

I2·

I3解一：绘出电路相量模型，列网孔方程57解二：绘出电路相量模型，列节点方程·

I−j0.5Sj1S1S0.5S10/0ºA20/−90ºV0.5S−+·

UA·

UB注意：电感为虚元件58例2U2=?·RRCC2CR/2＋uS－＋u2－GGj

Cj

Cj2

C2G＋US－·＋U2－·U1·U3·解绘出电路相量模型，列节点方程当，输出电压为零。双T选频网络

无独立源的单口网络No

的等效59等效概念也可用于相量模型U=ZI••Y=Re[Y]+jIm[Y]=G+jBI=YU••Z=Re[Z]+jIm[Z]=R+jXNo

I••U+–I••U+–RjXI••U+–GjB无独立源的单口网络No

可有2种等效模型No

的2种等效模型601、串联模型：Z=R+jX

R：输入阻抗的电阻分量；X：输入阻抗的电抗分量RjXGjB2、并联模型：Y=G+jB

G：输入导纳的电导分量；B：输入导纳的电纳分量X=

L

C1−(X>0)(X<0)B=C

L1−(B>0)(B<0)No

的2种等效模型的互换61Z=1Y=G+jB1=G2+B2G–jB=R+jXR=G2+B2GX=G2+B2–B并联→串联：串联→并联：G=R2+X2R

B=R2+X2–X例3求

=4Rad/s时的2种等效相量模型。622HF1807

1

解：建相量模型，其中

=4rad/s

（1）串联模型：Z=R+jXj2

807

1

–jN0

14.04

j4.56

N0:14.04

1.14HZ(j4)

==14.04+j4.56

(7+j8)+(1−j20)(7+j8)(1−j20)L=4.56/4=1.14H例3求

=4Rad/s时的2种等效相量模型。63解：（1）串联模型：Z(j4)=14.04+j4.56

N0

N0（2）并联模型：N0

0.0644S-j0.0209SR=1/0.0644=15.53

−j/4L=−j0.0209

L=11.96H15.53

11.96Hj2

807

1

–j14.04

j4.56

14.04

1.14HY(j4)

===0.0644−j0.0209S

1Z(j4)14.04+j4.561N0含独立源的单口网络No

的等效64•Uoc=Us•ZCZC+ZR=100

–j50100–j50=4.47–63.43

V可对相量模型作戴维宁等效或诺顿等效电路例用戴维南定理求图所示相量模型中的电流I2。100

j200

+–100

V100

–j50

I2•解

求Uoc·+–4.47–63.4°V100

20+j160

I2•Zo=ZL+ZR//ZC

=j200+100–j50–j5000=j200+20–j40=20+j160=161.2582.87

求Zo65•I2=•Zo+ZRUoc=100+20+j1604.47–63.4

=4.47–63.43

20053.13

=0.02235–116.56

A=22.35–116.56

mA戴维南等效电路为由等效电路求I2·例4

用戴维南定理求图所示相量模型中的电流I2。100

j200

+–100

V100

–j50

I2•+–4.47–63.4°V100

20+j160

I2•66例5

求戴维南等效电路相量模型R1isC1C2gu1＋u1－abG1j

C1j

C2gU1·

IS＋U1－·.＋U2

－.解绘出电路相量模型，列节点方程67G1j

C1j

C2gU1·

IS＋U1－·.·

ISC短路电流为输出端短路后，电阻与电容元件并联，有·

UOC+−Zi68例6

利用戴维南定理求I2.+1/0ºV−j1

−j0.2

1

＋

I1

－.1/0ºA·

I1·

I2＋UOC－.解求开路电压j1

1

＋

I1

－.·

I1＋U－.·

I求等效电阻69·

UOC+−Zi·

I2−j0.2

70例7：正弦稳态电路中，电流表A1、A2的指示均为有效值，求电流表A的读数。A2A1ARC10A10AI2I1I+U−解：用相量关系求解。解法一计算法。对于正弦信号只有相量才能满足KCL和KVL，有效值并不满足KCL、KVL。即A的读数≠10+10••I2=j

