2026年中考数学二轮复习讲练测（全国）专题07 统计与概率（知识方法能力清单）（原卷版）

专题07统计与概率（必备知识&二级结论清单+技法清单）

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第一部分命题解码洞察命题意图，明确攻坚方向

►考向聚焦►考查形式►能力清单

第二部分技法清单构建思维框架，提炼通用解法

►知识必备/二级结论►母题精讲&答题技法►变式应用

技法01数据的收集与调查方式技法02统计图表的分析

技法03平均数、中位数、众数的计算与应用

技法04四分位数的应用技法05方差与波动性技法06事件的分类

技法07简单概率计算技法08列表法与树状图法求概率技法09用频率估计概率

技法10几何概率技法11游戏公平性技法12统计与概率的综合应用

第三部分分级实战分级强化训练，实现能力跃迁

命题解码

技法01数据的收集与调查方式：区分全面调查与抽样调查的适用场景，识别总体、个体、

样本、样本容量等概念。常以选择题形式考查何种情况适合采用何种调查方式。

技法02统计图表的分析：考查条形图、扇形图、折线图、频数分布直方图的识图与补图能

力。常要求根据统计图求未知频数、百分比、圆心角度数，或补全统计图表。

技法03平均数、中位数、众数的计算与应用：考查统计量的计算及实际意义选择。常以选

择题或填空题出现，要求计算一组数据的平均数、中位数、众数，或根据具体问题选择合适

的统计量（如商场最畅销看众数）。

考向聚焦

技法04四分位数的应用：四分位数是新教材新增内容，考查第一四分位数（下四分位数）、

第三四分位数（上四分位数）的计算及与箱线图的关系。常以选择题或填空题形式出现，要

求根据一组数据计算四分位数，或结合箱线图分析数据分布情况。

技法05方差与波动性：考查方差的意义与计算，判断数据的稳定性。常结合两组数据的平

均数和方差，判断哪组数据更稳定。

技法06事件的分类：区分必然事件、不可能事件、随机事件。常以成语或生活情境为背景，

判断事件类型。

技法07简单概率计算：考查概率公式P(A)=事件A的结果数/所有等可能结果总数。常以抽

卡片、掷骰子、摸球等简单模型出现。

技法08列表法与树状图法求概率：考查两步或三步试验的概率计算。常以摸球（放回/不放

回）、抽签、游戏胜负等形式出现，要求用列表或树状图列出所有等可能结果。

技法09用频率估计概率：考查大量重复试验中频率稳定于概率的思想。常给出一组试验数

据表格，要求根据稳定后的频率估计概率。

技法10几何概率：考查与面积、长度、角度相关的概率计算。常以转盘、飞镖靶、区域涂

色等形式出现。

技法11游戏公平性：考查通过计算概率判断游戏规则是否公平。常以摸球、掷骰子游戏为

背景，要求计算双方获胜概率并比较。

技法12统计与概率的综合应用：考查统计图表与概率计算的融合。常先给出统计图表，要

求补全数据，再从中抽取样本计算概率。

统计与概率是中考数学的必考板块，分值占比约10%-15%，考查呈现“基础+应用+综合”

