第13节二次函数的实际应用

第13节二次函数的实际应用考点一应用二次函数解决抛物线型实际问题(2)在实心球测试中，男生满分标准为12．4m，判断这位同学的本次投掷成绩能否满分，并说明理由．解：这位同学本次投掷成绩不能满分，理由如下：当y＝0时，－0．05x2＋0．3x＋2＝0，即x2－6x－40＝0，所以(x－10)(x＋4)＝0，解得x1＝10，x2＝－4(舍去)．因为10<12．4，所以这位同学本次投掷成绩不能满分．(1)求顶棚抛物线的函数关系式；(2)为使车棚更加稳固，现要从顶棚到地面加两根支撑钢条DE，FG，DE，FG两根钢条之间用钢条MN连接，MN＝2米，DE⊥OC，FG⊥OC，MN∥OC(D，F在抛物线上，E，G在OC上，M，N分别在DE，FG上)，钢条DE与FG的长度之和是否存在最大值？若存在，请求出钢条DE与FG的长度之和的最大值；若不存在，请说明理由．(1)求抛物线的解析式；(2)求抛物线最高点的坐标；(3)斜坡上点B处有一棵树，点B是OA的三等分点，小球恰好越过树的顶端C，求这棵树的高度．易错警示①题意分析不透，不能建立符合题意的函数模型或所建立的函数模型不正确，导致解题错误；②忽视了自变量的取值范围，造成错解；③由几何图形中的线段的长转化为坐标系中点的坐标时，忽视了线段所在的象限，造成符号错误．考点二应用二次函数解决最优化问题x(元/件)456y(件)10000950090002．某商店销售一种商品，经市场调查发现：在实际销售中，售价x为整数，且该商品的月销售量y(件)是售价x(元/件)的一次函数，其售价x(元/件)、月销售量y(件)、月销售利润w(元)的部分对应值如下表：售价x(元/件)4045月销售量y(件)300250月销售利润w(元)30003750(3)现公司决定每销售1件商品就捐赠m元利润(m≤6)给某慈善机构，要求：在售价不超过52元时，每月扣除捐赠后的月销售利润随售价x的增大而增大，求m的取值范围．解析：设AB为xm，羊圈的面积为Sm2．由题意，得S＝x(60－2x)＝－2(x－15)2＋450，所以当x＝15时，S取得最大值，即AB＝15m时，羊圈的面积最大．答案：154．如图是一块铁皮余料，将其放置在平面直角坐标系中，底部边缘AB在x轴上，且AB＝8dm，外轮廓线是抛物线的一部分，对称轴为y轴，高度OC＝8dm．现计划将此余料进行切割：(1)若切割成正方形，要求一边在底部边缘AB上且面积最大，求此正方形的面积；(2)若切割成矩形，要求一边在底部边缘AB上且周长最大，求此矩形的周长．(2024·河南)从地面竖直向上发射的物体离地面的高度h(m)满足关系式h＝－5t2＋v0t，其中t(s)是物体运动的时间，v0(m/s)是物体被发射时的速度．社团活动时，科学小组在实验楼前从地面竖直向上发射小球．(1)小球被发射后________s时离地面的高度最大(用含v0的式子表示)；跨学科融合(2)若小球离地面的最大高度为20m，求小球被发射时的速度；(3)按(2)中的速度发射小球，小球离地面的高度有两次与实验楼的高度相同．小明说：“这两次间隔的时间为3s．”已知实验楼高15m，请判断他的说法是否正确，并说明理由．解：不正确．因为v0＝20，所以h＝－5t2＋20t，将h＝15代入，得t＝1或t＝3，此时时间间隔为2s，所以小明的说法不正确．√2．(2024·天津)从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h(单位：m)与小球的运动时间t(单位：s)之间的关系式是h＝30t－5t2(0≤t≤6)．有下列结论：①小球从抛出到落地需要6s；②小球运动中的高度可以是30m；③小球运动2s时的高度小于运动5s时的高度．其中，正确结论的个数是(

)A．0 B．1C．2 D．3√3．某农场要建一个矩形养鸡场，养鸡场的一边靠墙，另外三边用木栅栏围成．已知墙长25m，木栅栏长47m，在与墙垂直的一边留出1m宽的出入口(另选材料建出入门)，则求养鸡场面积的最大值为________m2．答案：2884．(2024·西宁一模)电商平台销售某款儿童组装玩具，进价为每件100元，在销售过程中发现每周的销售量y(件)与每件玩具售价x(元)之间满足一次函数关系y＝－2x＋320(其中100≤x≤120，且x为整数)，电商平台每周销售这款玩具所获的最大利润为________元．解析：由题意，利润w＝(x－100)(－2x＋320)＝－2(x－130)2＋1800．因为－2<0，所以当x＜130时，y随x的增大而增大．又因为100≤x≤120，所以当x＝120时，w取得最大值．w＝－2(120－130)2＋1800＝1600．答案：16005．(2025·昌吉州一模)某批发市场批发甲、乙两种水果，经市场调查发现，甲种水果的销售利润y甲(万元)与进货量x(吨)(x≥0)之间满足正比例函数关系，如图1；乙种水果的销售利润y乙(万元)与进货量x(吨)(x≥0)之间满足二次函数关系，如图2；部分数据如图所示．(2)如果市场准备进甲、乙两种水果共10吨，求这两种水果各进多少吨时，获得的销售利润总和最大．解：设乙种水果进货m吨，则甲种水果进货(10－m)吨，10吨水果销售利润之和为W万元．根据题意，得W＝－0．1m2＋1．5m＋0．3(10－m)＝－0．1m2＋1．2m＋3＝－0．1(m－6)2＋6．6．因为－0．1<0，所以当m＝6时，W的最大值为6．6，所以10－m＝4．答：甲、乙两种水果分别进货4吨，6吨时获得的销售利润总和最大，最大利润是6．6万元．7．(2025·西宁二模)某品牌大米远近闻名，深受广大消费者喜爱，某超市每天购进一批成本价为每千克4元的该大米，以不低于成本价且不超过每千克7元的价格销售．当每千克售价为5元时，每天售出大米950kg；当每千克售价为6元时，每天售出大米900kg，通过分析销售数据发现：每天销售大米的数量y(kg)与每千克售价x(元)满足一次函数关系．(1)请直接写出y与x的函数关系式；(2)超市将该大米每千克售价定为多少元时，每天销售该大米的利润可达到1800元？解：根据题意可得(x－4)y＝1800，所以(x－4)(－50x＋1200)＝1800，整理得x2－28x＋132＝0，解得x1＝6，x2＝22．因为售价不低于成本价且不超过每千克7元，所以每千克售价定为6元时，利润可达到1800元．(3)当每千克售价定为多少元时，每天获利最大？最大利润为多少？解：设利润为w，则w＝(x－4)(－50x＋1200)＝－50x2＋1400x－4800＝－50(x－14)2＋5000．因为－50<0，函数图象开口向下，所以当x<14时，w随x的增大而增大．因为4≤x≤7，所以当x＝7时，w有最大值，此时wmax＝－50×(7－14)2＋5000＝2550，所以当每千克售价定为7元时，每天获利最大，最大利润为2550元．8．灌溉车沿着平行于绿化带底部边线的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口H离地面的竖直高度为hm，如图，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象，把绿化带