提公因式法课件苏科版数学八年级下册

提公因式法第9章因式分解9.2探究与应用活动1认识公因式问题探究如何把多项式ab+ac+ad分解因式?从左往右看,可以得到a(b+c+d)=

.①

从右往左看,可以得到ab+ac+ad=a(

).②

式子②从左到右的变形是多项式ab+ac+ad

的因式分解.多项式ab+ac+ad

各项都含有因式“

”,像这样的因式称为多项式各项的

.

ab+ac+ad

图9-2-1b+c+d

a

公因式

尝试探究(1)ab

(2)x2

(3)3ab活动2领会提公因式法分解因式

总结一个多项式各项的公因式常常不止一个.当多项式的各项系数都是整数时,公因式的系数应取各项系数的

;字母应取各项

的字母,而且各字母的指数取次数

的.

最大公约数

例如,多项式9abc-6a2b2+12abc2各项有公因式3ab,它可以写成3ab·

-3ab·

+3ab·

,于是9abc-6a2b2+12abc2=3ab(

).

相同

最低

3c

2ab

4c2

3c-2ab+4c2提公因式法的概念:当多项式的各项含有公因式时,可以采用添括号的方法把公因式提到括号外,把多项式写成公因式与另一个多项式的积的形式,这种分解因式的方法叫作提公因式法.概括新知

(教材典例)把5x3-10x2分解因式.例1解:5x3-10x2=5x2·x-5x2·2=5x2(x-2).

(教材典例)把下列各式分解因式:(1)12ab2c-6ab; (2)-8m2+12m.例2解:(1)12ab2c-6ab=6ab·2bc-6ab·1=6ab(2bc-1).(2)-8m2+12m=-4m·2m+(-4m)·(-3)=-4m(2m-3).提公因式法口诀找准公因式,一次要提净;若搬全家走,留1把家守;提正不变号,提负就变号.得

锦囊当多项式的第一项系数为负数时,通常把负号作为

的符号进行因式分解.如例2(2)中,把“

”作为-8m2+12m各项的公因式,分解因式后的另一个因式“

”第一项的系数就为正数.

解后反思公因式-4m

2m-3

(教材补充例题)把下列各式分解因式:(1)a(x-3)+2b(x-3);(2)m(a-2)+n(2-a);

(3)(x-y)3+4x(y-x)2.例3解:(1)原式=(x-3)(a+2b).(2)原式=m(a-2)-n(a-2)=(a-2)(m-n).(3)原式=(x-y)2(x-y)+4x(x-y)2=(x-y)2(x-y+4x)=(x-y)2(5x-y).当n为偶数时,(y-x)n=(x-y)n;当n为奇数时,(y-x)n=-(x-y)n.记

规律如何把多项式ab+a+b+1分解因式?尝试探究解:ab+a+b+1=(ab+a)+(b+1)=a(b+1)+(b+1)=(a+1)(b+1).

(教材补充例题)已知n为正整数,求证:代数式(n+3)2-(5n+9)一定能被2整除.例4证明:(n+3)2-(5n+9)=n2+6n+9-5n-9=n2+n=n(n+1).∵n为正整数,∴n(n+1)一定能被2整除,∴(n+3)2-(5n+9)一定能被2整除.|总结

|课堂总结与反思|反思|因式分解不是为了分解而分解,那么因式分解的目的是什么?解:一方面可以方便数式的运算,另一方面可以把多项式变形,为代数说理提供方便.知识技能巩固练1.多项式3x3-12x2中各项的公因式是 (

)A.x B.x2 C.3x D.3x2D2.下列各式正确的是 (

)A.2a2-3ab+a=a(2a-3b)B.2πR-2πr=2π(R-2πr)C.-x2-2x=-x(x-2)D.5x4+25x2=5x2(x2+5)D3.因式分解:a2-2a=

.

a(a-2)4.多项式3x2y2-12x2y4-6x3y3各项的公因式是

.

3x2y25.把多项式-16x3+40x2y提出公因式-8x2后,另一个因式是

.

2x-5y6.分解因式:m2n+4mn-4n=

.

n(m2+4m-4)7.(2025扬州江都区模拟)若R1=19.2,R2=35.4,R3=45.4,I=2.2,则IR1+IR2+IR3的值为

.

2208.用提公因式法把下列各式分解因式:(1)4x-6x2; (2)2a2b+5ab;解:(1)4x-6x2=2x(2-3x).(2)2a2b+5ab=ab(2a+5).(3)3p(p+q)-4q(p+q);(4)-3a2b+6ab2-3ab;(3)3p(p+q)-4q(p+q)=(p+q)(3p-4q).(4)-3a2b+6ab2-3ab=-3ab(a-2b+1).(5)(2x-y)(x+3y)-(x+y)(y-2x);(6)6(x+y)2-2(x-y)(x+y).(5)原式=(2x-y)(x+3y)+(x+y)(2x-y)=(2x-y)(x+3y+x+y)=(2x-y)(2x+4y)=2(2x-y)(x+2y).(6)原式=2(x+y)[3(x+y)-(x-y)]=2(x+y)(2x+4y)=4(x+y)(x+2y).9.将6a2b(x-y)2+8ab2(x-y)3因式分解,应提取的公因式是 (

)A.2ab(x-y)2 B.48ab(x-y)2C.48ab(x-y)3 D.2ab(x-y)3A能力提升综合练10.把多项式(1+x)(1-x)-(1-x)提取公因式(1-x)后,余下的部分是

(

)A.(x+1) B.-(x+2)C.x D.(x+2)C11.(2025扬州广陵区模拟)已知x2y+xy2=48,xy=8,则x+y=

.

612.已知ab2=6,求ab(a2b5-ab3-b)的值.解:当ab2=6时,原式=ab2(a2b4-ab2-1)=ab2[(ab2)2-ab2-1]=6×(62-6-1)=6×29=174.素养发展创新练13.阅读下面分解因式的过程,再回答所提出的问题:1+x+x(1+x)+x(1+x)2=(1+x)[1+x+x(1+x)]=(1+x)[(1+x)(1+x)]=(1+x)3.(1)上述分解因式的方法是