2026年中考数学二轮复习讲练测（全国）专题06 锐角三角函数的实际应用（题型）（解析版）

专题06锐角三角函数的实际应用

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第一部分题型破译微观解剖，精细教学

典例引领方法透视变式演练

题型01网格中求某角的三角函数值

题型02几何图形中求某角的三角函数值

题型03已知某角的三角函数值求线段的长

题型04锐角三角函数中特殊角的计算问题

题型05锐角三角函数中的仰角俯角问题

题型06锐角三角函数中的方位角问题

题型07锐角三角函数中的坡度坡比问题

题型08锐角三角函数中的情景应用抽象几何图形问题

第二部分题型训练整合应用，模拟实战

题型破译

典例引领

【典例01】（2025·江苏南通·中考真题）如图，网格图中每个小正方形的面积都为1．经过网格点A的一条

直线，把网格图分成了两个部分，其中BMN的面积为3，则sinMNB的值为____________________．

【答案】62

4

1

【分析】设NCx，证明ANC∽MAD，可求得MD，根据BMN的面积为3，得到SAMDSANC2，

x

1

求得x4，解方程得x23，根据勾股定理可得AN26，从而可得sinMNB的值．

x

【详解】解：如图，在图中标注C，D，

设NCx，

∵ADNB，

∴MADANC，

∵MDAACN，

∴ANC∽MAD，

∵ACAD1，

1

∴MD，

x

∵BMN的面积为3，网格图中每个小正方形的面积都是1，

∴SAMDSANC312，

11

∴MD·ADNC·AC2，

22

111

∴1x12，

2x2

1

∴x4，

x

解得，x123，x223（舍去），

∵AN2AC2NC2

22

∴AN212384326，

∴AN26，

162

∴sinMNBsinANC

264

故答案为：62．

4

【典例02】（2025·浙江宁波·模拟预测）如图是由6个形状、大小完全相同的菱形组成的网格，菱形的顶点

称为格点，已知菱形的一个角AOB60，点A,B,C都在格点上，则cosABC的值是_______．

【答案】27

7

【分析】本题考查菱形的性质，三角函数、特殊三角形边角关系等知识，解题的关键是添加辅助线构造直

角三角形解决问题．

BE

如图，连接EA，EC，证明AEC90，E、C、B共线，再根据cosABC解题即可．

AB

【详解】解：如图，连接EA，EC，

设菱形的边长为a，由题意得AEF30，BEF60，AE3a，EB2a，

∴AEC90，

则AB7a，

∵ACEACGBCG60，

∴ECB180，

∴E、C、B共线，

在RtAEB中，

BE2a27

cosABC．

AB7a7

故答案为：27．

7

方法透视

网格特征应用：主要考查在正方形网格中，利用格点间的水平距离和竖直距离构造直角三角形

考向1.

求三角函数值。

解读

2.角的位置处理：常考角顶点在格点上或内部，需通过平移、作垂线等方法将角转化到直角三角

形中。

3.勾股定理配合：结合网格边长求三角形边长，再用三角函数定义（正弦、余弦、正切）计算。

4.综合应用：常与相似、旋转、坐标系结合，考查学生数形结合与转化能力。

构造直角三角形：过角的一边上格点向另一边作垂线，或连接格点构造包含所求角的直角三角

方法1.

