2026春专题02 排列组合中的必考六类问题（举一反三专项训练）（高二数学人教A版选择性必修第三册）

专题02排列组合中的必考六类问题（举一反三专项训练）（高二数学人教A版选择性必修第三册）排列组合是高二数学人教A版选择性必修第三册的核心内容，也是高考数学的必考题型之一，主要考查学生的逻辑推理能力、分类讨论思想和运算求解能力。本专题聚焦排列组合中的六类必考问题，通过“知识点梳理+典型例题解析+举一反三变式训练”的模式，帮助学生吃透核心考点、掌握解题方法，突破学习难点，实现精准提分。一、知识点前置梳理在解决排列组合的各类问题前，需熟练掌握核心概念、公式及解题原则，为后续解题奠定基础，避免因基础薄弱导致解题失误。1.核心概念（1）排列：从n个不同元素中取出m（m≤n，n、m∈N*）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。排列数记为An（2）组合：从n个不同元素中取出m（m≤n，n、m∈N*）个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。组合数记为Cn2.核心公式（1）排列数公式：An（2）组合数公式：Cn（3）组合数性质：①Cnm=Cn3.解题核心原则（1）先选后排：对于排列组合混合问题，先通过组合选出符合条件的元素，再对选出的元素进行排列；（2）特殊优先：优先处理有特殊限制（如位置限制、元素限制）的元素或位置，再处理普通元素和位置；（3）分类讨论：当问题存在多种情况，无法一次性求解时，按不同条件分类，最后利用分类加法计数原理求和；（4）正难则反：当直接求解困难时，可先求其对立事件的结果，再用总结果减去对立事件的结果，简化计算；（5）等价转化：将复杂问题转化为熟悉的基础题型（如相邻问题、相间问题），利用对应解题方法求解。二、排列组合必考六类问题详解（含举一反三）第一类：排列数、组合数的计算与证明【考情分析】此类问题是排列组合的基础题型，高考中多以选择题、填空题形式出现，考查排列数、组合数公式的直接应用、性质应用，以及简单的方程、不等式求解，难度偏低，但需注意公式的适用条件和计算准确性，避免因粗心导致失误。（一）典型例题例1：（1）计算A83、C104的值；（2）证明：【解析】（1）根据排列数和组合数公式直接计算：A8C10（2）证明：左边Cnm+左边=n!（3）根据组合数性质Cnm=①x=2x+1，解得x=-1（舍去，因为x∈N*，且组合数中x≤13，2x+1≤13）；②x+(2x+1)=13，解得3x=12，x=4，满足x∈N*且x≤13，2x+1=9≤13，故x=4。【答案】（1）A83=336（二）举一反三变式训练变式1：计算A7变式2：证明：An变式3：求解不等式3A【变式解析】变式1：A74=7×6×5×4=840，C变式2：证明：右边nA变式3：首先明确排列数的适用条件，x≥3（因为Ax将排列数公式代入不等式：3xx−1两边同时除以x（x≥3，x≠0），得：3x−1展开整理：3x²−3x+23x²−9x+6≤8x−4，3x²−17x+10≤0，因式分解：(3x-2)(x-5)≤0，解得23结合x≥3且x∈N*，得x=3、4、5，故不等式的解集为{3,4,5}。第二类：元素（位置）有限制的排列问题【考情分析】此类问题是高考排列组合的高频题型，核心是“特殊元素”或“特殊位置”的限制，如“某元素不能排在某个位置”“某位置只能排某类元素”等，解题关键是优先处理特殊元素或特殊位置，再处理普通元素，常结合分类讨论思想，难度中等。（一）典型例题例2：现有5名同学（甲、乙、丙、丁、戊），安排他们站成一排拍照，满足以下条件，分别有多少种不同的排法？（1）甲不能站在两端；（2）甲必须站在中间，乙不能站在两端；（3）甲、乙两人不能站在相邻位置。【解析】（1）方法一：特殊元素优先法。