三个层次：

基础层次：事件的分类、调查方式选择、简单概率公式计算、统计量识别，以选择题、填空

题为主。

考查形式

应用层次：统计图表分析与补全、列表树状图求概率、频率估计概率、游戏公平性判断，以

解答题为主。

综合层次：统计与概率融合题、跨学科应用题（如与生物成活率结合）、实际决策问题，常

作为中档或压轴解答题出现。

数据观念：能理解数据的实际意义，根据问题选择合适的调查方式和统计量。

图表解读能力：能从条形图、扇形图、折线图、频数分布直方图中准确提取信息。

运算求解能力：准确计算平均数、中位数、众数、方差及概率值。

能力清单模型思想：能根据实际问题建立概率模型（树状图、列表），计算事件发生的可能性。

随机思维：理解频率与概率的关系，认识随机现象的不确定性与规律性。

推理判断能力：能根据数据分析结果做出合理决策（如判断游戏公平性、选择最优方案）。

综合应用能力：能将统计与概率知识融合，解决较为复杂的实际问题。

技法清单

知识必备

全面调查、抽样调查、总体、个体、样本、样本容量

答题技法

全面调查适用于范围小、数据要求准确、无破坏性的情况（如安检、班级人数）；抽样调查适用于范围广、

有破坏性或耗时长的调查（如灯泡寿命、鱼的数量）。样本容量不带单位，只是数目。

母题精讲

【典例01】（2025·湖南长沙·三模）为了考查库存2000只灯泡的使用寿命，从中任意抽取15只灯泡进行实

验．在这个问题中，下列说法不正确的是（）

A．总体是2000只灯泡的使用寿命B．样本是抽取的15只灯泡

C．个体是每只灯泡的使用寿命D．样本容量是15

变式应用

【变式01】（2025·山西·中考真题）近年来，交通工具的多样化和普及化，为家长接送孩子带来便利的同时，

也在一定程度上造成了放学时段校门口的交通拥堵．为了解具体情况，某校爱心社团中午放学后在校门口

随机选取300名接送孩子的家长，针对接送孩子的方式和时段进行了问卷调查（调查问卷如图），所有问卷

全部收回且有效，并将调查结果绘制成了如下所示的扇形统计图和条形统计图（不完整）．

请认真阅读上述信息，回答下列问题：

(1)扇形统计图中“公共交通”所在扇形的圆心角度数为_________；本次调查的家长中骑电动自行车接送孩

子的有__________人，并补全条形统计图；

(2)若该校共有1500名家长中午放学后接送孩子，请估计用私家车接送孩子的家长人数；

(3)假如你是爱心社团的成员，请根据上述统计图中的信息，写出一个造成放学后校门口交通拥堵的原因，

并给家长提出一条缓解拥堵的建议．

【变式02】（2025·江苏盐城·中考真题）6月6日是“全国爱眼日”．小明在报纸上看到某市疾控中心发布的

中学生近视情况统计数据，如图（1）．

(1)图（1）中的数据是从全市30所中学随机抽取的部分学生视力筛查的结果．

①疾控中心收集数据，采用的调查方式是________；（填“普查”或“抽样调查”）

②根据统计图，请你分析近视率随年级升高的变化趋势．

(2)小明想了解“影响视力的主要因素”，对全校近视的985名学生进行问卷调查．问卷中设置了五个主要因

素：A．不认真做眼保健操；B．长时间连续用眼；C．课间只在教室休息；D．饮食不均衡；E．睡眠时间

不足．他绘制了如图（2）所示的条形统计图．

①从图（2）中可知，影响视力的最主要因素是_________．（填选项代号）

②结合上述统计数据，请你谈一谈如何预防近视．

知识必备

条形统计图、扇形统计图、折线统计图、频数分布直方图、频数分布表、圆心角度数计算。

答题技法

扇形图抓“百分比之和为1”和“圆心角=360°×百分比”；条形图抓“各组频数之和=样本容量”；频数分

布直方图抓“小长方形面积表示频数”。补图时先根据已知数据求样本容量，再推算未知组。

母题精讲

【典例01】（2025·江苏南京·中考真题）某校准备从甲、乙两名学生中选拔一名参加跳远比赛，共进行了3

次测试，每次各跳远3次，统计成绩如下表（单位：m）．

第1次测试第2次测试第3次测试

甲×4.825.365.566.15×5.81×5.78

乙4.655.765.535.67×5.905.306.055.86

注：×表示犯规．

将上述成绩分成“犯规”“一般成绩”“优秀成绩”三类，其中，5.75m以下为“一般成绩”，5.75m及以上为“优

秀成绩”，并绘制条形统计图．

(1)补全条形统计图；

(2)你认为哪名学生参加跳远比赛较为合适？为什么？

变式应用

【变式01】（2025·江苏连云港·中考真题）为了解八年级学生的体重情况，某校随机抽取了八年级部分学生

进行测量，收集并整理数据后，绘制了如下尚不完整的统计图表．

体重情况统计表

组别体重xkg频数（人数）

A类x49.510

B类49.5x59.5a

C类59.5x69.58

D类x69.5b

根据以上信息，解答下列问题：

(1)a_______，b________；

(2)在扇形统计图中，C类所对应的圆心角度数是_______°；

(3)若该校八年级共有1200名学生，估计体重在59.5kg及以上的学生有多少人?

