八年级数学下册：线段的垂直平分线（第1课时）教案

八年级数学下册：线段的垂直平分线（第1课时）教案

一、教学内容分析

本节课是北师大版八年级数学下册第一章第三节第一课时的核心内容，定位于几何命题的探究与论证。线段的垂直平分线是继轴对称图形之后首个严格定义的几何要素，它既是前面所学等腰三角形、全等三角形知识的自然延伸，又是后续研究角平分线、四边形性质、圆中垂径定理以及尺规作图体系的重要基石。从知识脉络来看，本节课承载着三重功能：其一是作为几何概念的精确建构，将生活化对称现象抽象为数学定义；其二是作为推理能力的训练载体，引导学生经历从合情推理到演绎推理的完整过程；其三是作为互逆命题的典型范例，通过性质与判定的双向论证帮助学生初步感悟几何定理的系统性。从数学思想层面而言，本节课有机渗透了模型思想（将实际问题转化为垂直平分线模型）、转化思想（将线段相等问题转化为三角形全等问题）、方程思想（通过周长关系列方程求解）以及数形结合思想（用代数运算刻画几何位置关系）。从学科核心素养看，本节课对直观想象（通过折叠与作图建立空间观念）、逻辑推理（性质与判定的严格证明）、数学运算（结合周长的简单计算）以及数学抽象（从具体线段到一般化命题）均有显著的培育价值。【非常重要】【核心素养】

二、学情分析

八年级学生正处于几何思维发展的关键转折期。在前期的学习中，学生已能熟练运用“SSS、SAS、ASA、AAS、HL”五种方法证明三角形全等，具备初步的演绎推理意识；同时通过对轴对称现象的认识，积累了“折叠”“重合”等操作经验。然而，学生普遍存在以下三个典型障碍：第一，思维定式带来的互逆意识薄弱——多数学生习惯于正向运用定理，对命题的逆是否成立缺乏主动追问的习惯，这为判定定理的理解埋下难点；第二，几何语言转换生涩——在将文字命题翻译为“已知、求证”的符号语言时，常出现条件遗漏或图形标注不全；第三，尺规作图的原理性认知缺失——学生往往只机械记忆作图步骤，却不理解“为何这样作图就得到垂直平分线”，导致作图时屡屡出现半径选取不当、交点不清晰等问题。针对上述学情，本节课设计时特别强化逆向提问环节，以认知冲突驱动判定定理的探究；在证明教学中采用“先说后写”的策略，先让学生口述思路，再板演规范格式；尺规作图部分则刻意安排“作法与原理对应分析”，使学生不仅知其然更知其所以然。【重要】【难点定位】

三、教学目标

基于课程标准、教材内容与学生认知基础，确立如下四维教学目标：

知识与技能维度：准确记忆线段垂直平分线的定义，能使用几何语言描述定义、性质定理与判定定理；能独立完成用尺规作一条线段的垂直平分线，并解释作图原理；能直接应用性质定理进行简单的线段替换与周长计算。【基础】【必会】

数学思考维度：经历“测量—猜想—证明”的定理发现过程，体会合情推理与演绎推理的辩证关系；通过对性质定理与判定定理的互逆分析，初步建立逆向思维意识；在尺规作图原理剖析中，发展因果推理能力。【非常重要】

问题解决维度：能在复杂图形中准确识别垂直平分线的结构，并利用其性质将分散的线段关联起来；能将三角形周长问题转化为关于垂直平分线的方程模型；能够运用所学知识设计简单的轴对称图案。【高频考点】【热点】

情感态度与维度：在严谨的证明过程中养成言之有理、落笔有据的科学态度；通过欣赏垂直平分线带来的对称美感，体会数学内部的和谐统一；在小组合作交流中培养倾听、质疑与分享的学术品质。【重要】

四、教学重点与难点

教学重点：线段垂直平分线的性质定理及其初步应用。该定理不仅是本课的核心结论，更是整个初中阶段几何计算与证明的高频工具，几乎所有涉及“线段相等”或“等腰三角形”的问题都可借助该定理简化过程。突破重点的关键在于设计丰富的变式情境，让学生在不同图形背景下反复调用定理，实现从机械记忆到条件化提取的转变。【非常重要】【高频考点】

