2026年中考数学二轮复习讲练测（全国）专题07 统计与概率（知识方法能力清单）（解析版）

专题07统计与概率（必备知识&二级结论清单+技法清单）

内容导航

第一部分命题解码洞察命题意图，明确攻坚方向

►考向聚焦►考查形式►能力清单

第二部分技法清单构建思维框架，提炼通用解法

►知识必备/二级结论►母题精讲&答题技法►变式应用

技法01数据的收集与调查方式技法02统计图表的分析

技法03平均数、中位数、众数的计算与应用

技法04四分位数的应用技法05方差与波动性技法06事件的分类

技法07简单概率计算技法08列表法与树状图法求概率技法09用频率估计概率

技法10几何概率技法11游戏公平性技法12统计与概率的综合应用

第三部分分级实战分级强化训练，实现能力跃迁

命题解码

技法01数据的收集与调查方式：区分全面调查与抽样调查的适用场景，识别总体、个体、

样本、样本容量等概念。常以选择题形式考查何种情况适合采用何种调查方式。

技法02统计图表的分析：考查条形图、扇形图、折线图、频数分布直方图的识图与补图能

力。常要求根据统计图求未知频数、百分比、圆心角度数，或补全统计图表。

技法03平均数、中位数、众数的计算与应用：考查统计量的计算及实际意义选择。常以选

择题或填空题出现，要求计算一组数据的平均数、中位数、众数，或根据具体问题选择合适

的统计量（如商场最畅销看众数）。

考向聚焦

技法04四分位数的应用：四分位数是新教材新增内容，考查第一四分位数（下四分位数）、

第三四分位数（上四分位数）的计算及与箱线图的关系。常以选择题或填空题形式出现，要

求根据一组数据计算四分位数，或结合箱线图分析数据分布情况。

技法05方差与波动性：考查方差的意义与计算，判断数据的稳定性。常结合两组数据的平

均数和方差，判断哪组数据更稳定。

技法06事件的分类：区分必然事件、不可能事件、随机事件。常以成语或生活情境为背景，

判断事件类型。

技法07简单概率计算：考查概率公式P(A)=事件A的结果数/所有等可能结果总数。常以抽

卡片、掷骰子、摸球等简单模型出现。

技法08列表法与树状图法求概率：考查两步或三步试验的概率计算。常以摸球（放回/不放

回）、抽签、游戏胜负等形式出现，要求用列表或树状图列出所有等可能结果。

技法09用频率估计概率：考查大量重复试验中频率稳定于概率的思想。常给出一组试验数

据表格，要求根据稳定后的频率估计概率。

技法10几何概率：考查与面积、长度、角度相关的概率计算。常以转盘、飞镖靶、区域涂

色等形式出现。

技法11游戏公平性：考查通过计算概率判断游戏规则是否公平。常以摸球、掷骰子游戏为

背景，要求计算双方获胜概率并比较。

技法12统计与概率的综合应用：考查统计图表与概率计算的融合。常先给出统计图表，要

求补全数据，再从中抽取样本计算概率。

统计与概率是中考数学的必考板块，分值占比约10%-15%，考查呈现“基础+应用+综合”