CU=CU90=I290

=1090

=j10因此I=I1+I2=10+j10=10245

=14.1445

=I45

•••电流表A的读数为14.14A设U=U0

•U0

RR•，则I1=U==I10

=10

0

•三、相量图解题71解法二相量图解法。根据RC的电流电压的相量关系，作相量图，图中I1=I2=10A·U·I1·I2·I例7：正弦稳态电路中，电流表A1、A2的指示均为有效值，求电流表A的读数。A2A1ARC10A10AI2I1I+U−设U=U0

•∴I=I12

+I22

=200=14.14A电流表A的读数为14.14A72例8：图示电路，已知us(t)=2Uscos

tV，求uo(t)，求电压uo(t)和us(t)的相位关系。解法一已知量的相量为

Us=Us0

V作相量模型如右图所示。•–CR+–+us(t)uo(t)–RUs•+–Uo•+1j

C1

CUo=Us••RR–j=UsR

C–arctg1RC1+(

RC)2

o=arctg1RC

相位差

=

o–

s=>0，输出电压超前输入电压arctg1RC73解法二用相量图解。串联电路以电流为参考相位（0

）电阻电压与电流同相电容电压相位滞后于电流90

·

I·UO·UC·US

US=UO+UC

由相量图UO超前USRXC|Z|

若以US为参考相量UCUSUR例8：图示电路，已知us(t)=2Uscos

tV，求uo(t)，求电压uo(t)和us(t)的相位关系。–CR+–+us(t)uo(t)4.4耦合电感互感和耦合系数互感电压和同名端耦合电感伏安关系耦合电感的等效电路7475i

＋u－磁链

=N

=

f(i)=Li

~

i

关联参考方向；右手法则NL（u~

i

关联参考方向）一互感和耦合系数拇指四指对于变化的电流：单个线圈：耦合线圈中的互感76i1＋u1－L2(N2)L1(N1)＋u2－i2

1

2i1

11

21×N2

21=M21i1M12、M21为互感，单位:H（亨）可以证明：M12=

M21=Mi1变化u21互感电压i2

22

12×N1

12=M12i2i2变化u12

1=

11+

12

2=

22+

21

1=N1(

11+

12)=

11+

12=f1(i1,

i2)=L1i1+Mi2

2=N2(

21+

22)=

21+

22=f2(i1,

i2)=Mi1+L2i2互感磁链×N1

11=L1

i1自感磁链×

N2

22=L2i2自感磁链耦合系数k77定义0≤k≤1(反映耦合程度)i1＋u1−L2(N2)L1(N1)＋u2－i2

1

2i1

11

21×N2

21=M21i1i1变化u21互感电压i2

22

12×N1

12=M12i2i2变化u12

1=

11+

12

2=

22+

21互感磁链×N1

11=L1

i1自感磁链×

N2

22=L2i2自感磁链二互感电压和同名端互感电压的极性78右手法则(四指“i1”)i1

11L2(N2)L1(N1)＋u1－＋u2－i2=0

21设i2=0，i1≠0，研究u21、

u2i1

11

21×N2

21=Mi1i1变化

21变化u21u21的极性（当i1增长时的真实极性）：i1

21愣次定律Ⅱ附加

’与

21反方向|u2|

=|u21|=d

21dtdi1dt=M(i2=0)右手法则u21正极本例：u21上正下负，与u2一致∴

同名端：增长电流的流入端与互感电压的正极，互为同名端如右图

’di1dtu2

=M(i2=0)ML2L1根据绕向确定同名端方法1：79增长电流的流入端与互感电压的正极，互为同名端i1的流入端与u21的正端为同名端

方法2：

11i1设i1、i2流入右手法则

11、

22

11、

22同方向：i1、i2流入端为同名端

11、

22反方向：i1、i2流入端为异名端

22i2例ML2L1右手法则(四指“i1”)i1

21愣次定律Ⅱ附加

’与

21反方向右手法则u21正极由实验确定同名端80Vi1SS断开→闭合:电池“＋”极与感应电压“＋”极为•增长电流的流入端与互感电压的正极，互为同名端ML2L1三耦合电感的伏安关系

