等比数列的前n项和（第3课时）课件-高二下学期数学北师大版选择性

作课人：廉文杰数学之王——欧拉北师大版（2019）高中数学选择性必修第二册作课人：廉文杰焦作市外国语中学第一章

数列第3节

等比数列3.2等比数列的前n项和第3课时（共3课时）学

习

目

标目

标重

点难

点1、掌握数列求和的方法.1、数列求和的方法.1、数列求和的方法.新

知

引

入数学王子——高斯1、等差数列的通项公式是什么？2、等差数列的前n项和公式是什么？推导此公式的方法是什么？an=a1+(n-1)d

3、等比数列的通项公式是什么？4、等比数列的前n项和公式是什么？推导此公式的方法是什么？an=a1qn-1

数列求和是数列的重要内容之一。学

习

新

知欧几里得（约公元前300年）《几何原本》公式法

利用等差数列前n项和公式或者等比数列前n项和公式直接求和。典

例

引

路集合论之父——康托例1、求数列1，3＋5，7＋9＋11，13＋15＋17＋19，…前n项和.

同

步

练

习无冕的数学之王——希尔伯特练1、已知各项均为正数的等比数列{an}和数列{bn}，若bn=3n+1且a2=b5,a4=b1，则数列{an}的前7项和为____.

学

习

新

知阿基米德（公元前287年—公元前212年）《阿基米德全集》倒序相加法

如果一个数列{an}，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和(都相等，为定值)，可采用把正着写和与倒着写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和的方法称为倒序相加法。类型：a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…典

例

引

路柯

西例2：求证：

Cn0＋3Cn1＋5Cn2＋…＋（2n＋1）Cnn=（n＋1）·2n证明：设S=Cn0＋3Cn1＋5Cn2＋…＋（2n＋1）Cnn，S=（2n+1）·Cnn＋…＋5Cn2＋3Cn1＋Cn0两项相加，并利用Cnm=Cnn－m得2S=2（n＋1）·（Cn0＋Cn1＋Cn2＋……＋Cnn）=2（n＋1）·2n

∴S=（n＋1）·2n

同

步

练

习解析几何之父——笛卡尔

学

习

新

知阿波罗尼奥斯（约公元前200年）

《圆锥曲线论》错位相减法

若{an}是等差数列，{bn}是等比数列，则数列{an·bn}的前n项和用错位相减法求。写出Sn=a1b1+a2b2+a3b3+…++an-1bn-1+anbn

①第一步：第二步：

第三步：第四步：计算③内部的等比数列的和，再与其他项合并，从而计算出Sn.Sn=a1b1+a2b2+a3b3+…+an-1bn-1+anbn

①qSn=a1b2+a2b3+a3b4+…+an-1bn+anbn+1②

错位相减得（1-q)Sn=a1b1+d(b2+b3+…+bn)-anbn+1

③典

例

引

路牛

顿例3、数列{n·2n}的前n项和为________．

同

步

练

习黎

曼

典

例

引

路狄利克雷例4、已知数列{an}的通项公式为an=(n-2)·3n-1，其前n项和为Sn，

则Sn=_______．

同

步

练

习庞加莱练4、数列{an}的通项公式为an=(2n-1)·4n，则{an}的前n项和Sn为__________（用含n的式子表示）.

学

习

新

知拉格朗日分组求和法

把数列的每一项分成两项或多项，或把整个数列分成两部分或多部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组求和法。典

例

引

路皮

亚

诺例5、若数列{an}的通项公式为an=2n-1+2n+1，则其前n项和

Sn=___________．

同

步

练

习莱布尼兹练5、（2-3×5-1）+（4-3×5-2）+…+（2n-3×5-n)=_____.

典

例

引

路贝叶斯

同

步

练

习佩雷尔曼

同

步

练

习毕达哥拉斯

学

习

新

知裂项相消法布

丰注意各项抵消的规律，弄清楚最终剩下了哪些项。这种方法的关键是会把通项公式拆开。

把数列的通项拆成两项之差，即数列的每一项都可按此法拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前n项的和变成首尾若干少数项之和，这一求和方法称为分裂通项法。通项公式为分式型的要往这种方法联想。注意：1、2、3、典

例

引

路华罗庚

同

步

练

习陈景润

典

例

引

路傅里叶

同

步

练

习洛必达

学

习

新

知并项求和法伯努利

把数列{an}中的项两两结合或者多项结合，构造出一个新的数列再求和的方法。典

例

引

路丘成桐例9、计算：12-22+32-42+52-62+…+（-1）n-1n2

同

步

练

习罗巴切夫斯基练9、已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1,Sn+12-Sn2=8n.在数列{an}的每相邻两项ak,ak+1之间依次插入a1,a2,…,ak，得到数列{bn}:a1,a1,a2,a1,a2,a3,a1,a2,a3,a4,…，则{bn}的前88项和等于（

）A．163B．165