变量间的相关关系教案

高中数学必修3

变量间的相关关系教案

教学分析

教材通过收集实际问题中两个有关联变量的数据作出散点图，并利

用散点图直观地认识变量间的相关关系.

值得注意的是：散点图直观地描述了两个变量之间有没有相关关系,

教学中指导学生作出散点图，并利用散点图直观认识两变量的相关关系.

三维目标

1.通过收集现实问题中两个有关联变量的数据认识变量间的相关关

系.

2.明确事物间的相互联系.认识现实生活中变量间除了存在确定的

关系外，仍存在大量的非确定性的相关关系，并利用散点图直观体会这

种相关关系.

3.通过讨论相关关系，培养学生普遍联系的思想.

重点难点

教学重点：通过收集现实问题中两个有关联变量的数据直观认识变

量间的相关关系；利用散点图直观认识两个变量之间的线性关系.

教学难点：变量之间相关关系的理解.

课时安排

1课时

教学过程

导入新课

思路1.在学校里，老师经常这样对学生说：“如果你的数学成绩好,

那么你的物理学习就不会有什么大问题.”按照这种说法，似乎学生的物

理成绩与数学成绩之间存在着一种相关关系.这种说法有没有根据呢？

教师点出课题.

思路2.某地区的环境条件适合天鹅栖息繁衍，有人经统计发现了一

个有趣的现象，如果村庄附近栖息的天鹅多，那么这个村庄的婴儿出生

率也高，天鹅少的地方婴儿的出生率也低，于是，他就得出一个结论：天

鹅能够带来孩子.你认为这样得到的结论可靠吗？如何证明这个结论的可

靠性？教师点出课题.

推进新课

新知探究

提出问题

1.粮食产量与施肥量有关系吗？“名师出高徒“可以解释为教师

的水平越高，学生的水平也越高.教师的水平与学生的水平有什么关

系？你能举出更多的描述生活中两个变量的相关关系的例子吗？

2.两个变量间的关系有几种？什么是相关关系？

3.怎样判断两人变量间的相关关系？

4.什么是正相关、负相关？

讨论结果：

1.粮食产量与施肥量有关系，一般是在标准范围内，施肥越多，粮

食产量越高；教师的水平与学生的水平有关系，通常是教师的水平越高,

学生的水平往往也越高.像这种关系称为相关关系.

我们还可以举出现实生活中存在的许多相关关系的例子.例如：

商品销售收入与广告支出经费之间的关系.商品销售收入与广告支

出经费有着密切的联系，但商品销售收入不仅与广告支出多少有关，还

与商品质量、居民收入等因素有关.

粮食产量与施肥量之间的关系是：在一定范围内，施肥量越大，粮食

产量就越高.但是，施肥量并不是决定粮食产量的唯一因素.因为粮食

产量还要受到土壤质量、降雨量、田间管理水平等因素的影响.

2.变量与变量之间的关系常见的有两类：一类是确定性的函数关系,

像正方形的边长a和面积S的关系.另一类是变量间确实存在关系，但又

不具备函数关系所要求的确定性，它们的关系是带有随机性的，即相关

究人员

获得了

一组样

本数

据：

年龄

脂肪9.517.821.225.927.526.328.2

年龄53545657586061

脂肪29.630.231.430.833.535.234.6

分析数据：大体上来看，随着年龄的增加，人体中脂肪的百分比也

在增加.

以年龄X的取值作横坐标，把相应的脂肪含量y的值作纵坐标，在直

角坐标系中描点(xi,yi)(i=l,2,3,14),如下图所示.这样的图形

叫做散点图.

从散点图我们可以看出，年龄越大，体内脂肪含量越高.图中点的

趋势表明两个变量之间存在相关关系，这个图支持了我们从数据表中得

出的结论.