形。

技能

2.网格边长计数：利用小正方形边长为1，数出直角三角形的两条直角边长度（水平或竖直方向）。

勾股求斜边：已知两直角边用勾股定理求斜边，再按定义对、邻、对计算。

3.sin=斜cos=斜tan=邻

4.等角转化：若所求角位置不便，可找与之相等的角（平移或相似）转化到容易构造直角三角形

的位置。

变式演练

【变式01】（2026·湖南邵阳·一模）如图，网格图中每个小正方形的面积都为1，经过网格点A的一条直线，

把网格图分成了两个部分，其中BMN的面积为3，则（1）AN______，（2）sinMNB的值为_______．

62

【答案】26

4

【分析】本题主要考查了解直角三角形，相似三角形的判定与性质，勾股定理等，掌握以上性质是解题的

关键．

1

设NCx，根据相似三角形的判定和性质可求得MD，根据BMN的面积为3，得到SAMDSANC2，

x

1

求得x4，解方程得到，根据勾股定理求得，即可求出的值．

xNC23AN26sinMNB

【详解】解：如图，

设NCx，

∵AD∥NB，

∴MADANC，

∵MDAACN90，

∴ANC∽MAD，

ADMD

∴，

NCAC

∵ACAD1，NCx，

1

∴MD，

x

∵BMN的面积为3，网格图中每个小正方形的面积都为1，

∴SAMDSANC312，

11

即MDADNCAC2，

22

111

x2，

2x2

1

∴x4，

x

解得x123，x223（舍去），

即NC23；

在RtANC中，AN2AC2NC2，

22

故AN12238432626，

AC162

∴sinMNBsinANC．

AN264

62

故答案为：26，．

4

【变式02】（2025·陕西咸阳·一模）如图，点A、B、C在边长为1的正方形网格的格点上，连接AB、BC，

则tanB的值为_____．

1

【答案】/0.5

2

【分析】此题考查了勾股定理及其逆定理的应用；求网格问题中锐角的三角函数值，掌握利用网格构造直

角三角形、正切的定义是解决此题的关键．先利用格点和勾股定理计算AB、AC、BC，再判断ABC的

形状，最后求出tanB．

【详解】解：连接A、C，

则AB222222，

AC12122，

BC123210，

AB2AC2BC2，

ABC是直角三角形．

AC21

tanB，

AB222

故答案为：1．

2

【变式03】（2025·新疆·一模）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是2，O是ABC的外接

圆，点A，B，O在网格线的交点上，则sinACB的值是___________．

252

【答案】/5

55

【分析】本题主要考查了求角的正弦值，同弧所对的圆周角相等，勾股定理，取格点D，连接AD，可根据

网格的特点和勾股定理得到AD45，则可解Rt△ABD得到ADB的正弦值，再由ÐACB=ÐADB即可求

出答案．

【详解】解：如图所示，取格点D，连接AD，

由网格的特点可得BD4，AB8，ABD90，

∴ADAB2BD245，

AB25

∴sinADB，

AD5

∵ÐACB=ÐADB，

25

∴sinACBsin∠ADB，

5

故答案为：25．

5

典例引领

【典例01】（2025·广东广州·二模）在Rt△ABC中，ABC90，AB2,AC3，BDAC于点D，则

sinDBC________．

51

【答案】/5

33

【分析】本题考查了勾股定理，求正弦函数值，利用DBCA，在Rt△ABC中利用勾股定理及正弦函数

的定义即可求解．

【详解】解：如图，

∵ABC90，BDAC，

∴ACCDBC90，

∴DBCA，

BC

∴sinDBCsinA；

AC

由勾股定理得BCAC2AB25，

BC5

∴sinDBC；

AC3

故答案为：5．

3

【典例02】（2026·上海徐汇·一模）如图，Rt△ABC中，CAB90，AC3，AB4，AD为斜边BC上

的中线，则cosCAD的值为______．

3

【答案】/0.6

5

【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形斜边中线定理，等腰三角形的性质及余弦的定义，根据已知条

5

件利用勾股定理求得BC的值，再由直角三角形斜边中线定理可得ADCDBD，根据等腰三角形的性

2

质得出CADC，进而求得结果．

【详解】解：∵CAB90，AC3，AB4，

∴BCAC2AB25，

又∵AD为斜边BC上的中线，

5

∴ADCDBD，

2

∴CADC，

3

∴cosCAD，

5

3

故答案为：．

5

方法透视

构造直角三角形：主要考查在三角形、四边形或圆中，通过作垂线构造直角三角形，将所求角

考向1.

置于其中求值。

解读

2.等角转化：常考利用平行线、等腰三角形、相似三角形或圆的性质，将所求角转化为已知角或

可求角。

3.勾股定理配合：结合已知边长或特殊三角形性质，用勾股定理求出所需边长，再按定义计算三

角函数。

4.综合应用：多与折叠、旋转、动点问题结合，考查转化与化归思想。

构造直角三角形：过所求角顶点作对边垂线，或连接直径构造直角，将角置于△中。

方法1.Rt

等角转化：利用同位角、内错角、圆周角定理等，将所求角转化到已知边长的三角形中。

技能2.

