2026步步高高考大二轮复习数学-专题突破　专题六　第1讲　不等式

第1讲不等式1.(2025·全国Ⅱ卷，T4)不等式x-4x-1≥2的解集是A.{x|-2≤x≤1} B.{x|x≤-2}C.{x|-2≤x<1} D.{x|x>1}2.(2025·北京，T6)已知a>0，b>0，则()A.a2+b2>2ab B.1a+1b≥C.a+b>ab D.1a+1b3.(2021·新高考全国Ⅰ卷，T5)已知F1，F2是椭圆C：x29+y24=1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|·|MF2|A.13 B.12 C.9 D.64.(2021·全国乙卷，文T8)下列函数中最小值为4的是()A.y=x2+2x+4 B.y=|sinx|+4C.y=2x+22-x D.y=lnx+45.(多选)(2020·新高考全国Ⅰ卷，T11)已知a>0，b>0，且a+b=1，则()A.a2+b2≥12 B.2a-b>C.log2a+log2b≥-2 D.a+b≤26.(多选)(2022·新高考全国Ⅱ卷，T12)若x，y满足x2+y2-xy=1，则()A.x+y≤1 B.x+y≥-2C.x2+y2≤2 D.x2+y2≥1命题热度：本讲是历年高考命题常考的内容，特别是基本不等式经常和函数、数列、三角函数、解析几何等相结合考查，高中低档题目都有考查，主要以选择题或填空题的形式进行考查，分值约为5~6分.考查方向：一是不等式的解法，主要是结合集合考查一元二次、分式、绝对值不等式的解法；二是三个一元二次之间的关系，不等式恒成立的问题；三是基本不等式，主要考查利用基本不等式求最值，以及基本不等式的应用.1.答案C解析x-4x-1≥2即为x+2x-1≤0，即(故不等式的解集为{x|-2≤x<1}.2.答案C解析对于A，当a=b时，a2+b2=2ab，故A错误；对于B，D，取a=12，b=14，此时1a+1b=2+4=6<1a+1b=2+4=6>212×14=42对于C，由基本不等式可得a+b≥2ab>ab，故C正确.3.答案C解析由椭圆C：x29+y24=1，得|MF1|+|MF2|=2×3=6，则|MF1|·|MF2|≤MF1|+MF2|24.答案C解析选项A，因为y=x2+2x+4=(x+1)2+3，所以当x=-1时，y取得最小值，且ymin=3，所以选项A不符合题意.选项B，因为y=|sinx|+4|sinx≥2|sinx|·4当且仅当|sinx|=4|sinx，即|sinx|=2时不等式取等号，但是|sinx|=2不可能成立，因此可知y>4，所以选项(或设|sinx|=t，则t∈(0，1]，根据函数y=t+4t在(0，1]上单调递减可得ymin=1+41=5，所以选项B不符合题意选项C，因为y=2x+22-x≥22x·22-x=4，当且仅当2x=22-x，即x=2-x，即x=1时不等式取等号，所以ymin选项D，当0<x<1时，lnx<0，y=lnx+4lnx<0，所以选项D综上，所给函数中最小值为4的是选项C中的函数.5.答案ABD解析因为a>0，b>0，a+b=1，所以a+b≥2ab，当且仅当a=b=12时，等号成立，即有ab≤1对于A，a2+b2=(a+b)2-2ab=1-2ab≥1-2×14=12，故对于B，2a-b=22a-1=12×22a因为a>0，所以22a>1，即2a-b>12，故B对于C，log2a+log2b=log2ab≤log214=-2，故C对于D，由(a+b)2=a+b+2ab=1+2ab≤2，得a+b≤2，故D正确.6.答案BC解析因为ab≤a+b22≤a2+b2由x2+y2-xy=1可变形为(x+y)2-1=3xy≤3x+解得-2≤x+y≤2，当且仅当x=y=-1时，x+y=-2，当且仅当x=y=1时，x+y=2，所以A错误，B正确；由x2+y2-xy=1可变形为(x2+y2)-1=xy≤x2解得x2+y2≤2，当且仅当x=y=±1时取等号，所以C正确；因为x2+y2-xy=1可变形为x-y22+3设x-y2=cosθ，32y=sin所以x=cosθ+33sinθy=233sin因此x2+y2=cos2θ+53sin2θ+233sinθcosθ=1+33sin2θ-13cos=43+23sin2θ所以当x=33，y=-3但是x2+y2≥1不成立，所以D错误.考点一不等式的解法例1(1)设集合A={x||x-a|<1}，B=x4x-5<-1.若A∩B=∅，则实数aA.{a|0≤a≤6} B.{a|4≤a≤6}C.{a|a≤0或a≥6} D.