备考2025届高考数学一轮复习讲义第九章统计与成对数据的统计分析第3讲成对数据的统计分析

第3讲成对数据的统计分析

课标要求命题点五年考情命题分析预料

1.了解样本相关系数的统2024天津T7,

计含义，了解样本相关关成对数据的2024全国卷乙

系与标准化数据向量夹角相关性T19；2024全国本讲是高考命题热点.对于

的关系；会通过相关系数卷IIT18回来分析，主要考查散点

比较多组成对数据的相关回来模型及图，回来方程类型的识

2024全国卷IT5

性.其应用别，求相关系数和回来方

2.了解一元线性回来模型程，利用回来方程进行预

的含义，了解模型参数的料等；对于独立性检验，

2024全国卷甲

统计意义，了解最小二乘主要考查列联表和依据小

T19；2024新高

原理，驾驭一元线性回来概率值的独立性检验，常

考卷IT20：2024

模型参数的最小二乘估计与概率综合命题.题型以解

列联表与独全国卷甲T17：

方法；针对实际问题，会答题为主，难度中等.预料

立性检验2024全国卷甲

用一元线性回来模型进行2025年高考会以创新生产

TI7：2024新高

预料.生活实践情境为载体考查

考卷IT19；2024

3.理解2X2列联表的统回来分析和独立性检验.

全国卷HIT18

计意义；了解2X2列联

表独立性检验及其应用.

1.变量的相关关系

(1)正相关和负相关：从整体上看，当一个变量的值犀加时，另一个变量的相应值也呈现

①一增加的趋势,我们就称这两个变量②一止相关；当一个变量的值增加时，另一个

变量的相应值呈现③」的趋势，则称这两个变量④负相关.

(2)线性相关：一般地，假如两个变量的取值呈现⑤」L相关或相关，而且散

点落在⑦一一条直线旁边,我们就称这两个变量线性相关.

(3)非线性相关或曲线相关：一般地，假如两个变量具有相关性，但不是线性相关，那么

我们就称这两个变量非线性相关或曲线相关.

2.样本相关系数

n

(I)样本相关系数r=、c

Jil苫5一”

(2)样本相关系数r的性质

①当，,0时，称成对样本数据⑧正相关；当,VO时，称成对样本数据⑨负相

关；当r=0时，只表明成对样本数据间没有线性相关关系，但不解除它们之间有其他相

关关系.

②IrIW1.当I川越接近于1,成对样本数据的线性相关性越⑩」Irl越接近于

0,成对样本数据线性相关性越⑪弱.

3.一元线性回来模型

（1）一元线性回来模型

我们称『=丘+°+，',为丫关于x的一元线性回来模型.其中，y称为因变量或

（e）=0,0（e）=o2

响应变量，x称为自变量或说明变最；。和力为模型的未知参数，〃称为截距参数，b称为

斜率参数；e是丫与必+。之间的随机误差.

（2）阅历回来方程与最小二乘估计

阅历回来方程：y=bx-\-d.

n_n

AZ（X|-x）（yi-y）Xiyi-nxyA

最小二乘估计：b=^-n----------2—=⑫以“,，a=y-bx.

i=li=l

说明阅历回来方程，也称阅历回来函数或阅历回来公式，其图形称为阅历回来直线.阅历

回来直线过点（x,y）.

（3）残差

对于响应变量匕通过观测得到的数据称为观测值，通过阅历回来方程得到的夕称为预料

值，观测值减去⑬预料值称为残差.

（4）确定系数

n2

、、£（%一负）n

确定系数代用来比较两个模型的拟合效果，/?2=1_平——].其中Z（'•一/）2是残差

£1=1

1=1

平方和，片越大（越接近1）,表示残差平方和越小，印模型的拟合效果越好；N越小，

表示残差平方和越大，即模型的拟合效果越差.

4•列联表与独立性检验

（1）2X2列联表

一般地，假设有两个分类变量X和匕它们的取值为{0,1},其样本频数列联表（称为

2义2列联表）为：

Y

X合计

r=oY=\

x=oaha+b

x=\cdc+d

合计a~\~cb+d〃=a+Z?+c+d

(2)独立性检验

/=,匚….利用f的取值推断分类变量x和丫是否独立的方法称为f独立

(a-rb){c-ra)(a+c)(b+a)

性检验，读作“卡方独立性检验”，简称独立性检验.

(3)临界值

对于任何小概率值a,可以找到相应的正实数%,使得PJ22M)=a成立，我们称心为

a的临界值，这个临界值可作为推断f大小的标准.概率值a越小，临界值x“⑭越大.