3.特殊角优先：观察图形中是否有30°、45°、60°等特殊角，利用其三角函数值简化计算。

4.设参列方程：未知边长较多时，设参数利用相似或勾股定理列方程求解，再求三角函数值。

变式演练

【变式01】（2025·上海杨浦·一模）在菱形ABCD中，ABC90，点M在线段AB上，且BM:AM3:2，

点N为BC上一点，将BMN沿MN翻折，点B对应点E，BAE90，且AECE，则tanABC_____．

51

【答案】/5

22

【分析】本题考查菱形的性质，解直角三角形，翻折变换，由四边形ABCD都是菱形，推出A，C关于BD

对称，由AEEC，推出点E在线段BD上，证明四边形BMEN是菱形，推出ME∥BC，推出AMEABC，

设BM3m，AM2m，利用勾股定理求出AE可得结论．

【详解】解：如图，

∵四边形ABCD都是菱形，

∴A，C关于BD对称，

∵AEEC，

∴点E在线段BD上，

∴BMBN，EMEN，

∵MBME，NBNE，

∴BMMEENBN，

∴四边形BMEN是菱形，

∴ME∥BC，

∴AMEABC，

∵BM：AM3：2，

∴设BM3m，AM2m，

∴MEBM3m，

∵BAE90，

22

∴AEME2AM23m2m5m，

AE5m5

∴tanABCtanAME．

AM2m2

故答案为：5．

2

【变式02】（2025·黑龙江绥化·模拟预测）在平行四边形ABCD中，F是AD的中点，点E在射线BC上，

1

且CEBC，连接EF．若AB4,AD6,B60，则tanFEC的值为_____．

2

3

【答案】3或

2

【分析】当点E在线段BC上时，利用平行四边形的判定和性质，结合特殊角三角函数计算即可；当点E

在线段BC的延长线上时，过点F作FMBC于点M，利用三角函数解答即可．

【详解】解：当点E在线段BC上时，

∵平行四边形ABCD中，F是AD的中点，

11

∴ABCD,ADBC,AD∥BC，AFFDADBC，

22

1

∵CEBC，

12

1

∴BEBC，

12

∴BE1AF,BE1AF，

∴四边形ABE1F是平行四边形，

∴ABE1F，

∴FE1CB60，

∴tanFE1CtanBtan603；

当点E在线段BC的延长线上时，

过点F作FMBC于点M，

∵FE1CB60，

∴tanFE1CtanBtan603；

∴FME1Fsin6023，E1ME1Fcos602，

∵BCAD6，

1

∴BEECCEBC3，

112

∴EMCEE1CE1M314，

FM233

∴tanFEC；

EM42

3

综上所述，tanFEC的值为3或，

2

3

故答案为：3或．

2

【变式03】（2025·河南·模拟预测）在等腰直角ABC中，ACB＝90，AC＝BC＝1，D在直线BC上，且

CD＝2，连接AD，将线段AD绕点D按顺时针方向旋转90得线段ED，连接CE．则sinECD的值为______．

【答案】213或25

135

【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，三角函数，旋转的性质．分两种情况讨论：过点E作EMCB

