数学 第二十章 勾股定理单元监测 2025-2026学年+人教版八年级数学下册

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页2026年新人教版八年级数学下册第二十章勾股定理单元监测学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________评卷人得分一、单选题1．将下列长度的三条线段首尾顺次连接，能组成直角三角形的是（

）A． B． C． D．2．如图，是等腰三角形钢架屋顶外框示意图，其中，是横梁，是竖梁，且为的中点，若横梁长为，则竖梁长为（

）A． B． C． D．3．“勾股定理”堪称几何学领域中一颗璀璨夺目的明珠，它是用代数思想解决几何问题的重要工具．中国是最早发现并研究勾股定理的国家之一，迄今已有三千多年历史．勾股定理目前约有五百多种证明方法，是数学定理中证明方法较多的定理之一．以下四幅图中，无法证明勾股定理的是（

）A． B． C． D．4．如图①，直角三角形的两个锐角分别是和，其三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作锐角为和的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是次操作后的图形．图③是重复上述步骤若干次后得到的图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”．若图①中的直角三角形斜边长为，则次操作后图形中所有正方形的面积和为（

）A． B． C． D．5．如图，在长方形中，．将长方形沿折叠后，使点D恰好落在对角线上的点处，则的长为（

）A．2.5 B．3 C．3.5 D．46．一直角三角形的两直角边长分别为6和8，则第三边的长为（

）．A．10 B． C． D．10或7．如图，用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌成了一个正方形图案．已知大正方形的面积为49，小正方形的面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边长，有下列四个说法：①；②；③；④．其中正确的是（