甲是特殊元素，不能站在两端，先安排甲，甲有3个位置可选（中间3个位置），再安排其余4名同学，有A44种排法，根据分步乘法计数原理，总排法数为方法二：特殊位置优先法。两端是特殊位置，先安排两端的同学，从除甲以外的4名同学中选2人，有A42种排法，再安排中间3个位置的同学，有A3（2）甲必须站在中间，位置固定，只需安排其余4名同学，且乙不能站在两端。先安排乙，乙不能站在两端和中间（甲已占中间），有2个位置可选，再安排丙、丁、戊3人，有A33种排法，总排法数为（3）方法一：间接法。先计算5名同学全排列的排法数A55=120种，再计算甲、乙相邻的排法数（将甲、乙捆绑为一个整体，与其余3人全排列，同时甲、乙内部排列），即A方法二：插空法。先安排丙、丁、戊3人，有A33=6种排法，3人排好后产生4个空隙（包括两端），从4个空隙中选2个安排甲、乙，有A【答案】（1）72种；（2）12种；（3）72种。（二）举一反三变式训练变式1：6名同学站成一排，其中甲不能站在第1位，乙不能站在第6位，有多少种不同的排法？变式2：7名演员排成一排表演，要求甲、乙、丙三人必须站在一起，且甲在乙、丙中间，有多少种不同的排法？变式3：8名同学站成一排，其中3名女生不能站在两端，且3名女生互不相邻，有多少种不同的排法？【变式解析】变式1：方法一：分类讨论。①甲站在第6位，此时乙无限制，其余4人全排列，排法数为A55=120种；②甲不站在第1位和第6位，甲有4个位置可选，乙不能站在第6位，乙有4个位置可选（除第6位和甲的位置），其余4人全排列，排法数为4×4×方法二：间接法。全排列排法数A66=720种，甲站在第1位的排法数A55=120种，乙站在第6位的排法数变式2：将甲、乙、丙捆绑为一个整体，甲在乙、丙中间，乙、丙内部有A22=2种排法，将这个整体与其余4名演员全排列，有A变式3：先安排5名男生，有A55=120种排法，5名男生排好后产生4个空隙（不包括两端，因为女生不能站在两端），从4个空隙中选3个安排3名女生，有A第三类：相邻、相间问题【考情分析】相邻问题和相间问题是排列组合的经典题型，高考中常结合实际场景（如排队、排列物品）考查，核心方法分别是“捆绑法”和“插空法”，需注意捆绑元素的内部排列、插空的空隙选择，难度中等，容易因遗漏内部排列导致错误。（一）典型例题例3：（1）有8个不同的节目，其中4个歌舞节目，4个语言类节目，要求4个歌舞节目必须相邻，有多少种不同的节目编排顺序？（2）有8个不同的节目，其中4个歌舞节目，4个语言类节目，要求歌舞节目和语言类节目相间排列，有多少种不同的节目编排顺序？【解析】（1）相邻问题——捆绑法。将4个歌舞节目捆绑为一个整体，内部进行排列，有A44种排法；将这个整体与4个语言类节目看作5个元素，进行全排列，有A5（2）相间问题——插空法。相间排列分两种情况：①歌舞节目在前，语言类节目在后；②语言类节目在前，歌舞节目在后。①歌舞节目在前：先排列4个歌舞节目，有A44种排法，4个歌舞节目排好后产生5个空隙，从中选4个空隙安排4个语言类节目，有A5②语言类节目在前：先排列4个语言类节目，有A44种排法，4个语言类节目排好后产生5个空隙，从中选4个空隙安排4个歌舞节目，有A5总编排顺序数为2880+2880=5760种。【答案】（1）2880种；（2）5760种。（二）举一反三变式训练变式1：有5名男生和3名女生，排成一排，要求3名女生必须相邻，且女生不能站在两端，有多少种不同的排法？变式2：有6名学生，其中3名男生、3名女生，排成一排，要求男生和女生相间排列，有多少种不同的排法？变式3：有7个不同的小球，放入4个不同的盒子中，要求每个盒子至少放1个小球，且其中2个特定小球必须放入同一个盒子，有多少种不同的放法？【变式解析】变式1：捆绑法+特殊位置优先。将3名女生捆绑为一个整体，内部排列有A33=6种排法；女生不能站在两端，故这个整体只能放在中间5个位置中的1个，有5种选择；再安排5名男生，有A变式2：插空法。