教学难点：线段垂直平分线判定定理的探究与证明。难点成因有二：一是心理层面，学生长期处于“给出条件—推出结论”的单向思维模式，面对“由结论逆推条件”的问题时往往思路受阻；二是技术层面，判定定理的证明需要添加辅助线（垂线或中线），而添加辅助线恰恰是八年级几何入门阶段的最大障碍。破解难点拟采用“双线并进”策略：一方面通过追问“如果交换题设与结论，还成立吗？”制造认知冲突；另一方面组织小组研讨，鼓励学生展示不同的证明路径（作垂线证全等、取中点证垂直），在比较中优化思路。【难点】【重要】

五、教学准备

教师准备：基于几何画板的动态课件，预置线段垂直平分线上点的运动追踪功能，实时显示PA与PB的长度数值；微视频资源（尺规作图规范演示）；磁性黑板贴（可移动的线段与直线模型）；彩色粉笔用于标注关键条件。

学生准备：每人一套尺规作图工具（圆规、直尺、铅笔），印有若干条线段的学案纸；三角板；透明胶带用于粘贴折叠痕迹。【基础保障】

六、教学实施过程

（一）创设情境，引入新课

上课伊始，教师利用多媒体播放一组生活中的轴对称影像：古建筑屋顶的对称脊线、蝴蝶翅膀的脉纹、标准的篮球场中线。每张图片都动态添加一条虚线作为对称轴。播放结束后教师提问：“这些图形美在哪里？它们的共同数学特征是什么？”学生根据已有经验迅速回答：“沿着一条直线对折，两边完全重合。”教师顺势在黑板画出一条线段AB，抛出核心问题：“既然线段也是轴对称图形，你能画出它的对称轴吗？”此问意在唤醒学生的操作记忆。部分学生回答：“取中点，作垂线。”教师追问：“这个‘中点’和‘垂线’是你目测估计的，还是严格确定的？如果我们没有刻度尺，能否仅用圆规和无刻度直尺精确作出？”此时学生面露困惑，认知冲突自然形成。教师总结：“如何精准确定线段的中点并作出垂线，这正是今天我们要研究的核心内容——线段的垂直平分线。”板书课题并引导学生齐读。【基础】【情境驱动】

（二）操作感知，定义生成

1.折叠体验，具象提炼

学生取出提前准备好的白纸，上面画有一条长度为6cm的线段AB。教师指令：“请大家将纸片折叠，使得点A与点B完全重合，压平后展开，观察折痕与线段AB的交点以及折痕与线段的位置关系。”学生在独立操作后小组内交流。教师邀请一名学生上台展示折叠后的纸片，并用三角板测量交点位置及夹角。全班一致发现：折痕恰好穿过线段的中点，并且折痕与线段互相垂直。教师点评：“这条折痕就是线段AB的对称轴，数学上我们给它一个精确的名称。”随即板书定义。【基础】

2.文字与图形双重表征

教师展示定义文本：“垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，简称中垂线。”为了强化定义的逻辑严谨性，教师特意在“垂直”与“平分”下方加注着重号，并强调：“垂直和平分是两个并列的约束条件，缺一不可。只垂直但不平分，或者只平分但不垂直的直线，都不是垂直平分线。”接着教师在黑板上画出三种反例图形：一条过中点但不垂直的线、一条垂直但不过中点的线、一条既垂直又过中点的线（正确），让学生辨析。通过对比，学生对定义的理解从感性上升到理性。【基础】【辨析强化】

3.几何语言即时转化

教师引导学生将定义翻译为符号语言：“如图，若直线CD⊥AB，垂足为O，且OA=OB，则称直线CD是线段AB的垂直平分线。”学生跟随教师一起口述，并在学案上标注。此环节注重表达的规范性，为后续定理的严谨表述做好铺垫。【基础】

（三）实验猜想，探索性质

1.定量实验，数据支撑

回到刚才折叠好的图形，教师在黑板上模拟几何画板场景：线段AB，直线MN是它的垂直平分线，在MN上任取一点P（不与O重合），连接PA、PB。教师请学生用刻度尺测量自己纸片上点P到A、B的距离。几秒钟后，学生惊喜地报告：“PA和PB相等！”教师追问：“是巧合还是必然？请你在垂直平分线上再取两个不同的点，再量一量。”学生继续操作，三组数据均显示相等。此时教师引导学生归纳：“通过多次测量，我们几乎可以肯定，线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离是相等的。”【非常重要】【发现之旅】