三个层次：

基础层次：事件的分类、调查方式选择、简单概率公式计算、统计量识别，以选择题、填空

题为主。

考查形式

应用层次：统计图表分析与补全、列表树状图求概率、频率估计概率、游戏公平性判断，以

解答题为主。

综合层次：统计与概率融合题、跨学科应用题（如与生物成活率结合）、实际决策问题，常

作为中档或压轴解答题出现。

数据观念：能理解数据的实际意义，根据问题选择合适的调查方式和统计量。

图表解读能力：能从条形图、扇形图、折线图、频数分布直方图中准确提取信息。

运算求解能力：准确计算平均数、中位数、众数、方差及概率值。

能力清单模型思想：能根据实际问题建立概率模型（树状图、列表），计算事件发生的可能性。

随机思维：理解频率与概率的关系，认识随机现象的不确定性与规律性。

推理判断能力：能根据数据分析结果做出合理决策（如判断游戏公平性、选择最优方案）。

综合应用能力：能将统计与概率知识融合，解决较为复杂的实际问题。

技法清单

知识必备

全面调查、抽样调查、总体、个体、样本、样本容量

答题技法

全面调查适用于范围小、数据要求准确、无破坏性的情况（如安检、班级人数）；抽样调查适用于范围广、

有破坏性或耗时长的调查（如灯泡寿命、鱼的数量）。样本容量不带单位，只是数目。

母题精讲

【典例01】（2025·湖南长沙·三模）为了考查库存2000只灯泡的使用寿命，从中任意抽取15只灯泡进行实

验．在这个问题中，下列说法不正确的是（）

A．总体是2000只灯泡的使用寿命B．样本是抽取的15只灯泡

C．个体是每只灯泡的使用寿命D．样本容量是15

【答案】B

【分析】本题考查了总体、个体、样本、样本容量的定义，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，

关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样

本中包含的个体的数目，不能带单位．

总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而

样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出

考查的对象．从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出

样本容量．

【详解】解：A．这2000只灯泡的使用寿命是总体，故本选项不符合题意；

B．抽取的15只灯泡的使用寿命是样本，故本选项符合题意；

C．每个灯泡的使用寿命是个体，故本选项不符合题意；

D．样本容量是15，故本选项不符合题意．

故选：B．

变式应用

【变式01】（2025·山西·中考真题）近年来，交通工具的多样化和普及化，为家长接送孩子带来便利的同时，

也在一定程度上造成了放学时段校门口的交通拥堵．为了解具体情况，某校爱心社团中午放学后在校门口

随机选取300名接送孩子的家长，针对接送孩子的方式和时段进行了问卷调查（调查问卷如图），所有问卷

全部收回且有效，并将调查结果绘制成了如下所示的扇形统计图和条形统计图（不完整）．

请认真阅读上述信息，回答下列问题：

(1)扇形统计图中“公共交通”所在扇形的圆心角度数为_________；本次调查的家长中骑电动自行车接送孩

子的有__________人，并补全条形统计图；

(2)若该校共有1500名家长中午放学后接送孩子，请估计用私家车接送孩子的家长人数；

(3)假如你是爱心社团的成员，请根据上述统计图中的信息，写出一个造成放学后校门口交通拥堵的原因，

并给家长提出一条缓解拥堵的建议．

【答案】(1)36；135；见解析

(2)450人

(3)见解析

【分析】本题主要考查了扇形统计图，条形统计图，用样本估计总体等等，正确读懂统计图是解题的关键．

（1）用360度乘以“公共交通”的人数占比可求出对应的圆心角度数；用300乘以“骑电动自行车”的人数占

比可求出对应的人数，再求出时间段12:00—12:10骑电动车的人数并补全统计图即可；

（2）用1500乘以样本中用私家车接送孩子的家长人数占比即可得到答案；

（3）电动车和私家车接送孩子的人数占比多，容易造成拥堵；时间段12:00—12:10电动车和私家车接送孩

子的人数比较多，容易造成拥堵；建议可从换接送方式和换接送时间段两个方面阐述．

【详解】（1）解：36010%36，

∴扇形统计图中“公共交通”所在扇形的圆心角度数为36；

30045%135人，

∴本次调查的家长中骑电动自行车接送孩子的有135人；

∴时间段12:00—12:10骑电动车的人数，

补全统计图如下所示：

（2）解；150030%450人，

答：估计用私家车接送孩子的家长人数为450人；

（3）解：由扇形统计图可知用电动车和私家车接送孩子的人数占比为45%30%75%，容易造成放学后

校门口交通拥挤；由条形统计图可知，在时间段12:00—12:10内，接送孩子的电动车和私家车比较多，容

易造成放学后校门口交通拥挤；

建议家长在条件允许的情况下选用公共交通方式接送孩子或者使用电动车或私家车接送孩子时避开时间段

12:00—12:10．

【变式02】（2025·江苏盐城·中考真题）6月6日是“全国爱眼日”．小明在报纸上看到某市疾控中心发布的

中学生近视情况统计数据，如图（1）．

(1)图（1）中的数据是从全市30所中学随机抽取的部分学生视力筛查的结果．

①疾控中心收集数据，采用的调查方式是________；（填“普查”或“抽样调查”）

②根据统计图，请你分析近视率随年级升高的变化趋势．

(2)小明想了解“影响视力的主要因素”，对全校近视的985名学生进行问卷调查．问卷中设置了五个主要因

