“四大”函数性质综合应用重点考点 专题练 2026年高考数学一轮复习备考

“四大”函数性质综合应用重点考点专题练2026年高考数学一轮复习备考一、单选题1．已知是定义在上的奇函数，，且，则（）A．1 B．0 C．-2025 D．2．已知定义在上的函数满足为偶函数，，则下列说法错误的是（

）A．的图象关于中心对称B．的周期为8C．D．当时，，则的值为3．已知函数的定义域为R，其导数，且和都为奇函数．若，则（

）A．1 B．0 C． D．4．定义在上的函数为奇函数，其导数为，且当时，，则不等式的解集是（

）A． B． C． D．5．已知函数的定义域为为偶函数，为奇函数，则（

）A． B．C． D．6．已知函数是定义在上的可导函数，且满足，，当时，，则（

）A． B． C． D．7．设函数，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．8．已知对于，，，，且，则（

）A． B． C．1 D．09．已知定义域均为的函数，满足，，，若，则下列说法错误的是（

）A．的图象关于y轴对称 B．为的一个周期C． D．10．已知函数及其导函数的定义域都是，若函数是偶函数，也是偶函数，且，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．二、多选题11．已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（

）A． B．C． D．12．函数对于任意的，满足，且，则（

）A．为偶函数 B．是函数的一个周期C．点是图象的对称中心 D．13．对于函数，和，，下列结论正确的有（

）A．与在时有相同的函数值B．与最小值不同C．与的图象有相同的对称中心D．与在区间都为增函数14．（多选题）已知函数是定义在上的增函数，则函数的图象可能是（

）A． B．C． D．15．已知函数及其导函数的定义域均为，且，当时，，且，则下列说法正确的是（

）A．为奇函数 B．C．在上单调递减 D．16．由函数，相加后得到的函数，具有美丽 的图象和性质，称为“优生成函数”．已知，，其优生成函数记为，则（

）A．的图象关于直线对称B．在区间上先增后减C．的值域为D．在区间上有个零点三、填空题17．已知函数的图象关于中心对称，且在上单调递减，若，则实数a的取值范围为．18．已知函数是定义在R上的奇函数，若，且，都有成立，则不等式的解集为．19．已知函数，若存在，使得有解，则实数x的取值范围是.四、解答题20．已知为奇函数.(1)求a的值；(2)解不等式：；(3)证明：函数有3个零点.

参考答案题号12345678910答案DDCCBBBDCD题号111213141516答案BCDBCDABCBCABDAC1．D【分析】依据奇函数的概念和性质可得是周期为的函数，将化为即可求解.【详解】由于为奇函数，所以，又，所以，所以，即，所以是周期为的函数，故.故选：D2．D【分析】依据题意推理论证周期性、奇偶性、对称性逐一求解推断各项【详解】由于，所以的图象关于中心对称，故A正确；由于为偶函数，所以所以，又由于，所以，所以，所以，所以的一个周期为8，故B正确；，故C正确；由，得，又当时，，所以，即，故D错误.故选：D3．C【分析】利用函数的导数结合函数的奇偶性，对称性，周期性求解，结合函数奇偶性和对称性确定出的周期为4，即可求解．【详解】由于为奇函数、则，则，可知的图象关于点对称、可得，即，可知的图象关于对称，则，又由于为奇函数且定义域为R，则，可得，可知的周期为4，所以，．所以．故选：C．4．C【分析】令，由奇函数的性质结合题意可得出函数在上单调递减，不等式可变为，由的单调性解不等式即可得出答案.【详解】令，当时，，所以在上单调递减，又由于函数为定义在上奇函数，为定义在上奇函数，所以为定义在上的奇函数，则在上单调递减，即函数在上单调递减，所以由可得：，即，所以，故选：C.5．B【分析】依据题意可推出函数的周期，结合赋值法可确定，推断B，其余选项结合赋值，无法确定，即可推断正确.【详解】由于函数为偶函数，则，可得，由于函数为奇函数，则，所以，即得，即，故函数是以4为周期的周期函数，对于，令，则，对于，令，则，B正确；由题意可知，无法推出，A错误，又，，而是否为0不确定，故CD错误，故选：B6．B【分析】先推断函数的周期性，从而得到导数的周期性，再依据导函数的对称性和周期性可求.【详解】由可得，所以函数周期是，且的周期也是.由于，故，故的图象关于直线对称.对求导得，.则故选：B.7．B【分析】依据偶函数定义证明为偶函数，利用导数推断函数的单调性，结合函数性质化简不等式求其解集即可.【详解】函数的定义域为，定义域关于原点对称，且，所以为偶函数．由于，当时，，则，所以在上单调递增；当时，，则，所以在上单调递减；由于，即，所以，即，解不等式得，所以不等式的解集为.故选：．8．D【分析】依据函数对称性结合计算得出函数周期性计算函数值和即可.【详解】由于，所以，所以.由，得，两式相加得，所以，所以，所以是以6为周期的周期函数.当时，，又，所以，所以，所以；当时，，所以，由于，所以，所以.故选：D.9．C【分析】依据抽象函数的奇偶性和对称性，求出周期，确定对称轴，求函数值的和分别推断各个选项.【详解】由于，所以，又由于，所以，所以，所以的图象关于y轴对称，故A正确；又由于，所以，所以，即，所以，所以，故B正确；在中，令，得，所以，故C错误；由于，所以，所以，所以，，故，故D正确．故选：C10．D【分析】由偶函数的定义结合导数可得出，由已知可得出，可求出的表达式，利用导数分析函数的单调性，可知函数在上为减函数，再由可得出，可得出关于实数的不等式，解之即可.【详解】由于为偶函数，则，等式两边求导可得，①由于函数为偶函数，则，②联立①②可得，令，则，且不恒为零，所以，函数在上为减函数，即函数在上为减函数，故当时，，所以，函数在上为减函数，由可得，所以，，整理可得，解得或.故选：D.11．BCD【分析】由为偶函数，可得，计算可推断C；依据原函数与导函数的图像的关系确定为奇函数,再依据函数为偶函数,得到,两者结合即可得出，推断BD，利用赋值法推断A.【详解】对于，由于为偶函数，所以，即①，所以，所以关于对称，则，故C正确；对于，由于为偶函数，，，所以关于对称，由①求导，和，得，所以，所以关于对称，由于其定义域为，所以，结合关于对称，从而周期，所以，，故B正确，D正确；若函数满足题设条件，则函数（为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误，故选：BCD．12．BCD【分析】依据给定条件，利用赋值法，结合函数奇偶性、周期性及对称性的意义逐项推断即得.【详解】由题知，对于选项A：令，得，所以，令，得，即，所以为偶函数，所以函数为奇函数，故选项A不正确；对于选项B：令，，即，，所以周期为，故选项B正确；对于选项C：由B中，即，所以关于对称，且，又周期为，所以，故选项C正确；对于选项D：令，得，即，令，得，所以，所以，故，故选项D正确.

