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8.1.2向量数量积的运算律1.向量数乘有哪些运算律?思考：向量数量积有哪些运算律呢

探究1平面向量数量积的运算律.问题1：给定两个向量a和b，计算a·b与b·a，二者有什么关系？解：当向量a,b中至少有一个是零向量时，a·b=0，b·a=0；当a,b是两个非零向量时，因为<a,b>=<b,a>,所以根据可知a·b=b·a.问题2：当λ是实数且a,b是向量时，λa是向量，与都是实数，那么对λa与b的夹角有何影响？与有什么关系？解：当a与b都是非零向量且λ≠0时，

如果λ＞0，则，且λa的方向与a的方向相同，从而<λa,b>=<a,b>，因此

如果λ＜0，则，且λa的方向与a的方向相反，从而<λa,b>=π-<a,b>，因此

当a,b中至少有一个是零向量或λ=0时，显然也有思考：一定成立吗，理由是什么？不一定成立，因为表示一个与c共线的向量,而表示一个与a共线的向量,而c与a不一定共线.问题3：给定平面上的非零向量a，b，c，c0是与c同向的单位向量，点O与c0都在直线l上，1.写出a、b和a+b在c0上的投影，并说说三个投影之间有什么关系？2.结合a、b、a+b与c0的向量数量积的几何意义，能推导出(a+b)c,a·c,b·c之间有什么关系？思考：当a，b，c中至少有一个是零向量时，是否成立？a在c0上的投影为,b在c0上的投影为,a+b在c0上的投影为根据向量数量积的几何意义可知因为，在这个式子两边同时乘以,可得运算律实数数乘平面向量数量积交换律ab=baa·b=b·a结合律(ab)c=a(bc)(λa)·b=a(λb)=λ(a·b)分配律(a+b)c=ac+bc(a+b)·c=a·c+b·ca·(b+c)=a·b+a·c(a-b)·c=a·c-b·c求证：（1）

（2）证明：探究2求向量数量积例1：（1）已知|a|=2，|b|=1，<a,b>=60°，求|a+2b|；（2）已知|a+b|=|a-b|，求a·b.解：（1）由题意可知a2=4,b2=1,a·b=2×1×cos60°=1所以因此（2）由题意可知|a+b|2=|a-b|2即(a+b)2=(a-b)2，因此因此a·b=0.1.求和、差向量的模时，一般先求模的平方，然后再开方.2.可以把和、差向量的模的平方转化为单个向量模的平方与向量的数量积的和.例2.如图所示，已知△ABC中，BE，CF分别为AC，AB边上的高，而且BE与CF相交于点O，连接AO并延长，与BC相交于点D.求证：AD⊥BC.证明：因为BE⊥AC，所以即因此①又因为CF⊥AB，所以即因此②由①-②可得因此从而故BC⊥O

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