《数学分析（一）》教学大纲

PAGEPAGE4《数学分析》（一）教学大纲一、课程名称《数学分析》（一）（MathematicsAnalysisNo.1）二、课程性质数学及应用数学专业、信息与计算科学专业必修的基础课与主干课三、教学目的1、使学生系统、完整、深刻地理解与掌握极限论、一元微分学和不定积分的理论与方法，培养他们的创新思维、抽象思维、逻辑推理与运算的能力，提高数学修养与素质。2、使学生认识到极限论与微分学在自然科学与社会科学中有着广泛的应用，提高他们将所学知识应用于实际问题并解决实际问题的能力。四、教学原则与教学方法以课堂讲授为主要形式，采用讨论式、研究式的教学方法，充分调动学生学习的主动性和积极性。教学内容重点突出基本知识与基本技能，既传授知识，又教书育人，注重培养学生的能力与素质。五、课程总学时119学时，习题课占1/5。（蒙语授课适当增加学时）六、教学内容要点课程教学内容要点及建议学时分配：第一章函数（12学时）第一节函数概念（8学时）1、变量与常量、区间与邻域、绝对值不等式。2、函数定义、函数的各种表示方法。3、几种特性函数（有界函数、单调函数、奇函数与偶函数、周期函数）。4、函数例子（整数部份与小数部份函数、符号函数、狄里赫勒函数）。第二节复合函数与反函数（2学时）1、复合函数。2、反函数（定义、存在的充要条件、图像）第三节初等函数（2学时）1、基本初等函数（幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数）。2、初等函数（定义、非初等函数举例）。第二章极限（30学时）第一节数列极限（12学时）1、数列极限的定义。2、数列极限的性质（唯一性、有界性、保序性、四则运算）。3、收敛数列判别法（迫敛性定理、单调有界数列极限存在定理）。4、无穷小量与无穷大量（定义、运算、关系）。第二节函数极限（18学时）1、函数极限的定义（函数在一点处的极限，函数在无穷处的极限、极限与两个单侧极限的关系）。2、函数极限的性质（唯一性、有界性、保序性、四则运算）。3、极限存在判别法（迫敛性定理、单调有界函数极限存在定理）。4、函数极限与数列极限的关系（海涅定理）。5、两个重要极限。6、无穷小量与无穷大量（比较、阶）。第三章连续函数（11学时）第一节连续概念（3学时）1、连续的定义（一点处的连续、单侧连续、区间上的连续）。2、间断点及其分类。第二节连续函数的运算（3学时）1、四则运算。2、复合函数与反函数的连续性。第三节初等函数的连续性（2学时）第四节闭区间上连续函数的性质（暂不证明，3学时）第四章导数与微分（19学时）第一节导数概念（6学时）1、导数定义（引入、定义、几何意义、可导与连续的关系）。2、简单函数的导数（常数、sinx、cosx、对数函数、幂函数）。第二节求导法则（4学时）1、四则运算。2、复合函数与反函数的导数。3、基本公式表。第三节微分及其运算（3学时）1、微分的定义。2、微分的运算法则。3、微分在近似计算中的应用。第四节隐函数及参数方程所表示的函数的求导法则（3学时）1、隐函数求导法。2、参数方程所表示的函数的求导法。第五节高阶导数与高阶微分（3学时）1、高阶导数（莱布尼兹公式）。2、高阶微分（一阶微分的形式不变性）。第五章微分学基本定理及其应用（36学时）第一节中值定理（8学时）费尔玛定理、罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理。第二节泰勒公式（2学时）第三节函数的单调性、极值与凸性（18学时）1、函数的单调性（函数单调的充要条件、证明不等式）。2、函数的极值（极值概念、极值判别法、最大值与最小值、应用问题）。3、函数的凸性（凸性概念、凸性的判别、拐点）。4、函数作图（渐近线、作图步骤）。第四节待定型（8学时）1、及待定型。2、其它待定型。第六章不定积分（11学时）第一节不定积分的概念及运算法则（2学时）不定积分的定义、基本积分公式、运算法则。第二节不定积分的计算（9学时）1、“凑”微分法。2、换元积分法。3、分部积分法。4、有理函数积分法。5、其它类型积分举例。七、实践教学环节要求每次课堂教学后留下足够份量的练习题、思考题，并严格要求学生认真完成；精心挑选一定数量的难度适中的思考题，在习题课上安排学生讲解；指导学生写出较好质量的学年论文。八、教材和主要教学参考资料教材：《数学分析》第三版，复旦大学数学系欧阳光中等编，高等教育出版社，2007年4月。蒙语授课班使用自编蒙文教材。参考书：《数学分析讲义》，刘玉琏、付沛仁编，高等教育出版社，1992年。《数学分析教程》，常庚哲、史济怀编，江苏教育出版社，1998年。《数学分析中的典型问题与方法》，裴礼文编，高等教育出版社，1993年。精品课程网页：九、考试与评估精心设计试题与试卷，使之真正