于点M，求出EM，CE即可．

【详解】解：如图，当D在CB的延长线上时，过点E作EMCB于点M，连接CE，

由旋转，得ADDE，ADE90，

∴ADCEDM90，

又∵ACB90，

∴ACDDME，ADCCAD90，

∴CADEDM，

∴ACD≌DMEAAS，

∴CDEM，ACDM，

∴DMAC1，EMCD2，

∴CMCDDM3，CECM2EM213，

EM2213

∴sinECD；

CE1313

当D在BC的延长线上时，过点E作EMCB于点M，如图，连接CE，

同理可得：△ACD≌△DME，

∴DMAC1，MECD2，

∴CM211，

∴CE22125，

EM225

∴sinECD；

CE55

故答案为：213或25．

135

典例引领

3

【典例01】（2026·上海闵行·一模）在Rt△ABC中，C90,BC12,B的余弦值是，那么AB的长

4

是___________．

【答案】16

【分析】本题考查了已知角的余弦值求边长．根据余弦定义，在直角三角形中，锐角的余弦值等于邻边与

BC3

斜边的比，即cosB，再把BC12代入计算，即可作答．

AB4

3

【详解】解：∵B的余弦值是，C90，

4

BC3

∴cosB，

AB4

∵BC12，

123

∴，

AB4

解得AB16，

故答案为：16．

1

【典例02】（2026·上海虹口·一模）在Rt△ABC中，C90，如果AB6,sinA，那么AC的长是

3

___________．

【答案】42

【分析】本题考查正弦，根据正弦的定义，sinA等于对边BC与斜边AB的比，结合勾股定理求解．

BC1

【详解】解：在Rt△ABC中，C90，sinA，AB6，

AB3

11

所以BCAB62．

33

由勾股定理，AB2AC2BC2，即62AC222，

解得：AC42．

故答案为：42．

方法透视

定义法应用：主要考查在直角三角形中，已知一锐角的三角函数值和一条边长，利用定义求另

考向1.

一条边长。

解读

2.构造直角三角形：在非直角三角形或四边形中，通过作垂线构造直角三角形，将已知三角函数

值转化为边长比。

3.方程思想：常考设未知数表示各边，利用三角函数值列比例方程求解线段长度。

4.综合应用：多与相似、勾股定理、圆、实际应用（仰角俯角）结合，考查建模能力。

定义式列比例：在直角三角形中，根据对、邻、对直接列比例式。

方法1.sin=斜cos=斜tan=邻

构造直角优先：若无直角三角形，主动作垂线构造，将已知三角函数值转化为边长比。

技能2.

3.设参求值：设未知数表示相关边长，利用三角函数值列方程，结合勾股定理求解。

4.实际情境建模：仰角俯角问题中，画出示意图，标出已知角和边长，用三角函数列式求解。

变式演练

【变式01】（2025·山西·一模）如图，在ABC中，AC2AB，AD是ABC的平分线，与中线BE相交于

4

点F．若AF4，cosEAF，则CD的长为___________．

5

【答案】297

3

【分析】本题主要考查了角平分线的性质、等腰三角形的性质、余弦的定义、勾股定理等知识点，灵活运

用相关知识成为解题的关键．

根据中线的定义、角平分线的定义以及等腰三角形的性质可得AFE90,BFEF，再根据余弦的定义可

得AE5，进而可得AB5,AC10,EF3，BE6；如图：过B作BGAC于G，运用勾股定理可得等

242

面积法和勾股定理可得BG、BC97，再根据等面积法可得DC2BD，即CDBC，据此即可解

53

答．

【详解】解：∵BE是ABC的中线，

∴AEEC，

∵AC2AB，

1

∴ABACAE，

2

∵AD是ABC的平分线，

∴AFE90,BFEF，

AF444

∵cosEAF，即，解得：AE5，

AE5AE5

∴AB5,AC10,EFAE2AF23，

∴BE6，

如图：过B作BGAC于G，

11

∵SBEAFAEBG，

ABE22

1124

∴5BG，解得：BG，

225

2

222247

∴AGABBG5，

55

743

∴CGACAG10，

55

22

222443

∴BCCGBG97，

55

∵ABD,ADC的BD,DC边上的高相等，

SBD

∴ABD，

SADCDC

如图：过D作DHAB,DIAC，

∵AD是ABC的平分线，

∴DHDI，

1

ABDH

SAB

∴ABD2，

S1AC

ADCACDI

2

BDAB1

∴，即DC2BD，

DCAC2

2297

∴CDBC．

33

故答案为：297．

3

k

【变式02】（2026·湖南·模拟预测）如图，ABC的三个顶点在反比例函数yk0上(点B在点A的右

x

2

，

侧)，ACB90，tanABC2，若点C的坐标为2，则ABC的面积为___________．

2

【答案】272

8

【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质、相似三角形的判定与性质及锐角三角函数的定义．解题的