{a|2≤a≤4}答案C解析由|x-a|<1得，-1<x-a<1，即a-1<x<a+1，所以A={x|a-1<x<a+1}，由4x-5<-1得，x-1x-5<0所以B={x|1<x<5}，因为A∩B=∅，所以a+1≤1或a-1≥5，解得a≤0或a≥6，即实数a的取值范围是{a|a≤0或a≥6}.(2)(2025·济南模拟)已知关于x的不等式组x2-2x-8>0，2A.[-5，3) B.[2，3)C.[2，3)∪[4，5) D.[-5，3)∪(4，5]答案D解析由x2-2x-8>0，即(x-4)(x+2)>0，解得x<-2或x>4，由2x2+(2k+7)x+7k<0，即(2x+7)(x+k)<0，当k=72时，不等式(2x+7)(x+k)<0即为2x+当k>72时，不等式(2x+7)(x+k)<0的解集为-结合题意，此时原不等式组的解集为-k所以-5≤-k<-4，即4<k≤5；当k<72时，不等式(2x+7)(x+k)<0的解集为-结合题意，要使不等式组仅有一个整数解，则-3<-k≤5，即-5≤k<3.综上所述，实数k的取值范围为[-5，3)∪(4，5].[规律方法]对含参的不等式，应对参数进行分类讨论，常见的分类有(1)根据二次项系数为正、负及零进行分类.(2)根据判别式Δ与0的关系判断根的个数.(3)有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论.跟踪演练1(2025·南通模拟)已知关于x的一元二次不等式x2-bx+2b-3<0的解集为(x1，x2)，1x1+1x2<2，则实数b答案b解析因为关于x的一元二次不等式x2-bx+2b-3<0的解集为(x1，x2)，即关于x的一元二次方程x2-bx+2b-3=0的两根为x1，x2，则x所以1解得b<32或b>6故实数b的取值范围是bb考点二基本不等式例2(1)(多选)(2025·曲靖模拟)已知正数a，b满足a+2b=1，则()A.ab的最大值为1B.a2+4b2的最小值为1C.a+2b的最大值为D.2a+4b的最小值为22答案ABD解析对于A，因为a，b是正数，所以1=a+2b≥22ab⇒ab≤18，当且仅当a=2b，即a=12，b=14时取等号，所以ab的最大值为对于B，因为a，b是正数，a+2b2≤a2+4b22⇒a2+4b2≥12，当且仅当a=2b，即a=12，b=14对于C，因为(a+2b)2=a+2b+22ab=1+22ab≤1+214=2，当且仅当a=2b，即a=12，b=14时取等号，a+2b≤2，a对于D，2a+4b=2a+22b≥22a·22b=22a+2b=22，当且仅当2a=22b，即a=2b，即a=12，b=14时取等号，2(2)(2025·重庆模拟)已知x2+y2=2x2y2(xy≠0)，则2-x2-9y2的最大值为()A.6 B.-6 C.8 D.-8答案B解析由x2+y2=2x2y2(xy≠0)，两边同时除以x2y2，得1y2+1x2+9y2=(x2+9y2)×1=1≥1210+2当且仅当x2y2=9y2x2，即所以2-x2-9y2=2-(x2+9y2)≤2-8=-6，故2-x2-9y2的最大值为-6.[规律方法]基本不等式求最值(1)前提：“一正”“二定”“三相等”.(2)要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式.(3)条件最值的求解通常有五种方法：一是直接法；二是配凑法；三是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法；四是消元法；五是构造不等式法.跟踪演练2(1)若x>0，y>0，x+2y=5，则1xy的最小值为(A.825 B.85 C.4答案A解析因为x>0，y>0，x+2y=5，所以5=x+2y≥22xy所以xy≤258，当且仅当x=52，y=54时等号成立，所以1xy≥825(2)(2025·泉州模拟)若x≥0，y≥0，且1x+1+12x+4y=1，则3xA.2 B.3 C.4 D.8答案B解析因为x≥0，y≥0，则x+1≥1，2x+4y≥0，由题意可知2x+4y≠0，则2x+4y>0，3x+4y=(3x+4y+1)-1=[(x+1)+(2x+4y)]1x+1=2+x+12x≥2+2x+12当且仅当x即x=1所以3x+4y的最小值是3.考点三不等式的综合应用例3(2025·昭通模拟)已知a>0，b∈R，若关于x的不等式(ax-1)(x2+bx-8)≥0在(0，+∞)上恒成立，则b+3a的最小值为.