素：A．不认真做眼保健操；B．长时间连续用眼；C．课间只在教室休息；D．饮食不均衡；E．睡眠时间

不足．他绘制了如图（2）所示的条形统计图．

①从图（2）中可知，影响视力的最主要因素是_________．（填选项代号）

②结合上述统计数据，请你谈一谈如何预防近视．

【答案】(1)①抽样调查；②见解析

(2)①B；②见解析

【分析】本题主要考查折线统计图，条形统计图，调查的方式，熟练掌握折线统计图，条形统计图的特征

是解题的关键．

（1）①利用抽样调查的定义解答即可；②通过观察折线图的走势回答即可；

（2）①观察条形统计图，通过比较各选项对应的人数解答即可；②观察条形统计图，依据依据影响视力

的主要因素提出合理建议即可．

【详解】（1）解：①∵图1中的数据是从全市30所中学随机抽取的部分学生视力筛查的结果，

∴疾控中心收集数据，采用的调查方式是抽样调查，

故答案为：抽样调查；

②根据统计图可以看到，从七年级到高二年级，近视率随年级升高呈整体上升趋势，高二年级到高三年级

有所下降；

（2）解：①观察条形统计图可以看到，B选项长时间连续用眼的有887人，人数最多，

∴从图2中可知，影响视力的最主要因素是B选项长时间连续用眼．

故答案为：B；

②观察条形统计图可以看到，影响视力的主要因素有：不认真做眼保健操，长时间连续用眼，课间只在教

室休息，饮食不均衡，睡眠时间不足，所以预防近视从以下入手：认真做眼保健操，避免长时间连续用眼，

用眼一段时间要适当休息，课间到室外活动或者作适当远眺，保持饮食均衡，保证充足的睡眠时间．

知识必备

条形统计图、扇形统计图、折线统计图、频数分布直方图、频数分布表、圆心角度数计算。

答题技法

扇形图抓“百分比之和为1”和“圆心角=360°×百分比”；条形图抓“各组频数之和=样本容量”；频数分

布直方图抓“小长方形面积表示频数”。补图时先根据已知数据求样本容量，再推算未知组。

母题精讲

【典例01】（2025·江苏南京·中考真题）某校准备从甲、乙两名学生中选拔一名参加跳远比赛，共进行了3

次测试，每次各跳远3次，统计成绩如下表（单位：m）．

第1次测试第2次测试第3次测试

甲×4.825.365.566.15×5.81×5.78

乙4.655.765.535.67×5.905.306.055.86

注：×表示犯规．

将上述成绩分成“犯规”“一般成绩”“优秀成绩”三类，其中，5.75m以下为“一般成绩”，5.75m及以上为“优

秀成绩”，并绘制条形统计图．

(1)补全条形统计图；

(2)你认为哪名学生参加跳远比赛较为合适？为什么？

【答案】(1)见详解

(2)乙参加跳远比赛较为合适，理由见详解

【分析】本题考查了补全条形统计图，正确掌握相关性质内容是解题的关键．

（1）根据共进行了3次测试，每次各跳远3次，共9次测试，用总次数减去犯规次数以及优秀成绩的次数，

即可得出甲的一般成绩有3次，再补全条形统计图，即可作答．

（2）分析表格，得出乙的一般成绩和优秀成绩都比甲多，并且犯规的次数也少，即可作答．

【详解】（1）解：依题意，33333，

即甲的一般成绩有3次，

补全条形统计图，如图所示：

（2）解：乙参加跳远比赛较为合适，

理由：根据条形统计图可知，乙的一般成绩和优秀成绩都比甲多，并且犯规的次数也少，

∴乙参加跳远比赛较为合适．

变式应用

【变式01】（2025·江苏连云港·中考真题）为了解八年级学生的体重情况，某校随机抽取了八年级部分学生

进行测量，收集并整理数据后，绘制了如下尚不完整的统计图表．

体重情况统计表

组别体重xkg频数（人数）

A类x49.510

B类49.5x59.5a

C类59.5x69.58

D类x69.5b

根据以上信息，解答下列问题：

(1)a_______，b________；

(2)在扇形统计图中，C类所对应的圆心角度数是_______°；

(3)若该校八年级共有1200名学生，估计体重在59.5kg及以上的学生有多少人?

【答案】(1)20，2

(2)72

(3)300人

【分析】本题考查扇形统计图，频数统计表，样本估计总体，熟练掌握利用扇形统计图和频数统计表得出

相关数据是解题的关键．

（1）利用A类的频数和占总体百分比求出被抽取的总人数，再利用B类占总体百分比求出B类的频数，最

后即可求出D类的频数；

（2）利用C类占总体百分比乘以360即可；

（3）利用样本估计总体即可求出．

【详解】（1）解：由题意得被抽取的总人数为1025%40（人），

∴B类的频数为4050%20（人），

∴D类的频数为40102082（人），

故答案为：20，2；

（2）解：C类所对应的圆心角度数是36020%72，

故答案为：72；

82

（3）解：估计体重在59.5kg及以上的学生有1200300（人）．

40

【变式02】（2025·四川·中考真题）为了落实国家教育数字化战略行动要求，做好科学教育“加法”，提升学

生数字素养，培育数字时代的“追光者”．某校计划开设计算思维、科创实践、数字艺术三类选修课程．受时

间限制，每位学生只能参加一类选修课程．为了解该校学生对三类课程的喜爱情况，随机抽取了部分学生

进行调查，根据调查结果，绘制了如下所示的两幅不完整的统计图．

根据图中信息，解决下列问题：

(1)①此次调查一共抽取了______名学生；

②请将条形统计图补充完整；

③扇形统计图中“数字艺术”课程对应的扇形圆心角为_____度；

(2)若该校共有800名学生参加这三类选修课程，请估计喜欢计算思维课程的学生人数．

【答案】(1)40；见解析；

(2)280人①②③90

【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图的综合运用及用样本估计总体，解题的关键是利用“科创实践”