【变式02】（2025·四川·中考真题）为了落实国家教育数字化战略行动要求，做好科学教育“加法”，提升学

生数字素养，培育数字时代的“追光者”．某校计划开设计算思维、科创实践、数字艺术三类选修课程．受时

间限制，每位学生只能参加一类选修课程．为了解该校学生对三类课程的喜爱情况，随机抽取了部分学生

进行调查，根据调查结果，绘制了如下所示的两幅不完整的统计图．

根据图中信息，解决下列问题：

(1)①此次调查一共抽取了______名学生；

②请将条形统计图补充完整；

③扇形统计图中“数字艺术”课程对应的扇形圆心角为_____度；

(2)若该校共有800名学生参加这三类选修课程，请估计喜欢计算思维课程的学生人数．

知识必备

算术平均数、加权平均数、中位数、众数、极端值对统计量的影响。

答题技法

求中位数先排序，奇数个取中间一个，偶数个取中间两个平均数；众数找出现次数最多的数（可能不止一

个）；加权平均数注意“权”的含义。平均数易受极端值影响，中位数和众数不受影响。

母题精讲

【典例01】（2025·江苏南京·中考真题）已知一组数据8，10，12，9，11，这组数据的平均数是____________．

变式应用

【变式01】（2025·四川绵阳·中考真题）为促进学生健康成长，提高身体素质，红星中学积极开展丰富多彩

的体育活动．为了解该校800名学生1分钟跳绳的情况，随机抽取了50名学生1分钟的跳绳次数（次数用

x表示，单位：次），将其分成以下五组：60x90,90x120,120x150,150x180,180x210，

并绘制成不完整的频数分布直方图，部分信息如下：

1分钟的跳绳次数在90x120中的具体数据为92，97，99，103，105，105，105，110，113，113，114，

115，115，117，119．

根据以上信息，解答下列问题：

(1)1分钟的跳绳次数在90x120范围内的众数是__________次，中位数是__________次；

(2)补全频数分布直方图；

(3)请估计该校学生1分钟的跳绳次数不低于120次的人数．

【变式02】（2025·山东德州·中考真题）本学期，为提高七年级学生排球垫球水平，某校对七年级学生实施

了“百日提升训练计划”，并分别于3月份和6月份进行了一分钟垫球数量测试，测试成绩用x（单位：个）

表示，分为四个等级，包括优秀：x30；良好：25x30；合格：20x25；不合格：x20．

为了解本计划的实施效果，随机抽取了20名学生，对他们3月份和6月份的测试成绩进行整理、描述和分

析，部分信息如下：

信息一：3月份测试成绩如下：

17332827351921222522

25271927182728293132

信息二：6月份测试成绩绘制成不完整的条形图和扇形图如下：

信息三：测试成绩对比表如下：

月份平均数/个众数/个优秀率

3月25.6ab

6月27.729c

请根据以上信息；完成下面问题：

(1)补全条形图；

(2)表中的a，b，c；

(3)已知该校七年级共400人，请估算七年级，6月份达到“优秀”等级的学生比3月份增加了多少人？

知识必备

四分位数的定义与计算、第一四分位数（下四分位数）、第三四分位数（上四分位数）、箱线图、百分位数

的意义。

答题技法

计算四分位数的关键是先将数据从小到大排序。第一四分位数（Q1）是第25%位置的数：若数据个数n×25%

为整数，则取该位置与下一位置的平均数；若不是整数，则向上取整取对应位置的数据。第三四分位数（Q3）

同理取75%位置。箱线图可直观展示最小值、Q1、中位数、Q3、最大值，用于判断数据分布是否对称、有无

异常值。

母题精讲

【典例01】（25-26八年级上·广东佛山·期末）如图，该箱线图反映了某场女排决赛中两队队员拦网高度情

况．下列说法正确的是（）

A．甲队队员拦网高度的整体水平更高B．乙队队员拦网高度的平均数更大

C．甲队队员拦网高度的方差更大D．乙队队员拦网高度的中位数更大

变式应用

【变式01】（2023·安徽芜湖·三模）四分位数是在统计学中把所有数值由小到大排列并分成四等份后，处于

三个分割点位置的数值．第一四分位数，又称“较小四分位数”，等于该样本中所有数值由小到大排列后第

25%的数字，第二四分位数就是中位数．如果数据的个数是偶数，那么中位数是中间两个数的平均数，可

用相似的处理方式计算第一、第三四分位数，九年级某小组的8名同学每分钟跳绳的个数分别为：

165、182、136、112、145、171、155、93．这一数据中第一四分位数是（）

A．102.5B．168C．124D．150

【变式02】（2024·山东潍坊·模拟预测）有一组被墨水污染的数据：4、17、7、14、★、★、★、16、10、

4、4、11，其箱线图如下：

下列说法正确的是（）

A．这组数据的下四分位数是4B．这组数据的中位数是10

C．这组数据的上四分位数是15D．被墨水污染的数据中一个数是3，一个数是18

知识必备

方差、标准差、极差、数据的波动性。

答题技法

方差越大，数据波动越大，越不稳定；方差越小，数据越稳定。计算公式为各数据与平均数差的平方的平

均数。注意标准差是方差的算术平方根。

母题精讲

【典例01】（2025·四川巴中·中考真题）有一组数据：1，2，3，3，4，5．在这组数据中加入一个整数a，

则下列一定不变的是（）

A．平均数B．中位数C．众数D．方差

变式应用

【变式01】（2025·陕西·中考真题）为了增强学生的环保意识，普及环保知识，某校在“世界环境日”当天采

