2024世少赛九年级试题及答案 附题型技巧讲解

2024世少赛九年级试题及答案附题型技巧讲解

一、单项选择题（总共10题，每题2分）1.二次函数\(y=-2(x-3)^2+5\)的顶点坐标和开口方向分别是（）A.(3,5)，向上B.(-3,5)，向下C.(3,5)，向下D.(-3,5)，向上2.已知⊙O的半径为5，点P到圆心O的距离为3，过点P的最短弦长为（）A.8B.6C.10D.43.若△ABC∽△DEF，相似比为2:3，且△ABC的周长为16，则△DEF的周长为（）A.12B.24C.32D.484.一个不透明袋子里有3个红球和2个白球，随机摸出一个球后放回，再摸出一个球，两次都摸到红球的概率是（）A.\(\frac{3}{5}\)B.\(\frac{9}{25}\)C.\(\frac{6}{25}\)D.\(\frac{3}{10}\)5.一组数据：2,5,3,7,5,4的中位数是（）A.4B.4.5C.5D.3.56.反比例函数\(y=\frac{k}{x}\)的图像经过点(2,-3)，则当x>0时，y随x的增大而（）A.增大B.减小C.不变D.无法确定7.关于x的一元二次方程\(x^2-2x+m=0\)有两个相等实数根，则m的值为（）A.1B.-1C.2D.-28.小明站在离旗杆底部15米处，测得旗杆顶部的仰角为60°，旗杆高度约为（）（\(\sqrt{3}≈1.732\)）A.25.98米B.15米C.30米D.17.32米9.不等式组\(\begin{cases}2x-1<5\\x+2≥1\end{cases}\)的解集是（）A.x<3B.x≥-1C.-1≤x<3D.无解10.矩形ABCD中，AB=3，AD=4，沿对角线AC折叠，点B落在点B'处，则△AB'C的面积为（）A.6B.12C.4.8D.2.4二、填空题（总共10题，每题2分）11.二次函数\(y=x^2-4x+3\)的顶点坐标为________。12.⊙O中，弦AB与直径CD垂直于点E，若CD=10，AE=4，则AB=________。13.若△ABC∽△A'B'C'，面积比为4:9，则相似比为________。14.从1,2,3,4中随机取两个数（不重复），和为偶数的概率是________。15.数据：1,3,3,5,5,5的众数是________。16.反比例函数\(y=\frac{k}{x}\)与直线\(y=2x\)交于点(1,2)，则k=________。17.方程\(x^2-5x+6=0\)的两根之和为________。18.\(\sin60°\cdot\cos30°=________\)（结果保留根号）。19.不等式\(3x-2>5x+4\)的解集是________。20.在△ABC中，∠A=50°，∠B=70°，则△ABC的外心在三角形________（填“内”“外”或“边上”）。三、判断题（总共10题，每题2分）21.二次函数\(y=ax^2+bx+c\)中，若a>0，则图像开口向下。（）22.直径所对的圆周角是直角。（）23.两个角对应相等的三角形一定相似。（）24.概率为0的事件是不可能事件。（）25.平均数易受极端值影响，中位数不受。（）26.反比例函数\(y=\frac{k}{x}\)中，k>0时，y随x增大而减小。（）27.一元二次方程\(ax^2+bx+c=0\)有实根的条件是\(b^2-4ac≥0\)。（）28.在Rt△ABC中，∠C=90°，则\(\sinA=\cosB\)。（）29.若\(a>b\)，则\(-2a>-2b\)。（）30.直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。（）四、简答题（总共4题，每题5分）31.已知二次函数图像过点(0,-3)，顶点为(2,1)，求该二次函数的解析式。32.如图（注：文字描述代替图），⊙O中，AB是直径，点C在⊙O上，CD⊥AB于D，求证：AC²=AD·AB。33.为测量树高，小明在离树底10米处测得树顶仰角为30°，再向树底走5米，测得仰角为60°，求树高（保留根号）。34.某班40名学生数学测试成绩（分）如下：50-60有3人，60-70有5人，70-80有12人，80-90有15人，90-100有5人。补全频数分布表，并计算80分以上（含80）的频率。五、讨论题（总共4题，每题5分）35.讨论二次函数\(y=x^2-2mx+m^2+1\)（m为常数）的图像性质，包括开口方向、顶点、对称轴及最值。36.已知⊙O的半径为5，点P在⊙O外，OP=8，讨论过点P的直线与⊙O的位置关系（相交、相切、相离）对应的直线斜率范围。37.某商场促销，方案一：满100减20；方案二：打85折。讨论消费者购买金额x（元）时，哪种方案更优惠。38.统计中，普查与抽样调查各有优缺点，结合“调查某市九年级学生视力情况”，讨论如何选择调查方式并设计方案。