课程的已知人数（16人）和对应百分比（40%）求出调查总人数，再结合两图信息逐步计算其他未知数据，

最后通过样本比例估计总体人数．

（1）①根据“部分数量对应百分比总体数量”，用科创实践的16人除以40%求出调查总人数；②用总人

数减去“计算思维”（14人）和“科创实践”（16人）的人数，得到“数字艺术”的人数，进而补充条形统计图；

③用“数字艺术”的人数除以总人数，再乘以360，求出对应扇形圆心角；

（2）先计算样本中喜欢“计算思维”课程的人数占比，再乘以该校参加课程的总人数800，估计总体人数．

【详解】（1）解：①∵科创实践课程有16人，对应扇形统计图百分比为40%，

∴调查总人数为1640%40（名）．

故答案为：40；

②数字艺术课程的人数为总人数减去计算思维、科创实践的人数，即40141610（人）．

补充条形统计图：在“数字艺术”对应的条形处，绘制高度与“10人”对应的直条（与其他条形宽度一致）；

10

③扇形统计图中“数字艺术”对应的圆心角为36090

40

故答案为：90；

14

（2）样本中喜欢计算思维课程的人数占比为35%，

40

∵该校共有800名学生参加课程，

∴估计喜欢计算思维课程的学生人数为80035%280（人）．

答：估计喜欢计算思维课程的学生人数为280人．

知识必备

算术平均数、加权平均数、中位数、众数、极端值对统计量的影响。

答题技法

求中位数先排序，奇数个取中间一个，偶数个取中间两个平均数；众数找出现次数最多的数（可能不止一

个）；加权平均数注意“权”的含义。平均数易受极端值影响，中位数和众数不受影响。

母题精讲

【典例01】（2025·江苏南京·中考真题）已知一组数据8，10，12，9，11，这组数据的平均数是____________．

【答案】10

【分析】本题考查了求平均数．计算这组数据的和，然后除以数据的个数，即可作答．

【详解】解：依题意，数据之和为8101291150，

∵数据的个数为5，

∴平均数为50510．

故答案为：10．

变式应用

【变式01】（2025·四川绵阳·中考真题）为促进学生健康成长，提高身体素质，红星中学积极开展丰富多彩

的体育活动．为了解该校800名学生1分钟跳绳的情况，随机抽取了50名学生1分钟的跳绳次数（次数用

x表示，单位：次），将其分成以下五组：60x90,90x120,120x150,150x180,180x210，

并绘制成不完整的频数分布直方图，部分信息如下：

1分钟的跳绳次数在90x120中的具体数据为92，97，99，103，105，105，105，110，113，113，114，

115，115，117，119．

根据以上信息，解答下列问题：

(1)1分钟的跳绳次数在90x120范围内的众数是__________次，中位数是__________次；

(2)补全频数分布直方图；

(3)请估计该校学生1分钟的跳绳次数不低于120次的人数．

【答案】(1)105；110

(2)图象见解析

(3)480

【分析】本题考查统计图的分析和统计量的计算，找到题目对应的数据并正确运用统计量的概念求解是解

题关键．

（1）根据众数和中位数的概念求解即可；

（2）先计算所给90x120的数据的样本个数，再通过样本总量，减去频数分布直方图中其他组的样本个

数和90x120这一组的样本个数，得到120x150这一组的样本个数，以此补全频数分布直方图即可；

（3）先计算样本中1分钟的跳绳次数不低于120次的人数，再通过样本占总体的比例，求出该校学生中对

应的人数即可．

【详解】（1）解：由题中数据，可知105共出现三次，出现频数最高，为众数；

90x120中共有15个样本，故从小到大排列第8个数即为中位数，故中位数为110，

故答案为：105，110；

（2）解：由图可知，60x90这一组共有5个样本，150x180这一组共有8个样本，180x210这

一组共有2个样本，

由（1），可知90x120这一组共有15个样本，

由题意可知，样本总量为50，

故120x150这一组共有505158220个样本，

补全频数分布直方图如下：

（3）解：由（2）可知，随机抽取的50名学生中共有208230名学生1分钟跳绳次数不低于120次，

30

∴800480（人）

50

故估计该校学生1分钟的跳绳次数不低于120次的人数为480．

【变式02】（2025·山东德州·中考真题）本学期，为提高七年级学生排球垫球水平，某校对七年级学生实施

了“百日提升训练计划”，并分别于3月份和6月份进行了一分钟垫球数量测试，测试成绩用x（单位：个）

表示，分为四个等级，包括优秀：x30；良好：25x30；合格：20x25；不合格：x20．

为了解本计划的实施效果，随机抽取了20名学生，对他们3月份和6月份的测试成绩进行整理、描述和分

析，部分信息如下：

信息一：3月份测试成绩如下：

17332827351921222522

25271927182728293132

信息二：6月份测试成绩绘制成不完整的条形图和扇形图如下：

信息三：测试成绩对比表如下：