取自愿报名的方式组织了环保知识竞赛．竞赛结束后，从七、八年级参赛学生的成绩（单位：分，满分100

分）中各随机抽取了10名学生的成绩，并进行整理，绘制了如下统计图表：

平均数中位数方差

2

七年级a95S1

2

八年级92.5bS2

根据以上信息，解答下列问题：

22

(1)表格中的a_____，b_____，S1_____S2（填“”“”或“”）；

(2)根据以上数据，你认为该校七、八年级哪个年级的学生环保知识掌握较好？请说明理由；

(3)该校七年级200名学生和八年级160名学生参加了本次环保知识竞赛，得分90分及以上为“优秀”等级，

请估计七、八年级参赛学生中达到“优秀”等级的总人数．

【变式02】（2025·宁夏·中考真题）宁夏葡萄酒品质优良，深受消费者青睐．为了解某基地的葡萄种植情况，

九（1）班同学对该基地的试验田中甲、乙两种葡萄树的产量进行调查．

【调查与收集】

甲、乙两种葡萄树各种植了500株，计划从中各抽取100株作为各自的样本．以下抽样调查方式合理的是

___________．

A．依次抽取100株

B．随机抽取100株

C．在长势较好的葡萄树中随机抽取100株

D．在方便采摘的葡萄树中随机抽取100株

【整理与描述】

同学们采用合理的抽样调查方式获得甲、乙两个样本中每株的产量（单位：kg），将所得数据整理描述如下：

甲样本的频数分布表

x/kg11x1313x1515x1717x1919x21

频数745152013

乙样本的频数分布直方图

注：每组含最小值，不含最大值．

根据以上信息，解答问题：

（1）甲样本中13x15组的频率是_________；

（2）补全乙样本的频数分布直方图．

【分析与应用】

（1）填表：

样方

平均数（kg）中位数出现的组别

本差

甲13x155.73

乙15.744.85

1113

（计算平均数时，把各组中每株的产量用这组数据的中间值代替，如11x13的中间值为12）

2

（2）估计试验田中甲种葡萄树每株产量不低于19kg的株数；

（3）结合以上数据为基地的葡萄种植提出一条合理化建议．

样方

平均数（kg）中位数出现的组别

本差

甲15.7413x155.73

乙15.7415x174.85

知识必备

必然事件、不可能事件、随机事件、确定性事件。

答题技法

必然事件概率为1（如水落石出），不可能事件概率为0（如水中捞月），随机事件概率介于0和1之间（如

守株待兔）。结合生活常识判断。

母题精讲

【典例01】（2025·海南·中考真题）掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，

观察向上一面的点数．下列说法正确的是（）

1

A．出现点数为6的概率是

6

B．出现点数为0是随机事件

C．出现点数为偶数是必然事件

D．出现点数为奇数是不可能事件

变式应用

【变式01】（2025·江苏徐州·中考真题）一个不透明的袋子中装有4个红球与2个黑球，每个球除颜色外都

相同．从中任意摸出3个球，下列事件为必然事件的是（）

A．至多有1个球是红球B．至多有1个球是黑球

C．至少有1个球是红球D．至少有1个球是黑球

【变式02】（2025·湖北·中考真题）在下列事件中，不．可．能．事．件．是（）

A．投掷一枚硬币，正面向上B．从只有红球的袋子中摸出黄球

C．任意画一个圆，它是轴对称图形D．射击运动员射击一次，命中靶心

知识必备

概率公式、等可能事件、古典概型。

答题技法

先明确所有等可能结果总数，再数出所求事件包含的结果数，直接代入公式。注意“等可能”的前提条件。

母题精讲

【典例01】（2025·山东潍坊·中考真题）如图，小莹对三个相连的方格进行涂色．在给每个方格涂色时，均

从红、蓝两种颜色中随机选取一种，那么相邻两个方格所涂颜色不同的概率是（）

1111

A．B．C．D．

2348

变式应用

【变式01】（2025·江苏苏州·中考真题）一只不透明的袋子中，装有3个白球和若干个红球，这些球除颜色

3

外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，摸到白球的概率为，则红球的个数为（）

5

A．1B．2C．3D．4

【变式02】（2025·山东济南·中考真题）在一个不透明的袋中有2个红球、3个黄球和4个白球，这些球除

颜色外都相同．从中随机摸出一个球，这个球是红球的概率为___________．

知识必备

频率、概率、大量重复试验、频率稳定性。

答题技法

两步试验可用列表法或树状图，三步以上必须用树状图。注意区分“放回”与“不放回”——放回时每次

可能性相同，不放回时概率会变化。画图时要保证不重不漏。

母题精讲

【典例01】（2025·陕西·中考真题）某校召开趣味运动会，经过预赛的激烈角逐，甲、乙、丙、丁四支队伍

获得“迎面接力跑”决赛资格，为确定决赛时的赛道（从内到外的道次依次为1，2，3，4），裁判组决定采用

下面的方式：在一个不透明的盒子里放入四个小球，分别标有数字1，2，3，4，这四个小球除所标数字外

都相同，每支队伍从盒中随机摸出一个小球，摸出的小球上所标的数字作为该队的道次．

(1)将盒中四个小球摇匀，若从中随机摸出一个小球，摸出标有数字1的小球的概率为_____；

(2)将盒中四个小球摇匀，甲队先从盒中随机摸出一个小球，不放回，摇匀，乙队再从盒中随机摸出一个小

球．请利用画树状图或列表的方法，求甲、乙两队在决赛时赛道相邻的概率．

变式应用

【变式01】（2025·江苏南京·中考真题）甲袋子中装有2个相同的小球，它们分别写有数字1和3；乙袋子