设u1~

i1、u2~

i2为关联参考方向

81自感项“±”：u1~

i1是否为关联方向u2~

i2是否为关联方向互感项“±”：对方电流流入端是否与本端电压“＋”极为同名端dtdiMdtdiLudtdiMdtdiLu12222111=-=-本例：ML2＋u2－＋u1－i1i2L182耦合电感VAR:自感项“±”：u1~

i1是否为关联方向u2~

i2是否为关联方向互感项“±”：对方电流流入端是否与本端电压“＋”极为同名端例：相量形式：ML2＋u2－＋u1－i1i2L1j

Mj

L1·

I1·

I2＋U2－·＋U1－·j

L283例1已知i1=3t，求i2解：例2确定开关打开瞬间，22’间电压的真实极性iSM＋uM－22’解：uM

＝Mdidt开关打开瞬间:<0didt因此：uM<0，2为低电位，2’为高电位ML2＋u2－＋u1－i1i2L184例3确定同名端，若端钮1流入电流I=10sintA，M=0.01H，求u341234解：设电流从1、3端流入(i1、i3)根据右手法则，i1产生的磁通向左，i3产生的磁通向右，1、3为异名端，1、4为同名端。i若设电流从1、4端流入(i1、i4)i1，i4产生的磁通向左，1、4为同名端。（结果相同）求u34:u34=−Mdidt=−0.01×10cost=−0.1costV耦合电感的储能85ML2＋u2－＋u1－i1i2L186

j

L1j

M·

I1·

I2

j

L2

R

＋IS－·＋U1－＋U2－··

87

j

L1j

M·

I1·

I2

j

L2

Z2

Z1＋U1－＋U2－··＋U－·

四耦合电感的等效电路1

耦合电感的等效电路——用受控源表示互感项88CCVS的极性，由对方电流方向和同名端决定j

Mj

L1·

I1·

I2＋U2－·＋U1－·j

L2j

L1·

I1·

I2＋U2－·＋U1－·j

L2＋j

MI2－·－j

MI1＋·89（1）同名端相接（反接）（2）异名端相接（顺接）2

耦合电感的等效电路——“三端”耦合电感去耦等效ML2L1L1L2ML1−ML2−MMML2L1L1L2ML1+ML2+M−M90左图VCR右图VCR令两个VAR相等：Lb=−M，La+Lb=L1

即La=L1+M

Lb+Lc=L2即Lc=L2+M2

耦合电感的等效电路——“三端”耦合电感去耦等效证明L1L2Mi1i2＋u1－＋u2－LaLci1i2Lb＋

u1－＋

u2－91例6求Zi解：去耦等效ML2L1R1R2L1−MML2−MR1R292例7求Lab解：去耦等效ML1L2abL2+ML1+M−Mab93例8求i1、i2

的方程解：去耦等效i1i2L1L2RS＋uS－RLRLi1RS＋uS－i2L1+ML2+M−M由网孔法3

串联耦合电感的等效电路94（1）反接（2）顺接ML1L2L2L1ML1+L2−2MML1L2L2L1ML1+L2+2M4并联耦合电感的等效电路95（1）反接（2）顺接ML1L2ML1L296例9求电流i和耦合系数k解：等效电感L=1+2−2×0.5=2HZi=2000+j200

×2=2362.02/32.14o

I=Us/Zi=42.34/－32.14omA·

·∴i=42.34cos(200

t–32.14)mA√2k=√1×20.5=0.352H1H0.5H＋uS－1K

1K

ius

=100cos200

tV√2例10电路如图，（1）标出同名端并作电路图；（2）开路电压uo97解：（1）求同名端设两电流从两端钮流入则磁通相抵，两端钮为异名端（2）去耦等效＋uS－＋uO－L1L2ML1+ML2+M−M＋uS－＋uO－i+uS–+uo–ML2L1附：相量模型中的耦合系数980≤k≤1(反映耦合程度)相量模型:例k=0.1L2L1kjX2jX1jX2jX1k=0.3j8j2j1.2j8j24.4全耦合电感和理想变压器

