2025-2026学年广西柳州市鹿寨县九年级（上）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年广西柳州市鹿寨县九年级（上）期中数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下选项中，与图中所给图形相似的是(

)A.

B.

C.

D.2.将方程x2−2x=4化成一般形式后，常数项是(

)A.4 B.2 C.−4 D.−23.下列函数是二次函数的是(

)A.y=2x+1 B.y=3x2+7 C.y=4.若两个相似三角形周长的比为1：4，则这两个三角形对应边的比是(

)A.1：2 B.1：4 C.1：8 D.1：165.点(−3,−5)在反比例函数y=kx的图象上，则下列点一定在其图象上的是(

)A.(−3,5) B.(−5,3) C.(3,−5) D.(5,3)6.下列一元二次方程中，没有实数根的是(

)A.x2+2=0 B.x2+4x+2=0 C.7.将抛物线y=x2向左平移1个单位长度，得到抛物线的解析式是(

)A.y=(x+1)2 B.y=(x−1)2 C.8.如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上，若线段AB=6，则线段BC的长是(

)A.2

B.4

C.1

D.3

9.若x1、x2是一元二次方程x2+2x−3=0的两个根，则xA.3 B.2 C.−2. D.−3.10.函数y=2x与函数y=−1x在同一平面直角坐标系中的图象大致是(

)A. B.

C. D.11.古埃及《林德纸草书》中记载了大量关于比例和增长的计算.某古埃及部落第一年储存粮食100石，第三年储存粮食121石，若每年粮食储存量的增长率相同，设该增长率为x，则可列方程为(

)A.100(1+2x)=121 B.100(1+x)2=121

C.100[1+(1+x)+(1+x12.如图，已知开口向上的抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点(−1,0)，对称轴为直线x=1.下列结论：①abc>0；②2a+b=0；③若关于x的方程ax2+bx+c+1=0一定有两个不相等的实数根；④A.1个

B.2个

C.3个

D.4个二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。13.反比例函数y=4x的图象在第

象限.14.抛物线y=(x−2)2−1的对称轴为

15.请写出一个常数项为0，有一个根为x=3的一元二次方程：

.16.如图，菱形ABOC在平面直角坐标系中，边OB在x轴的负半轴上，点C在反比例函数y=kx(k≠0)的图象上，若AB=2，∠A=60∘，则k的值为

三、解答题：本题共7小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题8分)

(1)解方程：x2−2x=0.

(2)若m是一元二次方程x2−x=1的一个根，求m18.(本小题10分)

柳州窑埠古镇计划用长32米的木质栅栏，靠一面墙围一个矩形的螺蛳粉主题小吃摊位(墙的长度为18米)，要求围成的摊位面积为120平方米，求这个矩形摊位垂直于墙的边长为多少米？19.(本小题10分)

如图，根据小孔成像的科学原理，当像距(小孔到像的距离)和物高(蜡烛火焰高度)不变时，火焰的像高y(单位：cm)是物距(小孔到蜡烛的距离)x(单位：cm)的反比例函数，当x=8时，y=3.

(1)求y关于x的函数解析式；

(2)若火焰的像高为4cm，求小孔到蜡烛的距离.20.(本小题10分)

某直播间销售网红手工糕点，成本为5元/份，销售价格不高于20元/份，每销售1份需向平台支付2元服务费.每日销售量y(份)与销售价格x(元/份)的函数关系为y=−20x+400.解答：

(1)求日总利润W与销售价格x的函数关系式；

(2)当销售价格定为多少元时，日获利最大？最大利润为多少元？21.(本小题10分)

如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，AB=7，AC=6，E是AC的中点，ED⊥AB，垂足为D.

(1)求证：△AED∽△ABC；

(2)求AD的长22.(本小题12分)

综合与实践：某次课外实践活动中，数学兴趣小组的同学研究如图1所示的某种简约型装饰吊灯的灯罩，它的垂直截面图形状近似抛物线，灯罩的口径(底面直径)为12cm，高为16cm.

【数学视角】经查阅相关资料，兴趣小组的同学认为：若灯罩的口径是高的35倍，则口径与高的比更接近黄金分割数的近似值0.618，将会给人带来更美的视觉效果.