中装有3个相同的小球，它们分别写有数字1，2和4，先从甲袋子中随机取出1个小球，再从乙袋子中随

机取出2个小球．

(1)取出的3个小球上所写数字没有4的概率是____________；

(2)取出的3个小球上所写数字都不相同的概率是多少？

【变式02】（2024·四川绵阳·中考真题）如图，电路上有S1，S2，S3，S4四个断开的开关和一个正常的小

灯泡L，将这些开关随机闭合至少两个，能让灯泡发光的概率为（）

3749

A．B．C．D．

511511

知识必备

频率、概率、大量重复试验、频率稳定性。

答题技法

观察试验次数增加后频率的稳定值，取稳定后的常数作为概率的估计值。注意当试验次数足够多时，频率

趋近于概率。

母题精讲

【典例01】（2026·陕西宝鸡·一模）围棋起源于中国，古代称之为“弈”，棋子分黑白两色．在一个不透明的

盒子中装有10枚黑棋和若干枚白棋，这些棋子除颜色外都相同，从中随机摸出一枚棋子，记下它的颜色后

再放回．不断重复这一过程，共摸了200次，发现有50次摸到黑棋，由此可估计盒中白棋子共有（）

A．170枚B．60枚C．50枚D．30枚

变式应用

【变式01】（2025·江苏盐城·中考真题）在学习频率与概率时，小明与同伴一起做“同时抛掷2枚质地均匀

的硬币”的试验，记录的试验结果如表所示：

抛掷次数n80160240320400480560

2枚正面都朝上的频数m18376178103118141

m

2枚正面都朝上的频率（精

n0.2250.2310.2540.2440.2580.2460.252

确到0.001）

(1)根据表中试验结果，估计“2枚硬币正面都朝上”的概率是_________；（精确到0.01）

(2)请你用列表或画树状图的方法解释（1）中的结论．

【变式02】（2024·江苏无锡·中考真题）“五谷者，万民之命，国之重宝．”夯实粮食安全根基，需要强化农

业科技支撑．农业科研人员小李在试验田里种植了新品种大麦，为考察麦穗长度的分布情况，开展了一次

调查研究．

【确定调查方式】

（1）小李计划从试验田里抽取100个麦穗，将抽取的这100个麦穗的长度作为样本，下面的抽样调查方式

合理的是______；（只填序号）

①抽取长势最好的100个麦穗的长度作为样本

②抽取长势最差的100个麦穗的长度作为样本

③随机抽取100个麦穗的长度作为样本

【整理分析数据】

（2）小李采用合理的调查方式获得该试验田100个麦穗的长度（精确到0.1cm），并将调查所得的数据整理

如下：

试验田100个麦穗长度频率分布表

长度x/cm频率

4.0x4.70.04

4.7x5.4m

5.4x6.10.45

6.1x6.80.30

6.8x7.50.09

合计1

根据以上图表信息，解答下列问题：

①频率分布表中的m______；

②请把频数分布直方图补充完整；（画图后请标注相应数据）

【作出合理估计】

（3）请你估计长度不小于5.4cm的麦穗在该试验田里所占比例为多少．

十、10几何概率

知识必备

几何概型、面积比、长度比、圆心角比。

答题技法

几何概型概率=所求区域面积（长度）/总面积（总长度）。注意转盘问题中各区域面积相等是等可能的前提。

母题精讲

【典例01】（2025·广东·中考真题）如图，在直径BC为22的圆内有一个圆周角为90的扇形ABC．随机

地往圆内投一粒米，该粒米落在扇形内的概率为（）

1111

A．B．C．D．

5432

变式应用

【变式01】（2024·江苏徐州·中考真题）如图，将一枚飞镖任意投掷到正方形镖盘ABCD内，若飞锤落在镖

盘内各点的机会相等，则飞镖落在阴影区域的概率为（）

3212

A．B．C．D．

4322

【变式02】（2023·四川遂宁·中考真题）为增强班级凝聚力，吴老师组织开展了一次主题班会．班会上，他

设计了一个如图的飞镖靶盘，靶盘由两个同心圆构成，小圆半径为10cm，大圆半径为20cm，每个扇形的圆

心角为60度．如果用飞镖击中靶盘每一处是等可能的，那么小全同学任意投掷飞镖1次（击中边界或没有

击中靶盘，则重投1次），投中“免一次作业”的概率是（）

1111

A．B．C．D．

681012

知识必备

概率计算、游戏公平性、决策分析。

答题技法

分别计算双方获胜的概率，若概率相等则游戏公平，否则不公平。可进一步提出修改规则的建议使游戏公

平。

母题精讲

【典例01】（2024·山东青岛·中考真题）学校拟举办庆祝“建国75周年”文艺汇演，每班选派一名志愿者，

九年级一班的小明和小红都想参加，于是两人决定一起做“摸牌”游戏，获胜者参加．规则如下：将牌面数字

分别为1，2，3的三张纸牌（除牌面数字外，其余都相同）背面朝上，洗匀后放在桌面上，小明先从中随

机摸出一张，记下数字后放回并洗匀，小红再从中随机摸出一张．若两次摸到的数字之和大于4，则小明胜；

若和小于4，则小红胜；若和等于4，则重复上述过程．

(1)小明从三张纸牌中随机摸出一张，摸到“1”的概率是______；

(2)请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平．

变式应用

【变式01】（2026·陕西西安·一模）如图，有四张背面完全相同的卡片，将它们正面朝下洗匀后放在桌面上

(1)从4张卡片中抽取一张，这张卡片的数字为3的倍数的概率是_______；

(2)元旦联欢会需要从小明和小亮中选择一名同学作为男主持人，老师让他俩通过抽卡片的方式选拔，获胜