关键是通过作辅助线构造相似三角形，利用相似三角形的性质结合反比例函数解析式求出对应线段的长度，

最终计算直角三角形的面积．

2k

【详解】解：∵点C,2在反比例函数yk0上，

2x

22

∴k22，即反比例函数解析式为y．

2x

过点C作平行于x轴的直线l，过点A作ADl于点D，过点B作BEl于点E，则DE90．

∵ACB90，

∴ACDBCE90，

又∵ACDCAD90，

∴CADBCE，

∴△ACD∽△CBE．

AC

∵Rt△ABC中，tanABC2，

BC

ADCDAC

∴2．

CEBEBC

设BEm，CEn，则AD2n，CD2m．

222

由点C的坐标为,2，可得点A的坐标为2m,22n，点B的坐标为n,2m．

222

2

∵点A、B均在反比例函数y上，

x

2①

2m22n2

2

∴

2②

n2m2

2

1

由①得n2mmn0，③

2

2

由②得m2nmn0，④

2

332

③+④得：nm0，即n2m．

22

2

将n2m代入③，得：m2m2m20，

2

3

化简整理得：m2m0，

2

3332

解得m(m0舍去)，则n2．

222

2

2

在△中，222233233，

RtCBEBCCEBEmn

222

3336

∴AC2BC2．

22

113633272

∴ABC的面积SACBC．

22228

故答案为：272．

8

1

【变式03】（2024·湖北·模拟预测）点A在第一象限，ACx轴，垂足为C，OA310，tanA，反

3

k

比例函数y的图象经过OA的三等分点，则k____________

x

【答案】3或12

【分析】本题考查反比例函数图象上点的特征，三角形面积，解直角三角形．利用正切函数的定义求得OC3，

AC9，得到点A的坐标为3,9，再分两种情况求得OA的三等分点的坐标，据此求解即可．

1

【详解】解：∵tanA，

3

OC1

∴，

AC3

∴设OA的三等分点为点B，OCa，则AC3a，

∵OA310，

2

∴a23a310，

解得a3，

∴OC3，则AC9，

∴点A的坐标为3,9，

当点B靠近点A时，则点B的坐标为2,6，

∴k2612；

当点B靠近点O时，则点B的坐标为1,3，

∴k133；

故答案为：3或12．

典例引领

1

01

【典例01】（2026·湖南衡阳·一模）计算：20233tan3012．

2

【答案】33

【分析】根据零指数幂和负整数指数幂运算法则，特殊角的三角函数值，二次根式性质，进行计算即可．

1

01

【详解】解：20233tan3012

2

3

13223

3

13223

33．

2

【典例02】（2026·陕西宝鸡·一模）计算：2sin60cos451tan60．

3

【答案】

2

【分析】本题考查的知识点是特殊角三角函数值的混合运算，解题关键是熟练记忆一些特殊角的三角函数

值．

根据特殊角的三角函数值计算即可．

2

【详解】解：原式32，

231

22

1

331，

2

3

．

2

方法透视

特殊角函数值记忆：主要考查°、°、°角的正弦、余弦、正切值，要求准确记忆并熟

考向1.304560

练应用。

解读

2.混合运算：常考将特殊角三角函数值代入代数式进行计算，与实数运算、二次根式结合考查。

3.方程中的应用：在含特殊角的直角三角形中，利用函数值列方程求边长或角度。

4.综合应用：多与坐标系、几何图形、实际应用结合，考查学生灵活运用特殊角的能力。

口诀巧记值：°、°、角函数值可口诀记忆：“一二三、三二一、三九二十七”对应正

方法1.304560

弦、余弦、正切。

技能

2.代入计算准：将特殊角函数值代入算式时，注意二次根式的化简和分母有理化，避免计算失误。

3.图形结合快：遇到含特殊角的几何题，直接在图中标出边长比例（如1:√3:2或1:1:√2）快速

解题。

4.逆用求角度：已知三角函数值求角度时，直接对应特殊角取值，注意角度范围。

变式演练

2

05

（湖南模拟预测）计算：．

【变式01】2026··3.1420261246tan30

5

【答案】0

【分析】本题考查了零指数幂、负整数指数幂、绝对值的性质及特殊角的三角函数值，分别根据相关运算

