5三角形的内角平分线

第一章三角形的证明5角平分线第2课时

三角形的内角平分线A返回1．如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线交于点O，AB＝12cm，BC＝9cm，若△ABO的面积为18cm2，则△BOC的面积为(

)

A．13.5cm2B．18cm2C．24cm2D．27cm2返回62．如图是油路管道的一部分，延伸外围的支路恰好构成一个直角三角形，两直角边AC，BC的长分别为6m和8m．按照输油中心O到三条支路的距离相等来连接管道，则O到三条支路的管道总长(计算时视管道为线段)是________m.63．如图，已知在△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，CD平分∠ACB，BE平分∠ABC，BE与CD交于点O，若过点O的直线MN平分△ABC的面积，那么CM＋CN的值为________.【点拨】返回4．①②③【点拨】∵OM＝OR＝OS，∴三角形内部有一个点O到直线AB，AC，BC的距离相等，如图③所示，作△ABC外角的平分线BP1，AP1，交于点P1.过点P1作P1N1⊥BC，P1N2⊥AB，P1N3⊥AC，由角平分线的性质定理可得P1N1＝P1N2＝P1N3，同理可得，三角形外部共有3个点到直线AB，AC，BC的距离相等，∴共有4个点到直线AB，AC，BC的距离相等，故④错误；综上所述，正确的有①②③.返回5．[2025北京汇文中学月考]已知点C是∠MAN平分线上的一点，∠BCD的两边CB，CD分别与射线AM，AN相交于B，D两点，且∠ABC＋∠ADC＝180°，过点C作CE⊥AB，垂足为E.(1)如图①，当点E在线段AB上时，求证：BC＝DC；【证明】如图①，过点C作CF⊥AD，垂足为F.因为AC平分∠MAN，CE⊥AB，所以CE＝CF.因为∠CBE＋∠ADC＝180°，∠CDF＋∠ADC＝180°，所以∠CBE＝∠CDF.又因为∠CEB＝∠CFD＝90°，所以△BCE≌△DCF.所以BC＝DC.(2)如图②，当点E在线段AB的延长线上时，请直接写出线段AB，AD与BE之间的数量关系；【解】AD－AB＝2BE.【点拨】如图②，过点C作CF⊥AD，垂足为F.因为AC平分∠MAN，CE⊥AB，所以CE＝CF.又因为AC＝AC，所以Rt△ACE≌Rt△ACF，所以AE＝AF.因为∠ABC＋∠ADC＝180°，∠ABC＋∠CBE＝180°，所以∠CDF＝∠CBE.又因为∠CEB＝∠CFD＝90°，所以△BCE≌△DCF，所以BE＝DF，所以AD＝AF＋DF＝AE＋DF＝AB＋BE＋DF＝AB＋2BE，所以AD－AB＝2BE.(3)如图③，在(2)的条件下，若∠MAN＝60°，连接BD，作∠ABD的平分线BK交AD于点K，交AC于点O，连接DO并延长交AB于点G，若BG＝1，DK＝2，求线段DB的长.【解】如图③，在BD上截取BH＝BG＝1，连接OH.因为BK平分∠ABD，所以∠OBH＝∠OBG.又因为OB＝OB，所以△OBH≌△OBG，所以∠OHB＝∠OGB，∠BOH＝∠BOG.因为AO是∠MAN的平分线，BO是∠ABD的平分线，所以DO是∠ADB的平分线，所以∠ODH＝∠ODK.因为∠OHB＝∠ODH＋∠DOH，∠OGB＝∠ODK＋∠DAB，所以∠DOH＝∠DAB＝60°，所以∠GOH＝120°，所以∠BOG＝∠BOH＝60°，所以∠DOK＝∠BOG