如果所有的样本点都落在某一函数曲线上，就用该函数来描述变量

之间的关系，即变量之间具有函数关系.如果所有的样本点都落在某一

函数曲线附近，变量之间就有相关关系,如果所有的样本点都落在某一

直线附近，变量之间就有线性相关关系.

4.具有相关关系的两个变量x与y,如果x的值由小变大时，y的值

也在由小变大，这种相关称为正相关.反之，如果一个变量的值由小变

大时另一个变量的值由大变小，这种相关称为负相关.

如果散点图中的点散布在从左下角到右上角的区域内，称为正相

关.如果散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域内，称为负相

关.（注：散点图的点如果几乎没有什么规见，则这两个变量之间不具有

相关关系）

应用示例

思路1

例

设某

地10

户家

庭的

年收

入和

24466677810

年饮

食支

出的

统计

资料

如下

表：

年收

入X/

万元

年饮

食支

0.91.41.62.02.11.91.82.12.22.3

出y/

万元

(1)画出散点图；

⑵根据散点图判断X与y之间是否具有相关关系.

分析：根据散点图中各点的分布情况判断x与y之间是否具有相关关

系.

解：(1)散点图，如下图所示.

(2)观察散点图知，各点在一次函数图象［直线)的附近，所以x与y之

间具有相关关系，并且是正相关.

点评：画散点图时应注意合理选择单位长度，避免图形过大或偏小,

或者是点的坐标在坐标系中画不准，使图形失真，导致得出错误结论.

变式训练

5名学生的数学和物理成绩如下表：

学生

・学科、\ABCDE

数学so.757a.65.60

物理.70666S.6462

画出散点图，并判断它们是否有相关关系.

解：以X轴表示数学成绩，y轴表示物理成绩，可得相应的散点图.

y物理成绩

70.•

60••

50

°5060708090x数学成绩

观察散点图知，数学成绩与物理成绩具有相关关系，并且是正相关.

观察散点图知，数学成绩与物理成绩具有相关关系，并且是正相关.

思路2

例有关法律规定，香烟盒上必须印上“吸烟有害健康”的警示语.吸

烟是否一定会引起健康问题？你认为“健康问题不一定是由吸烟引起

的，所以可以吸烟”的说法对吗？

解：从已经掌握的知识来看，吸烟会损害身体的健康，但是除了吸烟

之外，还有许多其他的随机因素影响身体健康，人体健康是很多因素共同

作用的结果.我们可以找到长寿的吸烟者，也更容易发现由于吸烟而引发

的患病者，所以吸烟不一定引起健康问题.但吸烟引起健康问题的可能性

大.因此“健康问题不一定是由吸烟引起的，所以可以吸烟”的说法是不

对的.

点评：在探究研究的过程中，如果能够从两个变量的观察数据之间发

现相关关系是极为有意义的，由此可以进一步研究二者之间是否蕴涵因果

关系，从而发现引起这种相关关系的本质原因是什么.本题的意义在于引

导学生重视对统计结果的解释，从中发现进一步研究的问题.

变式训练

下列关系中，带有相关关系的是.

①正方形的边长与面积之间的关系

②水稻产量与施肥量之间的关系

③人的身高与年龄之间的关系

④降雪量与交通事故的发生率之间的关系

分析：两变量之间的关系有两种：函数关系与带有随机性的相关关

系.①正方形的边长与面积之间的关系是函数关系.②水稻产量与施肥量

之间的关系不是严格的函数关系，但是具有相关性，因而是相关关系.③

人的身高与年龄之间的关系既不是函数关系，也不是相关关系，因为人的

年龄达到一定时期身高就不发生明显变化了，因而它们不具备相关关系.

④降雪量与交通事故的发生率之间具有相关关系，因此填②④.

答案：②④

答案：②④

知能训练

1.

一个

1708090100

车间

为了

规定

工时

定

额，

需要

确定

加工

零件

所花

费的

时

问，

为此

进行

Tio

次试

验，

收集

数据

如

下：

零件

数x/

个

加工

时间

6268758115122

y/mi

n

(1)画出散点图；

⑵关于加工零件的个数与加工时间，你能得出什么结论?