）A．①② B．①②③ C．①②③④ D．①②④8．如图，在中，，．若点P在边上移动，则的最小值是（

）A．3.5 B．4 C．4.5 D．4.8评卷人得分二、填空题9．在平面直角坐标系中，点到原点的距离为______．10．如图，四边形中，，，，，的面积是的面积的两倍、则的长为________．11．在等腰直角中，，为直角边的中点，若，则的长为___．12．若中，，，高，则BC的长为______．评卷人得分三、解答题13．如图，的顶点均在边长为1的小正方形网格格点上，请仅用无刻度直尺完成下列作图．(1)在图1中，在线段延长线上取点，使；(2)在图2中，在上取点，使．14．风筝，自春秋时期起源，至今已承载两千多年的智慧．为探索其蕴含的数学原理，某综合实践小组以“测量风筝离地面的垂直高度”为主题展开实践活动，探索过程如下：【抽象模型】该小组基于风筝放飞的实际情况，画出了如图1所示的示意图，其中点A为风筝所在的位置，为牵线放风筝的手到风筝的水平距离，为风筝线的长度，为风筝到地面的垂直距离．【测量数据】小组成员测量了图1相关数据，测得长为24米，根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米，牵线放风筝的手到地面的距离（即的长）为米．【问题解决】根据以上信息，解决下列问题：(1)请根据图1中测得的数据，计算此时风筝离地面的垂直高度；(2)如图2，若风筝沿方向再上升8米到达点E，且风筝线的长度不变，放风筝的同学沿射线方向前进，放风筝的手水平移至点F处，则的长度是多少米？15．为了保护眼睛，小明将台灯更换为护眼台灯（图1），其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图2所示，其中．(1)求的大小；(2)若，求灯到的距离．16．如图，四边形，、、，连接，且．(1)求的长；(2)若，求的长．17．如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点，且，求的长．18．如图，已知中，，，点D为直线上的一动点（点D不与点B、C重合），以为边作，使，，连接．发现问题：如图1，当点D在边上时，(1)请写出和之间的位置关系为______，并猜想和、之间的数量关系：______；(2)如图2，当点D在边的延长线上且其他条件不变时，（1）中和之间的位置关系，和、之间的数量关系是否成立？若成立，请证明；若不成立，请写出新的数量关系，说明理由；(3)当点D在射线上且其他条件不变时，若，，求出线段的长．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页《2026年新人教版八年级数学下册第二十章勾股定理单元监测》参考答案1．D【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用，解题关键是先确定每组线段中的最长边，再验证两条较短边的平方和是否等于最长边的平方，若相等则能组成直角三角形．【详解】解：A、最长边为，，不能组成直角三角形，不符合题意；B、最长边为，，不能组成直角三角形，不符合题意；C、最长边为，，不能组成直角三角形，不符合题意；D、最长边为，，即，能组成直角三角形，符合题意．故选：D．2．B【分析】根据等腰三角形的性质求出，再根据勾股定理求解即可．【详解】解：∵，为的中点，∴，，∴，故选：B．3．D【分析】本题考查了勾股定理的证明方法，以弦图为背景的计算题等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解．利用整个图形的面积减去各部分面积，以此证明勾股定理，以此对四个图形逐一推导，再作出判断．【详解】解：因为，所以，所以，所以，所以，即，故A不符合；，所以，即，故B不符合；，所以，即，故C不符合；图D不能推导出勾股定理，故D符合，故选：D．4．C【分析】本题考查了图形规律，直角三角形的性质、勾股定理、正方形的性质，关键是勾股定理的应用；根据题意分别计算出图①、图②和图③的面积，得出规律即可求解．【详解】解：∵图①中所有正方形的面积和为：；第一次操作后所有正方形的面积和为：；第二次操作后所有正方形的面积和为：；……第次操作后所有正方形的面积和为：；∴当时，，故选：C．5．B【分析】根据勾股定理可得的长，再由折叠的性质可得，，从而得到，，设，则，在中，根据勾股定理，即可求解．【详解】解：在长方形中，，，∴，由折叠的性质得：，，∴，，设，则，在中，∵，∴，解得：，即．6．A【分析】根据勾股定理求解即可．【详解】∵一直角三角形的两直角边长分别为6和8，∴第三边的长为，故选：A．【点睛】本题考查的是勾股定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理．7．D【分析】本题考查了勾股定理及正方形和三角形的边的关系，此图被称为“弦图”，熟悉勾股定理并认清图中的关系是解题的关键．根据直角三角形的性质、直角三角形面积的计算公式及勾股定理解答．【详解】解：①∵为直角三角形，∴根据勾股定理：，故本选项正确；②由图可知，，故本选项正确；③由可得①，又∵②，∴得，，整理得，，，故本选项错误；④由图可知，四个直角三角形的面积与小正方形的面积之和为大正方形的面积，列出等式为，即；故本选项正确．∴正确结论有①②④．故选：D．8．D【分析】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理以及三角形的面积等知识，正确理解题意、熟练掌握上述知识是解题的关键．作于点D，如图，根据等腰三角形的性质和勾股定理可求出，根据垂线段最短可知：当时，最小，再利用三角形的面积求解即可．【详解】解：作于点D，如图，∵，，∴，，根据垂线段最短可知：当时，最小，则由，可得，解得；即线段的最小值是．故选：D．9．10【分析】利用两点间的距离公式进行求解即可．【详解】解：点到原点的距离为：，故答案为：10．【点睛】此题考查了平面直角坐标系中两点间的距离，熟练掌握两点间的距离是解题的关键．10．【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、勾股定理、等边三角形的判定与性质，关键是辅助线的作法；延长到点，使，连接，作于，通过论证可得，继而是等边三角形，设，可得，利用勾股定理列方程可解．【详解】解：延长到点，使，连接，过点作于，∵，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴是等边三角形，∴设∵的面积是的面积的两倍∴的面积是的面积的两倍即：，，∵，∴，，∵，∴，解得：，即：．故答案为：．11．2或或【分析】分两种情况：当时，当时，分别画出图形，进行求解即可．【详解】解：如图1，当时，可得，当为的中点时，；当为的中点时，；如图2，当时，可得，∴，∴，当为的中点时，；当为的中点时，可得；综上所述，的长为2或或．12．或5/5或11【分析】分两种情况考虑，如图所示，分别在与中，利用勾股定理求出与的长，即可求出的长．【详解】解：根据题意画出图形，如图所示，如图1所示，，，，在中，根据勾股定理得：，在中，根据勾股定理得：，此时；如图2所示，，，，在中，根据勾股定理得：在中，根据勾股定理得：，此时，则的长为或5．故答案为：或5．【点睛】此题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理进行分类讨论是解本题的关键．13．(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据勾股定理，得，只需在线段延长线上取点，使得即可得到；（2）只需作于点，根据勾股定理即可得到．【详解】（1）解：根据勾股定理，得，在线段延长线上取点，使得即可得到则点D即为所求；（2）解：根据题意，得，由，且，得于点E，交点为的垂心，连接A与垂心，并延长交于点，则，根据勾股定理，得，如图2，则点即为所求．14．(1)风筝离地面的垂直高度为米(2)4米【分析】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是掌握勾股定理公式．（1）首先根据勾股定理求出米，进而求解即可；（2）首先得到米，米，然后根据勾股定理求出米，进而求解即可．【详解】（1）解：在中，米，米．答：此时风筝离地面的垂直高度为米．（2）解：米，由题意可得：米，在中，米，米，答：他应该朝射线方向前进4米．15．(1)(2)【分析】（1）延长交的延长线于点，根据平行线的性质可得，再结合，即可求解；（2）根据等腰三角形的判定可得，在中，再由勾股定理可得，即可求解．【详解】（1）解：如图，延长交的延长线于点，∵，∴，∴，又∵，∴，∴；（2）解：由（1）可得，∴，在中，，即，解得，∴，∴灯到的距离为．16．(1)5(2)【分析】(1)根据，，，利用勾股定理求出；(2)如图，过点作交延长线于，利用勾股定理得到是直角三角形，再证明得到，的长，最后，利用勾股定理求出的长即可．【详解】（1）解：∵，，，∴，∵，∴；（2）解：如图，过点作交延长线于．∴，由(1)知，又知，∴，，∴，∴是直角三角形，，∴，∴．在和中，，∴，∴，，∴，∴．17．【分析】根据垂直平分线的性质得出，设，则，在中，根据勾股定理求解即可．【详解】解：∵是的垂直平分线，∴，设，则，在中，，∴，解得：，∴．18．(1)，(2)成立，证明见解析(3)或【分析】（1）由等腰直角三角形的性质得，证明，根据证明得，，结合可证明，运用勾股定理可得出；（2）方法同（1）；（3）分点在上和在的延长线上两种情况，结合勾股定