全耦合的耦合电感三个特点理想变压器符号与VCR含理想变压器电路计算理想变压器的阻抗变换作用99一全耦合的耦合电感1

全耦合的耦合电感的特点一100u1＝N1－d

dt＋u1－＋u2－i1i2全耦合（k=1）两线圈的总磁通相等，称为主磁通（或互磁通）

＝

11＋

12（

11、

12同方向）（i1、i2流入同名端）线圈1的磁链

1＝N1

电压线圈2的磁链

2＝N2

电压u2＝N2－d

dt∴－=－u1u2N1N2k=1L2＋u2－＋u1－i1L1i2=1

21=

11

12=

221

全耦合的耦合电感的特点一101=1

21=

11

12=

22

1=

11−

12=

11−

22线圈1:

1=N1

1线圈2:

2=N2

2=−N2

1

2=

22−

21=

22−

11=−

1

i2k=1L2＋u2－＋u1－i1L1i2＋u1－＋u2－i11

全耦合的耦合电感的特点一102线圈1:

1=N1

1线圈2:

2=

22+

21=

22+

11=

1

i2k=1L2＋u2－＋u1－i1L1

21=

11

12=

22

1=

11+

12=

11+

22

2=N2

2=N2

1

＋u1－＋u2－i1i21

全耦合的耦合电感的特点一103线圈1:线圈2:i2k=1L2＋u2－＋u1－i1L1

21=

11

12=

22

1=

11−

12=

11−

22

1=N1

1

2=

22−

21=

22−

11=−

1

2=N2

2=−N2

1

＋u1－＋u2－i1i21

全耦合的耦合电感的特点一104定义匝数比N1:N2=1:nk=1L2＋u2－＋u1－L1k=1L2＋u2－＋u1－L1定义匝数比N1:N2=1:n2

全耦合的耦合电感的特点二105由i1形成的自感磁链和互感磁链满足

11=L1i1=N1

11

21=Mi1=N2

21=N2

11

21=

11由i2形成的自感磁链和互感磁链满足

22=L2i2=N2

22

12=Mi2=N1

12=N1

22

12=

223

全耦合的耦合电感的特点三106初级等效n=N2:N1N1:N2=1:n证：∵k=1其中为励磁电流（两阻抗并联）k=1j

L1·

I1·

I2＋U2－·＋U1－·j

L2Z2·

−nI2j

L1Z2n2＋U1－··

I1·

I

4全耦合的耦合电感的特点总结107（1）全耦合的特点一（2）全耦合的特点二（3）全耦合的特点三当k

=1，L1→∞，耦合电感→理想变压器初级等效n=N2:N1N1:N2=1:nk=1j

L1·

I1·

I2＋U2－·＋U1－·j

L2Z2·

−nI2j

L1Z2n2＋U1－··

I1·

I

二理想变压器1081符号参数：匝比2VCRu2=nu1i2=−－i1n

1u1、u2正极互为同名端取‘＋’，否则取‘－’i1、i2流入同名端取‘－’，否则取‘＋’u2=nu1i2=－i1n1理想变压器是无记忆、不储能、不耗能的元件1:nN2N1i2＋u2－＋u1－i11:ni2＋u2－＋u1－i11:n3计算方法——列方程109（1）理想变压器的VCR：u1~i1、u2~i2（2）网孔/回路方程：把变压器的u1、u2作为电压源

节点方程：把变压器的i1、i2

作为电流源解：变压器VCR：回路方程：

例:

求I2，I3··1:n＋U1－·＋U2－··

I1·

I2·

I3＋US－·1

1

1

1

110有如果本题求U1、U2，则宜立节点方程··

例:

求I2，I3解：变压器VCR：回路方程：··1:n＋U1－·＋U2－··

I1·

I2·

I3＋US－·1

1

1

1

U3

·4理想变压器的阻抗变换作用111证：i2=0证：＋u2－＋u1－i11:nRLi2i＋u1－＋u2－i21:nRLi1i’1n2＋u1－i1RL1n2＋u1－＋u2－i21:nRi1＋u－＋u2－＋u1－i11:nn2Ri2u1=0＋u2－i2n2R＋uS－1:nRSn2RS＋nuS－112应用：用理想变压器实现最大功率匹配（模匹配）＋u1－i11:nZLi2＋u1－i1ZL1n2＋uS－1:nZSn2ZS＋nuS－初级等效次级等效11