命题点5三角形的内心与外心(必考)

第六章圆课标要求①了解三角形的内心与外心；②能用尺规作图：作三角形的外接圆、内切圆.命题点5三角形的内心与外心(必考)要点归纳

1.

三角形的内切圆和内心的概念(1)三角形的内切圆：在三角形的内部且与三角形三边都

的圆.(2)三角形的内心：三角形内切圆的圆心，实质是三角形

⁠

的交点.(3)一个三角形有且只有一个内切圆.相切三条角平分

线2.

三角形内心的性质(1)角平分线：内心与顶点的连线必然

三角形的内角.如图1，O

为△ABC的内心，连接AO，BO，CO，必有AO平分∠CAB，BO平分

∠ABC，CO平分∠ACB.

(2)等距：内心到三角形三边的距离必定

.如图2，O为△ABC的

内心，过点O分别作三边的垂线段，必有OD＝OE＝OF.

平分相等(3)位置：三角形的内心一定在三角形的内部.3.

尺规作图画三角形的内切圆(1)作图关键：定圆心，定半径.(2)作图步骤：根据三角形内心的定义，作三角形两个内角的平分线，两

条角平分线的交点即为三角形内切圆的圆心，以圆心到三角形一边的距

离为半径画圆，得到三角形的内切圆，如图.4.

三角形的外接圆和外心的概念(1)三角形的外接圆：经过三角形的三个

可以作一个圆，这个圆

叫作三角形的外接圆；(2)三角形的外心：三角形外接圆的圆心，实质是三角形

⁠

的交点.顶点三条边垂直平

分线5.

三角形外心的性质(1)垂直平分线：外心到三角形三边的垂线必然

三条边.如图

1，P为△ABC的外心，若PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，必有AD

＝BD，BE＝CE，AF＝CF.

平分(2)等距：外心到三角形

的距离必定相等.如图2，P为

△ABC的外心，连接PA，PB，PC，必有PA＝PB＝PC.

三个顶点6.

与三角形外心有关的角度问题(1)锐角三角形⇔外心在三角形内部⇔三个角都小于90°，如图1；(2)直角三角形⇔外心在三角形斜边中点⇔有一个90°角，如图2；(3)钝角三角形⇔外心在三角形外部⇔有一个角大于90°，如图3.7.

关于外心和内心的记忆技巧一部分同学经常混淆内心和外心的性质.其实不必死记硬背，根据图形

记忆是最快捷的.外心(图形：三角形外有一个圆)：就是外接圆的圆心，

到三角形每个顶点的距离相等，是三条边垂直平分线的交点；内心(图

形：三角形内部有一个圆)：就是内切圆的圆心，到每个边的距离相

等，是三条角平分线的交点.8.

中考考点考查1：对三角形内心和外心概念的考查，出题形式多为选择题，难度

较低.考查2：与三角形内切圆有关的计算，利用内心的性质求角度或线段

长，或利用切线的性质构建直角三角形.9.

常用辅助线(1)连接内心和切点；(2)连接外心和三角形的顶点.命题点5三角形的内心与外心(必考)随堂检测

1.

在如图所示的正方形网格中，点A，B，C，D，O均在格点上，则

点O是(

A

)A.

△ACD的外心B.

△ACD的内心C.

△ABC的外心D.

△ABC的内心

A2.

如图，在方格纸中，点A，B，C，D，O均为格点，则点O是

(

D

)A.

△ABC的内心B.

△ABC的外心C.

△ABD的内心D.

△ABD的外心D3.

如图，点I是△ABC的内心，若∠AIB＝130°，则∠C等于(

D

)A.65°B.70°C.75°D.80°D4.

(2023湖北)如图，在3×3的正方形网格中，小正方形的顶点称为格

点，顶点均在格点上的图形称为格点图形，图中的圆弧为格点△ABC外

接圆的一部分，小正方形边长为1，图中阴影部分的面积为(

D

)A.

π－

B.

π－

C.

π－

D.

π－

D5.

如图，在△ABC中，I为内心，P为△BIC的外接圆☉O上一点，

AE⊥PB于点E，AF⊥PC于点F.

设∠EAB＝x，∠FAC＝y，若

∠BAC＝54°，则(

B

)A.

x＋y＝54°B.

x＋y＝63°C.

x＋2y＝54°D.

x＋2y＝63°B

∵AE⊥PB于点E，AF⊥PC于点F，∴∠AEP＝∠AFP＝90°，∴∠P＋∠EAF＝360°－∠AEP－∠AFP＝180°，∴∠EAF＝∠BIC＝117°，∴∠EAB＋∠FAC＋∠BAC＝x＋y＋54°＝117°，∴x＋y＝63°.6.

(2024石家庄桥西区模拟)如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，O为

△ABC的内心，若△ABO的面积为20，则△ACO的面积为(

B

)A.20B.15C.18D.12B7.

(2025北京丰台一模)如图，△ABC是等边三角形且边长为1，点D，

E，F分别在边CA，AB，BC的延长线上，AD＝BE＝CF＝1，连接

DE，EF，FD，EC.

给出下面四个结论：①△DEF是等边三角形；②DC⊥EC；

A.

①②③B.

①②④C.

②③④D.

①②③④B解析：∵△ABC是等边三角形且边长为1，∴AB＝BC＝CA＝1，∠ABC＝∠BCA＝∠CAB＝60°，∵AD＝BE＝CF＝1，∴AE＝BF＝CD＝2，∠DAE＝∠EBF＝∠FCD＝180°－60°＝120°，∴△DAE≌△EBF≌△FCD（SAS），∴DE＝EF＝FD，

∴△DEF的外心与△ABC的外心重合，故④正确.综上所述，正确的有①②④.8.

如图，△ABC的内心为O，连接AO并延长交△ABC的外接圆于点

D，连接BD.

求线段DO和DB所满足的数量关系，并说明理由.解：结