法则对各项进行化简，再进行加减运算．

13

124236

【详解】解：原式53

5

1523423

0．

sin301

tan60

【变式02】（2026·上海长宁·一模）计算：21．

cos30cot302cos45

2

【答案】22

【分析】本题考查了含特殊角的三角函数值的混合运算，解题的关键是熟记特殊角的三角函数值．

分别代入特殊角的三角函数值，再进行二次根式的混合运算即可．

sin301

tan60

【详解】解：21

cos30cot302cos45

2

1

21

23

312

32

2

22

1

1

23

31

32

42

1

2332

1

4

2332

22．

2cot45

【变式03】（2026·上海闵行·一模）计算：sin452sin60．

tan601

2

【答案】1

2

【分析】此题考查了特殊角的三角函数值的混合运算．把特殊角的三角函数值代入，利用二次根式的运算

法则计算即可．

2321

【详解】解：原式2

2231

2

331

2

2

1．

2

典例引领

【典例01】（2026·湖南衡阳·一模）随着科技的发展，无人机在实际生活中应用广泛．如图，O，C是同一

水平线上的两点，无人机从O点竖直上升到A点，在A点测得C点的俯角为30,A,C两点的距离为24m．无

人机继续竖直上升到B点，在B点测得C点的俯角为36.9．求无人机从A点到B点的上升高度AB（结果精

确到0.1m）．（点O,A,B,C在同一平面内，参考数据：sin36.90.60，cos36.90.80，tan36.90.75，

31.73）

【答案】3.6m

【分析】解RtAOC，求出AO,OC的长，解RtBOC，求出BO的长，利用线段的和差关系求出AB的长即

可．

【详解】解：由题意得：∠AOC=90，ACO30，BCO36.9，AC24．

在RtAOC中，ACO30，AC24，

1

AOAC12，OCAC2AO2242122123，

2

在RtBOC中，BCO36.9，

BOCOtanBCOCOtan36.91230.7593，

ABBOAO931291.73123.573.6m

答：无人机从A点到B点的上升高度AB为3.6m．

【典例02】（2026·陕西宝鸡·一模）石鼓阁是宝鸡市的标志性建筑之一，因石鼓文而得名，堪称西北第一阁，

采用外五内九的层级设置，喻示周秦文明在中华文明史上的九五之尊的崇高地位．小林想利用学过的知识

测量石鼓阁的高度．一个阳光明媚的下午，他和数学应用实践小组的同学们带着测量工具来到石鼓阁前，

但他们无法到达石鼓阁的底部B．如图，小林先在石鼓阁前方的点C处测得石鼓阁顶端A的仰角ACB37；

然后，他从点C处沿BC方向前进38米至石鼓阁的影子顶端E处（即CE38米），同一时刻，小组成员测

得小林的影长EF为3.6米．已知小林的身高ED为1.8米，AB⊥BF，DE⊥BF，点B、C、E、F在同一水平

343

线上，图中所有点都在同一平面内，求石鼓阁的高度AB．（参考数据：sin37≈，cos37≈，tan37≈）

554

【答案】石鼓阁的高度AB为57米

【分析】题目主要考查解三角形及相似三角形的判定和性质，理解题意，熟练掌握运用是解题关键．

4

设ABx米，根据题意得出BCx，再由相似三角形的判定和性质求解即可．

3

【详解】解：设ABx米，

在Rt△ABC中，ACB37，

AB3

tan37，

BC4

4

BCx（米），

3

由题意得：ABCDEF90，AEBDFE，

△ABE∽△DEF，

4

ABBEx38

，即x，

DEEF3

1.83.6

解得：x57，即AB57米，

石鼓阁的高度AB为57米．

方法透视

概念理解：主要考查仰角（视线在水平线上方）和俯角（视线在水平线下方）的定义，要求准

考向1.

确在图中标出。

解读

2.双直角三角形：常考两个直角三角形共用一条直角边（如高），通过仰角俯角分别列方程求解。

3.实际建模：常与测量高度、距离的实际问题结合（如测楼高、河宽），考查将实际问题转化为

数学模型的能力。

4.方程思想：利用仰角俯角的三角函数值列方程，常需设未知数并解方程求线段长。

画图定角：根据题意画出示意图，在图中标出水平线、视线，准确标出仰角或俯角的位置。

方法1.