月份平均数/个众数/个优秀率

3月25.6ab

6月27.729c

请根据以上信息；完成下面问题：

(1)补全条形图；

(2)表中的a，b，c；

(3)已知该校七年级共400人，请估算七年级，6月份达到“优秀”等级的学生比3月份增加了多少人？

【答案】(1)见解析

(2)27；20%；35%；

(3)6月份达到“优秀”等级的学生比3月份增加了60人．

【分析】题目主要考查扇形统计图和条形统计图的综合应用，利用样本估计总体等，理解题意，结合图形

获取相关信息是解题关键．

（1）结合条形统计图和扇形统计图得出合格的人数为：2030%6人，然后确定优秀的人数，补全统计

图即可；

（2）根据众数得定义即可确定a的值，利用优秀率的计算方法求解即可；

（3）用总人数乘以相应的优秀率，然后相减即可得出结果．

【详解】（1）解：根据题意得，合格的人数为：2030%6人，

∴优秀的人数为：205627人，

补全统计图如下：

（2）根据题意得，3月测试成绩中27出现的次数最多，

∴a27，

∵优秀：x30；

∴3月份中优秀的人数为4人，6月份中优秀的人数为7人，

47

∴b20%，c35%，

2020

故答案为：27；20%；35%；

（3）6月份达到“优秀”的人数为：40035%140人，

3月份达到“优秀”的人数为：40020%80人，

∴1408060人，

∴6月份达到“优秀”等级的学生比3月份增加了60人．

知识必备

四分位数的定义与计算、第一四分位数（下四分位数）、第三四分位数（上四分位数）、箱线图、百分位数

的意义。

答题技法

计算四分位数的关键是先将数据从小到大排序。第一四分位数（Q1）是第25%位置的数：若数据个数n×25%

为整数，则取该位置与下一位置的平均数；若不是整数，则向上取整取对应位置的数据。第三四分位数（Q3）

同理取75%位置。箱线图可直观展示最小值、Q1、中位数、Q3、最大值，用于判断数据分布是否对称、有无

异常值。

母题精讲

【典例01】（25-26八年级上·广东佛山·期末）如图，该箱线图反映了某场女排决赛中两队队员拦网高度情

况．下列说法正确的是（）

A．甲队队员拦网高度的整体水平更高B．乙队队员拦网高度的平均数更大

C．甲队队员拦网高度的方差更大D．乙队队员拦网高度的中位数更大

【答案】A

【分析】本题考查方差，四分位数，结合统计图的数据集中程度和中位数等根据生活实际分析即可解答．

【详解】解：从图中可以看出，

甲队拦网高度的整体水平比乙队高，故选项A符合题意；

甲队队员拦网高度的平均数更大，故选项B不符合题意；

甲队队员拦网高度的方差更小，故选项C不符合题意；

乙队队员拦网高度的中位数更小，故选项D符合题意．

故选：A．

变式应用

【变式01】（2023·安徽芜湖·三模）四分位数是在统计学中把所有数值由小到大排列并分成四等份后，处于

三个分割点位置的数值．第一四分位数，又称“较小四分位数”，等于该样本中所有数值由小到大排列后第

25%的数字，第二四分位数就是中位数．如果数据的个数是偶数，那么中位数是中间两个数的平均数，可

用相似的处理方式计算第一、第三四分位数，九年级某小组的8名同学每分钟跳绳的个数分别为：

165、182、136、112、145、171、155、93．这一数据中第一四分位数是（）

A．102.5B．168C．124D．150

【答案】C

【分析】根据第一四分位数的定义，将8个数据按从小到大的顺序排列后，第2个与第3个数的平均数即

为所求．

【详解】解：这8名同学每分钟跳绳的个数按从小到大的顺序排列为：

93、112、136、145、155、165、171、182，

112136

则这组数据中第一四分位数是第2个与第3个数的平均数，即124．

2

故选：C．

【点睛】本题考查了中位数，理解第一四分位数的定义是解题的关键．

【变式02】（2024·山东潍坊·模拟预测）有一组被墨水污染的数据：4、17、7、14、★、★、★、16、10、

4、4、11，其箱线图如下：

下列说法正确的是（）

A．这组数据的下四分位数是4B．这组数据的中位数是10

C．这组数据的上四分位数是15D．被墨水污染的数据中一个数是3，一个数是18

【答案】ACD

【分析】本题主要考查了箱线图，根据箱线图的定义一一分析判断即可．

【详解】解：A．这组数据的下四分位数是4，说法正确，故该选项符合题意；

B．这组数据的下四分位数是4，上四分位数是15，中位数为10.5，故该选项不符合题意；

C．这组数据的上四分位数是15，说法正确，故该选项符合题意；

D．箱线图下边缘是3，上边缘是18，∴被墨水污染的数据中一个数是3，一个数是18，说法正确，故该

选项符合题意；

故选：ACD

知识必备

方差、标准差、极差、数据的波动性。

答题技法

方差越大，数据波动越大，越不稳定；方差越小，数据越稳定。计算公式为各数据与平均数差的平方的平

均数。注意标准差是方差的算术平方根。

母题精讲

【典例01】（2025·四川巴中·中考真题）有一组数据：1，2，3，3，4，5．在这组数据中加入一个整数a，

