小学数学重叠问题专项练习讲义

小学数学重叠问题专项练习讲义同学们，在我们的数学学习中，常常会遇到一些物体或数量之间“你中有我，我中有你”的情况，这就是我们今天要深入探讨的“重叠问题”。掌握重叠问题的解题方法，不仅能帮助我们更清晰地理解数量之间的关系，还能培养我们分析问题和解决问题的能力。这份讲义将带你系统地学习重叠问题的知识要点、解题思路，并通过练习加以巩固。一、知识要点回顾与梳理在解决重叠问题时，我们首先要理解什么是“重叠部分”。简单来说，当两个或多个集合（可以理解为不同的类别）有公共的元素时，这些公共元素就构成了重叠部分。核心原理：当我们计算两个有重叠部分的集合的总数量时，如果直接将两个集合的数量相加，那么重叠部分就被重复计算了一次。因此，为了得到准确的总数量，我们需要减去被重复计算的重叠部分。可以用下面的关系式来表示（以两个集合为例）：总数量=A类数量+B类数量-A、B重叠部分数量这个关系式是解决重叠问题最基本也是最重要的依据。我们可以通过画图（比如画两个相交的圆圈，即韦恩图的雏形）来帮助理解，相交的部分就是重叠部分。二、典型例题精析例1：基本重叠求总数三（1）班有学生若干人，其中参加语文兴趣小组的有25人，参加数学兴趣小组的有23人，两项都参加的有8人。请问，三（1）班参加了语文或数学兴趣小组的一共有多少人？分析：题目中，“参加语文兴趣小组的人数”和“参加数学兴趣小组的人数”是两个集合，“两项都参加的人数”就是这两个集合的重叠部分。要求“参加了语文或数学兴趣小组的总人数”，就是求这两个集合的并集的数量。解答：根据核心原理，总人数=参加语文的人数+参加数学的人数-两项都参加的人数即：25+23-8=40(人)答：三（1）班参加了语文或数学兴趣小组的一共有40人。例2：已知总数求重叠一个班有42名学生，他们都参加了课外兴趣小组。其中参加美术组的有25人，参加音乐组的有30人。请问，两个小组都参加的有多少人？分析：这里，班级总人数42人就是参加了美术组或音乐组的总人数（因为所有人都参加了）。我们知道了A类（美术组25人）、B类（音乐组30人）和总数量（42人），要求的是重叠部分的数量。我们可以对核心原理的关系式进行变形。解答：由总数量=A类数量+B类数量-重叠部分数量，可得重叠部分数量=A类数量+B类数量-总数量即：25+30-42=13(人)答：两个小组都参加的有13人。例3：已知部分与重叠求另一部分学校运动会上，参加跑步比赛的有45人，参加跳远比赛的有30人。既参加跑步又参加跳远的有10人，且每位运动员至少参加了其中一项比赛。请问，参加跳远比赛的有多少人？（此处疑似重复，应为“参加比赛的一共有多少人？”或“只参加跳远的有多少人？”。为符合逻辑，我们假设问题是“参加比赛的一共有多少人？”）分析：（修正问题后）这与例1类似，已知A类（跑步45人）、B类（跳远30人）和重叠部分（10人），求总数量。解答：总人数=45+30-10=65(人)答：参加比赛的一共有65人。（若原题意图是“只参加跳远的有多少人？”，则解答为：只参加跳远=参加跳远总人数-重叠人数=30-10=20人。这种“只参加某一类”的问题也是常见的衍生题型，需提醒学生注意区分“参加A类”和“只参加A类”的不同。）三、方法总结与技巧点拨1.明确概念：准确理解“总数量”、“A类数量”、“B类数量”和“重叠部分数量”的含义，以及它们之间的关系。2.找准关键：在题目中准确找出对应的已知量和未知量。通常，“既...又...”、“都参加”等词语提示的是重叠部分。3.活用公式：熟练掌握核心关系式“总数量=A+B-重叠”，并能根据已知条件灵活变形，如“重叠=A+B-总数量”，“A=总数量+重叠-B”等。4.画图辅助：对于较复杂的题目，画简易的韦恩图（圆圈图）是帮助理解题意、找出重叠部分的有效方法。在图中标出已知数据，能使数量关系一目了然。5.区分“参加A”与“只参加A”：“参加A类”的人数包括了“只参加A类”和“既参加A又参加B类”的人数，解题时需仔细审题，明确所指。四、专项练习题基础巩固1.同学们去图书馆借书，借了故事书的有32人，借了科技书的有28人，两种书都借了的有10人。去图书馆借书的同学一共有多少人？2.一个小组有50人，会打篮球的有38人，会打羽毛球的有35人，每人至少会打一种球。两种球都会打的有多少人？3.某班同学参加语文和数学考试，语文及格的有40人，数学及格的有45人，两门都及格的有35人。这个班一共有多少名同学？（假设每人至少有一门及格）能力提升4.三年级（2）班有学生45人，参加作文竞赛的有28人，参加数学竞赛的有22人，两项竞赛都没参加的有5人。两项竞赛都参加的有多少人？5.公园里，赏花的游客中有18人喜欢牡丹，有25人喜欢樱花，两种花都喜欢的有9人，两种花都不喜欢的有5人。请问公园里赏花的游客一共有多少人？6.学校组织活动，参加绘画的有30人，参加歌唱的人数比参加绘画的多5人，两种活动都参加的有12人，参加这两种活动的一共有多少人？拓展延伸7.把两根长度分别为20厘米和30厘米的纸条粘在一起，重叠部分的长度为5厘米。粘好后的纸条总长度是多少厘米？8.三（1）班同学订阅报刊，订《小学生语文报》的有30人，订《小学生数学报》的有28人，两种报纸都订的有10人，两种报纸都没订的有2人。三（1）班一共有多少人？五、参考答案与提示基础巩固1.32+28-10=50（人）2.38+35-50=23（人）3.40+45-35=50（人）能力提升4.提示：先求出至少参加一项竞赛的人数：45-5=40（人）。再求两项都参加的人数：28+22-40=10（人）。5.提示：先求出至少喜欢一种花的人数：18+25-9=34（人）。再加上两种花都不喜欢的：34+5=39（人）。6.提示：先求参加歌唱的人数：30+5=35（人）。再求总人数：30+35-12=53（人）。拓展延伸7.提示：两根纸条的总长度减去重叠部分就是粘好后的长度。20+3