的同学担任主持，游戏规则如下：小明先从中抽出一张卡片，小亮再从剩余的3张卡片中也抽出一张卡片，

把两人抽取的卡片上的数字相加，若和大于11小明胜，否则小亮胜，这个游戏公平吗？请用画树状图或列

表法的方法说明理由．

【变式02】（2025·山东青岛·一模）4张相同的卡片分别写有数字1，2，3，4，将卡片的背面朝上，洗匀后

从中任意抽取1张，将卡片上的数字作为被减数；一只不透明的袋子中装有标号为1，2，3的3个小球，

这些球除标号外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，将摸到的球的标号作为减数．

如果游戏规则规定：当抽到的这两个数的差为正数时，则甲获胜；否则，乙获胜．你认为这样的规则公平

吗？请你用列表或画树状图的方式，说明理由．

知识必备

统计图表分析、概率计算、样本估计总体、综合应用。

答题技法

第一步先完成统计图表的分析（求总数、补全数据），第二步明确概率问题的背景（如从调查对象中随机抽

取一人），第三步用概率公式或树状图计算

。母题精讲

【典例01】（2026·河北张家口·一模）为增强学生交通安全意识，某中学举办了交通安全知识竞赛，现随机

抽取了部分学生成绩（大于60分）进行分析，成绩按百分制分为A，B，C，D四个等级，并绘制了如下两

幅不完整的统计图表．

等级成绩/分人数/人

A90x10018

B80x90m

C70x8068

D60x7030

(1)本次调查共抽取了名学生；

(2)求表中m的值和扇形统计图中x的值；

(3)若抽取的A等级学生的成绩（单位：分）是：91，92，92，93，94，94，95，95，96，97，97，97，97，

98，98，99，99，100，求这组成绩的众数和中位数；若随机从该组数据中抽取一个成绩，求该成绩大于中

位数的概率；

(4)已知该校共有学生2000人，学校准备对本次测验安全意识薄弱的学生（D：60x70）进行安全教育，

请估计该校需要参加安全教育活动的学生人数．

变式应用

【变式01】（2025·山东东营·中考真题）东营市各县区积极创建全国义务教育城乡优质均衡发展县，为了解

城乡教育质量发展情况，从农村和城区各抽取1所学校进行艺术抽测，每个学校均随机抽测了10名学生，

数据分析如下．

（一）收集与整理

农村学校10名学生的艺术成绩（单位：分）：

64，74，78，82，84，86，86，92，96，98；

城区学校10名学生的艺术成绩（单位：分）：

62，70，79，83，85，87，87，90，97，100．

（二）描述与分析

城乡学生艺术成绩的平均数、中位数、众数和方差如下：

统计量平均数中位数众数方差

农村84a86c

城区8486b118.6

根据以上信息，回答下列问题：

（1）直接写出表格中a、b、c的值，a________，b__________，c________；

（三）迁移与应用

（2）若从本次艺术成绩在95分以上的4名学生中，任意选择两名学生参加艺术展演，请用列表法或画树

状图的方法求出所选两名学生恰好都是城区学生的概率；

（3）请从以上统计量中，任选一个统计量，对这两所学校的艺术成绩进行对比分析，并对艺术教学提出一

条合理化建议．

【变式02】（2025·山东烟台·中考真题）2025年4月19日，烟台市民文化艺术季启幕．某校带领甲、乙两

个社团参观甲骨学发展史馆，领略殷商文明甲骨文化穿越千年的不朽魅力．活动结束后，两个社团进行了

一次满分为10分的甲骨学发展史测试，并对所有学生的成绩进行了收集、整理、分析，信息如下：

①甲社团的成绩（单位：分）情况如下：

6，6，6，6，7，7，7，7，6，7，7，6，7，8，8，8，8，9，8，8，9，9，9，8，8，9，9，9，7，9，6，

9，9，10，8，8，9，9，10，10．

6871286910104

②乙社团的平均成绩为7.75（分）．

8126104

③将两个社团的成绩绘制成如下不完整的统计图：

根据以上信息，解决下列问题：

(1)将条形统计图补充完整；

(2)成绩为8分的学生在_______社团的排名更靠前（填“甲”或“乙”）；

(3)已知甲社团的满分学生中有两名女生，现从甲社团满分学生中随机抽取两人，参加甲骨学发展史宣讲活

动．请用树状图或表格求所抽取的两人恰好是一名男生和一名女生的概率．

实战演练

巩固提升

1．（2025·四川攀枝花·中考真题）要估算一个池塘里鱼的数目，可先从池塘各个地方捞出300条鱼，在每条

鱼身上做个标记，再全部放回池塘．过几天后从池塘中捞出200条鱼，发现当中有20条做过标记．就可估

计池塘里鱼的数目为（）

A．3000B．4000C．6000D．60000

22

2．（2026·安徽·模拟预测）甲、乙两人各投掷10次实心球的平均成绩相同，落点如图所示，对于方差s甲，s乙

的描述正确的是（）

222222

A．s甲s乙B．s甲s乙C．s甲s乙D．无法确定

3．（2026·安徽·模拟预测）学校开展了“悦阅月读”活动，活动后随机调查了50名学生一个月的课外阅读时

间，并将数据整理成如图所示的统计图．

(1)图中a的值为；这50名学生阅读时间的中位数是小时；

(2)求这50名学生这一个月的平均阅读时间．

4．（2026·陕西西安·一模）数学社团开展“讲数学家故事”的活动，如图所示是印有四位中国数学家纪念邮票

图案的卡片A，B，C，D，卡片除图案外其他均相同．将四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，同学们