相间排列分两种情况：①男生在前，女生在后；②女生在前，男生在后。①男生在前：3名男生全排列有A33=6种排法，产生4个空隙，选3个安排女生，有A②女生在前：3名女生全排列有A33=6种排法，产生4个空隙，选3个安排男生，有A总排法数为36+36=72种。变式3：捆绑法+分组分配。将2个特定小球捆绑为一个整体，此时共有6个“元素”（5个普通小球+1个捆绑整体），要求每个盒子至少放1个，先分组：6个元素分成4组，每组至少1个，分组方式为“2,1,1,1”（只有1组2个元素，其余3组各1个），分组数为C62=15（因为捆绑整体本身是2个元素，无需再选）；再将4组元素分配到4个不同的盒子，有A第四类：定序问题【考情分析】定序问题是排列组合的难点题型，核心是“某些元素的顺序固定”，如“甲必须在乙前面”“从高到低排列”等，解题方法为“定序倍除法”或“定序排他法”，需理解定序问题的本质是“减少排列的可能性”，避免重复计算，高考中多以中档题出现。（一）典型例题例4：（1）有6名同学，排成一排，要求甲必须在乙的前面，丙必须在丁的前面，有多少种不同的排法？（2）有8名运动员，其中3名短跑运动员、2名长跑运动员、3名跳远运动员，排成一排，要求同类运动员的顺序固定（短跑运动员按成绩从快到慢，长跑运动员按成绩从快到慢，跳远运动员按成绩从快到慢），有多少种不同的排法？【解析】（1）方法一：定序倍除法。6名同学全排列的排法数为A66=720方法二：定序排他法。先从6个位置中选2个位置安排甲和乙，甲在乙前面，只有1种排法，有C62种选法；再从剩下的4个位置中选2个位置安排丙和丁，丙在丁前面，只有1种排法，有C42种选法；最后安排剩下的2名同学，有（2）定序倍除法。8名运动员全排列的排法数为A88种；3名短跑运动员顺序固定，需除以A33；2名长跑运动员顺序固定，需除以A2【答案】（1）180种；（2）560种。（二）举一反三变式训练变式1：有5名同学，排成一排，要求甲、乙、丙三人的顺序固定（甲在乙前，乙在丙前），有多少种不同的排法？变式2：有7个不同的数字，分别是1、2、3、4、5、6、7，排成一个7位数，要求奇数数字（1、3、5、7）的顺序固定，有多少种不同的7位数？变式3：有4名男生和2名女生，排成一排，要求2名女生的顺序固定，且男生甲必须在女生前面，有多少种不同的排法？【变式解析】变式1：定序倍除法。5名同学全排列有A55=120种排法，甲、乙、丙三人顺序固定，需除以A变式2：定序倍除法。7个数字全排列有A77=5040种排法，4个奇数数字顺序固定，需除以A变式3：分步求解。先处理2名女生，顺序固定，有1种排法；再安排男生甲，要求甲在女生前面，从女生前面的5个位置（7个位置中，女生占2个，前面有5个）中选1个，有5种选择；最后安排其余3名男生，在剩下的4个位置中全排列，有A43=24第五类：分组、分配问题【考情分析】分组、分配问题是排列组合的综合题型，也是高考的重点和难点，核心是区分“分组”（无序）和“分配”（有序），常见类型有“均匀分组”“非均匀分组”“相同元素分配”“不同元素分配”，解题关键是明确分组的均匀性，避免重复计数，难度中等偏上。（一）典型例题例5：（1）将6本不同的书，分成3组，每组2本，有多少种不同的分组方法？（2）将6本不同的书，分给3名同学，每人2本，有多少种不同的分配方法？（3）将6本相同的书，分给3名同学，每人至少1本，有多少种不同的分配方法？（4）将6本不同的书，分给3名同学，每人至少1本，有多少种不同的分配方法？【解析】（1）均匀分组（无序）。先从6本书中选2本，有C62种选法；再从剩下的4本书中选2本，有C42种选法；最后剩下的2本为一组，有C2（2）均匀分配（有序）。方法一：先分组，再分配。由（1）知，分组方法有15种，再将3组书分给3名同学，有A33=6方法二：直接分配。