下表给出了々独立性检验中5个常用的小概率值和相应的临界值.

a0.10.050.01().0050.001

x«2.7063.8416.6357.87910.828

(4)基于小概率值。的检验规则

当公2乂时，我们就推断〃。⑮不成立，即认为X和网不独立，该推断犯错误的

概率不超过a；

当fVxa时，我们没有充分证据推断从不成立，可以认为X和X©独立.

说明若匚2越大，则两个分类变量有关的把握越大.

1.下列四个散点图中，变量工与y之间具有负的线性相关关系的是(D)

2.下列说法正确的是(D)

A.在阅历回来方程夕=一0.85汇+2.3中，当说明变量x每僧加1个单位时，响应变量平均削

减2.3个单位

B.若两个变量的相关性越强，则「越接近于1

C.在回来分析中，确定系数R2=0.8()的模型比确定系数R2=0.98的模型拟合的效果要好

D.残差平方和越小的模型，拟合的效果越好

解析对于A,依据阅历回来方程，当说明变量x每增加1个单位时，响应变量?平均削减

().85个单位，故A错误；对于B,若两个变量的相关性越强，则Irl越接近于I,故B错

误；对于C,用确定系数R2的值推断模型的拟合效果，R?越大，模型的拟合效果越好，所

以C错误：对于D,由残差的统计学意义知，D正确.

3.为考查某种养分品对儿童身高增长的影响，选取部分儿童进行试验，依据100个有放回

简洁随机样本的数据，得到如下列联表，由表可知下列说法正确的是(D)

养分品身高合计

有明显增长无明显增长

食用Cl1050

未食用b3050

合计6040100

A.a=/>=30

B./2^12.667

C.从样本中随机抽取I名儿童,抽剑食用该养分品口身高有明显增长的儿童的概率是|

D.依据小概率值。=0.001的独立性检验，可以认为该养分品对儿童身高增长有影响

解析由题可知。=50—10=40,6=50—30=20,所以A错误：/2=

IOOX<40x30—10x20）心［6.667>10.828=xo.ooi,所以依据小概率值Q=0.001的独立性检验,

50x50x60x40

可以认为该养分品对儿童身高增长有影响，所以B错误，D正确；从样本中随机抽取I名

儿童，抽到食用该养分品且身高有明显增长的儿童的概率是券所以C错误.

4.12024福州5月质检］已知变量x和），的统计数据如下表：

X678910

y3.54566.5

若由表中数据得到阅历回来方程为夕=0.8x+6,则x=10时的残差为一-0.1.（注：见测

值减去预料值称为残差）

解析易知元=8,y=5,.*.3=5—0.8X8=—1.4,.•・x=10时，夕=8—14=6.6,/.x=10

时的残差为6.5-6.6=-0.1.

研透高考明确方向

命题点1成对数据的相关性

角度1推断两个变量的相关性

例I（1）已知变量x和），近似满意关系式），=-0.以+1,变量y与z正相关.下列结论中正

确的是（C）

A..r与y正相关，x与z负相关

B.X与y正相关，x与z正相关

C.x与y负相关，x与z负相关

D.x与y负相关，x与z正相关

解析由y=-0.1x+l,知x与y负相关，即y随x的增大而减小，又），与z正相关，所以

z随y的增大而增大，随）:的减小而减小，所以z随x的增大而减小，x与z负相关.

（2）［2024湖北仙桃中学模拟］对四组数据进行统计后，获得了如图所示的散点图，四组

数据的相关系数分别为门，鼻，-3,小，对各组的相关系数进行比较，正确的是（C）

第一组其次组

第三组第四组

A.n<r2<0<n<r4B.r4<n<0<r2<r3

<3.「2<r3<0<r4<〃D.ri<r4<0<r3<r2

解析由题图可知，第一、四组数据均正相关，其次、三组数据均负相关，当相关系数的

确定值越大时，数据的线性相关性越强.第一组数据的线性相关性较第四组强，则">自>

0,其次组数据的线性相关性较第三组强，则I,2I>I，3I,且/2<0,n<0,则r2<r3<

0.

因“匕，故选C.

方法技巧

推断两个变量相关性的3种方法

若点的分布从左下角到右上角，则两个变量正相关；若点的分布从左上角到

画散点图

右下角，则两个变量负相关.

利用样本相

厂>0时，正用关；「V。时，负相关；1r1越接近于1,线性相关性越强.

关系数

利用阅历回AA

b>0时，止相关；bVO时，负相关.

角度2相关系数的计算

例2[2024全国卷乙]某地经过多年的环境治理，己将荒山改造成了绿水青山.为估计一林区

某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：

m2）和材积量（单位:nr),得到如下数据：

样本号/12345678910总和

根部横截

0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6

面积为

材积量>70.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9

101010

并计算得Z靖=0.038,Zyj2=L6158,£^,=0.2474.

i=li=li=l

（1）估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量.