可以从中随机抽取卡片，讲述卡片上数学家的故事．

(1)从这四张卡片中随机抽取一张卡片，抽到的卡片上是数学家刘徽邮票图案的概率是________；

(2)小明从这四张卡片中随机抽取2张卡片，请用画树状图或列表的方法，求小明抽到的两张卡片中有数学

家华罗庚邮票图案的概率．

5．（24-25九年级上·福建厦门·月考）在“趣味化学实验室”课上，张老师用毛笔蘸取透明无色液体，并在白

纸上书写，立即显现出红色的文字，这是酚酞产生的神奇变化．酚酞是化学领域重要的酸碱指示剂，它遇

碱变红，遇酸或中性溶液不变色．现有四个完全相同且无标签的滴瓶，里面分别装有四种无色溶液．

A．酚酞B．氢氧化钠溶液（碱性）C．盐酸溶液（酸性）D．蒸馏水（中性）

(1)小明同学从中随机拿出一瓶，选中酚酞的概率是________．

(2)张老师从这四瓶无色液体中随机选取两瓶，并分别取一定量的溶液混合均匀，请利用画树状图或列表的

方法求混合后溶液变红的概率．

6．（2025·青海西宁·中考真题）近年来，雪豹已成为西宁的城市新名片．某文创店内以“雪豹”为主题的文创

产品琳琅满目．数学兴趣小组的同学想要调查全校学生对其中四类文创产品的喜爱情况，设计了调查问卷．

调查问卷

年月

在下面四类文创产品中，你最喜爱的是()(单选)

