专题26巧用几何变换(旋转)解题

第二部分思想方法专题篇(全程突破)专题26巧用几何变换(旋转)解题1.

正方形为背景——旋转90°如图，点E为正方形ABCD的边AD上一点，F在DC的

延长线上，且CF＝AE.

(1)求证：∠BEF＝45°；解：(1)证明：连接BF，解：(1)证明：连接BF，证△ABE≌△CBF，∴△BEF为等腰直角三角形，∴∠BEF＝45°；(2)若AE＝2，DE＝3，求EF的长.

2.

等腰直角三角形背景——旋转90°如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，点D、E

在AB上，且∠DCE＝45°，BE＝2，AD＝3.(1)将△BCE绕点C逆时针旋转90°，在图中画出旋转后

的图形；解：(1)见图中的△ACF；解：(1)见图中的△ACF；

解：(2)连接DF，证∠FAD＝90°，△DCE≌△DCF.

∴AF＝BE＝2

3.

等边三角形为背景——旋转60°如图，点P为等边△ABC内一点，且PC＝3，PB＝4，

PA＝5.(1)画出将△BPC绕点B逆时针方向旋转60°后的图形；解：(1)如图所示，将△BCP绕点B逆时针旋转60°得

△BAE，

解：(1)如图所示，将△BCP绕点B逆时针旋转60°得△BAE，(2)求∠BPC的度数.解：(2)证△PBE为等边三角形，∴PE＝PB＝4，∠BEP＝60°，证AE2＋PE2＝PA2，∴∠AEP＝90°，∴∠BPC＝∠AEB＝150°.解：(2)证△PBE为等边三角形，∴PE＝PB＝4，∠BEP＝60°，证AE2＋PE2＝PA2，∴∠AEP＝90°，∴∠BPC＝∠AEB＝150°.4.

已知正方形ABCD，点D在BC上，点F在CD上，

∠EAF＝45°，求证：EF＝BE＋DF.

证明：延长CB至M，使BM＝DF.

易证△ABM≌△ADF，△EAF≌△EAM.

得证.(也可将△ADF绕A顺时针旋转90°得△ABM求证)

证明：延长CB至M，使BM＝DF.

易证△ABM≌△ADF，△EAF≌△EAM.

得证.(也可将△ADF绕A顺时针旋转90°得△ABM求证)5.

如图，点P为等腰直角△ABC内一点，∠ACB＝

90°，PB＝1，PC＝2，PA＝3，求∠BPC的度数.

解：将△CPB绕点C顺时针旋转90°，得△ACE，连接EP，易证△PCE是等腰Rt△

∴∠PEA＝90°∴∠BPC＝∠AEC＝90°＋45°＝135°6.

如图，在△ABC中，∠ABC＝30°，AB＝6，BC＝

8，△ACD是等边三角形，求BD的长.

解：将△ABD绕A点，顺时针旋转60°得△AEC，连接CE.

易证△EBA是等边三角形，故∠EBA＝60°∴∠EBC＝90°

7.

已知：如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝

AC，点D、E分别为线段BC上两动点，若∠DAE＝

45°，求证：BD2＋EC2＝DE2.证明：过点C作CF⊥BC，取CF＝BD，连接AF、EF

∵AB＝AC，∠BAC＝90°∴∠ACB＝∠ABD＝45°∵CF⊥BC，∴∠ACF＝90°－∠ACB＝45°∴∠ACF＝∠ABD∴△ACF≌△ABD，证明：过点C作CF⊥BC，取CF＝BD，连接AF、EF∵AB＝AC，∠BAC＝90°∴∠ACB＝∠ABD＝45°，∵CF⊥BC，∴∠ACF＝90°－∠ACB＝45°∴∠ACF＝∠ABD，∴△ACF≌△ABD，∴AF＝AD，∠3＝∠1，∵∠DAE＝45°，∴∠1＋∠2＝∠BAC－∠DAE＝90°－45°＝45°∴∠FAE＝∠3＋∠2＝∠1＋∠2＝45°＝∠DAE又∵AE＝AE，∴△FAE≌△DAE，∴FE＝DE在Rt△EFC中，有CF2＋EC2＝FE2∴BD2＋EC2＝DE28.

如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点

M、N在直线AB上，且∠MCN＝45°，求证：AM2＋

BN2＝MN2.证明：过点C作CD⊥CM，且CD＝CM.

连接BD、DN，易证△ACM≌△BCD，△CMN≌△CDN，∴AM＝BD，MN＝DN，∠ABD＝90°，∴AM2＋BN2＝DN2＝MN2.

证明：过点C作CD⊥CM，且CD＝CM.

连接BD、DN，易证△ACM≌△BCD，△CMN≌△CDN，∴AM＝BD，MN＝DN，∠ABD＝90°，∴AM2＋BN2＝DN2＝MN2.9.

如图，是等边△ABC内一点，若AP＝3，PB＝4，

PC＝5，求∠APB的度数.解：如图，作等边△BPP′，连接CP′

∴PP′＝P′B＝PB＝4，∠PBP′＝∠PP′B＝60°∴∠3＋∠2＝60°解：如图，作等边△BPP′，连接CP′∴PP′＝P′B＝PB＝4，∠PBP′＝∠PP′B＝60°∴∠3＋∠2＝60°∵△ABC是等边三角形∴BC＝BA，∠ABC＝60°∴∠1＋∠2＝60°，∴∠3＝∠1∴△BCP′≌△BAP∴CP′＝AP＝3，∠BP′C＝∠APB∵PP′2＋CP′2＝42＋32＝52＝PC2∴△PP′C是Rt△，且∠PP′C＝90°∴∠BP′C＝∠PP′B＋∠PP′C＝60°＋90°＝150°∴∠APB＝∠BP′C＝150°

解：过点A作AQ⊥AP，

解：过点A作AQ⊥AP，取AQ＝AP＝1，连接BQ、PQ，∴∠3＋∠2＝90°，

∵△ABC是等腰直角三角形，∠CAB＝90°∴AB＝AC，∠1＋∠2＝90°

∴∠3＝∠1∴△ABQ≌△ACP

∴△BPQ是Rt△，且∠BQP＝90°∴∠BQA＝∠AQP＋∠BQP＝45°＋90°＝135°∴∠CPA＝∠BQA＝135°11.

如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，点D、E是直线

BC上的点，∠DAE＝135°，求证：CD2＋BD2＝DE2.证明：过点A作AF⊥AD，且AF＝AD，连接BF，则△ABF≌△ACD，

∴BF＝CD，且BF⊥CD，连接EF，利用SAS可证△AEF≌△AED.

∴EF＝DE.

证明：过点A作AF⊥AD，且AF＝AD，连接BF，则△ABF≌△ACD，∴BF＝CD，且BF⊥CD，连接EF，利用SAS可证△AEF≌△AED.

∴E