解：(1)散点图如下图：

(2)加工零件的个数与

所花费的时间具有相关

关系，并且是正相关.

2.有时候，一些东西吃

起来口味越好，对我们

的身体越有害.下表给

出了不同类型的某种食所含热量的百分比口味记录

品的数据.第二列表示

此种食品所含热量的百

分比，第三列数据表示

由一些美食家以百分制

给出的对此种食品口味

的评价：

品牌

A2589

B3489

C2080

D1978

E2675

F2071

G1965

H2462

I1960

J1352

(1)作出这些数据的散点图.

⑵关于两个变量之间的关系，你能得出什么结论？

解：(1)散点图如图：

⑵基本呈正相关关系，即食品所含热量越高，口味越好.

拓展提升

以下是某

地搜集到

的新房屋

105

的销售价

格y和房

屋的面积X

的数据：

房屋面积

/m2

销售价格/

24.821.618.429.222

万元

(1)画出数据对应的散点图；

(2)指出是正相关还是负相关；

(3)关于销售价格y和房屋的面积x,你能得出什么结论？

解：(1)数据对应的散点图如图所示：

(2)散点图中的点分布在从左下角到右上角的区域内，所以是正相

关.

(3)关于销售价格y和房屋的面积x,房屋的面积越大，价格越高，它

们具有相关的关系，并且是正相关.

课堂小结

通过收集现实问题中两个有关联变量的数据作出散点图，并利用散

点图直观认识变量间的相关关系.

作业

本节练习B.

设计感想

本节课学习了变量之间的相关关系和两个变量的线性相关的部分内

容，通过身边的具体实例说明了两个变量的相关关系，并学会了利用散

点图与其分布来说明两个变量的相关关系的种类，为下一节课作了铺垫,

另外，本节课通过选取一些学生特别关心的身边事例，对学生进行思想

情操教育、意志教育来增强其自信心，使学生养成良好的学习态度和学习

方法，树立科学的时间观，培养其勤奋、吃苦耐劳的精神.

备课资料

数学家关肇直

关肇直(1919.2.13〜1982.11.12),中国科学院院士，是中国数学家,

生于北京，原籍广东省南海县.父亲关葆麟早年留学德国，回国后任铁

道工程师多年，于1932年故世；母亲陆绍馨，是北平女子师范大学的毕

业生，曾从教于北京师范大学.关葆麟去世后，母亲以微薄的收入艰难

地抚育关肇直与其弟妹多人.新中国成立后，关肇直尽心亲侍慈母，直

至其母1967年去世.关肇直于1959年1月与刘翠娥结婚，他们有两个女

儿.刘翠娥系中国科学院工程物理研究所研究人员.

关肇直于1927年进入北京培华中学附属小学学习.1931年入英国人办

的崇德中学学习.学校对英文要求十分严格，加上关肇直自小就由父母习

以英文、德文，为日后掌握英文、德文、法文、西班牙文和俄文奠定了良

好基础.1936年高中毕业后考入清华大学土木工程系，后于1938年转入燕

京大学数学系学习.毕业后在燕京大学(后迁成都)任教.参加成都教授联

谊会，担任学生进步组织的导师，积极支持抗日救国学生运动.1946年春

从成都返回北平CI匕京)，不久从燕京大学转到北京大学数学系任教.1947

年通过考试成为国民政府派遣的中法交换生赴法国留学.名义上去瑞士学

哲学，实际上去了巴黎大学庞加莱研究所研究数学，导师是著名数学家、

般拓朴与泛函分析的创始人弗雷歇(M.R.Frechetl),1948年参加革命团

体“中国科学工作者协会”，是该会旅法分会的创办人之一.1949年10月,

新中国诞生，他毅然决定放弃获得博士学位的机会.关肇直于12月回到

祖国，满腔热情地参加了新中