2.演绎证明，理性奠基

教师提出问题：“数学仅有测量是不够的，我们需要严格的逻辑证明。请大家将刚才的发现改写成‘已知、求证’的形式。”学生独立尝试，教师抽取一份典型书写投影展示。已知：如图，直线MN⊥AB，垂足为O，且AO=BO，点P在MN上。求证：PA=PB。教师追问：“要证两条线段相等，目前我们有哪些工具？”学生回顾：“全等三角形、等腰三角形……”此处选定全等法。师生共同梳理论证路径：在△POA和△POB中，已知PO=PO（公共边），∠POA=∠POB=90°，AO=BO，故△POA≌△POB（SAS），从而PA=PB。教师板演完整证明过程，并强调：“书写时垂直条件要转化为90°角，中点条件要转化为线段相等，全等符号要规范。”【非常重要】【高频考点】

3.定理命名与变式朗读

教师揭示：“这就是线段垂直平分线的性质定理。”全体学生齐读定理两遍，然后尝试闭眼复述。教师进一步训练语言转换：出示不同方向摆放的图形，让学生准确指出垂直平分线、垂足、线段端点，并用符号语言表达“∵P在AB的垂直平分线上，∴PA=PB”。【必会】

（四）逆向思考，探究判定

1.逆向设问，引发猜想

教师利用几何画板逆置条件与结论：先画定线段AB，再任取一点P，使得PA=PB，随后追踪点P的运动轨迹。学生惊奇地发现：所有满足PA=PB的点P竟然都排列在一条直线上，而且这条直线恰好垂直于AB且过AB的中点。教师顺势提问：“到线段两个端点距离相等的点，是否一定都在这条线段的垂直平分线上？”学生通过观察动画已形成强烈直观，纷纷点头。教师进一步施加认知挑战：“数学不能仅靠‘看起来’，我们需要证明它。”【重要】【难点攻坚】

2.多路径证明探索

教师将学生分成4人小组，每组发放一张印有不同位置点P（在线段上方、在线段下方、在线段左侧、在线段右侧）的卡片，要求针对图形写出已知求证并尝试证明。巡视过程中教师给予两类提示：提示一——“如果先作垂线，你能证明垂足是中点吗？”提示二——“如果先取中点，你能证明连线垂直吗？”五分钟后，小组代表汇报。第一组展示“作垂线法”：过点P作PC⊥AB于C，则∠PCA=∠PCB=90°，又PA=PB，PC=PC，故Rt△PAC≌Rt△PBC（HL），所以AC=BC，即点C是AB中点，因此PC是AB的中垂线，点P在AB的中垂线上。第二组展示“取中点法”：取AB中点O，连接PO，由SSS证△PAO≌△PBO，得∠POA=∠POB，又∠POA+∠POB=180°，故∠POA=90°，即PO⊥AB，所以PO是中垂线，点P在中垂线上。教师对两种方法均给予高度评价，并总结：“虽然辅助线作法不同，但本质都是用全等三角形沟通位置关系。”【重要】【难点突破】

3.判定定理生成

教师板书判定定理：“到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。”并强调此定理与性质定理是互逆关系。为了加深理解，教师设计即时判断练习：等腰三角形的顶点在底边的垂直平分线上吗？（是）等边三角形的三条边的垂直平分线交于一点吗？（是，后续课探究）【重要】【判定】

（五）尺规作图，技能习得

1.挑战性问题驱动

教师出示任务：“如果给你一条线段，既没有折叠条件，也没有刻度尺，你能仅用圆规和直尺作出它的垂直平分线吗？这就是数学家们曾经遇到的挑战。”学生跃跃欲试，开始尝试。此时教室里圆规画弧声此起彼伏。大约两分钟后，有学生发现：分别以A、B为圆心，以大于1/2AB的长度为半径画弧，两弧在线段两侧各有一个交点，过这两个交点的直线好像就是垂直平分线。教师没有直接肯定，而是组织全班验证。【基础】【必会】

2.规范演示与原理剖析

教师利用实物投影仪，边操作边口述作法，同步在黑板尺规作图。步骤一：以A为圆心，适当长（大于1/2AB）为半径画弧；步骤二：以B为圆心，相同半径画弧，两弧交于C、D；步骤三：过C、D作直线，则直线CD即为AB的垂直平分线。作图结束后，教师提出关键问题：“为什么直线CD一定垂直于AB且平分AB？”学生陷入沉思。教师引导：“请观察点C，它满足什么条件？”学生发现CA=CB（半径相等）。教师追问：“那么点C在线段AB的什么上？”学生顿悟：“垂直平分线上！”同理点D也在垂直平分线上。教师总结：“两点确定一条直线，所以CD就是整条垂直平分线。”至此，学生恍然大悟：原来尺规作图的背后，正是刚刚学过的判定定理。【重要】【原理整合】