故选：BCD..13．ABC【分析】利用正弦型函数的性质求函数的单调性与最值，利用导数争辩函数的单调性与最值，然后结合选项得答案．【详解】函数的周期为，令得，又，所以的对称中心为．由于，所以，所以，令得，由于，所以和，所以的增区间为和；由，得，，满足，故函数的图象的对称中心也为，故选项C正确；对于A：，，满足，正确；对于B：在上的最小值为，，，由，得或，由，得，所以在和上单调递增，在上单调递减，又，，可知在上的最小值为，与的最小值不同，正确；对于D：由B选项可知在单调递减，在上单调递增，在单调递增，错误．故选：ABC14．BC【分析】依据函数的对称性及单调性结合平移得出函数性质推断各个选项即可.【详解】由于是上的偶函数，又由于函数是定义在上的增函数，则是上的增函数，所以图象是关于对称的，且在单调递增，故选:BC．15．ABD【分析】令求出，令，可推断A；令与令求出，可推断B；对两边同时对求导，把看作常数，求出可推断C；是以4为周期循环的，利用周期性可推断D.【详解】对于A，由已知函数定义域为，关于原点对称，令，由得，令，由，可得，所以为奇函数，故A正确；对于B，，令，则，令，则，所以，解得，可得，故B正确；对于C，对两边同时对求导，把看作常数，得，由于，令，所以，即，得，则，当时，单调递增，当时，单调递增，当时，单调递减，故C错误；对于D，由于，是以4为周期循环的，，，，，所以，，故D正确.故选：ABD.16．AC【分析】依据“优生成函数”的定义可得函数解析式，依据函数的对称性直接推断A选项；求导依据导数推断函数单调性及值域状况，即可推断BC选项，直接求解可推断D选项.【详解】易知“优生成函数”为，对于A，由于，所以关于直线对称，故A选项正确；对于B，明显，所以是函数的周期，所以在区间上的单调性与在区间上的单调性相同，设，则，求导得，故在区间上单调递增，故B选项错误；对于C，由已知关于对称及是函数的周期，可知只需考查时的值域，由于，，在区间上单调递增，故当时，，当时，，求导得，当时，，;当时，，.所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，故当，时，，综上所述的值域为，故C选项正确；令，易知在区间上，零点分别为，，，，，，共有11个，故D选项错误.故选：AC．17．【分析】依据函数图象关于中心对称可得，又由于在上单调递减可推得结合函数关于中心对称进而推得在上单调递减.再利用函数的单调性即可求得的范围.【详解】由函数的图象关于中心对称，则.又由于在上单调递减，所以时，，且在上单调递减，且，可得在上单调递减.又由于，所以可得，则，得.故答案为：.18．【分析】设函数，由条件可知函数是偶函数，并且在单调递减，然后利用函数的性质解抽象不等式即得.【详解】令，由于函数是定义在R上的奇函数，则，故为定义在R上偶函数，由，得在为减函数，由，可得，即，故，所以，即，解得或，所以不等式的解集是.故答案为：.19．【详解】设，则，故为奇函数，由得，即.当时，，由在上单调递增，在上单调递增，则在上单调递增，又为奇函数，所以在上单调递增.故由得，即，由题意，存在使得有解，当时，，不符合题意；当，即时，，解得或，故；当，即时，，解得或，故.综上可得，实数x的取值范围是.20．(1)(2)(3)证明见解析【分析】（1）利用奇函数恒等式可求得参数；（2）利用复合函数单调性可求解不等式；（3）利用奇函数的对称性来争辩零点个数，转化为在仅有唯一零点，然后通过方程变形重构造函数来求导证明即可.【详解】（1）由可得定义域为，由于是奇函数，所以，即有；（2）由（1）得：，有，再由复合函数