（2）求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到0.01）.

(3)现测量了该林区全部这种树木的根部横截面积，并得到全部这种树木的根部横截面积

总和为186m2.已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比.利用以上数据给出该林区

这种树木的总材积量的估计值.

一，，Z<Xi-x)(yi-y)________

附：相关系数r=-r'=1,<L896^1.377.

/n2n2

10

解析⑴估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面和土=/-=箸=0.06,估计该林区

10

Zyion

这种树木平均一棵的材积量歹=弋-=云=0.39.

1010

(2)Z(A7-x)(y,-y)=Zx/>7-10xy=0.0134,

i=li=l

S(Xj-x)*I2=£Xj2-10x2=0.002,

i=li=l

io2io

Z(%一歹)=zyi2-10y9=0.0948,

i=li=l

102102____________________________

Jz(%j-x)Z(Vj-y)=V0.002x0.0948=70.0001x1.896^0.01X1.377=

i=li=l

io

2(Xi-x)(y|-y)

0.01377,所以样本相关系数厂=।E、您nn丝i7440.97.

J101020.01377

IZ5一三2)Z(”一歹)

#=1i=l

(3)设该林区这种树木的总材积量的估计值为Km3,由题意可知，该种树木的材积量与

其根部横裁面积近似成正比，所以鳖=工，所以y=186X0.39=]209,

0.0G1060.06

即该林区这种树木的总材枳量的估计值为1209m3.

训练I变量X与y相对应的一组数据为(10,I),(11.3,2),(11.8,3),(12.5,

4),(13,5)；变量。与V相对应的一组数据为(10,5),(11.3,4),(11.8,

3),(12.5,2),(13,1)4表示变量V与X之间的线性相关系数，〃表示变量V与U

之间的线性相关系数，则(C)

A.r2<ri<0B.0<r2</'i

C.r2<0<nD/2=C

解析由题中的数据可知，变量丫与x正相关，相关系数门>0,变量v与u负相关，相

关系数「2<0,即r2<0<〃.故选C.

命题点2回来模型及其应用

角度1一元线性回来模型

例3[2024广西联考]某省为调查北部城镇2024年GDP,抽取了20个城镇进行分析，得到

样本数据(为，％)(/=1，2,…，20),其中为•和M分别表示第，•个城镇的人口(单位：

202020

万人）和该城镇2024年GDP（单位：亿元），计算得2即=100,Zy,=800,工（为一

i=li=li=l

2020

x）2=70,Z（V一歹）2=280,£x）（»一歹）=120.

i=li=l

（1）请用相关系数「推断该组数据中），与X之间线性相关关系的强弱（若I/I£[0.75,

1],相关性较强;若INe[0.30,0.75）,相关性一般;若回一0.25,0.25],相关性较

弱）.

（2）求），关干x的线性回来方程.

（3）若该省北部某城镇2024年的人II约为5万人，依据（2）中的线性回来方程估计该城

镇2024年的GDP.

n

Z（xi-x）（yj-y）

参考公式：相关系数，对于一组具有线性相关关系的数据（小

n2n2

X（Xj-x）£（yi-y）

Ji=li=l

»）（Z=l,2,…，〃），其回来直线夕=）+式的斜率和截距的最小二乘估计分别为5=

Z（同一⑷（万一夕）A

----------2—，a=y—bx.

£（Xj-X）

i=l

20

z（Xj-x）（yj-y）

解析（1）由题意知，相关系数/•=i=i=1",="比0857

202202,70X280140,，

L5-三）I（y.-y）

因为），与x的相关系数「满意Irl£[0.75,I],所以），与x之间具有较强的线性相关关系.

20__

"X（Xi-x）（yj-y）

、乙）020_2707,

Eixi-x）707

i=l

的|、八

a=y—b-x=—800——12^X.—100=一220,所以1y=-12xd,-2-2-0.

Z207207Z77

（3）由（2）可估计该城镇2024年的GDP9=£x5+—=40（亿元）.

方法技巧

回来模型问题的类型及解题方法

（1）求阅历回来方程：

①利用数据，求出万，y；

②利用公式，求出回来系数加

③利用阅历回来直线过样本点的中心（北歹），求6.

（2）利用阅历回来方程进行预料：干脆将已知的自变量的某个数值代入阅历回来方程求得

特定要求下的预料值.

（3）推断回来模型的拟合效果：利用残差平方和或确定系数2推断，R2越大，表示残差

平方和越小，即模型的拟合效果越好.

