问题解决策略特殊化

第四章三角形★问题解决策略：特殊化1.

如图，在周长为9的等边三角形ABC的内部有一点P，过点P作

PD∥AC，PE∥AB，PF∥BC，分别交三边于点D，E，F，则PD＋

PE＋PF等于（D）.A.9B.8C.4D.3D1234解析：如图，延长DP交BC于点M，因为△ABC是等边三角形，所以∠B＝60°.因为PD∥AC，所以∠DMB＝∠C＝60°，∠BDM＝∠A＝60°，∠PEM＝∠B＝60°，所以△DBM是等边三角形，所以DM＝MB.

因为∠MPE＝180°－60°－60°＝60°，所以△PEM是等边三角形，所以PM＝PE，1234所以DM＝PD＋PM＝PD＋PE，所以BM＝PD＋PE.

因为PF∥BC，DM∥AC，所以四边形PMCF是平行四边形，所以MC＝PF，所以PD＋PE＋PF＝BM＋MC＝BC.

因为等边△ABC的周长是9，所以BC＝3，所以PD＋PE＋PF＝3.故选D.

12342.

如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，边BC上的高AD＝8，点

P为BC上一点，且PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F.

求PE＋PF的值.解：如图，连接AP.

因为S△ABC＝S△ABP＋S△ACP，

所以5（PE＋PF）＝48，所以PE＋PF＝9.6.12343.

如图，在等腰直角三角形ABC中，∠B＝90°，AB＝a，点O为AC的

中点，EO⊥OF.

求：（1）BE＋BF的值；解：如图，连接OB，因为在等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，点O为AC的中点，1234所以OB⊥AC，OB＝AO，∠EBO＝45°.因为EO⊥OF，所以∠AOE＋∠EOB＝∠BOF＋∠EOB＝90°，所以∠AOE＝∠BOF.

在△AOE和△BOF中，

所以AE＝BF.

因为AB＝AE＋BE，所以AB＝BF＋BE，所以BF＋BE＝a.12343.

如图，在等腰直角三角形ABC中，∠B＝90°，AB＝a，点O为AC的

中点，EO⊥OF.

求：（2）四边形BEOF的面积.

12344.

【问题情境】在学习课本“问题解决策略：特殊化”后，同学们以“正方

形的旋转”为主题开展活动.数学兴趣小组将足够大的直角三角板的一个顶点放在正方形ABCD的中心O

处，如图1，绕点O旋转，直角三角板的两条直角边分别与BC，CD交于点

E，F.

【初步探究】猜想线段EC与DF的关系，并加以证明.1234解：【初步探究】EC＝DF.

证明如下：因为∠EOF＝90°，所以∠EOC＋∠COF＝90°.在正方形ABCD中，∠COD＝90°，所以∠DOF＋∠COF＝90°，所以∠EOC＝∠DOF.

在正方形ABCD中，∠CDO＝∠OCB＝45°，OC＝OD，所以△DOF≌△COE（ASA），所以EC＝DF.

12344.

【问题情境】在学习课本“问题解决策略：特殊化”后，同学们以“正方

形的旋转”为主题开展活动.数学兴趣小组将足够大的直角三角板的一个顶点放在正方形ABCD的中心O

处，如图1，绕点O旋转，直角三角板的两条直角边分别与BC，CD交于点

E，F.

【类比探究】如图2，四边形ABCD和四边形EFGH都是正方形，顶点A与

顶点E重合，将正方形EFGH绕点A按逆时针方向旋转，连接BF，DH.

试

猜想线段BF与DH的关系，并加以证明.1234解：【类比探究】BF＝DH.

证明如下：如图1，因为四边形ABCD和四边

形EFGH都是正方形，所以AB＝AD，EF＝EH，∠BAD＝∠FEH＝90°，所以∠BAD－∠DAF＝∠FEH－∠DAF，所以∠BAF＝∠DEH，所以△ABF≌△ADH（SAS），所以BF＝DH.

12344.

【问题情境】在学习课本“问题解决策略：特殊化”后，同学们以“正方

形的旋转”为主题开展活动.数学兴趣小组将足够大的直角三角板的一个顶点放在正方形ABCD的中心O

处，如图1，绕点O旋转，直角三角板的两条直角边分别与BC，CD交于点

E，F.

【拓展提升】如图3，将两个大小一样的正六边形按照一个正六边形的顶点

与另一个的中心重合的方式摆放.探究重叠部分的面积S1和一个正六边形面

积S2之间的数量关系，请求出探究结果.1234解：【拓展提升】如图2，连接OA，OB，由题意得∠AOB＝120°，OA＝OB，∠OAM＝∠OBN＝60°.因为∠MON＝120°，所以∠AOM＝∠BON，所以△AOM≌△BON（ASA），

1234参考答案1.

D

解析：如图，延长DP交BC于点M，因为△ABC是等边三角形，所以∠B＝60°.因为PD∥AC，所以∠DMB＝∠C＝60°，∠BDM＝∠A＝60°，∠PEM＝∠B＝60°，所以△DBM是等边三角形，所以DM＝MB.

因为∠MPE＝180°－60°－60°＝60°，所以△PEM是等边三角形，所以PM＝PE，所以DM＝PD＋PM＝PD＋PE，所以BM＝PD＋PE.

因为PF∥BC，DM∥AC，所以四边形PMCF是平行四边形，所以MC＝PF，所以PD＋PE＋PF＝BM＋MC＝BC.

因为等边△ABC的周长是9，所以BC＝3，所以PD＋PE＋PF＝3.故选D.

2.

解：如图，连接AP.

因为S△ABC＝S△ABP＋S△ACP，

所以5（PE＋PF）＝48，所以PE＋PF＝9.6.3.

解：（1）如图，连接OB，因为在等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，点O为AC的中点，所以OB⊥AC，OB＝AO，∠EBO＝45°.因为EO⊥OF，所以∠AOE＋∠EOB＝∠BOF＋∠EOB＝90°，所以∠AOE＝∠BOF.

在△AOE和△BOF中，

所以AE＝BF.

因为AB＝AE＋BE，所以AB＝BF＋BE，所以BF＋BE＝a.（2）因为△AOE≌△BOF，

4.

解：【初步探究】EC＝DF.

证明如下：因为∠EOF＝90°，所以∠EOC＋∠COF＝90°.在正方形ABCD中，∠COD＝90°，所以∠DOF＋∠COF＝90°，所以∠EOC＝∠DOF.

在正方形ABCD中，∠CDO＝∠OCB＝45°，OC＝OD，所以△DOF≌△COE（ASA），所以EC＝DF.

【类比探究】BF＝DH.

证明如下：如图1，因为四边形ABCD和四边形

EFGH都是正方形，所以AB＝AD，EF＝EH，∠BAD＝∠FEH＝90°，所以∠BAD－∠DAF＝∠FEH－∠