【方案设计】为了检验视觉效果的真实性，需设计一个新的灯罩模型：灯罩的抛物线形状不变，高度为hcm，它的口径等于高的35倍.

【问题解决】

(1)请用含有h的式子表示新灯罩的口径；

(2)把原灯罩的垂直截面图抽象为如图2所示的抛物线，并建立平面直角坐标系，抛物线顶点为原点，由题知AB=12cm，OC=16cm，请求出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；

(3)在(1)和(2)的条件下，求新灯罩的模型高度h的值23.(本小题12分)

问题情境：数学活动课上，李老师要求学生对四边形内两条相交的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，下面是他们的探究过程.

【问题发现】

(1)①如图①，若四边形ABCD是正方形，E，F分别是AB，AD边上的点，DE与CF交于点G.且DE⊥CF于G，则DECF=______；

②如图②，当四边形ABCD是矩形时，且DE⊥CF于G时，若AB=m，AD=n，则DECF=______；

【拓展研究】

(2)如图③，若四边形ABCD是平行四边形，且∠B+∠EGC=180∘时，求证答案和解析1.D

2.C

3.B

4.B

5.D

6.A

7.A

8.D

9.C

10.B

11.B

12.D

13.一、三

14.直线x=2

15.x2−3x=0(答案不唯一16.−17.(1)x1=0，x18.这个矩形摊位垂直于墙的边长为10米．

解：设矩形摊位垂直于墙的边长为x米，则平行于墙的边长为(32−2x)米，

根据题意列一元二次方程得，x(32−2x)=120，

整理得，x2−16x+60=0，

解得x1=6，x2=10.

当x=6时，平行于墙的边长为32−2×6=32−12=20米>18米(不符合实际，舍去)；

当x=10时，平行于墙的边长为32−2×10=32−20=12米<18米(符合实际).

答：这个矩形摊位垂直于墙的边长为10米．

19.(1)y=解：(1)设y=kx，

把x=8，y=3代入y=kx中得：3=k8，

解得：k=24，

∴y=24x；

(2)把y=4代入y=24x中得：4=24x，

解得：x=6，

∴小孔到蜡烛的距离为解：(1)成本为5元/份，销售价格不高于20元/份，每销售1份需向平台支付2元服务费．则：

∵W=(x−7)⋅y

=(x−7)(−20x+400)

=−20x2+400x+140x−2800

=−20x2+540x−2800

∴W与x的函数关系式；W=−20x2+540x−2800；

(2)由(1)得W=−20x2+540x−2800=−20(x−13.5)2+845

∵x≤20，

∴当x=13.5时，日获利最大，最大利润为845元，

答：当销售价格定为13.5元时，日获利最大，最大利润为845元．

21.(1)∵ED⊥AB，

∴∠EDA=90(1)证明：∵ED⊥AB，

∴∠EDA=90∘，

∵∠C=90∘，

∴∠C=∠EDA，

又∵∠A=∠A，

∴△ABC∽△AED.

(2)解：∵E是AC的中点，AB=7，AC=6，

∴AE=12AC=3，

∵△ABC∽△AED，

∴ABAE=ACAD，

即73=6AD，

解得AD=解：(1)灯罩垂直截面图形状近似抛物线，灯罩的口径(底面直径)为12cm，高为16cm.

根据题意可知，灯罩的口径为35hcm.

(2)设抛物线的解析式为y=ax2(a≠0).

∵AB=12cm，OC=16cm，

∴AC=6cm，

∴A(6,−16)，

代入得a⋅62=−16，

解得a=−49，

∴抛物线的解析式为y=−49x2.

(3)∵灯罩的抛物线形状不变，则y=−49x2.

由题意知OC=hcm，AB=35OC=3523.(1)解：①∵四边形ABCD是正方形，

∴AD=CD，∠BAD=∠ADC=90∘，

∵DE⊥CF，

∴∠DGF=90∘=∠ADC，

∴∠ADE+∠EDC=90∘=∠EDC+∠DCF，

∴∠ADE=∠DCF，

∴△ADE≌△DCF(ASA)，

∴DE=CF，

∴DECF=1，

故答案为：1；

②∵四边形ABCD是矩形，

∴∠A=∠FDC=90∘，AB=CD=m，

∵CF⊥D