3.分层纠错与技能固化

学生独立模仿作图，教师巡回捕捉典型错误：半径选取过小导致两弧无交点；画弧时圆心漂移；连线时未使用直尺，徒手描摹。教师将错例匿名投影，全班会诊改进。随后增加变式训练：求作三角形一条边的垂直平分线。学生顺利迁移。【基础应用】

（六）例题精析，应用深化

例1（基础保分）：如图，在△ABC中，BC的垂直平分线交AB于点E，垂足为D，若BC=10，BE=6，求△BEC的周长。

教师引导学生抽取模型：“由DE垂直平分BC，你能直接得到哪两条线段相等？”学生齐答：“EB=EC。”教师板演：∵DE是BC的垂直平分线，∴EB=EC（性质定理）。∴C△BEC=BE+EC+BC=6+6+10=22。本题虽简单，但重在规范“由垂直平分线直接得线段相等”的推理模式，避免学生绕回全等证明。【高频考点】【基础】

例2（能力提升）：如图，△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线DE交AC于E，垂足为D。已知△ABC周长为24，△EBC周长为16，求AB、BC的长。

本题是典型的“双周模型”。教师首先引导学生将周长表达式展开：C△ABC=AB+AC+BC=2AB+BC=24；C△EBC=BE+BC+EC。由于DE是AB的垂直平分线，可得AE=BE，代入C△EBC=AE+EC+BC=AC+BC=AB+BC=16。于是得到方程组2AB+BC=24，AB+BC=16。解得AB=8，BC=8。教师点评时特别强调：“将BE替换为AE是解题的核心步骤，这一替换的依据正是线段垂直平分线的性质定理。”【重要】【热点】

例3（综合探究）：已知：AB=AC，DB=DC，E是AD上任意一点。求证：BE=CE。

本题图形稍显复杂，学生初读往往找不到切入点。教师启发：“要证BE=CE，只需说明点E在BC的垂直平分线上。而已知条件中，AB=AC能告诉我们什么？DB=DC又能告诉我们什么？”学生思考后回答：“AB=AC说明点A在BC的中垂线上；DB=DC说明点D也在BC的中垂线上。”教师追问：“两点能确定什么？”学生顿悟：“两点确定一条直线，所以AD就是BC的中垂线！”至此思路豁然开朗。教师要求学生独立完成证明书写，并请两位学生板演。点评环节教师着重强调：判定定理既可用于单个点，也可用于整条直线——直线上有两点满足到线段两端距离相等，则整条直线都是垂直平分线。【难点】【选学】

（七）分层练习，巩固提升

本环节采用“动笔不讨论，即时反馈”的方式。教师通过PPT逐题呈现，学生学案作答，每完成一题即刻核对答案，典型错误当堂剖析。

A层练习（定义与辨析）：判断下列语句是否正确。（1）过线段中点的直线是线段的垂直平分线；（错，缺少垂直）（2）线段的垂直平分线是线段的一条对称轴；（对）（3）若PA=PB，则过点P的直线是线段AB的垂直平分线。（错，缺少“两点定线”条件）【基础】

B层练习（性质直接应用）：如图，△ABC中，AC=5，BC的垂直平分线DE交AB于E，垂足D，△ACE周长为12，求AB长。答案：AB=7。【重要】

C层练习（图形辨析）：在四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为O，则图中有哪些相等的线段？引导学生发现AB=AD，CB=CD，OB=OD等。【综合】

D层拓展（最短路径）：燃气公司要在河流l（抽象为直线）上修建一个供气站，向河同一侧的两个村庄A、B供气，问供气站建在何处可使输气管线总长最短？请画图说明，并尝试用垂直平分线解释原理。【热点】【实践创新】

（八）反思小结，构建网络

教师使用“知识树”板书框架，引导学生从三个维度梳理：

知识维度：一条核心定义（垂直平分线），两大支柱定理（性质与判定），一项关键技能（尺规作图）。教师特别强调性质定理与判定定理的互逆关系，并用双向箭头联结二者，构建完整的定理对。【非常重要】

方法维度：从折叠测量到猜想的归纳法，从已知到求证的演绎法，从正向到逆向的互逆法，从作法到原理的分析法。【重要】

思想维度：转化思想（线段相等转化为全等）、模型思想（周长问题转化为方程）、对称美学。【基础】

学生每人用一句话分享本节课最有收获的一点，教师最后用“数学是思维的体操”收尾，激发持续探究的热情。

（九）布置作业，延伸课外

必做作业：课本第28页习题1.3第1、2、3题。要求书写规范，严格使用“垂直平分线”性质推理，不得跳步。【基础】

选做作业：已知三