则下列一定不变的是（）

A．平均数B．中位数C．众数D．方差

【答案】B

【分析】本题考查了平均数，中位数，众数，方差的概念，利用相关概念逐一判断即可，熟知相关概念时

解题的关键．

【详解】解：这组数据中加入一个整数a，平均数有可能改变，方差也可能改变，故A、D不符合题意；

若a1，则该数据的众数由原来的3，变为1和3，所以众数有可能改变，故C不符合题意；

若a3，则新数据中间数为第四个数，为3，若a3，则新数据中间数为第四个数，为3，中位数不变，

故B符合题意，

故选：B．

变式应用

【变式01】（2025·陕西·中考真题）为了增强学生的环保意识，普及环保知识，某校在“世界环境日”当天采

取自愿报名的方式组织了环保知识竞赛．竞赛结束后，从七、八年级参赛学生的成绩（单位：分，满分100

分）中各随机抽取了10名学生的成绩，并进行整理，绘制了如下统计图表：

平均数中位数方差

2

七年级a95S1

2

八年级92.5bS2

根据以上信息，解答下列问题：

22

(1)表格中的a_____，b_____，S1_____S2（填“”“”或“”）；

(2)根据以上数据，你认为该校七、八年级哪个年级的学生环保知识掌握较好？请说明理由；

(3)该校七年级200名学生和八年级160名学生参加了本次环保知识竞赛，得分90分及以上为“优秀”等级，

请估计七、八年级参赛学生中达到“优秀”等级的总人数．

【答案】(1)93.2；96.5；

(2)七年级，理由见解析

(3)256人

【分析】本题考查了求平均数，中位数，运用平均数作决策，运用方差作决策，样本估计总体，即可作答．

（1）根据求平均数的公式进行列式计算，再结合中位数的定义进行分析，即可作答．

（2）运用平均数作决策，运用方差作决策，即可作答．

（3）运用样本估计总体，进行列式计算，即可作答．

953982969028887

【详解】（1）解：依题意，93.2，

10

把八年级的成绩从大到小排序：100,99,98,97,97,96,89,84,83,82，

9796

位于中间位置的数分别为96.5，

2

观察七，八年级的成绩统计图得出七年级成绩波动不大，稳定性较好，八年级成绩波动较大，稳定性较差，

22

∴S1S2；

（2）解：我认为该校七年级学生环保知识掌握较好，理由是七年级这10名学生成绩的平均数较高，且方

差较小；（答案不唯一，言之有理即可）

86

（3）解：依题意，200160256，

1010

估计七、八年级参赛学生中达到“优秀”等级的总人数为256人．

【变式02】（2025·宁夏·中考真题）宁夏葡萄酒品质优良，深受消费者青睐．为了解某基地的葡萄种植情况，

九（1）班同学对该基地的试验田中甲、乙两种葡萄树的产量进行调查．

【调查与收集】

甲、乙两种葡萄树各种植了500株，计划从中各抽取100株作为各自的样本．以下抽样调查方式合理的是

___________．

A．依次抽取100株

B．随机抽取100株

C．在长势较好的葡萄树中随机抽取100株

D．在方便采摘的葡萄树中随机抽取100株

【整理与描述】

同学们采用合理的抽样调查方式获得甲、乙两个样本中每株的产量（单位：kg），将所得数据整理描述如下：

甲样本的频数分布表

x/kg11x1313x1515x1717x1919x21

频数745152013

乙样本的频数分布直方图

注：每组含最小值，不含最大值．

根据以上信息，解答问题：

（1）甲样本中13x15组的频率是_________；

（2）补全乙样本的频数分布直方图．

【分析与应用】

（1）填表：

样方

平均数（kg）中位数出现的组别

本差

甲13x155.73

乙15.744.85

1113

（计算平均数时，把各组中每株的产量用这组数据的中间值代替，如11x13的中间值为12）

2

（2）估计试验田中甲种葡萄树每株产量不低于19kg的株数；

（3）结合以上数据为基地的葡萄种植提出一条合理化建议．

【答案】[调查与收集]B；[整理与描述]（1）0.45；（2）见解析；[调查与收集]（1）见解析；（2）65；（3）

见解析

【分析】[调查与收集]

利用样本具有代表性对抽样调查方式进行判断；

[整理与描述]

（1）根据频率的定义计算甲样本中13x15组的频率；

（2）先计算出乙样本17x19组的频数，再补全乙样本的频数分布直方图；

[分析与应用]

（1）先根据平均数的定义求出甲样本平均数，再根据中位数的定义求出乙样本中位数出现的组别，然后填

表即可；

（2）根据两者的方差提出建议即可．

【详解】解：

[调查与收集]

为了样本具有代表性，随机抽取能保证样本的代表性，避免系统性偏差，

所以应该随机抽取100株作为样本；

故选：B；

[整理与描述]

45

（1）甲样本中13x15组的频率0.45，

100

（2）乙样本总频数为100，已知各组频数为911x13,3413x15,2515x17,719x21，

则17x19组的频数为：100(934257)25，

补全乙样本的频数分布直方图：

[分析与应用]