答案8解析因为关于x的不等式(ax-1)(x2+bx-8)≥0在(0，+∞)上恒成立，所以1a是方程x2+bx-8=0则1a2+b·1a-8=0，即b=8a-1a所以b+3a=8a+2a≥28a·2a=8，当且仅当8a=2a，即a=12，b=2[规律方法]基本不等式常作为工具，与函数、导数、数列、三角、向量、复数、简易逻辑问题、立体几何、解析几何、实际问题、新定义问题等考点交汇，常常需要借助不等式来解决其中的最值问题.跟踪演练3(多选)(2024·邢台模拟)如图，曲线C的形状是一个斜椭圆，其方程为x2+y2-xy=6，点P(m，n)是曲线C上的任意一点，点O为坐标原点，则下列说法正确的是()A.曲线C关于直线y=x对称B.m+n的最大值为26C.该椭圆的离心率为2D.n的最大值为22答案ABD解析将曲线C方程中的x与y对调后，该方程不变，所以曲线C关于直线y=x对称，A正确；由题意知m2+n2-mn=6，因为m2+n2≥(mmn≤(m+n)24，所以m2+n2-mn=6≥(m+n)24，则m+n≤26，当且仅当m=n联立方程x2+y2-xy=6，y=x，解得顶点坐标为(6，6)和(-6，-6)，所以椭圆的长轴长为2a=43⇒a=23，同理可得另外两个顶点坐标为(2，-2)和(-2，2)，所以椭圆的短轴长为2b=4⇒b=2，所以c=a2-b将m2+n2-mn=6看作关于m的一元二次方程，令Δ=n2-4(n2-6)≥0，解得-22≤n≤22，所以n的最大值为22，D正确.专题强化练[分值：84分]一、单项选择题(每小题5分，共40分)1.(2025·广安模拟)不等式3x+1≥1的解集是(A.{x|x<-1或-1<x≤2} B.{x|-1≤x≤2}C.{x|x≤2} D.{x|-1<x≤2}答案D解析因为3x+1≥1，所以3x+1-1=即x-2x+1≤解得-1<x≤2，故原不等式的解集是{x|-1<x≤2}.2.(2025·石家庄模拟)如果ab>0，那么“a>b”是“1a<1b”的(A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案C解析若ab>0，a>b，则b-a<0，则1a-1b=b即1a<1若ab>0，1a<1b，则1a-1b=b-aab<0，则b-a<0，即a>b，必要性成立，所以如果ab>0，那么“a>b”是3.(2025·菏泽模拟)已知a>1，b>1，且ab=4，则log2a·log2b的最大值为()A.14 B.1 C.4答案B解析log2a·log2b≤log2a+log2b22=log2ab22=1，当且仅当log2a=log2b=1，即4.若对x∈[1，4]，不等式x2+ax-1≥0有解，则实数a的取值范围是()A.aa>-C.{a|a≥0} D.a答案D解析方法一因为对x∈[1，4]，不等式x2+ax-1≥0有解，则a≥-x+1x在x∈[1，4]又因为y=-x和y=1x在[1，4]所以f(x)=-x+1x在[1，4]f(x)min=f(4)=-4+14=-15即a≥-154方法二因为对x∈[1，4]，不等式x2+ax-1≥0有解，设g(x)=x2+ax-1，则g(x)max≥0，即g(1)≥0或g(4)≥0，解得a≥-1545.(2025·北京朝阳区模拟)已知向量a=(x，1)，b=(3，-y)，c=(1，1)，若a，b在c上的投影向量相等，则x2+y2的最小值为()A.2 B.1 C.12 D.答案A解析由题意得a·cc·cc=可得a·c=b·c，故x+1=3-y，即x+y=2，所以x2+y2≥(x+当且仅当x=y=1时取等号，所以x2+y2的最小值为2.6.(2025·临沂模拟)已知{an}为正项等差数列，若4a3-a7=8，则a1a3的最大值为()A.4 B.6 C.8 D.10答案C解析设等差数列{an}的公差为d，则4a3-a7=4(a1+2d)-(a1+6d)=3a1+2d=8，解得a1=8-2d由于{an}为正项等差数列，则a1=8-2d3a1a3=8-2d3·8-2=29(8-2d)(4+2d)≤29·8-2当且仅当8-2d=4+2d，即d=1，a1=2时等号成立，所以a1a3的最大值为8.7.(2025·哈尔滨模拟)已知圆柱的底面半径为r，圆台的上、下底面半径分别为r1，r2，若圆柱和圆台的高和体积都相等，则()A.2r<r1+r2 B.2r>r1+r2C.r2=r1r2 D.r2<r1r2答案B解析不妨设圆柱和圆台的高为h，由体积公式可知πr2h=13π(r12+r22+r1即r2=13(r12+r22则4r2-(r1+r2)2=43(r12+r22+r1r2)-(r12+r22+2r1r2)因为在圆台中，r1≠r2，所以13(r1-r2)2>0即4r2>(r1+r2)2，2r>r1+r2，故A错误，B正确；由基本不等式，结合r1≠r2，得r1r2<r平方后得到r2>r1r2，故C，D错误.8.