第6节一元二次方程及其应用

第6节一元二次方程及其应用一、一元二次方程1．一元二次方程的定义只含有_________个未知数，并且未知数的最高次数为_________的_________方程叫作一元二次方程．一2整式一(2)方法解法形式方程的根直接开平方法x2＝p(p≥0)x＝_________(mx＋n)2＝p(p≥0，m≠0)x＝_________x1或x2二、根的判别式1．根的判别式(1)一元二次方程根的判别式Δ＝_________．(2)判别式与一元二次方程根的关系①Δ＝b2－4ac>0⇔方程_____________的实数根；②Δ＝b2－4ac＝0⇔方程___________的实数根；③Δ＝b2－4ac<0⇔方程_________实数根．b2－4ac有两个不相等有两个相等没有2．一元二次方程根与系数的关系如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个实数根分别为x1，x2，那么x1＋x2＝_________，x1x2＝_________．三、一元二次方程的应用1．一般步骤审题，找出等量关系→设未知数→列出一元二次方程→解一元二次方程→检验→写出答案．2．列一元二次方程解应用题的几种常见类型利率问题本息和＝本金＋利息利息＝本金×利率×期数销售利润问题毛利润＝销售总额－进货总额纯利润＝销售总额－进货总额－其他费用利润率＝利润÷成本×100%销售总额＝售价×销量进货总额＝进价×进货数量×1．判断下列说法正误，正确的画“√”，错误的画“×”．(1)方程ax2＋bx＋c＝0（a，b，c是常数）是关于x的一元二次方程．(

)(2)一元二次方程的解要么无解，有解必有两个，所以最后方程的解一定要写明x1，x2．(

)(3)方程x2＋2x＋5＝x(x－1)是关于x的一元二次方程．(

)(4)用公式法解一元二次方程时，都必须先把方程化为一般形式，以便正确确定a，b，c的值．(

)××√2．（2024·西宁）如图，小区物业规划在一个长60m，宽22m的矩形场地ABCD上，修建一个小型停车场，阴影部分为停车位所在区域，两侧是宽xm的道路，中间是宽2xm的道路．如果阴影部分的总面积是600m2，那么x满足的方程是(

)A．x2－41x＋180＝0 B．x2－41x＋225＝0C．x2－41x＋30＝0 D．x2－41x－270＝0√3．（2025·青海）若x＝1是一元二次方程x2－4x＋c＝0的一个根，则c的值为_________．答案：3解：第③步出错了，正确步骤如下：因为(x2＋y2－3)2＝16，所以x2＋y2－3＝±4．因为x2＋y2≥0，所以x2＋y2＝7．考点一一元二次方程的有关概念√√3．已知方程x2＋mx＋3＝0的一个根是1，则m的值为(

)A．4 B．－4C．3 D．－3√4．已知一元二次方程x2＋bx＋c＝0的两根为1和5，则一次函数y＝bx＋c的图象不经过(

)A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限解析：因为一元二次方程x2＋bx＋c＝0的两根为1和5，所以－b＝1＋5，c＝1×5，所以b＝－6<0，c＝5>0，所以一次函数为y＝－6x＋5，图象不经过第三象限．√已知一根直接代入原方程，得到一个关于未知字母的方程，解方程求出未知字母的值已知两根把两个根直接代入原方程，列出关于未知字母的方程组，解方程组，求出未知字母的值利用根与系数的关系求解考点二一元二次方程的解法√1．（2025·滁州二模）已知关于x的一元二次方程x2＋ax－6＝0的一个实数根为2，则另一个实数根是(

)A．－8 B．－3C．3 D．4解析：因为一元二次方程x2＋ax－6＝0的一个实数根为2，设另一个实数根为m，则2m＝－6，解得m＝－3．所以另一个实数根是－3．2．已知实数x满足(x2－x)2－4(x2－x)－12＝0，则代数式x2－x＋1的值是(

)A．7 B．－1C．7或－1 D．－5或3√易错警示

方程求解过程中，等式两边不能同时约去含有相同未知数的因式．(3)配方法适用情况①二次项系数化为1后，一次项系数是偶数的一元二次方程；②各项的系数比较小且便于配方的情况．考点三一元二次方程的应用A．(10＋x)(1000－5x)＝10×1000×(1＋90%)B．(10＋x)(1000－5x)＝10×1000×90%C．(10＋x)(1000－x)＝10×1000×(1＋90%)D．(10＋x)(1000－x)＝10×1000×90%解析：因为多种x棵樱桃树，则一共有(10＋x)棵樱桃树，每棵产量为(1000－5x)颗樱桃，根据题意得：(10＋x)(1000－5x)＝10×1000×(1＋90%)．√√考点四一元二次方程的判别式及其应用√√根的判别式的三个应用(1)不解方程，直接判断一元二次方程根的情况．(2)根据方程根的情况，确定某个未知字母的值（或范围）．(3)证明一个一元二次方程根的情况．考点五一元二次方程根与系数的关系√[练习2]（2025·西宁一模）若a，b为方程x2－3x＋2＝0的两个实数根，则a2－3a＋2ab的值为_________．解析：因为a，b为方程x2－3x＋2＝0的两个实数根，所以ab＝2，a2－3a＋2＝0，所以a2－3a＝－2，所以a2－3a＋2ab＝－2＋2×2＝2．答案：2类比应用√√√√√√7．为让市民在家门口即可享受阅读和休闲服务，某社区开办了社区书屋．9月份书屋共接待了周边居民200人次，11月份共接待了648人次，假定9月至11月每月接待人次增长率相同，设为x，则可列方程为_________．答案：200(1＋x)2＝6488．（2025·西宁一模）关于x的一元二次方程x2＋2x＋4c＝0有两个不相等的实数根，则c＝_________．（写出一个满足条件的值）(2)x2＋4x＋3＝0．解：x2＋4x＋3＝0移项，得x2＋4x＝－3．配方，得x2＋4x＋4＝－3＋4，即(x＋2)2＝1．开方，得x＋2＝±1，解得x1＝－1，x2＝－3．√解析：设AB的长为xm，矩形ABCD的面积为ym2，则BC的长为(40－2x)m，由题意得y＝x(40－2x)＝－2x2＋40x＝－2(x－10)2＋200，其中0<40－2x≤26，即7≤x<20，①AB的长不可以为6m，原说法错误；②当y＝－2(x－10)2＋200＝192时，解得x＝8或x＝12，经检验符合题意，所以AB的长有两个不同的值满足菜园ABCD的面积为192m2，原说法正确；③当x＝10时，菜园ABCD面积的最大值为200m2，原说法正确．综上，正确结论是②③．13．关于x的一元二次方程x2－(k－1)x－k＋2＝0有两个实数根x1，x2，若(x1－x2＋2)·(x1－x2－2)＋2x1x2