（1）甲样本各组中间值分别为12、14、16、18、20，

7124514151620181320

甲样本平均数=15.74，

100

乙样本共100个数据，中位数为第50、51个数据的平均值，

前两组频数和为93443，前三组频数和为432568，

第50、51个数据落在15x17组，

乙样本中位数出现的组别落在15x17组，

填表如下：

样方

平均数（kg）中位数出现的组别

本差

甲15.7413x155.73

乙15.7415x174.85

（2）估计甲种葡萄树每株产量不低于19kg的株数：

13

甲样本中19x21组频数为13，频率为0.13，

100

试验田甲种葡萄树共500株，故估计株数为5000.1365（株）

（3）合理化建议：乙种葡萄树的方差（4.85）小于甲种（5.73），产量更稳定，建议优先推广乙种葡萄树的

种植技术．

【点睛】本题主要考查了抽样调查的合理性，补全频数分布直方图，平均数，中位数及方差的相关知识，

掌握抽样调查以及读懂频数分布直方图是解题的关键．

知识必备

必然事件、不可能事件、随机事件、确定性事件。

答题技法

必然事件概率为1（如水落石出），不可能事件概率为0（如水中捞月），随机事件概率介于0和1之间（如

守株待兔）。结合生活常识判断。

母题精讲

【典例01】（2025·海南·中考真题）掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，

观察向上一面的点数．下列说法正确的是（）

1

A．出现点数为6的概率是

6

B．出现点数为0是随机事件

C．出现点数为偶数是必然事件

D．出现点数为奇数是不可能事件

【答案】A

【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念以及事件发生的可能性大小判断即可．

本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不

可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也

可能不发生的事件．

1

【详解】解：A．出现点数为6的概率是，正确，符合题意；

6

B．出现点数为0是不可能事件；

C．出现点数为偶数是随机事件；

D．出现点数为奇数是随机事件；

故选A．

变式应用

【变式01】（2025·江苏徐州·中考真题）一个不透明的袋子中装有4个红球与2个黑球，每个球除颜色外都

相同．从中任意摸出3个球，下列事件为必然事件的是（）

A．至多有1个球是红球B．至多有1个球是黑球

C．至少有1个球是红球D．至少有1个球是黑球

【答案】C

【分析】本题考查了必然事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事

件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；随机事件是指

在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．据此逐项分析判断即可．

【详解】解：∵一只不透明的袋子中装有4个红球与2个黑球，每个球除颜色外都相同．从中任意摸出3

个球，

∴至多有3个红球，至少有1个红球，至多有2个黑球，至少有0个黑球，

A．至多有1个球是红球，不是必然事件，不符合题意；

B．至多有1个球是黑球，不是必然事件，不符合题意；

C．至少有1个球是红球，是必然事件，符合题意；

D．至少有1个球是黑球，不是必然事件，不符合题意；

故选：C．

【变式02】（2025·湖北·中考真题）在下列事件中，不．可．能．事．件．是（）

A．投掷一枚硬币，正面向上B．从只有红球的袋子中摸出黄球

C．任意画一个圆，它是轴对称图形D．射击运动员射击一次，命中靶心

【答案】B

【分析】本题考查的是事件的分类以及不可能事件的含义，根据不可能事件的定义，即在一定条件下必然

不会发生的事件，对各选项逐一分析.