(2025·萍乡模拟)若不等式x(x+a)ln(x+a)≥0恒成立，则a的取值集合为()A.{1} B.(0，1]C.1e，1 D.[1，答案A解析设x+a=t，则x=t-a，t>0，原不等式可化为(t-a)tlnt≥0.因为t>0，所以(t-a)lnt≥0，当0<t<1时，lnt<0，所以t-a≤0在t∈(0，1)上恒成立，即a≥1；当t=1时，lnt=0，所以(t-a)lnt≥0恒成立；当t>1时，lnt>0，所以t-a≥0在t∈(1，+∞)上恒成立，即a≤1.综上可得，a=1.二、多项选择题(每小题6分，共18分)9.(2025·汕头模拟)若关于x的不等式ax2-bx+c>0的解集为M={x|-1<x<2}，则下列选项正确的是()A.a<0B.不等式cx2+bx+a>0的解集为{x|1<x≤2}C.4a+2b+c<0D.函数y=ax2+bx+c在-∞答案ACD解析对于A，由题意得，方程ax2-bx+c=0的两个实数根为-1和2，且a<0，故A正确；由根与系数的关系得b即b对于B，不等式cx2+bx+a>0可化为-2ax2+ax+a>0，即2x2-x-1>0，解得x>1或x<-12，故B对于C，因为b=a，c=-2a，且a<0，故4a+2b+c=4a+2a-2a=4a<0，故C正确；对于D，y=ax2+bx+c即y=ax2+ax-2a=ax+122-9a4，因为a<010.(2025·临沂模拟)已知a>b>c，则下列不等式正确的是()A.1a-c<1a-bC.a+b>c D.a2+c2>b2答案AD解析对于A，1a-c-1a-因为a>b>c，所以c-b<0，a-c>0，a-b>0，即c-b(a-c)(a对于B，取a>b=0>c，此时ab2=cb2=0，故B错误；对于C，取a=-1>b=-2>c=-3，则a+b=c=-3，故C错误；对于D，若b=0，则a2+c2>b2=0显然成立，若b>0，则a2+c2≥a2>b2成立，若b<0，则a2+c2≥c2>b2成立，综上所述，只要a>b>c，就一定有a2+c2>b2，故D正确.11.已知a>0，b>0，a2+b2-ab=2，则下列不等式恒成立的是()A.1a+1b≤2 B.abC.a+b≤22 D.a2+b2≥4答案BC解析对于B，由a2+b2≥2ab，可得ab+2≥2ab，解得ab≤2，当且仅当a=b=2时，等号成立，故B正确；对于A，由a>0，b>0，得1a+1b≥2ab，而ab≤2，所以2ab≥2，所以1a+1b≥2，当且仅当a=对于C，由ab≤(a+b)24，a2+b2-ab=2，得(a+b)2-2=3ab≤3(a+b)24，解得(a+b)2≤8，即a+b对于D，由ab≤a2+b22，a2+b2-ab=2，得a2+b2-2=ab≤a2+b22，解得a2+b2≤4三、填空题(每小题5分，共15分)12.(2025·合肥模拟)已知F1，F2是椭圆C：x29+y24=1的两个焦点，点M在C上，则1MF答案2解析由题意得|MF1|+|MF2|=6，所以1MF=16×1MF1|+1MF=1≥162+2M当且仅当|MF1|=|MF2|=3时，取等号，所以1MF1|+13.(2025·赣州模拟)若关于x的不等式x2+2(m-1)x+m2-m<0的解集为(x1，x2)，且1x1+1x2=2，则实数m答案-1解析因为关于x的不等式x2+2(m-1)x+m2-m<0的解集为(x1，x2)，所以x1+x2=-2(m-1)，x1x2=m2-m，Δ=4(m-1)2-4(m2-m)>0，解得m<1，因为1x1+1x2所以-2(m-1)m2-14.(2025·白银模拟)若正实数a，b满足a+b=1，则a2a+1+b2答案1解析方法一设a+1=s，b+2=t，则s+t=a+b+3=4，∵a2a+1+b2b+2=(s-1)2s+(t-2)2t=s-2+1s+∴1s+4t=141s=14ts+4当且仅当s=43，t=83，即a=13，b∴a2a+1+b2b+2≥方法二∵a+b=1，∴a+1+b+2=4，∴a2a+1+b2b+2=1=1≥1=14(a2+2ab+b2)=14(a+b)2=当且仅当a=13，b=23时取等号，故所求最小值是(15题5分，16题6分，共11分)15.(2