角度2非线性回来模型

例4［2024重庆市三检］己知变量)，关于x的阅历回来方程为y=e^-°6,若对y=沙圻回两

边取自然对数，可以发觉1”，与x线性相关，现有一组数据如表所示：

X12345

yee行3e-4e-6e

则当x=6时，预料y的值为(C）

A.9B.8C.e9D.e8

解析对y=a、。6两边取自然对数，得］ny=bx—0.6,令z=lny,则z=bx—0.6,数据为

X12345

ye/?卡

z13467

由表格数据，得亍十;""=3,2=E二e'=4.2.将(3,4.2)代入z=bx-0.6,得

4.2=3b-0.6,(方法技巧：阅历回来方程只含一个未知数问题主要是依据阅历回来直线

y=bx+a必过样本点的中心(元，y)求解)

解得。=1.6,所以z=1.6x-0.6,即丫=ei・6x-°-6.当x=6时，y=解6X6-0-6=e)故选C.

方法技巧

1.解决非线性回来模型问题的思路：依据数据的散点图，选择恰当的拟合函数，用适当的

变量进行转换，如通过换元或取对数等方法，把问题化为线性回来模型问题，使之得到解

决.

2.常见的非线性回来模型及转换技巧

(1)y=a+^,令v=：，则y=a+bv；

(2)y=a+Z?lnx(b0),令o=lnx,则y=a+加；

(3)y=a^>(tz>(),b*0),令c=lna,v=\nx,w=lny,贝［“=c+加；

(4)y=aebx(«>0,bWO),令c=lna,w=lny,则"=c'+Z?x.

训练2［2024合肥市质检］探讨表明，温度的突然变更会引起机体产生呼吸道上皮组织的生

理不良反应，从而导致呼吸系统疾病的发生或恶化.某中学数学建模社团成员欲探讨昼夜温

差大小与该校高三学生患感冒人数多少之间的关系，他们记录了某周连续六天的昼夜温

差，并到校医务室查阅了这六天中每天高三学生新增患感冒而就诊的人数(假设患感冒必

到校医务室就诊)，得到资料如F：

日期第一天其次天第三天第四天第五天第六天

昼夜温差MC47891412

新增就诊人数)，/位yi>'4训

参考数据：1^=3160,£（%一歹）2=256.

i=ii=i

（1）已知第一天新增患感冒而就诊的学生中有7位女生，从第一天新增患感冒而就诊的学

生中随机抽取3位，若抽取的3人中至少有一位男生的概率为葛，求》的值：

（2）已知两个变量r与），之间的样本相关系数r=搭，试用最小二乘法求出），关于x的阅历

16

回来方程夕=bx+6,据此估计昼夜温差为15℃时，该校高三新增患感冒而就诊的学生数

（结果保留整数）.

Ax<Xi-x)(yj-y)

参考公式；b=^------------—

X<Xj-X)

i=l

Z<Xi-x)cvi-y>

i-l

'n2/n

215r)落(ys-y)

*_17

解析（1）VI砾;一总

7x6x57

,•%5-1)81-2)24，

Ayi(yi-1)(yi-2)=720=10X9X8,Ayi=IO.

(2)VZx,=54,Ax=9,£(x；—x)2=64.

i=li=l

百（与一功（y「9）_昌5—初乂一歹〉_1$6

,；・Z(X,—x)(>7—y)=8X15,

8X16i=l

<x,—x)■

.5一积“一评_8X15_15

一募(%i-x)2648

i=l

66：2=fyi2-6y2=256,解得了=22,：.a=y~bx=22

又Z(加一歹)2=ZW—2歹•ZM+6P

i=li=li=li=l

—受X9=%,

8

・・・y=1+警,当x=15时，y=、+】X15比33,

8888

故可以估计昼夜温差为15℃时，该校高三新增患感冒而就诊的学生数为33.

命题点3列联表与独立性检验

例5[2024全国卷甲改编]甲、乙两城之间的长途客车均由八和B两家公司运营.为了解这两

家公司长途客车的运行状况，随机调查了甲、乙两城之间的500个班次，得到下面列联

表:

准点班次数未准点班次数

A24020

B21030

（1）依据上表，分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率;

（2）依据小概率值a=0.1的独立性检验，分析甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客

车所属公司有关.

附._____几—c)_______,

A(a+b)(c+d)(a+c)(h+d)

a0.10.0500.0100.001

Xa2.7063.8416.63510.828

解析（1）由题表可得A公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率为就会=看，

B公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率为募为=（

（2）零假设为从）：甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司无关.依据2X2列

联表,

500X(240X30-20X210)

可得12=比3.205>2.706=X0』

(240+20)X(210+30)X(240+210)X(20+30)

依据小概率值。=0.1的独立性检脸，我们推断“（）不成之，

即认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公