2.构造直角三角形：过观测点作垂线，将仰角俯角转化为直角三角形中的内角。

技能

3.设公共边：若两个直角三角形共用一边（如高），设该公共边为未知数，分别列方程求解。

4.方程联立：遇到多个三角形时，分别列出三角函数关系式，联立方程解出所求量。

变式演练

【变式01】（2026·陕西西安·一模）如图，山坡AB长为26米，坡度i为5:12，底端A在地面上，山坡与

对面的山之间有一条小河，对面山顶D处立有高15米的铁塔CD．数学实践小组的同学欲测量山高DE，

他们在B处测得塔顶C的仰角CBF54.6，又测得塔底D的仰角DBF45．已知点C，D，E在同一

条直线上，CD与水平线AE垂直，图中点A，B，C，D，E，F均在同一平面内，请计算山高DE．（测倾

器的高度忽略不计，结果精确到1米．参考数据：sin54.60.82，cos54.60.58，tan54.61.40）

【答案】山高DE为48米

【分析】本题考查了解直角三角形的应用-俯角仰角，解直角三角形的应用-坡角坡度，正确地作出辅助线是

解题的关键．过B作BMAE于M，BNCE于N，则四边形BMEN是矩形，BMEN，由坡度i为5:12，

CN

求出ENBM5x10，AM12x24，再根据tanCBFtan54.61.40，

BN

DN

tanDBFtan451，得到CN1.40BN，DNBN，最后根据CDCNDN15，求出DN37.5，

BN

最后根据DEENDN计算即可．

【详解】解：过B作BMAE于M，BNCE于N，则四边形BMEN是矩形，BMEN，

∵山坡AB长为26米，坡度i为5:12，

∴设BM5x，AM12x，

∵AB2AM2BM2，

22

∴2625x12x，

解得x2（负值舍去），

∴ENBM5x10，AM12x24，

∵CBF54.6，DBF45，

CNDN

∴tanCBFtan54.61.40，tanDBFtan451，

BNBN

∴CN1.40BN，DNBN，

∵CDCNDN15，

∴1.4DNDN15，

解得DN37.5，

∴DEENDN1037.547.548（米），

答：山高DE为48米．

【变式02】（2026·江苏苏州·模拟预测）如图，某数学兴趣小组为测量校园内旗杆AB的高度，进行了以下

操作：在旗杆前的平地上选择一点C，测得旗杆顶端A的仰角ACD为45；再往前走一段距离到点E（点

C，E，D在同一条直线上），测得旗杆顶端A的仰角AED为30，已知测角仪CG的高度为1.5米，CE

的距离为10米．

(1)求点D到点E的距离DE的长度（结果保留根号）；

(2)求旗杆AB的高度（结果精确到0.1米，参考数据：31.732）．

【答案】(1)点D到点E的距离DE的长度为1553米；

(2)旗杆AB的高度约为15.2米．

【分析】本题考查的是解直角三角形的应用−仰角俯角问题．

（1）设ADx，在Rt△ACD和Rt△AED中，利用三角函数的定义分别求得CDADx，

AD

DE3x，根据CE10，列式求解即可；

tan30

（2）先得到BDCG1.5，由（1）知AD531，据此计算求得AB的长．

【详解】（1）解：设ADx，

在Rt△ACD中，ACD45，

∴Rt△ACD是等腰直角三角形，

∴CDADx，

在Rt△AED中，AED30，

AD

∴DE3x，

tan30

∵CE10，

∴3xx10，

∴x531，

∴DE3x1553，

∴点D到点E的距离DE的长度为1553米；

（2）解：由题意得，四边形BDCG是矩形，

∴BDCG1.5，

由（1）知AD531，

∴ABAD1.55311.515.2，

∴旗杆AB的高度约为15.2米．

【变式03】（2026·安徽安庆·模拟预测）如图，为测量某山体高度，测量队在山脚点A处测得山顶C的仰角

为30，沿坡面倾角为15的坡面AB向上行进80m到达点B，此时测得山顶C的仰角为45．

(1)求点B的垂直高度BE(精确到0.1m)；

(2)求山体的垂直高度CD(精确到0.1m)．

(参考数据：sin150.26，cos150.97，tan150.27，21.41，31.73)

【答案】(1)20.8m；

(2)77.4m

【分析】（1）利用直角三角形中正弦函数的定义，直接计算点B的垂直高度；

（2）通过作辅助线构造矩形和等腰直角三角形，将未知线段转化为含山体高度的表达式，再结合30角的

三角函数关系列方程求解．

【详解】（1）解：在RtABE中，AEB90，BAE15，AB80m，

BE

sinBAE，

AB

BEABsin15800.2620.8(m)．

答：点B的垂直高度BE约为20.8m．

（2）解：过点B作BFCD于点F，

BEAD，FDAD，

∴四边形BEDF是矩形，

FDBE20.8m，BFED．

设山体的垂直高度CDxm，则CF