分给第一名同学2本，有C62种选法；分给第二名同学2本，有C42种选法；分给第三名同学2本，有（3）相同元素分配（挡板法）。6本相同的书，分给3名同学，每人至少1本，相当于在6本书之间的5个空隙中插入2个挡板，将书分成3组，挡板的插入方法数为C5（4）不同元素分配（分类讨论+分组分配）。每人至少1本，分两种分组方式：①“4,1,1”分组；②“3,2,1”分组。①“4,1,1”分组：先分组，有C64×C2②“3,2,1”分组：先分组，有C63×C3总分配方法数为90+360=450种。【答案】（1）15种；（2）90种；（3）10种；（4）450种。（二）举一反三变式训练变式1：将8本不同的书，分成3组，分别为3本、3本、2本，有多少种不同的分组方法？变式2：将8本不同的书，分给3名同学，分别为3本、3本、2本，有多少种不同的分配方法？变式3：将9本相同的书，分给4名同学，每人至少2本，有多少种不同的分配方法？【变式解析】变式1：部分均匀分组（无序）。先从8本书中选3本，有C83种选法；再从剩下的5本书中选3本，有C53种选法；最后剩下的2本为一组，有C2变式2：部分均匀分配（有序）。先分组，由变式1知分组方法有280种，再将3组书分给3名同学，有A33=6变式3：相同元素分配（挡板法变形）。每人至少2本，先给每人分1本，此时还剩9-4=5本相同的书，再将这5本书分给4名同学，每人至少0本（相当于每人至少2本的原问题）；将5本书和3个挡板（4名同学需3个挡板）共8个元素排列，挡板的位置数为C8第六类：涂色问题【考情分析】涂色问题是排列组合的创新题型，高考中常结合几何图形（如三角形、四边形、圆形）考查，核心是“相邻区域涂不同颜色”，解题方法是分类讨论（按颜色种类分类、按相邻区域分类），需注意不相邻区域可涂相同颜色，避免重复或遗漏，难度中等偏上，对逻辑推理能力要求较高。（一）典型例题例6：（1）用5种不同的颜色给如图所示的4个区域（A、B、C、D）涂色，要求相邻区域涂不同的颜色，有多少种不同的涂色方法？（注：A与B、A与C、B与D相邻，C与D不相邻）（2）用4种不同的颜色给正六边形的6个顶点涂色，要求相邻顶点涂不同的颜色，有多少种不同的涂色方法？【解析】（1）分类讨论，按区域A的颜色选择，再依次分析相邻区域的颜色选择。①选择区域A的颜色：有5种选择；②选择区域B的颜色：B与A相邻，不能与A同色，有4种选择；③选择区域C的颜色：C与A相邻，不能与A同色，有4种选择；④选择区域D的颜色：D与B相邻，不能与B同色，与C不相邻，可与C同色，有4种选择（排除B的颜色）；根据分步乘法计数原理，总涂色方法数为5×4×4×4=320种。（2）分类讨论，按是否使用4种颜色分类（相邻顶点不同色，正六边形6个顶点，颜色最多4种）。①使用4种颜色：先从4种颜色中选1种颜色，涂2个不相邻的顶点（正六边形中，不相邻的顶点有3组：1与4、2与5、3与6），有C41×3=12种选择；再将剩下的3种颜色涂剩下的4个顶点，相邻顶点不同色，有A②使用3种颜色：从4种颜色中选3种，有C43=4③使用2种颜色：从4种颜色中选2种，有C4总涂色方法数为72+8+6=86种。【答案】（1）320种；（2）86种。（二）举一反三变式训练变式1：用3种不同的颜色给三角形的3个顶点涂色，要求相邻顶点涂不同的颜色，有多少种不同的涂色方法？变式2：用6种不同的颜色给如图所示的5个区域（A、B、C、D、E）涂色，要求相邻区域涂不同的颜色（A与B、A与C、B与D、C与E、D与E相邻），有多少种不同的涂色方法？变式3：用5种不同的颜色给正方体的6个面涂色，要求相邻的面涂不同的颜色，有多少种不同的涂色方法？【变式解析】变式1：分步求解。①涂顶点A，有3种颜色选择；②涂顶点B，与A相邻，有2种颜色选择；③涂顶点C，与A、B都相邻，有1种颜色选择；总涂色方法数为3×2×1=6种。变式2：分步求解。①涂区域A，有6种颜色选择；②涂区域