【详解】解：选项A：投掷硬币可能出现正面或反面，是随机事件，不合题意；

选项B：袋子中仅有红球，无黄球，因此摸出黄球不可能发生，属于不可能事件，符合题意；

选项C：圆无论大小或位置，始终是轴对称图形，属于必然事件，不合题意；

选项D：射击可能命中或脱靶，是随机事件，不合题意；

综上，只有选项B符合不可能事件的定义，

故选：B．

知识必备

概率公式、等可能事件、古典概型。

答题技法

先明确所有等可能结果总数，再数出所求事件包含的结果数，直接代入公式。注意“等可能”的前提条件。

母题精讲

【典例01】（2025·山东潍坊·中考真题）如图，小莹对三个相连的方格进行涂色．在给每个方格涂色时，均

从红、蓝两种颜色中随机选取一种，那么相邻两个方格所涂颜色不同的概率是（）

1111

A．B．C．D．

2348

【答案】C

【分析】本题考查了列举法求概率，列举所有可能结果红红蓝，红蓝红，红蓝蓝，蓝蓝红，蓝红红，蓝红

蓝，红红红，蓝蓝蓝，共8种，相邻两个方格所涂颜色不同的有2种，红蓝红，蓝红蓝，然后用概率公式

即可求解，掌握列举法求概率是解题的关键．

【详解】解：∵从红、蓝两种颜色中随机选取一种，

∴有红红蓝，红蓝红，红蓝蓝，蓝蓝红，蓝红红，蓝红蓝，红红红，蓝蓝蓝，共8种，相邻两个方格所涂

颜色不同的有2种，红蓝红，蓝红蓝，

21

∴故相邻两个方格所涂颜色不同的概率是，

84

故选：C．

变式应用

【变式01】（2025·江苏苏州·中考真题）一只不透明的袋子中，装有3个白球和若干个红球，这些球除颜色

3

外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，摸到白球的概率为，则红球的个数为（）

5

A．1B．2C．3D．4

【答案】B

【分析】本题考查了根据概率求数量，熟练掌握概率公式是解题的关键．

设红球有x个，根据摸到白球的概率公式列方程求解．

【详解】解：设红球有x个，则袋中总球数为x3个，

3

∴摸到白球的概率为，

3x

33

根据题意得：，

3x5

解得：x2，

因此，红球的个数为2个．

故选：B．

【变式02】（2025·山东济南·中考真题）在一个不透明的袋中有2个红球、3个黄球和4个白球，这些球除

颜色外都相同．从中随机摸出一个球，这个球是红球的概率为___________．

2

【答案】

9

【分析】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m

m

种可能，那么事件A的概率P(A)．

n

直接利用概率公式求解即可．

【详解】解：因为不透明的袋中有2个红球、3个黄球和4个白球，这些球除颜色外都相同，

22

所以从中随机摸出一个球，这个球是红球的概率为=，

2+3+49

2

故答案为：．

9

知识必备

频率、概率、大量重复试验、频率稳定性。

答题技法

两步试验可用列表法或树状图，三步以上必须用树状图。注意区分“放回”与“不放回”——放回时每次

可能性相同，不放回时概率会变化。画图时要保证不重不漏。

母题精讲

【典例01】（2025·陕西·中考真题）某校召开趣味运动会，经过预赛的激烈角逐，甲、乙、丙、丁四支队伍

获得“迎面接力跑”决赛资格，为确定决赛时的赛道（从内到外的道次依次为1，2，3，4），裁判组决定采用

下面的方式：在一个不透明的盒子里放入四个小球，分别标有数字1，2，3，4，这四个小球除所标数字外

都相同，每支队伍从盒中随机摸出一个小球，摸出的小球上所标的数字作为该队的道次．

(1)将盒中四个小球摇匀，若从中随机摸出一个小球，摸出标有数字1的小球的概率为_____；

(2)将盒中四个小球摇匀，甲队先从盒中随机摸出一个小球，不放回，摇匀，乙队再从盒中随机摸出一个小

球．请利用画树状图或列表的方法，求甲、乙两队在决赛时赛道相邻的概率．

1

【答案】(1)

4

1

(2)

2

【分析】（1）根据简单地概率公式计算解答即可；

（2）利用画树状图法或列表法计算概率即可．

本题考查了概率的计算，熟练掌握概率公式和画树状图活列表法计算概率是解题的关键．

1

【详解】（1）解：根据题意得：摸出标有数字1的小球的概率为，

4

故答案为：1．

4

（2）解：列表如下：

乙

甲

1234

1－（1，2）（1，3）（1，4）

2（2，1）－（2，3）（2，4）

3（3，1）（3，2）－（3，4）

4（4，1）（4，2）（4，3）－

由上表可知，共有12种等可能的结果，

其中甲、乙两队在决赛时赛道相邻的结果有6种，

61

P．

122

变式应用

【变式01】（2025·江苏南京·中考真题）甲袋子中装有2个相同的小球，它们分别写有数字1和3；乙袋子

中装有3个相同的小球，它们分别写有数字1，2和4，先从甲袋子中随机取出1个小球，再从乙袋子中随

机取出2个小球．

(1)取出的3个小球上所写数字没有4的概率是____________；

(2)取出的3个小球上所写数字都不相同的概率是多少？

1

【答案】(1)

3

2

(2)

3

【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的

关键．

（1）画树状图可得出所有等可能的结果数以及取出的3个小球上所写数字没有4的结果数，再利用概率公

式可得出答案．

（2）由树状图可得取出的3个小球上所写数字都不相同的结果数，再利用概率公式可得出答案．

【详解】（1）解：画树状图如下：

共有6种等可能的结果，其中取出的3个小球上所写数字没有4的结果有2种，

21

取出的3个小球上所写数字没有4的概率为．

63

1

故答案为：．

3

（2）解：由树状图可知，共有6种等可能的结果，其中取出的3个小球上所写数字都不相同的结果有4种，

42

取出的3个小球上所写数字都不相同的概率为．

63

【变式02】（2024·四川绵阳·中考真题）如图，电路上有S1，S2，S3，S4四个断开的开关和一个正常的小

灯泡L，将这些开关随机闭合至少两个，能让灯泡发光的概率为（）

3749

A．B．C．D．

511511

【答案】D

【分析】本题考查列举法求事件的概率，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．

由题意可得出所有等可能的结果数以及能让灯泡发光的结果数，再利用概率公式可得出答案．

【详解】解：将这些开关随机闭合至少两个，所有等可能的结果有：

闭合两个的情况有：(S1，S2)，(S1，S3)，(S1，S4)，(S2，S3)，(S2，S4)，(S3，S4)，

闭合三个的情况有：(S1，S2，S3)，(S1，S2，S4)，(S1，S3，S4)，(S2，S3，S4)，

闭合四个的情况有：(S1，S2，S3，S4)，

故这些开关随机闭合至少两个共11种，

其中能让灯泡发光的结果有：(S1，S3)，(S1，S4)，(S2，S3)，(S2，S4)，(S1，S2，S3)，(S1，S2，S4)，(S1，

S3，S4)，(S2，S3，S4)，(S1，S2，S3，S4)，共9种，

9

将这些开关随机闭合至少两个，能让灯泡发光的概率为．

11

故选：D．

知识必备

频率、概率、大量重复试验、频率稳定性。

答题技法

观察试验次数增加后频率的稳定值，取稳定后的常数作为概率的估计值。注意当试验次数足够多时，频率

趋近于概率。

母题精讲

【典例01】（2026·陕西宝鸡·一模）围棋起源于中国，古代称之为“弈”，棋子分黑白两色．在一个不透明的

盒子中装有10枚黑棋和若干枚白棋，这些棋子除颜色外都相同，从中随机摸出一枚棋子，记下它的颜色后

再放回．不断重复这一过程，共摸了2