A．玩偶B．冰箱贴C．创意摆件D．手机挂件

【数据的收集与整理】

数学兴趣小组的同学从收集到的调查问卷中随机抽取了部分问卷进行整理，绘制了如下两幅不完整的统计

图．根据图中信息，请回答下列问题∶

(1)本次抽样调查的样本容量是________；

(2)扇形图中“玩偶”对应扇形的圆心角的度数是________；

【做出合理估计】

(3)若全校共有1800名学生，请你估计全校最喜爱手机挂件的学生人数是多少？

【解决概率问题】

(4)文创店负责人为了宣传以“雪豹”为主题的文创产品，端午节期间设置了抽奖活动∶在一个不透明的盒子

中装有四个完全相同的小球，它们分别写有A，B，C，D(A玩偶、B冰箱贴、C创意摆件、D手机挂件)，

摸出哪个小球就获得相应的文创产品．甲随机摸出一个小球后，放回并摇匀，乙再随机摸出一个．请用画

树状图或列表的方法求出甲，乙两人恰好获得同一类文创产品的概率．

7．（2026·陕西西安·二模）在观看了2025年国庆大阅兵后，某学校组织了以“观阅兵，知强军”为主题的知

识竞赛活动，从八、九年级学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、

描述和分析（用x表示学生成绩，所有学生成绩均不低于60分，共分为四组：A．90x100，B．80x90，

C．70x80，D．60x70，得分在90分及以上为优秀），下面给出了部分信息：

八年级20名学生的竞赛成绩是：66，67，71，81，83，85，85，86，89，90，90，93，93，93，95，96，

98，99，100，100．

九年级20名学生竞赛成绩在B组的数据是：82，83，85，86，87，88．

八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表

年级平均数众数中位数方差

八年级88a9010.3

九年级8894b11.0

根据以上信息，解答下列问题：

(1)上述图表中的a_________，b_________，m_________；

(2)根据以上数据分析，你认为该校八、九年级中哪个年级学生的知识竞赛成绩更好？请说明理由；（写出一

条理由即可）

(3)若该校八年级有800名，九年级有700名学生参加了此次以“观阅兵，知强军”为主题的知识竞赛，估计

该校八、九年级学生参加此次知识竞赛成绩达到优秀的共有多少人？

8．（2026·江苏南通·模拟预测）如图，放在平面直角坐标系中的圆O的半径为3，现做如下实验：抛掷一枚

均匀的正四面体骰子，它有四个顶点，各顶点数分别是1，2，3，4，每个顶点朝上的机会是相同的，连续

抛掷两次，将骰子朝上的点数作为直角坐标系中点P的坐标（第一次的点数为横坐标，第二次的点数为纵

坐标）．

(1)若第一次骰子朝上的点数为1，第二次骰子朝上的点数为2，此时点P（填“是”或“否”）落在圆O内部；

(2)请你用树状图或列表的方法表示出P点坐标的所有可能结果；

(3)求点P落在圆O面上（含内部与边界）的概率．

9．（2026·山东滨州·一模）2025年11月25日，搭载神舟二十二号飞船的长征二号F遥二十二运载火箭，

在酒泉卫星发射中心发射取得圆满成功，激发了同学们的爱国热情．某校为了解学生对“航空航天知识”的掌

握情况，组织七、八年级学生参加航空航天知识竞赛(百分制)．现分别从两个年级中各随机抽取15名参赛

选手的成绩，并进行整理与分析，过程如下：

【收集数据】

七年级：69，87，76，80，74，68，94，87，98，77，87，94，92，77，70

八年级：86，90，90，84，80，62，99，97，87，84，78，90，96，78，89

【整理数据】

成绩

60x7070x8080x9090x100

年级

七年级2ab4

八年级1266

【描述数据】

七年级15名参赛选手成绩的频数分布直方图

【分析数据】

统计量

平均数中位数众数方差

年级

七年级82c8792.13

八年级8687d79.73

根据以上信息解决下列问题：

(1)补全频数分布直方图；

(2)填空：c_______，d_______；

(3)若将八年级15名参赛选手的成绩按上面的分组绘制扇形统计图，成绩在70x80这一组的扇形的圆心角

是_____，本次竞赛成绩更整齐的是_____年级；

(4)七年级共有750名学生参加此次竞赛，如果成绩不低于85分可以参加第二轮比赛，请估计七年级能参加

第二轮比赛的人数．

10．（2026·安徽安庆·模拟预测）综合与实践

【项目主题】一种基于等可能假设的概率模型：几何概率．

【项目准备】

（1）基本原理：设想每个结果是一个点，所有结果的点组成一个区域G，而组成事件A的结果是G中的部

分区域g，G，g可以是直线上的线段，也可以是平面或空间的区域．因此，这种概率可以表示为两个线段

的长度之比，或两个平面区域的面积之比，或两个空间区域的体积之比．常用公式：①如果是在线段上，

目标线段的长度目标区域的面积

概率；②如果是在平面图形上，概率；③如果是在立体图形上，

总线段长度总面积

目标区域的体积

概率．

总体积

（2）初步探究：

场景1：假设有一根10cm长的绳子，随机在绳子上画一个点，想知道点落在绳子中间4cm段（从3cm到7cm）

的概率．

分析：目标线段长度：734cm，总线段长度：10cm，则概率①________；

场景2：一个操场是长50m、宽30m的长方形，里面有一个篮球场是长20m、宽15m的长方形．如果你随机

往操场扔一个球，球落在篮球场内的概率是多少？

分析：操场的面积：50301500m2，篮球场的面积：2015300m2，概率②_________；

【实践应用】现在利用这个模型解决一个生活中的问题．

（1）项目条件：小明每天早上7:007:30之间随机出门赶到公交站，公交车每天7:107:25之间随机到达

公交站，小明能赶上公交车的概率是多少？

（2）原理分析：用“平面直角坐标系”把“小明赶到公交站时间”和“公交车到达时间”的所有可能情况变成一

个矩形区域，再找出“能赶上公交”的区域，用“面积比例”算概率；

（3）实施步骤：

第一步：定义“时间变量”，把抽象时间变具体——为了方便计算，我们给时间赋上数字（去掉“7点”，只算

分钟）设小明赶到公交站时间为x分钟：7:00就是x0，7:30就是x30，所以x的取值范围是0x30．（所

有可能的赶到公交站时间）；

第二步：画“所有可能情况”的图形（总区域）——我们用“平面直角坐标系”来表示．横轴（x轴）：小明赶

到公交站时间（0到30min），纵轴（y轴）：公交车到达时间（10到25min）；所有可能的情况，就是坐标

系里一个“矩形”，计算矩形的面积（总度量）：矩形面积③_________．

第三步：找“能赶上公交”的条件（符合条件的区域）——小明能赶上公交，必须满足：小明赶到公交站时间

≤公交车到达时间，也就是xy．

先在矩形里画一条直线yx（这条线表示“赶到公交站时间到达时间”），满足xy的区域，是直线yx

上及其④________（填写“左侧”或“右侧”）的部分．

第四步：计算符合条件的面积和概率——符合条件的面积⑤________，小明能赶上公交车的概率

⑥________（精确到0.001）．

【项目总结】根据以上分析，几何概率可以解决生活中的问题．

请将上述材料中横线上所缺内容补充完整：

①________；②________；③________；④________；⑤________；⑥________．

冲刺突破

1．如图1，有三张卡片，上面分别标有数字1，2，4，它们的背面完全相同．如图2，点P是正五边形ABCDE

边上的动点，点P的起始位置在点A处．现将三张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张卡片，抽取的数

字是几，点P就按顺时针方向走几个边长，然后将卡片放回，按照规则再次抽取，第二次从第一次结束后

的位置开始，继续按照规则进行下去，则点P经过两次运动后到达点D的概率是（）

2321

A．B．C．D．

5593

2．（2025·四川绵阳·中考真题）水是生命之源．水分子的化学式为H2O，即1个水分子H2O由2个氢原子H

和1个氧原子O组成．现有形状大小完全相同的4张卡片，分别有H，H，O，O图案，小明从打乱的这4

张卡片中随机任取3张，则这三张卡片对应的元素符号恰能组成水分子化学式的概率是__________．

3．（2025·江苏徐州·中考真题）如图，甲、乙为两个可以自由转动的转盘，它们分别被分成了4等份与3等

份，每份内均标有字母．转盘停止转动后，若指针落在两个区域的交线上，则重转一次．

(1)转动甲盘，待其停止转动后，指针落在A区域的概率为_______；

(2)转动甲、乙两个转盘，用列表或画树状图的方法，求转盘停止转动后甲盘指针落在C区域且乙盘指针未

落在Q区域的概率．

4．（2025·西藏·中考真题）某校希望进一步提高学生体育与健康素养，为了解学生每天校外体育活动时间，

随机抽取了若干名学生进行调查，将这些学生一天的校外体育活动时间x（分钟）分为五个小组：

A：0x15；B：15x30；C：30x45；D：45x60；E：60x75

现将调查结果绘制成两幅不完整的统计图．

请根据统计图信息，解答下列问题：

(1)本次调查的样本容量是_________，并将频数分布直方图补充完整；

(2)若该校共有学生3000人，请根据调查结果估计，该校学生每天校外体育活动时间不少于60分钟的学生

有多少人？

(3)已知A组有1名男生和2名女生，从中随机抽取2名学生，请用列表法或画树状图的方法，求恰好抽到

1名男生和1名女生的概率．

5．（2025·江苏南通·中考真题）为提升学生体质健康水平，促进学生全面发展，某校大课间共开展6项体育

活动，每名学生均参加了其中一项活动，为了解该校学生参与大课间体育活动情况，随机抽取了