答案及解析一、单项选择题1.C（顶点式\(y=a(x-h)^2+k\)，顶点(h,k)，a=-2<0，开口向下）2.A（最短弦垂直于OP，由勾股定理得半弦长4，弦长8）3.B（相似三角形周长比等于相似比，16:周长=2:3，周长=24）4.B（两次独立事件，概率\(\frac{3}{5}\times\frac{3}{5}=\frac{9}{25}\)）5.B（排序2,3,4,5,5,7，中位数为(4+5)/2=4.5）6.A（k=2×(-3)=-6<0，x>0时，y随x增大而增大）7.A（判别式\((-2)^2-4×1×m=0\)，m=1）8.A（旗杆高\(15\times\tan60°=15\sqrt{3}≈25.98\)）9.C（解第一个不等式得x<3，第二个得x≥-1，解集-1≤x<3）10.A（折叠后△AB'C面积等于原矩形面积的一半，3×4÷2=6）二、填空题11.(2,-1)（配方法\(y=(x-2)^2-1\)）12.8（CD=10，半径5，OE=3，半弦长\(\sqrt{5^2-3^2}=4\)，AB=8）13.2:3（面积比等于相似比的平方）14.\(\frac{1}{3}\)（和为偶数的情况：1+3,2+4，共2种，总情况6种，概率\(\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\)）15.5（出现次数最多）16.2（代入(1,2)得k=1×2=2）17.5（根与系数关系，和为5）18.\(\frac{3}{4}\)（\(\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}\)，\(\cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}\)，乘积\(\frac{3}{4}\)）19.x<-3（移项得-2x>6，x<-3）20.内（△ABC为锐角三角形，外心在内部）三、判断题21.×（a>0开口向上）22.√（圆周角定理）23.√（AAA相似判定）24.×（连续型概率中，单点概率为0但可能发生）25.√（平均数受极端值影响，中位数不受）26.×（需在同一象限内讨论增减性）27.√（判别式条件）28.√（∠A+∠B=90°，\(\sinA=\cos(90°-A)=\cosB\)）29.×（不等式两边乘负数，方向改变，应为-2a<-2b）30.√（直角三角形斜边中线性质）四、简答题31.设顶点式\(y=a(x-2)^2+1\)，代入(0,-3)得\(-3=4a+1\)，a=-1，解析式\(y=-(x-2)^2+1=-x^2+4x-3\)。32.连接BC，AB为直径，∠ACB=90°（直径所对圆周角）。△ACD∽△ABC（公共角∠A，直角），故\(\frac{AC}{AB}=\frac{AD}{AC}\)，即\(AC²=AD·AB\)。33.设树高h米，第一次距离树底10米，\(\tan30°=\frac{h}{10}\)，h=\(10\times\frac{\sqrt{3}}{3}\)；第二次距离5米，\(\tan60°=\frac{h}{5}\)，h=\(5\sqrt{3}\)。联立得\(10\times\frac{\sqrt{3}}{3}=5\sqrt{3}\)（矛盾，实际应为两次测量点与树底共线，设第一次距离x米，第二次x-5米，则\(h=x\tan30°=(x-5)\tan60°\)，解得x=7.5，h=\(7.5\times\frac{\sqrt{3}}{3}=2.5\sqrt{3}\)米）。34.频数分布表：50-60（3），60-70（5），70-80（12），80-90（15），90-100（5）。80分以上频数15+5=20，频率\(20÷40=0.5\)。五、讨论题35.开口向上（a=1>0）；顶点为(m,1)（配方\(y=(x-m)^2+1\)）；对称轴x=m；最小值为1（无最大值）。36.OP=8>半径5，点P在圆外。过P的直线与圆相切时，圆心到直线距离等于5。设直线斜率为k，方程\(y-y_p=k(x-x_p)\)（设P(8,0)简化），距离\(\frac{|0-0+k×8|}{\sqrt{k²+1}}=5\)，解得\(k=±\frac{5}{\sqrt{39}}\)。故当斜率绝对值\(<\frac{5}{\sqrt{39}}\)时相交，等于时相切，大于时相离。37.方案一实际支付\(x-20×\lfloor\frac{x}{100}\rfloor\)，方案二支付0.85x。当x<100时，方案二优惠；100≤x<200时，方案一支付x-20，方案二0.85x，令x-20=0.85x，x≈133.3。故100≤x<133.3时方案二优，x≥133.3时方案一优；200≤x<300时类似，临界点x≈266.7，依此类推。38.选择抽样调查（普查成本高）。设计方案：①确定样本量（如1000名学生）；②分层抽样（按城区、郊区分层）；③随机抽取学校和班级；④使用标准视力表测量；⑤数据整理分析（计算近视率、平均视力等）。题型技巧讲解-单项选择：善用排除法（如开口方向排除A、